Bài giảng Digital signal processing - Chương 2: Tín hiệu và Hệ thống Rời rạc theo Thời gian - Đinh Đức Anh Vũ

BK
TP.HCM
2011
dce
Chương 2
Tín hiệu và Hệ thống Rời Rạc
theo Thời Gian
©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ
2011
dce
2DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Nội dung (1)
• Tín hiệu RRTG
– Các t/h cơ bản
– Phân loại t/h
– Các phép toán cơ bản
• Hệ thống RRTG
– Mô tả theo quan hệ vào-ra
– Mô tả theo sơ đồ khối
– Phân loại h/t RRTG
• Phân tích hệ LTI trong miền thời gian
– Phân giải t/h RRTG theo đáp ứng xung đơn vị
– Tổng chập và các thuộc tính
– Biểu diễn hàm đáp ứng xung đơn vị cho hệ nhân quả, ổn định
– Hệ FIR, IIR
2011
dce
3DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Nội dung (2)
• Phương trình sai phân
– LTI và phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
– Giải PTSPTT HSH
– Đáp ứng xung đơn vị của h/t đệ qui LTI
• Hiện thực hệ RRTG
– Cấu trúc trực tiếp dạng 1
– Cấu trúc trực tiếp dạng 2
• Tương quan giữa các t/h
– Tương quan và tự tương quan
– Thuộc tính của tương quan
– Tương quan của các t/h tuần hoàn
– Giải thuật tính sự tương quan
2011
dce
4DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tín hiệu RRTG (1)
• Giới thiệu
– Ký hiệu: x(n), n: nguyên
– x(n) chỉ được định nghĩa tại
các điểm rời rạc n, không
được định nghĩa tại các điểm
khác (không có nghĩa là x(n) 
bằng 0 tại các điểm đó)
– Thông thường, x(n) = xa(nTs) 
(Ts: chu kỳ mẫu)
– n: chỉ số của mẫu tín hiệu, 
ngay cả khi t/h x(n) không
phải đạt được từ lấy mẫu t/h 
xa(t)
2011
dce
5DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tín hiệu RRTG (2)
• Một số dạng biểu diễn
1) Dạng hàm
2) Dạng bảng
n |-2 -1 0 1 2 3 4 5
x(n) |... 0 0 0 1 4 1 0 0
3) Dạng chuỗi
↑: chỉ vị trí n=0
{,0,0,1,4,1,0,0,} t/h vô hạn
{0,0,1,4,1,0,0} t/h hữu hạn
4) Dạng đồ thị
1, n = 1, 3
4, n = 2
0, n khác
x(n) =
2011
dce
6DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tín hiệu RRTG cơ bản (1)
• T/h mẫu đơn vị
(xung đơn vị)
– Ký hiệu: δ(n)
– Định nghĩa:
δ
=
= 
≠
1 0
( )
0 0
n
n
n
2011
dce
7DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tín hiệu RRTG cơ bản (2)
• T/h bước đơn vị
– Ký hiệu: u(n)
– Định nghĩa:
≥
= 
<
1 0
( )
0 0
n
u n
n
2011
dce
8DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tín hiệu RRTG cơ bản (3)
• T/h dốc đơn vị
– Ký hiệu: ur(n)
– Định nghĩa:
≥
= 
<
0
( )
0 0r
n n
u n
n
2011
dce
9DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• T/h mũ
– Định nghĩa: x(n) = an, ∀n
– Hằng số a
• a: thực → x(n): t/h thực
• a: phức → a ≡ rejθ
→ x(n) = rnejθn
= rn(cosθn + jsinθn)
2 cách biểu diễn
xR(n) = rncosθn
xI(n) = rnsinθn
hoặc
| x(n) | = rn
∠x(n) = θn
Tín hiệu RRTG cơ bản (4)
2011
dce
10DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tín hiệu RRTG cơ bản (5)
T/h mũ x(n)=an (với a=0.9)
giảm dần khi n tăng
T/h mũ x(n)=an (với a=1.5)
tăng dần khi n tăng
2011
dce
11DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tín hiệu RRTG cơ bản (6)
xr(n) = (0.9)ncos(πn/10)xr(n) = (1.5)ncos(πn/10)
2011
dce
12DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• T/h năng lượng và t/h công suất
– Năng lượng của t/h x(n)
• Nếu Ex hữu hạn (0 < Ex < ∞) → x(n): t/h năng lượng
– Công suất TB của t/h x(n)
• Nếu Px hữu hạn (0 < Px < ∞) → x(n): t/h công suất
– Năng lượng t/h trên khoảng [-N,N]
• Năng lượng t/h
• Công suất t/h
2( )xE x n
+∞
−∞
= ∑
21 ( )
2 1lim
N
N n N
P x n
N→∞ =−
=
+ ∑
2( )
N
N
n N
E x n
=−
= ∑
lim N
N
E E
→∞
=
1
2 1lim NNP EN→∞= +
Phân loại tín hiệu RRTG (1)
2011
dce
13DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• T/h tuần hoàn và không tuần hoàn
– x(n) tuần hoàn chu kỳ N ⇔ x(n+N) = x(n), ∀n
– Năng lượng
• Hữu hạn nếu 0 ≤ n ≤ N – 1 và x(n) hữu hạn
• Vô hạn nếu –∞ ≤ n ≤ +∞
– Công suất hữu hạn
⇒ T/h tuần hoàn là t/h công suất
1
2
0
1 ( )
N
n
P x n
N
−
=
= ∑
Phân loại tín hiệu RRTG (2)
2011
dce
14DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• T/h đối xứng (chẵn) và bất đối xứng (lẻ)
– Cho t/h x(n) thực
