Bài giảng Digital signal processing - Chương 4: Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số - Đinh Đức Anh Vũ

BK
TP.HCM
2011
dce
Chương 4
Tín hiệu và hệ thống
trong miền tần số
©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ 
2011
dce
2DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Nội dung
• Phân tích tần số của t/h LTTG
• Phân tích tần số của t/h RRTG
• Các tính chất của BĐ Fourier cho các t/h RRTG
• Đặc trưng miền tần số của hệ LTI
• Bộ lựa chọn tần số
2011
dce
3DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tại sao miền tần số ?
F Công cụ phân tích tần số
- Chuỗi Fourier – tín hiệu tuần hoàn
- Biến đổi Fourier – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn
(J.B.J. Fourier: 1768 - 1830)
F
Tín hiệu
t/h hình SIN: F0
t/h hình SIN: F1
Tần số
t/h hình SIN: F2
F
Tín hiệu X F-1 Tín hiệu X
F-1 Công cụ tổng hợp tần số
- Chuỗi Fourier ngược – tín hiệu tuần hoàn
- Biến đổi Fourier ngược – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn
2011
dce
4DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Đáp ứng của hệ LTI với t/h sin
Biên độ: Co/giãn lượng α
Pha: Lệch lượng θ
Tần số: Không đổi ω0
T/h hình Sin
njAe 0ω
T/h hình Sin
)( 0 θωα +njeA
2011
dce
5DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Phân tích h/t ở miền tần số
FTín hiệu t/h hình SIN: F0
t/h hình SIN: F1
t/h hình SIN: F2
Tần số
Phổ
Phổ (spectrum): Nội dung tần số của tín hiệu
Phân tích phổ: Xác định phổ của t/h dựa vào công cụ toán học
Ước lượng phổ: Xác định phổ của t/h dựa trên phép đo t/h
F-1 x(t)
x1(t): F0
x0(t): 0
x-1(t):-F0
Tần số
Phổ
Tổng hợp tần số: Xác định t/h ban đầu từ các phổ tần số
2011
dce
6DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Chuỗi Fourier
– x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản Tp = 1/F0 (F0: tần số)
– Đặt
• xk(t) tuần hoàn với chu kỳ Tk=Tp/k (kF0: tần số)
• Đóng góp cho x(t) một lượng ck (Tần số kF0 có đóng góp một lượng ck)
– Hệ số chuỗi Fourier
T/h LTTG và tuần hoàn (1)
∑
+∞
−∞=
=
k
tkFj
kectx 0
2)( π
∫ −=
pT
tkFj
p
k dtetxT
c 02)(1 π
Phương trình tổng hợp
Phương trình phân tích
tkFj
kk ectx 0
2)( π=
∑
+∞
−∞=
=
k
k txtx )()(
kj
kk ecc
θ=
Đóng góp về biên độ Đóng góp về pha
2011
dce
7DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Đ/k Dirichlet: bảo đảm chuỗi Fourier hội tụ về x(t) ∀t
– x(t) có số hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ
– x(t) có số hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ
– x(t) khả tích phân tuyệt đối trong một chu kỳ, tức
• Đ/k Dirichlet chỉ là đ/k đủ
– T/h biểu diễn bằng chuỗi Fourier chưa chắc thỏa đ/k Dirichlet
• Nếu x(t) là t/h thực
– ck và c-k liên hợp phức ( )
– Biểu diễn rút gọn của chuỗi F
– Do cos(2πkF0t + θk) = cos2πkF0t cosθk – sin2πkF0t sinθk
⇒ Cách biểu diễn khác của chuỗi F
Với a0 = c0
ak = │ck│cosθk
bk = │ck│sinθk
∞<∫
pT
dttx )(
∑
∞
=
++=
1
00 )2cos(2)(
k
kk tkFcctx θπ
kj
kk ecc
θ=
∑
∞
=
−+=
1
000 )2sin2cos(2)(
k
kk tkFbtkFaatx ππ
T/h LTTG và tuần hoàn (2)
2011
dce
8DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ 1: Phân tích tín hiệu sau ra các thành phần tần số
x(t) = 3Cos(100πt – π/3)
T/h LTTG và tuần hoàn (3)
)100(
2
3)100(
2
3
)100(
2
3)100(
2
3
33
33)(
tjjtjj
tjtj
eeee
eetx
ππ
ππ
ππ
ππ
−−
−−−
+=
+=




