Bài giảng Digital signal processing - Chapter 1: Sampling and Reconstruction - Nguyen Thanh Tuan

Click to edit Master subtitle style Nguyen Thanh Tuan, M.Eng. 
Department of Telecommunications (113B3) 
Ho Chi Minh City University of Technology 
Email: nttbk97@yahoo.com 
 Sampling and Reconstruction 
 Chapter 1 
Digital Signal Processing 
 Sampling 
Content 
2 
 Sampling theorem 
Sampling and Reconstruction 
 Anti-aliasing pre-filter 
 Spectrum of sampling signals 
 Analog reconstruction 
 Ideal pre-filter 
 Practical pre-filter 
 Ideal reconstructor 
 Practical reconstructor 
Digital Signal Processing 
 A typical signal processing system includes 3 stages: 
1. Introduction 
3 
 The digital processor can be programmed to perform signal processing 
operations such as filtering, spectrum estimation. Digital signal processor can be 
a general purpose computer, DSP chip or other digital hardware. 
Sampling and Reconstruction 
 The analog signal is digitalized by an A/D converter 
 The digitalized samples are processed by a digital signal processor. 
 The resulting output samples are converted back into analog by a 
D/A converter. 
Digital Signal Processing 
 2. Analog to digital conversion 
4 
 Analog to digital (A/D) conversion is a three-step process. 
Sampler Quantizer Coder 
t=nT 
xQ(n) x(t) x(nT)≡x(n) 11010 
A/D converter 
n 
xQ(n) 
000 
001 
010 
011 
100 
101 
110 
111 
t 
x(t) 
n 
x(n) 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
 3. Sampling 
5 
 Sampling is to convert a continuous time signal into a discrete time 
signal. The analog signal is periodically measured at every T seconds 
 x(n)≡x(nT)=x(t=nT), n=-2, -1, 0, 1, 2, 3 
 T: sampling interval or sampling period (second); 
 Fs=1/T: sampling rate or frequency (samples/second or Hz) 
Sampling and Reconstruction 
? 
Digital Signal Processing 
Example 1 
6 
 The analog signal x(t)=2cos(2πt) with t(s) is sampled at the rate Fs=4 
Hz. Find the discrete-time signal x(n) ? 
Solution: 
 x(n)≡x(nT)=x(n/Fs)=2cos(2πn/Fs)=2cos(2πn/4)=2cos(πn/2) 
n 0 1 2 3 4 
x(n) 2 0 -2 0 2 
 Plot the signal 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
 Example 2 
7 
 Consider the two analog sinusoidal signals 
Solution: 
1
7
( ) 2cos(2 ),
8
x t t 
2
1
( ) 2cos(2 ); ( )
8
x t t t s 
These signals are sampled at the sampling frequency Fs=1 Hz. 
Find the discrete-time signals ? 
1 1 1
1 7 1 7
( ) ( ) ( ) 2cos(2 ) 2cos( )
8 1 4s
x n x nT x n n n
F
  
1
2cos((2 ) ) 2cos( )
4 4
n n
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 2cos(2 ) 2cos( )
8 1 4s
x n x nT x n n n
F
  
Observation: x1(n)=x2(n) based on the discrete-time signals, we 
cannot tell which of two signals are sampled ? These signals are 
called “alias” 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
8 
F2=1/8 Hz F1=7/8 Hz 
Fs=1 Hz 
Fig: Illustration of aliasing 
Sampling and Reconstruction 
 at a sampling rate Fs=1/T results in a 
discrete-time signal x(n). 
Digital Signal Processing 
 4. Aliasing of Sinusoids 
9 
 In general, the sampling of a continuous-time sinusoidal signal 
 Remarks: We can that the frequencies Fk=F0+kFs are 
indistinguishable from the frequency F0 after sampling and hence 
they are aliases of F0 
0( ) cos(2 )x t A F t  
 The sinusoids is sampled at Fs , resulting 
in a discrete time signal xk(n). 
( ) cos(2 )k kx t A F t  
 If Fk=F0+kFs, k=0, ±1, ±2, ., then x(n)=xk(n) . 
Proof: (in class) 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
 5. Spectrum Replication 
10 
 Let where ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
x nT x t x t t nT x t s t
  ( ) ( )
n
s t t nT
 
 s(t) is periodic, thus, its Fourier series are given by 
2
( ) s
j F nt
n
n
s t S e
  2
1 1 1
( ) ( )s
j F nt
n
T T
S t e dt t dt
T T T
   