• x(n) = x(–n), ∀n → t/h chẵn
• x(n) = –x(–n), ∀n → t/h lẻ
– Bất cứ t/h nào cũng được biểu diễn
x(n) = xe(n) + xo(n)
• Thành phần t/h chẵn xe(n) = (½)[x(n) + x(–n)]
• Thành phần t/h lẻ xo(n) = (½)[x(n) – x(–n)]
Phân loại tín hiệu RRTG (3)
2011
dce
15DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Các phép toán cơ bản
– Delay : làm trễ (TD)
– Advance : lấy trước (TA)
– Folding : đảo (FD)
– Addition : cộng
– Multiplication : nhân
– Scaling : co giãn
Phép biến đổi 
biến độc lập (thời gian)
T/h RRTG: Các phép toán cơ bản
2011
dce
16DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Phép làm trễ – Phép lấy trước
• Phép làm trễ: dịch theo thời
gian bằng cách thay thế n bởi
n–k 
– y(n) = x(n–k) ∀k >0
– y(n) là kết quả của làm trễ
x(n) đi k mẫu
– Trên đồ thị: phép delay 
chính là DỊCH PHẢI chuỗi t/h 
đi k mẫu
• Phép lấy trước: dịch theo thời
gian bằng cách thay thế n bởi
n+k
– y(n) = x(n+k) ∀k >0
– y(n) là kết quả của lấy trước
x(n) đi k mẫu
– Trên đồ thị: phép lấy trước
chính là DỊCH TRÁI chuỗi t/h 
đi k mẫu
x(n)
y(n) = x(n–k)
Làm
trễ
Lấy
trước
2011
dce
17DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Phép đảo – Phép co giãn
• Phép đảo: thay thế n bởi –n
– y(n) = x(–n)
– y(n) là kết quả của việc đảo
tín hiệu x(n)
– Trên đồ thị: phép folding 
chính là ĐẢO đồ thị quanh
trục đứng
Chú ý
– FD[TDk[x(n)]] ≠ TDk[FD[x(n)]]
– Phép đảo và làm trễ không
hoán vị được
• Phép co giãn theo thời gian:
thay thế n bởi µn (µ nguyên)
– y(n) = x(μn) μ: nguyên
– y(n) là kết quả của việc co 
giãn t/h x(n) hệ số µ
– Phép tái lấy mẫu nếu t/h x(n) 
có được bằng cách lấy mẫu
xa(t)
y(n) = x(-n)
Đảo Đảo
x(n)
2011
dce
18DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Các phép toán cơ bản
Cho hai t/h x1(n) và x2(n) n: [–∞,+∞]
• Phép cộng
y(n) = x1(n) + x2(n) n: [–∞,+∞]
• Phép nhân
y(n) = x1(n).x2(n) n: [–∞,+∞]
• Phép co giãn biên độ
y(n) = ax1(n) n: [–∞,+∞]
2011
dce
19DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ thống RRTG
• Giới thiệu
– Tín hiệu đã chuyển sang dạng biểu diễn số ⇒ Cần thiết kế
thiết bị, chương trình để xử lý nó
– Hệ thống RRTG = thiết bị, chương trình nói trên
Tín hiệu vào
(Tác động)
x(n)
Tín hiệu ra
(Đáp ứng)
y(n) = T[x(n)]
x(n) y(n)
2011
dce
20DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Chỉ quan tâm mối quan hệ giữa đầu vào – đầu ra
• Không quan tâm đến kiến trúc bên trong của hệ
• Xem hệ như là
y(n) = T[x(n)]
• Ví dụ bộ tích lũy
Nếu n ≥ n0 (chỉ tính đáp ứng từ thời điểm n0), 
→ y(n0) = y(n0 – 1) + x(n0)
y(n0 – 1): điều kiện đầu, bằng tổng các t/h áp lên h/t trước thời điểm n0
Nếu y(n0 – 1) = 0
→ h/t ở trạng thái nghỉ (không có tác động trước n0)
−∞
−
−∞
=
= +
= − +
∑
∑
1
( ) ( )
( ) ( )
( 1) ( )
n
n
y n x k
x k x n
y n x n
H/t RRTG: Mô tả quan hệ vào-ra
2011
dce
21DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ khác
– y(n) = x(n)
– y(n) = x(n–4)
– y(n) = (1/3)(x(n–1) + x(n) +x(n+1))
– y(n) = MAX[x(n–1), x(n), x(n+1)]
xác định đáp ứng của các hệ nêu trên cho t/h x(n) 
như sau
x(n) = 1, n: [–33]
0, n khác
Mô tả quan hệ vào-ra
2011
dce
22DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
– Bộ cộng
– Bộ co-giãn
– Bộ nhân
Dấu * dùng để chỉ một phép toán
khác – tổng chập
+
x1(n)
x2(n)
y(n) =x1(n)+x2(n)
ax(n) y(n) = ax(n)
x
x1(n)
x2(n)
y(n) =x1(n).x2(n)
H/t RRTG: Mô tả sơ đồ khối
• Kết nối các khối phần tử cơ bản
– Bộ trễ đơn vị
– Bộ tiến đơn vị
x(n) y(n) = x(n–1)
Z–1
x(n) y(n) = x(n+1)
Z
2011
dce
23DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ
– Mô tả bằng sơ đồ cấu trúc cho hệ có quan hệ vào ra sau:
y(n) = 2x(n) – 3x(n–1) + 1.5y(n–1) + 2y(n–2)
– Đặc tả điều kiện đầu của hệ: {trị các ô Z–1}
Z–1
Z–1
+
++
Z–1
–3 1.5
2
x(n) y(n)2
Mô tả sơ đồ khối
2011
dce
24DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Một hệ thống được gọi là có tính chất X nếu tính chất X thoả 
mãn cho mọi tín hiệu vào của hệ thống đó
• Hệ động – hệ tĩnh
– Hệ tĩnh 
• Ngõ xuất chỉ phụ thuộc các mẫu ở thời điểm hiện tại (không phụ thuộc 