=
=
⇒
−
−
j
j
ec
ec
3
3
2
3
1
2
3
1
π
π
Đồng nhất với PT tổng hợp F
Tín hiệu miền thời gian
Phổ tần số
50Hz đóng góp c1
-50Hz đóng góp c-1
2011
dce
9DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h LTTG và tuần hoàn (4)
F
Tín hiệu
Tần số
50Hz (c1) 
- 50Hz (c-1)
Phổ pha
Phổ biên độ
k
-1 0 1
|Ck|
3/2
k
-1
1
|θk|
π/3
-π/3
0
2011
dce
10DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h LTTG và tuần hoàn (5)
• Ví dụ 2: Cho biết t/h x(t) tuần hoàn, tần số cơ bản: 100Hz, 
gồm các tần số và hệ số đóng góp của chúng như sau
100 Hz, đóng góp: 2
-100 Hz, đóng góp: 2
200 Hz, đóng góp: 5
-200Hz, đóng góp: 5
Xác định công thức của x(t)
)400cos(10)200cos(4
5522)( 2002200210021002
tt
eeeetx tjtjtjtj
ππ
ππππ
+=
+++= −−Theo PT tổng hợp:
F-1
x(t)
100Hz : 2
-100Hz : 2
-200Hz : 5
200Hz : 5
2011
dce
11DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h LTTG và tuần hoàn (6)
• Công suất trung bình
– Do đó
• Phổ mật độ công suất
– Công suất trung bình tổng cộng bằng tổng 
các công suất trung bình của các t/h hài tần
– Giản đồ công suất theo tần số
– Phổ vạch: các vạch cách đều đoạn F0
– Hàm chẵn (do c-k = c*k đ/v t/h thực)
∫∫ ==
pp TpTp
x dttxtxT
dttx
T
P )()(1|)(|1 *2
[ ]∑ ∫
∫ ∑
∞+
−∞=
−
+∞
−∞=
−








=






=
k T
tFj
p
k
T k
tFj
k
p
x
p
p
dtetx
T
c
dtectx
T
P
0
0
2*
2*
)(1
)(1
π
π
∑
+∞
−∞=
−=
k
tkFj
kectx 0
2** )( π
∑∫
+∞
−∞=
==
k
k
Tp
x cdttxT
P
p
22 ||)(1 Công thức quan hệ Parseval
2011
dce
12DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h LTTG và tuần hoàn (7)
• Ví dụ 1: tính công suất trung bình của x(t) = 3Cos(100πt – π/3)
– Theo VD trên, và
– Theo Parseval, Px = │c–1│2 + │c1│2 = 4.5
• Ví dụ 2: cho x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ Tp. Phân tích x(t) ra các
thành phần tần số
jj ecec 33 231231
ππ
== −
−



>
≤
=
2/||,0
2/||,
)(
τ
τ
t
tA
tx
Miền thời gian
x(t)
t
-Tp Tp-τ/2 τ/20
A
Miền tần số
pp
T
Tp T
AAdt
T
dttx
T
c
p
p
ττ
τ
∫∫
−−
===
2/
2/
2/
2/
0
1)(1
τπ
τπτ
π
π
τπτπ
τ
τ
πτ
τ
π
0
0
0
2/
2/0
22/
2/
2
sin
2
2
1
00
0
0
kF
kF
T
A
j
ee
kFT
A
kFj
e
T
AdtAe
T
c
p
kFjkFj
p
tkFj
p
tkFj
p
k
=
−
=






