Bài giảng Digital signal processing - Chapter 6: Transfer function and Digital Filter Realization - Nguyen Thanh Tuan

Click to edit Master subtitle style Nguyen Thanh Tuan, M.Eng. 
Department of Telecommunications (113B3) 
Ho Chi Minh City University of Technology 
Email: nttbk97@yahoo.com 
 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 Chapter 6 
Digital Signal Processing 2 
With the aid of z-transforms, we can describe the FIR and IIR filters 
in several mathematically equivalent way 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Content 
3 
1. Transfer functions 
2. Digital filter realization 
 Impulse response 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 Direct form 
 Canonical form 
 Cascade form 
 Difference equation 
 Impulse response 
 Frequency response 
 Block diagram of realization 
Digital Signal Processing 
1. Transfer functions 
4 
 Given a transfer functions H(z) one can obtain: 
 (a) the impulse response h(n) 
 (b) the difference equation satisfied the impulse response 
 (c) the I/O difference equation relating the output y(n) to the input 
x(n). 
 (d) the block diagram realization of the filter 
 (e) the sample-by-sample processing algorithm 
 (f) the pole/zero pattern 
 (g) the frequency response H(w) 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Impulse response 
5 
 Taking the inverse z-transform of H(z) yields the impulse response 
h(n) 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 Example: consider the transfer function 
 To obtain the impulse response, we use partial fraction expansion to 
write 
 Assuming the filter is causal, we find 
Digital Signal Processing 
Difference equation for impulse response 
6 
 The standard approach is to eliminate the denominator polynomial 
of H(z) and then transfer back to the time domain. 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 Example: consider the transfer function 
 Multiplying both sides by denominator, we find 
 Taking inverse z-transform of both sides and using the linearity and 
delay properties, we obtain the difference equation for h(n): 
Digital Signal Processing 
I/O difference equation 
7 
Write then eliminate the denominators and go back 
to the time domain. 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 Example: consider the transfer function 
 We have 
 which can write 
 Taking the inverse z-transforms of both sides, we have 
 Thus, the I/O difference equation is 
Digital Signal Processing 
Block diagram 
8 
One the I/O difference equation is determined, one can mechanize it 
by block diagram 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 Example: consider the transfer function 
 We have the I/O difference equation 
 The direct form realization is given by 
Digital Signal Processing 
Sample processing algorithm 
9 
 From the block diagram, we assign internal state variables to all the 
delays: 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 We define v1(n) to be the content of the x-delay at time n: 
 Similarly, w1(n) is the content of the y-delay at time n: 
Digital Signal Processing 
Frequency response and pole/zero pattern 
10 
 Given H(z) whose ROC contains unit circle, the frequency response 
H(w) can be obtained by replacing z=ejw. 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 Example: 
 Using the identity 
 we obtain an expression for the magnitude response 
 Drawing peaks when 
passing near poles 
 Drawing dips when 
passing near zeros 
Digital Signal Processing 
Example 
11 
 Consider the system which has the I/O equation: 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 a) Determine the transfer function 
 b) Determine the casual impulse response 
 c) Determine the frequency response and plot the magnitude response 
of the filter. 
 d) Plot the block diagram of the system and write the sample 
processing algorithm 
Digital Signal Processing 
2. Digital filter realizations 
12 
 Construction of block diagram of the filter is called a realization of 
the filter. 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 Realization of a filter at a block diagram level is essentially a flow 
graph of the signals in the filter. 
 It includes operations: delays, additions and multiplications of signals 
by a constant coefficients. 
 The block diagram realization of a transfer function is not unique. 
 Note that for implementation of filter we must concerns the 
accuracy of signal values, accuracy of coefficients and accuracy of 
arithmetic operations. We must analyze the effect of such 
imperfections on the performance of the filter. 
Digital Signal Processing 
Direct form realization 
13 
 Use the I/O difference equation 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 The b-multipliers are feeding forward 
 The a-multipliers are feeding backward 
Digital Signal Processing 
Example 
14 
 Consider IIR filter with h(n)=0.5nu(n) 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
a) Draw the direct form realization of this digital filter ? 
b) Given x=[2, 8, 4], find the first 6 samples of the output by using the 
sample processing algorithm ? 
Digital Signal Processing 
Canonical form realization 
15 
 Note that 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 The maximum number of 
 common delays: K=max(L,M) 
)()(
)(
1
)(
)(
1
)()()()( zXzN
zD
zX
zD
zNzXzHzY 
Digital Signal Processing 
Cascade form 
16 
 The cascade realization form of a general functions assumes that the 
transfer functions is the product of such second-order sections 
(SOS): 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
 Each of SOS may be realized in direct or canonical form. 