mẫu tương lai hay quá khứ)
• Không dùng bộ nhớ
– Không xuất hiện các ô Z–1 trong sơ đồ khối
– Không xuất hiện các x(n–k) hay y(n–k) trong quan hệ vào ra
– Hệ động
• Ngõ xuất tại thời điểm n phụ thuộc các mẫu trong [n–N, n] (N ≥ 0)
• Hệ có dùng bộ nhớ
– Có xuất hiện các ô Z–1 trong sơ đồ khối
– Có xuất hiện các x(n–k) hay y(n–k) trong quan hệ vào ra
• N = 0 → h/t tĩnh
• ∞ > N > 0 → h/t có bộ nhớ hữu hạn
• N = ∞ → h/t có bộ nhớ vô hạn
H/t RRTG: Phân loại (1)
2011
dce
25DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: hệ nào tĩnh/động ?
1. y(n) = x(n) – 3x(n–3)
2. y(n) = nx(n) – 9
3. y(n) = 3x(n)
4. y(n) = (n–1)y(n–1) + x(n)
5. y(n) = (n–1)[x(n) + y(n)]
H/t RRTG: Phân loại (2)
2011
dce
26DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Hệ biến thiên và bất biến theo thời gian
– Hệ bất biến theo thời gian
• Đặc trưng vào-ra không thay đổi theo thời gian
• Định lý:
Hệ nghỉ T là bất biến nếu và chỉ nếu 
⇒
– Hệ biến thiên theo thời gian
• Hệ không có tính chất trên
– Ví dụ: xem xét tính bất biến cho các hệ sau
y(n) = T[x(n)] = x(n) – x(n–1)
y(n) = T[x(n)] = nx(n)
y(n) = T[x(n)] = x(–n)
y(n) = T[x(n)] = x(n)cos(ω0n)
( ) ( )Tx n y n→
( ) ( ) ( ),Tx n k y n k x n k− → − ∀ ∀
H/t RRTG: Phân loại (3)
bất biến
biến thiên
biến thiên
biến thiên
2011
dce
27DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Hệ tuyến tính và phi tuyến
– Hệ tuyến tính
• Hệ thoả nguyên lý xếp chồng
• Định lý:
Hệ là tuyến tính nếu và chỉ nếu:
T[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1T[x1(n)] + a2T[x2(n)] ∀ai, ∀xi(n)
• Tính chất co giãn: 
nếu a2 = 0 → T[a1x1(n)] = a1T[x1(n)]
• Tính chất cộng: 
nếu a1 = a2 = 1 → T[x1(n) + x2(n)] = T[x1(n)] + T[x2(n)]
– Hệ phi tuyến
• Hệ không thoả mãn nguyên lý xếp chồng
y(n) = T(0) ≠ 0
H/t RRTG: Phân loại (4)
2011
dce
28DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Hệ tuyến tính và phi tuyến
– Ví dụ: xem xét tính tuyến tính của các hệ sau
y(n) = nx(n)
y(n) = x(n2)
y(n) = x2(n)
y(n) = Ax(n) + B
y(n) = ex(n)
H/t RRTG: Phân loại (5)
tuyến tính
tuyến tính
phi tuyến
phi tuyến
phi tuyến
2011
dce
29DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
H/t RRTG: Phân loại (6)
• Hệ nhân quả và không nhân quả
– Hệ nhân quả
• Hệ chỉ phụ thuộc các mẫu hiện tại và quá khứ, không 
phụ thuộc các mẫu tương lai
• Định lý:
Hệ T được gọi là nhân quả nếu như đáp ứng tại n0 chỉ 
phụ thuộc vào tác động tại các thời điểm trước n0 (ví 
dụ: n0 – 1, n0 – 2, )
y(n) = F[x(n), x(n–1), x(n–2), ]
– Hệ không nhân quả: hệ không thoả định lý trên
2011
dce
30DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
H/t RRTG: Phân loại (7)
• Hệ ổn định và không ổn định
– Hệ ổn định
• Định lý: 
Hệ nghỉ được gọi là BIBO ổn định nếu và chỉ nếu mọi 
ngõ nhập hữu hạn sẽ tạo ra ngõ xuất hữu hạn
∀x(n): │x(n)│ ≤ Mx < ∞ → │y(n)│ = │T[x(n)]│ ≤ My < ∞
2011
dce
31DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bài tập
• Xem xét các tính chất của các hệ thống sau
– Tĩnh – động
– Tuyến tính – không tuyến tính
– Bất biến – biến thiên theo thời gian
– Nhân quả – không nhân quả
– Ổn định – không ổn định
– y(n) = cos[x(n)]
– y(n) = x(–n + 2)
2011
dce
32DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Có thể kết nối các hệ RRTG nhỏ, cơ bản, thành các
hệ thống phức tạp hơn
• Hai cách kết nối
– Nối tiếp
y1(n) = T1[x(n)] y(n) = T2[T1[x(n)]]
y(n) = T2[y1(n)] = Tc[x(n)] với Tc ≡ T2T1
• Thứ tự kết nối là quan trọng T2T1 ≠ T1T2
• Nếu T1, T2 tuyến tính và bất biến theo thời gian
– Tc ≡ T2T1 bất biến theo thời gian
– T1T2 = T2T1
– Song song
y(n) = T1[x(n)] + T2[x(n)]
= (T1+T2)[x(n)]
= Tp[x(n)] với Tp≡T1+T2
T1 T2
y1(n)x(n) y(n)
Tc
T1
T2
+x(n)
y1(n)
y2(n)
y(n)
Tp
H/t RRTG: Kết nối
2011
dce
33DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Kỹ thuật phân tích h/t tuyến tính
– Biểu diễn quan hệ vào/ra bằng phương trình sai phân và giải PT này 
– Phân tích t/h nhập thành tổng các t/h cơ sở sao cho đáp ứng của h/t 
đối với các t/h cơ sở là xác định trước. 