−
==
−
−
−
−
−∫
2011
dce
13DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h LTTG và tuần hoàn (8)
Minh họa ck ở miền tần số τπ
τπτ
0
0sin
kF
kF
T
Ac
p
k =
2011
dce
14DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h LTTG và tuần hoàn (9)
Tổng hợp x(t) từ các thành phần hình Sin
Thông số:
Tp = 50s
τ = 0.2Tp
A = 1
Tổng hợp từ 
21 thành phần
2011
dce
15DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h LTTG và tuần hoàn (10)
Tổng hợp từ 
101 thành phần
Tổng hợp từ 
2001 thành phần
2011
dce
16DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h LTTG và không tuần hoàn (1)
• T/h tuần hoàn xp(t)
– Có được do lặp lại t/h x(t)
– Tuần hoàn chu kỳ cơ bản Tp
– Có phổ vạch: khoảng cách vạch F0=1/Tp
• T/h không tuần hoàn x(t)
– Có thể coi như xp(t) khi Tp → ∞
– Khoảng cách vạch F0 = 1/Tp → 0
⇒ Phổ của tín hiệu không tuần hoàn là phổ liên tục
2011
dce
17DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Biến đổi Fourier
– x(t): LTTG, không tuần hoàn
• Hệ số Fourier
– Đ/k Dirichlet
• x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn hữu hạn
• x(t) có hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu
• x(t) khả tích phân tuyệt đối, nghĩa là
∫
+∞
∞−
−= dtetxFX Ftj π2)()(
∫
+∞
∞−
= dFeFXtx Ftj π2)()(
Phương trình phân tích
(biến đổi Fourier thuận)
Phương trình tổng hợp
(biến đổi Fourier ngược)
)()(1 000 kFXFkFXT
c
p
k ==
∞<∫
+∞
∞−
dttx )(
T/h LTTG và không tuần hoàn (2)
2011
dce
18DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h LTTG và không tuần hoàn (3)



>
≤
=
2/||,0
2/||,
)(
τ
τ
t
tA
tx
τπ
τπτ
π
F
FA
dtAeFX Ftj
sin
)( 2
=
= ∫
+∞
∞−
−
x(t)
t-τ/2 τ/20
A
Miền thời gian Miền tần số
F
• Ví dụ: cho x(t) không tuần hoàn. Phân tích x(t) ra các thành 
phần tần số
2011
dce
19DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h LTTG và không tuần hoàn (4)
F
x(t)
Tần số
Phổ
Thông số:
A = 1
τ = 10s
Phân tích x(t) thành các thành phần tần số
2011
dce
20DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Năng lượng
Do đó
– Bảo toàn năng lượng trong miền thời gian và miền tần số
– Phổ mật độ năng lượng Sxx(F) = |X(F)|2
• Không chứa phổ pha → không được dùng để khôi phục lại x(t)
– Nếu x(t) là t/h thực
∫
∫∫
∞+
∞−
−
+∞
∞−
+∞
∞−
=
==
dFeFXtx
dttxtxdttxE
Ftj
x
π2**
*2
)()(
)()(|)(|
∫ ∫
∫ ∫
∞+
∞−
∞+
∞−
−
+∞
∞−
+∞
∞−
−






=






=
dtetxdFFX
dtdFeFXtxE
Ftj
Ftj
x
π
π
2*
2*
)()(
)()(
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
== dFFXdttxEx
22 )()( Công thức quan hệ Parseval
)()(
)()(
)()(
FSFS
FXFX
FXFX
xxxx −=