21
( ) s
j F nt
n
s t e
T
 
21
( ) ( ) ( ) ( ) s
j nf t
n
x t x t s t x t e
T
 
1
( ) ( )s
n
X F X F nF
T
 
where 
 Thus, 
 which results in 
 Taking the Fourier transform of yields ( )x t
Observation: The spectrum of discrete-time signal is a sum of the 
original spectrum of analog signal and its periodic replication at the 
interval Fs. 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 11 
Fig: Typical badlimited spectrum 
 Fs/2 ≥ Fmax 
 Fs/2 < Fmax 
Fig: Aliasing caused by overlapping spectral replicas 
Fig: Spectrum replication caused by sampling 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
 6. Sampling Theorem 
12 
 For accurate representation of a signal x(t) by its time samples x(nT), 
two conditions must be met: 
1) The signal x(t) must be band-limited, i.e., its frequency spectrum must 
be limited to Fmax . 
2) The sampling rate Fs must be chosen at least twice the maximum 
frequency Fmax. max2sF F 
Fig: Typical band-limited spectrum 
 Fs=2Fmax is called Nyquist rate; Fs/2 is called Nyquist frequency; 
 [-Fs/2, Fs/2] is Nyquist interval. 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 13 
 The values of Fmax and Fs depend on the application 
Sampling and Reconstruction 
Application Fmax Fs 
Biomedical 1 KHz 2 KHz 
Speech 4 KHz 8 KHz 
Audio 20 KHz 40 KHz 
Video 4 MHz 8 MHz 
Digital Signal Processing 
7. Ideal analog reconstruction 
14 
Fig: Ideal reconstructor as a lowpass filter 
 An ideal reconstructor acts as a lowpass filter with cutoff frequency 
equal to the Nyquist frequency Fs/2. 
( ) ( ) ( ) ( )aX F X F H F X F 
 An ideal reconstructor (lowpass filter) 
[ / 2, / 2]
( )
0
s sT F F F
H F
otherwise
Then 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
 Example 3 
15 
 The analog signal x(t)=cos(20πt) is sampled at the sampling 
frequency Fs=40 Hz. 
 a) Plot the spectrum of signal x(t) ? 
 b) Find the discrete time signal x(n) ? 
 c) Plot the spectrum of signal x(n) ? 
 d) The signal x(n) is an input of the ideal reconstructor, find the 
reconstructed signal xa(t) ? 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
 Example 4 
16 
 The analog signal x(t)=cos(100πt) is sampled at the sampling 
frequency Fs=40 Hz. 
 a) Plot the spectrum of signal x(t) ? 
 b) Find the discrete time signal x(n) ? 
 c) Plot the spectrum of signal x(n) ? 
 d) The signal x(n) is an input of the ideal reconstructor, find the 
reconstructed signal xa(t) ? 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 17 
 Remarks: xa(t) contains only the frequency components that lie in the 
Nyquist interval (NI) [-Fs/2, Fs/2]. 
 x(t), F0 NI ------------------> x(n) ----------------------> xa(t), Fa=F0 
sampling at Fs ideal reconstructor 
 xk(t), Fk=F0+kFs-----------------> x(n) ---------------------> xa(t), Fa=F0 
sampling at Fs ideal reconstructor 
mod( )a sF F F 
 The frequency Fa of reconstructed signal xa(t) is obtained by adding 
to or substracting from F0 (Fk) enough multiples of Fs until it lies 
within the Nyquist interval [-Fs/2, Fs/2]. That is 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
 Example 5 
18 
 The analog signal x(t)=10sin(4πt)+6sin(16πt) is sampled at the rate 20 
Hz. Find the reconstructed signal xa(t) ? 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
 Example 6 
19 
 Let x(t) be the sum of sinusoidal signals 
 x(t)=4+3cos(πt)+2cos(2πt)+cos(3πt) where t is in milliseconds. 
Sampling and Reconstruction 
a) Determine the minimum sampling rate that will not cause any 
aliasing effects ? 
b) To observe aliasing effects, suppose this signal is sampled at half its 
Nyquist rate. Determine the signal xa(t) that would be aliased with 
x(t) ? Plot the spectrum of signal x(n) for this sampling rate? 