• Nhờ tính chất tuyến tính của h/t, đáp ứng của h/t đối với t/h nhập đơn giản bằng 
tổng các đáp ứng của h/t với các t/h cơ sở
• Phân giải t/h nhập
giả sử yk(n) = T[xk(n)] 
( )
( ) [ ( )]
[ ( )]
)
[ ]
(
( )
k k
k
k
k k
k
k
k
y n T x n
T c x n
c T x n
y n c y n
=
=
=
⇒ =
∑
∑
∑
( ) ( )k k
k
x n c x n= ∑
Phân tích h/t tuyến tính LTI
2011
dce
34DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Phân giải t/h nhập ra đáp ứng xung đơn vị
– Chọn các t/h thành phần cơ sở xk(n) = δ(n–k)
– Ta có x(n)δ(n–k) = x(k)δ(n–k) ∀k
– Biểu thức phân tích t/h x(n)
– Ví dụ: x(n) = {2 4 3^ 1}
thì x(n) = 2δ(n+2) + 4δ(n+1) + 3δ(n) + δ(n–1)
• Đáp ứng của h/t LTI với t/h nhập bất kỳ: tổng chập (convolution sum)
– Đáp ứng y(n, k) của h/t với xung đơn vị tại n=k được biểu diễn bằng h(n, k)
y(n, k) ≡ h(n, k) = T[δ(n–k)] –∞ < k < ∞
• n: chỉ số thời gian
• k: tham số chỉ vị trí xung đơn vị
– Nếu t/h nhập được co giãn hệ số ck ≡ x(k), đáp ứng của h/t cũng co giãn
ckh(n, k) = x(k)h(n, k)
( ) ( ) ( )
k
x n x k n kδ
∞
=−∞
= −∑
H/t LTI – Phân giải t/h nhập
2011
dce
35DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
– Biểu thức trên đúng với mọi h/t tuyến tính nghỉ (bất biến hoặc biến
thiên)
– Đối với hệ LTI, nếu h(n) = T[δ(n)] thì h(n–k) = T[δ(n–k)]
⇒
– H/t LTI được đặc trưng hoàn toàn bằng hàm h(n)
LTI
x(n) y(n)
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
∞
=−∞
= −∑
( ) [ ( )]
[ ( ) ( )]
( ) [ ( )]
( ) ( , )
k
k
k
y n T x n
T x k n k
x k T n k
x k h n k
δ
δ
∞
=−∞
∞
=−∞
∞
=−∞
=
= −
= −
=
∑
∑
∑
H/t LTI – Tổng chập (1)
2011
dce
36DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Cách tính ngõ xuất của h/t tại một thời điểm n0
1. Đảo: h(k) → h(–k): đối xứng h(k) quanh trục k=0
2. Dịch: h(–k) → h(–k + n0) : dịch h(–k) đi một đoạn 
n0 sang phải (trái) nếu n0 dương (âm)
3. Nhân: vn0(k) = x(k) h(–k + n0)
4. Cộng: tổng tất cả chuỗi vn0(k)
0 0( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
∞
=−∞
= −∑
H/t LTI – Tổng chập (2)
2011
dce
37DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Trong biểu thức tổng chập, nếu thay m=n–k (tức 
k=n–m), ta có
– Công thức này cho cùng kế ... 