−∠=−∠
=−
T/h LTTG và không tuần hoàn (5)
2011
dce
21DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
F/F-1
F/F-1
T/h LTTG và không tuần hoàn (6)
2011
dce
22DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• x(n) là t/h tuần hoàn chu kỳ N x(n+N) = x(n) ∀n
• Chuỗi Fourier cho t/h RRTG có tối đa N thành phần tần số (do tầm tần số
[0, 2π] hoặc [-π, π])
• Chuỗi Fourier rời rạc (DTFS)
• Hệ số Fourier
– Mô tả x(n) trong miền tần số (ck biểu diễn biên độ và pha của thành phần tần
số sk(n) = ej2πkn/N)
– ck+N = ck⇒ Phổ của t/h tuần hoàn x(n) với chu kỳ N là một chuỗi tuần hoàn
cũng với chu kỳ N
∑
−
=
=
1
0
2)(
N
k
nj
k
N
k
ecnx π
∑
−
=
−=
1
0
2)(1
N
n
nj
k
N
k
enx
N
c π
Phương trình tổng hợp
Phương trình phân tích
T/h RRTG và tuần hoàn (1)
2011
dce
23DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: Xác định và vẽ phổ cho các t/h sau
T/h RRTG và tuần hoàn (2)
}1201{:1,:)(.
)cos(3)(.
)2cos(3)(.
3
↑
=
=
kychuhoantuannxc
nnxb
nnxa
π
π
2/1,2 00 == ftucπω
)2cos(3)(. nnxa π=
f0 : không hữu tỉ
→ x(n) không tuần hoàn
→ Phổ gồm chỉ một tần số đơn: f0Phổ
Tần số
πω 20 =
3
2011
dce
24DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h RRTG và tuần hoàn (3)
)cos(3)(. 3 nnxb π=
x(n) = 3cos(2πn/6) ⇒ f0 = 1/6 ⇒ N = 6
⇒ x(n) tuần hoàn chu kỳ N=6
Tuy nhiên
So trùng với phương trình tổng hợp
Các hệ số đóng góp 5..0)(6
1 5
0
2 6 == ∑
=
− kenxc
n
nj
k
kπ
njnj ee
nnx
6
1
6
1 22
2
3
2
3
)
6
12cos(3)(
ππ
π
−+=
=
2
3
51
4320 0
==
====
cc
cccc
2011
dce
25DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h RRTG và tuần hoàn (4)
Tín hiệu trong miền thời gian: (3 chu kỳ)
Tín hiệu trong miền tần số
)cos(3)(. 3 nnxb π=
2011
dce
26DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h RRTG và tuần hoàn (5)
)21(
4
1
3..0)(
4
1
2
3
4
3
0
2
kjkj
n
nj
k
ee
kenxC
k
ππ
π
−−
=
−
++=
== ∑
4
5
4
3
4
2
4
1
4
1
3
2
1
4
1
2
4
2
4
1
4
1
1
4
1
0
)21(
)121(
)21(
1)121(
π
π
jj
jj
ejC
C
ejC
C
==−−=
=−+=
==+−=
=++=
−−
−
}1201{:1,:)(.
↑
kychuhoantuannxc
2011
dce
27DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h RRTG và tuần hoàn (6)
• Công suất trung bình
– Do đó
– Chuỗi │ck│2: phổ mật độ công suất của t/h tuần hoàn
• Năng lượng t/h trong một chu kỳ
∑
∑∑
−
=
−
−
=
−
=
=
==
1
0
/2**
1
0
*
1
0
2
)(
)()(1)(1
N
k
Nknj
k
N
n
N
n
x
ecnx
nxnx
N
nx
N
P
π
∑∑
−
=
−
=
==
1
0
2
1
0
2)(1
N
k
k
N
n
x cnxN
P
∑ ∑
∑ ∑
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−






=






=
1
0
1
0
2
*
1
0
1
0
2
*
)(1
)(1
N
k
N
n
N
knj
k
N
n
N
k
N
knj
kx
enx
N
c
ecnx
N
P
π
π
Công thức quan hệ Parseval
∑∑
−
=
−
=
==
1
0
2
1
0
2)(
N
k
k
N
n
N cNnxE
2011
dce
28DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Nếu x(n) thực [x*(n) = x(n)], ⇒ ck* = c-k
– Tức
– Ngoài ra, từ cN+k = ck, ta cũng có
– Đ/v t/h thực, phổ ck (k=0,1,,N/2 khi N chẵn hoặc k=0,1,,(N-1)/2 khi N lẻ) 
hoàn toàn có thể đặc tả cho t/h trong miền tần số
– Khi đó, chuỗi Fourier có thể được rút gọn



∠=∠−
=
−
−
lexungdoiphaPhocc
chanxungdoidobienPhocc
kk
kk



−∠=∠
=
−
−
kNk
kNk
cc
cc
∑
∑
=
=





 −+=
++=
L
k
kk
L
k
kk
kn
N
bkn
N
aa
kn
N
ccnx
1
0
1
0
2sin2cos
)2cos(2)(
ππ
θπ












=
=
=
=
− leN
chanN
L
cb
ca
ca
N
N
kkk
kkk
:
:
sin2
cos2
2
1
2
00
θ
θ
Với
T/h RRTG và tuần hoàn (7)
2011
dce
29DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h RRTG và tuần hoàn (8)
M
iền thời gian
M
iền tần số





