Digital Signal Processing 20 Sampling and Reconstruction 
 Example 7 
Digital Signal Processing 
 8. Ideal antialiasing prefilter 
21 
 The signals in practice may not band-limited, thus they must be 
filtered by a lowpass filter 
Sampling and Reconstruction 
Fig: Ideal antialiasing prefilter 
Digital Signal Processing 
 9. Practical antialiasing prefilter 
22 Sampling and Reconstruction 
Fig: Practical antialiasing lowpass prefilter 
 The Nyquist frequency Fs/2 is in the middle of transition region. 
 A lowpass filter: [-Fpass, Fpass] is the frequency range of interest for 
the application (Fmax=Fpass) 
 The stopband frequency Fstop and the minimum stopband 
attenuation Astop dB must be chosen appropriately to minimize the 
aliasing effects. 
s pass stopF F F 
Digital Signal Processing 23 Sampling and Reconstruction 
 The attenuation of the filter in decibels is defined as 
10
0
( )
( ) 20log ( )
( )
H F
A F dB
H F
where f0 is a convenient reference frequency, typically taken to be at 
DC for a lowpass filter. 
 α10 =A(10F)-A(F) (dB/decade): the increase in attenuation when F is 
changed by a factor of ten. 
 α2 =A(2F)-A(F) (dB/octave): the increase in attenuation when F is 
changed by a factor of two. 
 Analog filter with order N, |H(F)|~1/FN for large F, thus α10 =20N 
(dB/decade) and α10 =6N (dB/octave) 
Digital Signal Processing 
Example 6 
24 Sampling and Reconstruction 
 A sound wave has the form 
where t is in milliseconds. What is the frequency content of this 
signal ? Which parts of it are audible and why ? 
( ) 2 cos(10 ) 2 cos(30 ) 2 cos(50 )
2 cos(60 ) 2 cos(90 ) 2 cos(125 )
x t A t B t C t
D t E t F t
This signal is prefilter by an anlog prefilter H(f). Then, the output y(t) 
of the prefilter is sampled at a rate of 40KHz and immediately 
reconstructed by an ideal analog reconstructor, resulting into the final 
analog output ya(t), as shown below: 
Digital Signal Processing 
Example 7 
25 Sampling and Reconstruction 
Determine the output signal y(t) and ya(t) in the following cases: 
a)When there is no prefilter, that is, H(F)=1 for all F. 
b)When H(F) is the ideal prefilter with cutoff Fs/2=20 KHz. 
c)When H(F) is a practical prefilter with specifications as shown 
below: 
The filter’s phase response is assumed to be ignored in this example. 
Digital Signal Processing 
10. Practical analog reconstructors 
26 Sampling and Reconstruction 
 The ideal reconstructor has the impulse response: 
which is not realizable since its impulse response is not casual 
sin( t)
( ) s
s
F
h t
F t
 It is practical to use a 
staircase reconstructor 
Digital Signal Processing 27 Sampling and Reconstruction 
Fig: Frequency response of staircase reconstructor 
Digital Signal Processing 
11. Anti-image postfilter 
28 Sampling and Reconstruction 
 An analog lowpass postfilter whose cutoff is Nyquist frequency Fs/2 
is used to remove the surviving spectral replicas. 
Fig: Spectrum after postfilter 
Fig: Analog anti-image postfilter 
Digital Signal Processing 
Review 
29 
Hoạt động của bộ lấy mẫu lý tưởng? 
Hiện tượng chồng lấn? 
Tính chất lặp phổ? 
Phát biểu định lý lấy mẫu? 
Hoạt động của bộ khôi phục lý tưởng? 
Tại sao phải dùng tiền lọc/hậu lọc? 
Hoạt động của bộ tiền lọc lý tưởng/thực tế? 
Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 1 
30 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 2 
31 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 3 
32 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 3 
33 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 4 
34 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 5 
35 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 6 
36 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 7 