• Khác nhau cơ bản giữa h/t đệ qui và h/t không đệ qui
• Ý nghĩa
– H/t đệ qui phải tính các giá trị ngõ xuất ở quá khứ trước
– H/t không đệ qui có thể xác định giá trị ngõ xuất ở thời điểm bất kỳ mà 
không cần tính giá trị ngõ xuất ở quá khứ
– Hệ đệ qui: hệ tuần tự
– Hệ không đệ qui: hệ tổ hợp
H/t RRTG – Không Đệ qui
F[x(n), x(n–1), , x(n–M)]
x(n) y(n) F[x(n), x(n–1), , x(n–M), 
y(n–1), y(n–2), , y(n–N)]
x(n) y(n)
Z-1
2011
dce
48DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tập con của h/t đệ qui và không đệ qui
• Ví dụ h/t đệ qui được mô tả bởi PTSP bậc 1: y(n) = ay(n–1) + x(n)
– Phương trình xuất nhập cho hệ LTI
– Tác động vào h/t t/h x(n) ∀n ≥ 0 và giả sử tồn tại y(–1)
y(0) = ay(–1) + x(0)
y(1) = ay(0) + x(1) = a2y(–1) + ax(0) + x(1)
y(n) = ay(n–1) + x(n) = an+1y(–1) + anx(0) + an-1x(1) +  + ax(n–1) + x(n)
Hoặc 
– Nếu h/t nghỉ tại n=0, bộ nhớ của nó bằng 0, do đó y(–1) = 0
• Bộ nhớ biểu diễn trạng thái h/t → h/t ở trạng thái 0 (đáp ứng trạng thái 0 hoặc đáp 
ứng cưỡng bức – yzs(n))
• Đây là tích chập của x(n) và h(n) = anu(n)
• Đáp ứng trạng thái 0 phụ thuộc bản chất h/t và t/h nhập
1
0
( ) ( 1) ( ) 0+
=
= − + − ∀ ≥∑
n
n k
k
y n a y a x n k n
0
( ) ( )
=
= −∑
n
k
zs
k
y n a x n k
H/t LTI RRTG – PT sai phân hệ số hằng
2011
dce
49DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Nếu h/t không nghỉ [tức y(–1) ≠ 0] và x(n) = 0 ∀n: hệ thống 
không có t/h nhập
– Đáp ứng không ngõ nhập (hay đáp ứng tự nhiên) yzi(n)
– H/t đệ qui với điều kiện đầu khác không là hệ không nghỉ, tức nó vẫn 
tạo ra đáp ứng ngõ ra ngay cả khi không có t/h nhập (đáp ứng này do 
bộ nhớ của h/t) 
– Đáp ứng không ngõ nhập đặc trưng cho chính h/t: nó phụ thuộc bản 
chất h/t và điều kiện đầu
• Tổng quát
• Dạng tổng quát của PTSPTT HSH
– N: bậc của PTSP
1( ) ( 1)+= −nziy n a y
1 0
0
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 1)
= =
= =
= − − + −
− = − ≡
∑ ∑
∑ ∑
N M
k k
k k
N M
k k
k k
y n a y n k b x n k
hoac
a y n k b x n k a
( ) ( ) ( )= +zi zsy n y n y n
H/t LTI RRTG – PT sai phân hệ số hằng
2011
dce
50DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Xem lại các t/chất tuyến tính, bất biến thời gian và ổn định 
của h/t đệ qui được mô tả bằng PTSP TT HSH
– Hệ đệ qui có thể nghỉ hay không tùy vào điều kiện đầu
• Tuyến tính 
– Hệ là tuyến tính nếu nó thỏa
1. Đáp ứng toàn phần bằng tổng đáp ứng trạng thái không và đáp ứng không 
ngõ nhập y(n) = yzs(n) + yzi(n)
2. Nguyên tắc xếp chồng áp dụng cho đáp ứng trạng thái không (tuyến tính 
trạng thái không)
3. Nguyên tắc xếp chồng áp dụng cho đáp ứng không ngõ nhập (tuyến tính 
không ngõ nhập)
– Hệ không thoả một trong 3 đ/k trên là hệ phi tuyến
– Hệ đệ qui được mô tả bằng PTSP HSH thỏa cả 3 đ/k trên → tuyến tính
H/t LTI RRTG – PT sai phân hệ số hằng
2011
dce
51DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: xét tính chất tuyến tính của hệ y(n) = ay(n–1) + x(n)
– Đ/k 1.
– Đ/k 2. 
• Giả sử x(n) = c1x1(n) + c2x2(n)
– Đ/k 3.