±±=
= −
−
khack
N
k
N
kL
e
N
A
NNk
N
AL
c
N
Lkjk
π
π
π
sin
sin
,2,,0
)1(

** *** *
* * * *
** *** *
* * * *
** *** *
A
x(n)
n0 L N-N
2011
dce
30DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Chỉ xét t/h năng lượng x(n) 
• Biến đổi Fourier
– X(ω): nội dung tần số của t/h
– Khác biệt cơ bản giữa BĐ Fourier của t/h năng lượng RRTG và t/h 
năng lượng LTTG
• Tầm tần số
– T/h LTTG: -∞ → +∞
– T/h RRTG: 0 → 2π hoặc –π → π [X(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π]
• Cách tính: dùng tích phân thay vì dùng tổng
• Hệ số Fourier
T/h RRTG và không tuần hoàn (1)
∑
∞
−∞=
−=
n
njenxX ωω )()(
∫=
π
ω ωω
π 2
)(
2
1)( deXnx nj
Phương trình phân tích
Phương trình tổng hợp
2011
dce
31DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: xác định nội dung tần số của tín hiệu sau
x(n) = { 0 1 1 1^ 1 1 0 }
T/h RRTG và không tuần hoàn (2)
)2cos(2cos21)(
1)( 22
ωωω
ω ωωωω
++=
++++= −−
X
eeeeX jjjj
Chú ý: X(ω) tuần hoàn
Chu kỳ: 2π
2011
dce
32DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h RRTG và không tuần hoàn (3)
F
x(n)
Tần số
2011
dce
33DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: cho X(ω), tìm t/h trong miền thời gian
T/h RRTG và không tuần hoàn (4)
∫
∫
−
−
=
=
c
c
de
deXnx
nj
nj
ω
ω
ω
ω
π
π
ω
π
ωω
π
2
1
)(
2
1)(
X(ω)
ω
-ωc ωc0
1






≠
=
=
0sin
0
)(
n
n
n
n
nx
c
cc
c
ω
ω
π
ω
π
ω
2011
dce
34DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Sự hội tụ của BĐ Fourier
– Trong BĐ Fourier ngược (PT phân tích), chuỗi XN(ω) được giả thiết hội tụ về 
X(ω) khi N→∞
– Ý nghĩa: giá trị sai số X(ω) – XN(ω) sẽ bằng 0 khi N→∞
– XN(ω) hội tụ nếu x(n) khả tổng tuyệt đối
• Đ/k đủ để tồn tại BĐ Fourier RRTG
• Tương đương đ/k Dirichlet thứ 3 cho BĐ Fourier của t/h LTTG (đ/k 1 và 2 không có
do bản chất của t/h RRTG)
– Nếu x(n) khả tổng bình phương tuyệt đối (i.e. x(n) có năng lượng hữu hạn)
• Đ/k hội tụ được giảm nhẹ
• Năng lượng của sai số X(ω) – XN(ω) sẽ tiến về 0, nhưng không nhất thiết giá trị sai 
số tiến về 0
– T/h năng lượng có BĐ Fourier
T/h RRTG và không tuần hoàn (5)
∑
−=
−=
N
Nn
nj
N enxX
ωω )()(
0)()(lim =−
∞→
ωω NN XX
∞<≤= ∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−
nn
nj nxenxX )()()( ωω
0)()(lim 2 =−∫
−
∞→
π
π
ωωω dXX NN
2011
dce
35DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Năng lượng
– Do đó
– X(ω) là số phức
• Phổ biên độ
• Phổ pha
• Phổ mật độ năng lượng
T/h RRT ... 
nHA
nynyny
2011
dce
60DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Ví dụ: cho hệ LTI nhân quả, điều kiện đầu bằng 0
T/h nhập x(n) = 3cos(πn/3). Tìm y(n)
ωω je
H −−
=
2
11
3)( 6
3
32
1
3)(
2
13
π
π
π j
j
e
e
H −
−
=
−
=
)cos(36)( 63 ππ −= nny
Z-1
+
1/2
x(n) y(n)3
2011
dce
61DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Đáp ứng cho t/h tuần hoàn
– Đáp ứng của t/h tuần hoàn cũng là t/h tuần hoàn chu kỳ N
• Đáp ứng cho t/h không tuần hoàn
Hệ LTI trong miền tần số
∑
−
=
=
1
0
2 2)()(
N
k
nj
N
k
k
N
k
eHcny
π
πH(ω)
h(n)
H(ω)
F
x(n)
X(ω) Y(ω)
y(n)
F F
y(n) = x(n)*h(n)
Y(ω) = X(ω)H(ω)
Y(ω0) = X(ω0)H(ω0) = │H(ω0)│ejΘ(ω0)X(ω0)
 Thành phần tần số (ω0) khi đi qua hệ thì: 
- Biên độ: co/giãn │H(ω0)│
- Pha: lệch pha Θ(ω0)
∑
−
=
=
1
0
2
)(
N
k
nj
k
N
k
ecnx
π
2011
dce
62DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Quan hệ giữa hàm hệ thống và hàm đáp ứng tần số
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
1
0
1
)(
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
kj
k
M
k
kj
k
ea
eb
H
1
0
1
)(
ω
ω
ω
∑
∞
−∞=
−
=
==
n
nj
ez
enhzHH j ωωω )()()(
∏
∏
=
=−
−
−
= N
k
k
M
k
k
MN
pz
zz
zbzH
1
1
0
)(
)(
)(
∏
∏
=
=−
−
−
= N
k
k
j
M
k
k
j
MNj
pe
ze
ebH
1
1)(
0
)(
)(
)(
ω
ω
ωω
Hệ ổn định
)()/1( *** ωHzH =
)()/1( 1** −= zHzH
)()(* ωω −= HH
)()()()()()()( 1*2 −=−== zHzHHHHHH ωωωωω
2011
dce
63DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Tính hàm đáp ứng tần số H(ω)
– Biểu diễn dưới dạng cực
– Do đó, có thể tính được H(ω) nếu biết được zero và pole 
của hàm hệ thống
– Ý nghĩa ?