37 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 8 
38 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 9 
39 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 10 
40 Sampling and Reconstruction 
Digital Signal Processing 
Homework 11 
41 Sampling and Reconstruction 
 Cho tín hiệu ngõ vào tương tự x(t) = 3cos103πt – 4sin104πt (t: s) đi qua 
hệ thống lấy mẫu và khôi phục lý tưởng với tần số lấy mẫu Fs = 8 KHz. 
a) Viết biểu thức của tín hiệu sau lấy mẫu x[n]? Xác định giá trị mẫu 
x[n=2] của tín hiệu sau lấy mẫu. 
b) Có hay không 1 tần số lấy mẫu khác (Fsb ≠ 8 KHz) cho cùng kết quả 
tín hiệu sau lấy mẫu x[n]? Nếu không, hãy chứng minh. Nếu có, hãy 
chỉ ra 1 tần số lấy mẫu khác đó. 
c) Vẽ phổ biên độ của tín hiệu sau lấy mẫu trong phạm vi tần số từ 0 đến 
10 KHz. 
d) Xác định biểu thức của tín hiệu sau khôi phục. 
e) Xác định biểu thức của tín hiệu sau khôi phục trong trường hơp dùng 
thêm bộ tiền lọc thông thấp thực tế có biên độ phẳng trong tầm [-4 4] 
KHz và suy giảm với tốc độ -1@0dB/decade bên ngoài dải thông. 
Digital Signal Processing 
Homework 12 
42 Sampling and Reconstruction 
 Cho tín hiệu ngõ vào tương tự x(t) = 2 – 4sin6πt + 8cos10πt (t: s) 
đi qua hệ thống lấy mẫu và khôi phục lý tưởng với tần số lấy mẫu 
lựa chọn Fs = 7,@ KHz. 
a) Vẽ phổ biên độ của tín hiệu ngõ vào x(t). 
b) Vẽ phổ biên độ của một tín hiệu chồng lấn (aliased signal) với 
x(t). 
c) Vẽ phổ biên độ của tín hiệu sau lấy mẫu trong phạm vi tần số từ 
0 đến 10 KHz. 
d) Tìm giá trị mẫu x[n=2] của tín hiệu sau lấy mẫu. 
e) Xác định biểu thức (theo thời gian) của tín hiệu sau khôi phục. 
f) Tìm điều kiện của tần số lấy mẫu để khôi phục đúng tín hiệu ngõ 
vào x(t). 
Digital Signal Processing 
Homework 13 
43 Sampling and Reconstruction 
 Cho tín hiệu ngõ vào tương tự x(t) = 14sin23 t + 3sin14 t (t: ms) đi qua 
hệ thống lấy mẫu và khôi phục lý tưởng với tần số lấy mẫu Fs = 8 KHz. 
a) Tìm giá trị mẫu x[n=4] của tín hiệu sau lấy mẫu? 
b) Xác định biểu thức của 1 tín hiệu chồng lấn (aliased signal) với tín 
hiệu ban đầu x(t)? 
c) Vẽ phổ biên độ của tín hiệu sau lấy mẫu trong phạm vi tần số từ 0 đến 
8 KHz? 
d) Xác định biểu thức của tín hiệu sau khôi phục? 
e) Xác định biểu thức của tín hiệu sau khôi phục trong trường hơp dùng 
thêm bộ tiền lọc thông thấp thực tế có biên độ phẳng trong tầm 4 KHz 
và suy giảm với tốc độ -4@dB/decade bên ngoài dải thông? 
f) Xác định 1 tập giá trị thích hợp (A, B, FA ≠ FB) của tín hiệu ngõ vào 
x(t) = AsinFAt + BsinFBt (t: ms) để tín hiệu sau khôi phục (khi 
không dùng thêm bộ tiền lọc) y(t) = 2sin2 t (t: ms)? 
Digital Signal Processing 
Homework 14 
44 Sampling and Reconstruction 
 Cho tín hiệu ngõ vào tương tự x(t) = 1 – 2cos6 t + 3sin14 t (t: ms) đi qua hệ 
thống lấy mẫu và khôi phục lý tưởng với tần số lấy mẫu Fs = 8 KHz. 
a) Tìm giá trị mẫu x[n=2] của tín hiệu sau lấy mẫu? 
b) Xác định biểu thức (theo thời gian) của 1 tín hiệu chồng lấn (aliased signal) với 
tín hiệu ban đầu x(t)? 
c) Vẽ phổ biên độ của tín hiệu sau lấy mẫu trong phạm vi tần số từ 0 đến 8 KHz? 
d) Xác định biểu thức (theo thời gian) của tín hiệu sau khôi phục? 
e) Xác định biểu thức (theo thời gian) của tín hiệu sau khôi phục trong trường hơp 
dùng thêm bộ tiền lọc thông thấp thực tế có biên độ phẳng trong tầm 4 KHz và 
suy giảm với tốc độ -6@dB/decade bên ngoài dải thông? 
f) Tìm điều kiện của chu kỳ lấy mẫu Ts sao cho tín hiệu sau khôi phục (khi không 
dùng thêm bộ tiền lọc) giống tín hiệu ban đầu x(t)? 
g) Tìm tần số lấy mẫu Fs lớn nhất có thể sao cho tín hiệu sau khôi phục (khi không 
dùng thêm bộ tiền lọc) là tín hiệu một chiều không đổi. Xác định giá trị một 
chiều không đổi này? 
Digital Signal Processing 
Homework 15 
45 Sampling and Reconstruction