• Giả sử y(–1) = c1y1(–1) + c2y2(–1)
– Vậy y(n) tuyến tính
0
1
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( 1) 0
=
+

= − ∀ ≥ ⇒ = +
= − ∀ ≥ 
∑
n
k
zs
k zs zi
n
zi
y n a x n k n
y n y n y n
y n a y n
1 1 2 2
0 0
1 1 2 2
0 0
(1) (2)
1 2
( ) ( ) [ ( ) ( )]
( ) ( )
( ) ( )
= =
= =
= − = − + −
= − + −
= +
∑ ∑
∑ ∑
n n
k k
zs
k k
n n
k k
k k
zs zs
y n a x n k a c x n k c x n k
c a x n k c a x n k
c y n c y n
1 1
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
(1) (2)
1 2
( ) ( 1) [ ( 1) ( 1)]
( 1) ( 1)
( ) ( )
+ +
+ +
= − = − + −
= − + −
= +
n n
zi
n n
zi zi
y n a y a c y c y
c a y c a y
c y n c y n
Z–1
+
a
x(n) y(n)
H/t LTI RRTG – PT sai phân hệ số hằng
2011
dce
52DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Bất biến thời gian
– ak và bk là hằng số → PTSP HSH là bất biến theo thời gian
– H/t đệ qui được mô tả bằng PTSP HSH là LTI
• Ổn định
– H/t BIBO ổn định nếu và chỉ nếu với mọi ngõ nhập hữu hạn và mọi điều kiện đầu hữu 
hạn, đáp ứng của toàn h/t là hữu hạn
– Ví dụ: xác định giá trị a để h/t y(n) = ay(n–1) + x(n) ổn định
• Giả sử │x(n)│≤ Mx < ∞ ∀n ≥ 0
• n hữu hạn ⇒ My hữu hạn và y(n) hữu hạn độc lập với giá trị a
• Khi n→∞, My hữu hạn chỉ nếu │a│< 1 ⇒ My = Mx/(1 – │a│)
• Vậy h/t chỉ ổn định nếu │a│< 1
1 1
0 0
1
1
1
( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
( 1)
1
( 1)
1
+ +
= =
+
+
+
= − + − ≤ − + −
≤ − +
−
≤ − + ≡
−
∑ ∑
∑
n n
n k n k
k k
n k
x
n
n
x y
y n a y a x n k a y a x n k
a y M a
a
a y M M
a
H/t LTI RRTG – PT sai phân hệ số hằng
2011
dce
53DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Xác định biểu thức chính xác của y(n) khi biết x(n) 
(n≥0) và tập các đ/k đầu
• 2 phương pháp
– Gián tiếp: biến đổi Z
– Trực tiếp
• Phương pháp trực tiếp
– Đáp ứng toàn phần y(n) = yh(n) + yp(n)
• yh(n): đáp ứng thuần nhất, không phụ thuộc x(n) (x(n) = 0)
• yp(n): đáp ứng riêng phần, phụ thuộc x(n)
Giải PT sai phân tuyến tính hệ số hằng
2011
dce
54DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Giả sử x(n) = 0
• Cách giải PTSP TT HSH tương tự cách giải PT vi phân TT HSH
– Giả sử đáp ứng có dạng yh(n) = λn
⇒
hoặc
Biểu thức trong ngoặc đơn: đa thức đặc trưng của h/t
– PT này có N nghiệm λ1, λ2, , λN
– Dạng tổng quát nhất của nghiệm PTSP thuần nhất (giả sử các nghiệm 
đơn riêng biệt)
Ci có thể được xác định nhờ vào các đ/k đầu của h/t
– Nếu λ1 là nghiệm bội bậc m, 
– PT này có thể được dùng để xác định đáp ứng không ngõ nhập của h/t 
(bởi vì x(n) = 0)
0
( ) 0
=
− =∑
N
k
k
a y n k
( )
0
0λ −
=
=∑
N
n k
k
k
a
1 2
1 2 1( ) 0λ λ λ λ λ
− − −
−+ + + + + =
n N N N N
N Na a a a
1 1 2 2( ) λ λ λ= + + +
n n n
h N Ny n C C C
2 1
1 1 2 1 3 1 1 1 1( ) λ λ λ λ λ λ
−
+ += + + + + + + + 
n n n m n n n
h m m m N Ny n C C n C n C n C C
PTSP thuần nhất
Đáp ứng thuần nhất (1)
2011
dce
55DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ y(n) + a1y(n–1) = x(n)
– Cho x(n) = 0 và giả sử yh(n) = λn
⇒ λn +a1λn–1 = 0
⇒ λn–1(λ+a1) = 0
⇒ λ = –a1
– Đáp ứng đồng dạng yh(n) = Cλn = C(–a1)n
– Mặt khác,
Do đó
• Ví dụ khác 
y(n) – 2y(n–1) – 3y(n–2) = x(n) + 2x(n–1)
1
1
(0) ( 1)
( 1)
(0)
= − −
⇒ = − −
=h
y a y
C a y
y C
1
1( ) ( ) ( 1) 0
+= − − ∀ ≥nziy n a y n
Đáp ứng thuần nhất (2)
2011
dce
56DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Đáp ứng riêng phần yp(n) thoả mãn PT
• Ví dụ y(n) + a1y(n–1) = x(n) (│a1│< 1)
xác định yp(n) khi x(n) = u(n)
– Đáp ứng riêng phần có dạng yp(n) = Ku(n)
K: hệ số co giãn
⇒ Ku(n) + a1Ku(n–1) = u(n)
– Khi n ≥ 1, ta có K + a1K = 1 ⇒ K = 1/(1+a1)
– Đáp ứng riêng phần
• Dạng tổng quát của đáp ứng 
riêng phần
• Ví dụ khác 
y(n) = 5/6y(n–1) – 1/6y(n–2) + x(n)
Với x(n) = 2nu(n)
0
0 0
( ) ( ) 1
= =