=−
=−
Φ
Θ
)(
)(
)(
)(
ωω
ωω
ω
ω
k
k
j
kk
j
j
kk
j
eUpe
eVze
∏
∏
=
=−
−
−
= N
k
k
j
M
k
k
j
MNj
pe
ze
ebH
1
1)(
0
)(
)(
)(
ω
ω
ωω






Φ−Θ+−+∠=∠
=
∑∑
==
N
k
k
M
k
k
N
M
MNbH
UUU
VVVbH
11
0
21
21
0
)()()()(
)()...()(
)()...()()(
ωωωω
ωωω
ωωωω
2011
dce
64DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tính hàm đáp ứng tần số H(ω)
– Cho zero zk và pole pk
– Xác định H(ω) tại ω (điểm L)
– Việc tính H(ω) tương đương việc 
tính H(z) tại điểm L trên vòng tròn đơn vị
– Sự hiện diện của zero gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại 
những điểm trên vòng tròn gần điểm đó nhỏ
– Ngược lại, sự hiện diện của pole gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng 
tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó lớn
x
pk
C 0
A
Bzk
L
ejω hoặc 
│z│= 1
Φk(ω)
Θk(ω)
Im(z)
Re(z)
Vk
Uk
Hệ LTI trong miền tần số
CL = CA + AL AL = CL – CA
CL = CB + BL BL = CL – CB
pk = CA
zk = CB
ejω = CL
)(
)(
)(
)(
ωω
ωω
ω
ω
k
k
j
kk
j
j
kk
j
eVzeBL
eUpeAL
Θ
Φ
=−=
=−=
2011
dce
65DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Ví dụ: xác định đáp ứng tần số của h/t được mô tả bằng hàm h/t
– Zero tại z = 0
– Pole tại z = 0.8
8.08.01
1)( 1 −
=
−
= − z
z
z
zH
8.0
)(
−
= ω
ω
ω j
j
e
eH
ω
ω
ω
ω
cos6.164.1
1
8.0
)(
−
=
−
=
j
j
e
e
H
8.0cos
sintan)( 1
−
−= −
ω
ωωωθ
2011
dce
66DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Hàm tương quan vào-ra và phổ
)(*)()( mrmrmr xxhhyy =
)(*)()( mrmhmr xxyx =
)()()()()()( 1 zSzHzHzSzSzS xxxxhhyy
−==
)()()( zSzHzS xxyx =
)()()( 2 ωωω xxyy SHS =
2)()()()()( ωωωωω XHSHS xxyx ==
z=ejω
Phổ mật độ năng lượng chéo
Phổ mật độ năng lượng 
∫∫
−−
===
π
π
π
π
ωωω
π
ωω
π
dSHdSrE xxyyyyy )()(2
1)(
2
1)0( 2Năng lượng tổng
Nếu t/h nhập có phổ phẳng
Sxx(ω) = Ex = const khi –π ≤ ω ≤ π
xyx EHS )()( ωω = )(
1)( ωω yx
x
S
E
H =
)(1)( mr
E
nh yx
x
=Dùng trong việc xác định h(n) của hệ lạ: 
tác động vào h/t t/h có phổ phẳng
2011
dce
67DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
Lowpass
filter
Highpass
filter
Bandpass
filter
Bandstop
filter
All-pass
filter
Filter
• Bộ lọc
– Thiết bị dùng để xử lý tùy theo đặc tính của t/h tác động vào h/t
– Ví dụ: bộ lọc không khí, bộ lọc dầu, bộ lọc tia cực tím