Digital Signal Processing 
Cascade form 
17 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Review 
18 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 1 
19 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 2 
20 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 3 
21 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 4 
22 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 5 
23 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 6 
24 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 7 
25 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 8 
26 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 9 
27 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 10 
28 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 11 
29 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 12 
30 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 13 
31 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 14 
32 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 15 
33 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 16 
34 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 17 
35 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 18 
36 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 19 
37 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 20 
38 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 21 
39 Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 22 
40 
Cho hệ thống rời rạc LTI có đáp ứng xung h(n) = 0.5n u(n–1). 
1) Viết phương trình sai phân vào-ra và vẽ 1 sơ đồ khối thực hiện hệ 
thống. 
2) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào 
x(n) = δ(n–1). 
3) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào 
x(n) = u(–n–1). 
4) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào 
x(n) = 1. 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 23 
41 
Cho hệ thống LTI nhân quả có hàm truyền H(z)= . 
1) Kiểm tra tính ổn định của hệ thống. 
2) Tìm đáp ứng xung của hệ thống. 
3) Viết phương trình sai phân vào-ra và vẽ 1 sơ đồ khối thực hiện hệ 
thống. 
4) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào 
x(n) = 4δ(n) – δ(n – 2). 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
11
1
5.01
2
5.01 
 zz
z
Digital Signal Processing 
Homework 24 
42 
Cho hệ thống rời rạc LTI nhân quả có phương trình vào-ra y(n) = 
x(n–1) – 0.5y(n–1). 
1) Vẽ 1 sơ đồ khối thực hiện hệ thống. 
2) Tìm đáp ứng xung của hệ thống. 
3) Vẽ phác thảo biên độ đáp ứng tần số và xác định đặc tính tần 
số (thông thấp, thông cao, thông dải hay chắn dải) của hệ 
thống. 
4) Tìm tín hiệu ngõ vào x(n) để tín hiệu ngõ ra y(n) = δ(n–1). 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 25 
43 
Cho hệ thống rời rạc LTI nhân quả có phương trình vào-ra y(n) = 
x(n–1) + 0.5y(n–1) 
1) Vẽ sơ đồ khối thực hiện hệ thống trên với số bộ trễ ít nhất có 
thể. 
2) Tìm đáp ứng xung của hệ thống trên. 
3) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào 
x(n) = 2δ(n–2). 
4) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào 
x(n) = u(–n–1). 
5) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào 
x(n) = 2. 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
Digital Signal Processing 
Homework 26 
44 
Cho hệ thống rời rạc LTI nhân quả có hàm truyền H(z) = . 
1) Vẽ sơ đồ cực-zero và kiểm tra tính ổn định của hệ thống trên. 
2) Viết phương trình sai phân vào-ra và vẽ sơ đồ khối thực hiện hệ thống trên với 
số bộ trễ là ít nhất. 
3) Vẽ phác họa đáp ứng biên độ và chỉ ra đặc tính tần số (thông thấp, thông cao, 
thông dải hay chắn dải) của hệ thống trên. 
4) Xác định biểu thức và chỉ ra đặc tính đáp ứng xung (FIR hay IIR) của hệ thống 
trên. 
5) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = 
2cos( n/2)u(n). 
6) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = u(-n) – 
2δ(n). 
7) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = 2. 
8) Tìm tín hiệu ngõ vào x(n) để tín hiệu ngõ ra y(n) = {2, 0, 2}. 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
2
2
4
1
z
z
Digital Signal Processing 
Homework 27 
45 
Cho hệ thống LTI nhân quả có hàm truyền H(z) = . 
1) Vẽ sơ đồ cực-zero và kiểm tra tính ổn định của hệ thống trên. 
2) Viết phương trình sai phân vào-ra và vẽ sơ đồ khối thực hiện hệ 
thống trên với số bộ trễ là ít nhất. 
3) Vẽ phác họa đáp ứng biên độ và chỉ ra đặc tính tần số (thông thấp, 
thông cao, thông dải hay chắn dải) của hệ thống trên. 
4) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào 
x(n) = 2δ(n – 2). 
5) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào 
x(n) = {2, 1}. 
6) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào 
x(n) = 2. 
Transfer function 
and Digital Filter Realization 
11
1
5.01
2
5.01 
 zz
z
Digital Signal Processing 
Homework 28 
46 
Cho hệ thống tuyến tính bất biến có tín hiệu ngõ ra y(n) = {1, 0, 0, 
0, -1} khi tín hiệu ngõ vào x(n) = {1, 0, 1}. 
1) Viết phương trình sai phân vào-ra của hệ thống trên. 
2) Xác định tín hiệu ngõ ra y(n) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = {1, 0, 
0, 0, -1}. 
3) Xác định tín hiệu ngõ vào x(n) để tín hiệu ngõ ra y(n) = {1, 1}. 
4) Tìm đáp ứng xung nhân quả của hệ thống khôi phục ghép nối 
tiếp ngay sau hệ thống trên để ngõ ra hệ thống khôi phục đúng 
bằng tín hiệu ngõ vào của hệ thống ban đầu. 
Transfer function 
and Digital Filter Realization