− = − ≡∑ ∑
N M
k p k
k k
a y n k b x n k a
1
1( ) ( )
1
=
+p
y n u n
a
x(n) yp(n)
A K
AMn KMn
AnM K0nM + K1nM-1 +  + KM
AnnM An(K0nM + K1nM-1 +  + KM)
Acosω0n K1cosω0n + K2sinω0nAsinω0n
Đáp ứng riêng phần
2011
dce
57DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: xác định đáp ứng toàn phần của PTSP y(n) + a1y(n–1) = x(n)
với x(n) = u(n) và y(–1) là đ/k đầu
– Theo trên, ta có
– Muốn xác định đáp ứng trạng thái không, ta cho y(–1) = 0
Vậy
– Nếu tìm C dưới đ/k y(–1) ≠ 0, đáp ứng toàn phần sẽ bao gồm đáp ứng trạng thái
không và đáp ứng không ngõ nhập
1
1
1
1
(0) ( 1) 1
1(0) 1
1
+ − = 
 ⇒ == + ++ 
y a y
aC
y C a
a
1
1
1
1 ( )( ) 0
1
+− −
= ≥
+
n
zs
ay n n
a
1
1
1
1
( ) ( )
1( ) ( ) 01( ) 1
1
 = −
 ⇒ = − + ≥ = + +
n
h
n
p
y n C a
y n C a n
y n a
a
1
1
1
1
1
(0) ( 1) 1
( 1)1(0) 1
1
+ − = 
 ⇒ = − − += + ++ 
y a y
aC a y
y C a
a
1
1 1
1
1
1 ( )( ) ( ) ( 1) 0
1
( ) ( )
+
+ − −= − − + ≥
+
= +
n
n
zi zs
ay n a y n
a
y n y n
Đáp ứng toàn phần
2011
dce
58DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ngoài ra, có thể xác định đáp ứng riêng phần từ đáp 
ứng trạng thái không
– yp(n) ≠ 0 khi n→∞: đáp ứng trạng thái đều
– yp(n) = 0 khi n→∞: đáp ứng tiệm cận
• Bài tập: xác định đáp ứng y(n), n≥0, của hệ thống 
y(n) – 2y(n–1) – 3y(n–2) = x(n) + 2x(n–1) đối với ngõ 
nhập x(n) = 4nu(n)
1
1( ) lim ( )
1→∞
= =
+p zsn
y n y n
a
Giải PT sai phân tuyến tính hệ số hằng
2011
dce
59DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• x(n) = δ(n) ⇒
• yp(n) = 0 vì x(n) = 0 khi n > 0 ⇒ h(n) = yh(n)
• Bất kỳ h/t đệ qui nào được mô tả bằng PTSP TT HSH đều là IIR
• Đáp ứng thuần nhất
{Ci} được xác định nhờ đ/k đầu y(-1) = y(-2) =  = y(-N) = 0
• Tính ổn định
– Đ/k cần và đủ cho sự ổn định của một h/t nhân quả IIR được mô tả bởi PTSP TT HSH là tất cả các
nghiệm của đa thức đặc trưng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn đơn vị
– CM
Ngược lại nếu │ λ│≥ 1, h(n) không còn khả tổng, tức h/t không ổn định
0
0
( ) ( ) ( ) ( 0 )
( ) ( )
( )
δ
=
=
= − ≥
= −
=
∑
∑
n
zs
k
n
k
y n h k x n k n
h k n k
h n
1
( ) ( ) λ
=
≡ =∑
N
n
h k k
k
y n h n C
0 0 1 1 0
( ) λ λ
∞ ∞ ∞
= = = = =
= ≤∑ ∑∑ ∑ ∑
N N
n n
k k k k
n n k k n
h n C C
0 0
1 ( )λ λ
∞ ∞
= =
< ∀ ⇒ < ∞ ⇒ < ∞∑ ∑nk k
n n
Nêu k h n
Đáp ứng xung của h/t đệ qui LTI
2011
dce
60DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc
• Ví dụ: Xét hệ bậc 1
y(n) = –a1y(n–1) + b0x(n) + b1x(n–1)
Sơ đồ cấu trúc Z-1Z–1
b1 -a1
x(n) y(n)b0
H1
v(n)
+ +
Z–1
b1
x(n) y(n)b0 +
Z-1
-a1
+
H2
b1
x(n) y(n)b0 +
Z-1
-a1
+
H3
w(n)
H1
H2
H3
Cấu trúc trực tiếp dạng 1
Cấu trúc trực tiếp dạng 2
(dạng chuẩn tắc)
Hoán vị hai hệ con
Gộp hai ô nhớ
0 1
1
( ) ( ) ( 1)
( ) ( 1) ( )
= + −
 = − − +
v n b x n b x n
y n a y n v n
1
0 1
( ) ( 1) ( )
( ) ( ) ( 1)
= − − +
 = + −
w n a w n x n
y n b w n b w n
2011
dce
61DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc
Hoán vị Gộp ô nhớ
Ô nhớ: M+N Ô nhớ: Max(M,N)
Dạng I Dạng II
+x(n) y(n)
Z-1
Z-1
Z-1
–a1
+
b0
b1
b2–a2
bM
+
+
+
+
–aN Z-1
+
–aN–1
+
1 0
( ) ( ) ( )
N M
k k
k k
y n a y n k b x n k
= =
= − − + −∑ ∑
Z-1
Z-1
+
Z-1
b1
–a1
–a2
x(n) y(n)b0
Z-1
b2
Z-1
bM
Z-1
+
+
–aN
+
bM–1
+
+
+
+
–aN–1
2011
dce
62DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Khi ak = 0 ⇒
hệ FIR không đệ qui với 
• Hệ bậc 2: y(n) = –a1y(n–1) – a2y(n–2) + b0x(n) + b1x(n–1) + b2x(n–2)
0
( ) ( )
=
= −∑
M
k
k
y n b x n k
0
( )
0
≤ ≤
= 

kb k Mh n
k khác
+x(n)
y(n)
Z-1
Z-1
–a1
+
b0
b1
b2–a2
++
+
x(n)
y(n)
Z-1 Z-1
b1 b2b0
+
+x(n)
y(n)
Z-1 Z-1
–a2–a1
+
b0
a1=a2=0: hệ FIR
b1=b2=0: hệ đệ qui thuần
Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc
2011
dce
63DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Hiện thực không đệ qui
– Đáp ứng xung h(k) = bk (0 ≤ k ≤ M)
– Ví dụ
0
( ) ( )
=
= −∑
M
k
k
y n b x n k
0
1( ) ( )
1 =
= −
+ ∑
M
k
y n x n k
M
1( ) 0
1
= ≤ ≤
+
h n n M
M
Z–1
+
Z–1 Z–1 Z–1
+ +
x(n)
y(n)
M+1
1
Hiện thực hệ FIR – bất đệ qui
2011
dce
64DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Hiện thực đệ qui
– Bất kỳ h/t FIR nào cũng được thực hiện theo kiểu đệ qui
– Ví dụ
0
0
1( ) ( )
1
1 1( 1 ) [ ( ) ( 1 )]
1 1
1( 1) [ ( ) ( 1 )]
1
=
=
= −
+
= − − + − − −
+ +
= − + − − −
+
∑
∑
M
k
M
k
y n x n k
M
x n k x n x n M
M M
y n x n x n M
M
Z–1
+
x(n)
M+1
1
Z–1Z–1
Z–1
+
y(n)
x(n–1–M)
–
+
Hiện thực hệ FIR – đệ qui
2011
dce
65DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ứng dụng
– Đo lường sự giống nhau giữa các tín hiệu
– Trong các lĩnh vực: truyền tín hiệu, radar, sonar, 
• Định nghĩa
T/h phát x(n)
T/h nhận y(n) = αx(n–D) +w(n)
α : hệ số suy giảm t/h
D : thời gian trễ truyền
w(n) : nhiễu đường truyền ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+∞
=−∞
+∞
=−∞
= −
= +
∑
∑
xy
n
xy
n
r l x n y n l
r l x n l y n
y(n) so với x(n)
x(n) so với y(n)
Tương quan
chéo
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+∞
=−∞
+∞
=−∞
= −
= +
∑
∑
yx
n
yx
n
r l y n x n l
r l y n l x n
Tương quan giữa các t/h RRTG
2011
dce
66DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tương quan – Giải thuật
• Các bước để tính sự tương quan giữa y(n) so với x(n)
1. Dịch: để có y(n–l), dịch y(n) sang 
+ phải nếu l dương
+ trái nếu l âm
2. Nhân: vl(n) = x(n)y(n–l)
3. Cộng: tổng các vl(n)
• Nhận xét
– rxy(l) = ryx(–l)
ryx(l) là đảo của rxy(l) qua trục l = 0
– So với tính tích chập, phép tính tương quan không phải thực hiện 
phép đảo
• Có thể dùng giải thuật tính tích chập để tính tương quan và ngược lại
rxy(l) = x(l)*y(–l)
2011
dce
67DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: Tìm rxy(l), ryx(l) ?
x(n) = { 0 1 3 1^ 0 }
y(n) = { 0 1^ 3 1 0 }
rxy(l) = { 0 1 6 11 6 1^ 0 }
Max: rxy(–2) = 11
 y(n) giống với x(n) nhất khi y(n) dịch trái 2 mẫu
ryx(l) = { 0 1^ 6 11 6 1 0 }
Max: ryx(2) = 11
 x(n) giống với y(n) nhất khi x(n) dịch phải 2 mẫu
Tương quan – Ví dụ
2011
dce
68DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tự tương quan
• Tương quan của chuỗi nhân quả độ dài N [i.e x(n)=y(n)=0 khi 
n<0 và n≥N]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+∞
=−∞
+∞
=−∞
= −
= +
= −
∑
∑
xx
n
xx
n
xx xx
r l x n x n l
r l x n l x n
r l r l
Tự tương quan
1
1
( ) ( ) ( )
, 0 0
0, 0
( ) ( ) ( )
N k
xy
n i
N k
xx
n i
r l x n y n l
i l k l
i k l l
r l x n x n l
− −
=
− −
=
= −
= = ≥
 = = <
= −
∑
∑
Với
2011
dce
69DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tính chất của sự tương quan giữa các t/h năng lượng
– Năng lượng của t/h chính là sự tự tương quan tại l = 0
– Trung bình nhân của năng lượng là giá trị lớn nhất của chuỗi tương 
quan
– Chuỗi tương quan chuẩn hóa không phụ thuộc vào sự co giãn của t/h 
(│ρxy(l)│≤ 1 và │ρxx(l)│≤ 1)
Tương quan – Tính chất (1)
2(0) ( )
+∞
=−∞
= =∑xx x
n
r x n E
( )
( ) (0)
≤
≤ ≡
xy x y
xx x xx
r l E E
r l E r
( )
( ) xyxy
x y
r l
l
E E
ρ =
( )( ) xxxx
x
r ll
E
ρ =
2011
dce
70DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tương quan của t/h tuần hoàn
– Cho x(n) và y(n) là 2 t/h công suất
– Nếu x(n) và y(n) tuần hoàn chu kỳ N
• rxy(l) và rxx(l) tuần hoàn chu kỳ N
• T/c này được dùng để xác định chu kỳ của t/h (SV đọc thêm)
1( ) lim ( ) ( )
2 1
1( ) lim ( ) ( )
2 1
→∞
=−
→∞
=−
= −
+
= −
+
∑
∑
M
xy M n M
M
xx M n M
r l x n y n l
M
r l x n x n l
M
1
0
1
0
1( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( )
−
=
−
=
= −
= −
∑
∑
N
xy
n
N
xx
n
r l x n y n l
N
r l x n x n l
N
Tương quan – Tính chất (2)