• Hệ LTI
– Y(ω) = H(ω)X(ω)
– Thay đổi phổ t/h nhập tùy theo đặc trưng của đáp ứng tần số H(ω)
– Hệ LTI được xem là bộ lọc tần số: H(ω) đóng vai trò hàm tác động hoặc hàm 
chỉnh phổ
– Có tác dụng
• Loại bỏ nhiễu trên t/h
• Tinh chỉnh hình dạng phổ của t/h
• Phân tích phổ t/h
• Phát hiện t/h trong Radar, Sonar, 
• Phân loại bộ lọc
2011
dce
68DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
ω
|H(ω)|
–π π–ωc ωc
1
Highpass
ω
|H(ω)|
–π π–ωc ωc
1
Lowpass
ω
|H(ω)|
–π π–ω0 ω0
1
Bandpass
ω
|H(ω)|
–π π–ω0 ω0
1
Bandstop
2011
dce
69DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc lý tưởng
– Đặc trưng của H(ω) lý tưởng
• Biên độ = hằng số A, trong vùng tần số được qua
= 0, trong vùng tần số không được qua
• Pha tuyến tính ( = -aω, a: hằng số)
– Minh họa
• T/h x(n) với các thành phần t/s trong khoảng [ω1, ω2]
• Hàm đáp ứng tần số
• Phổ t/h tại ngõ xuất
• T/h ngõ xuất y(n) = Cx(n-n0)
• x(n) khi qua bộ lọc lý tưởng 
– bị delay: τg(ω) = -dΘ(ω)/dω = n0 (tất cả các thành phần t/s đều bị trễ như
nhau)
– bị co giãn biên độ
– Trong thực tế không hiện thực được tình trạng lý tưởng, mà chỉ là xấp 
xỉ của nó


 <<
=
−
otherwise
Ce
H
nj
0
)( 21
0 ωωω
ω
ω
)()()()()( 210 ωωωωωωω
ω <<== − XCeXHY nj
2011
dce
70DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Thiết kế bộ lọc bằng sơ đồ zero-pole
– Bộ lọc số đơn giản nhưng quan trọng
– Nguyên lý: đặt các pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị tương ứng với 
các tần số cần nhấn mạnh (có góc pha bằng tần số được cho qua bộ lọc) và 
đặt các zero gần các điểm tương ứng với các tần số không muốn
– Ràng buộc
• Pole bên trong vòng tròn đơn vị (để hệ ổn định). Zero có thể nằm bất kỳ ở đâu trên 
mpz
• Các zero/pole phức phải theo từng cặp liên hợp (để hệ số của bộ lọc là số thực)
• Chọn b0 thích hợp để chuẩn hoá đáp ứng tại tần số được cho qua bộ lọc (để 
│H(ω0)│ = 1, ω0 là tần số trong bandpass của bộ lọc)
∏
∏
∑
∑
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−
=
+
= N
k
k
M
k
k
N
k
k
k
M
k
k
k
zp
zz
b
za
zb
zH
1
1
1
1
0
1
0
)1(
)1(
1
)(
G ≡ b0: độ lợi
2011
dce
71DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc thông thấp (lowpass)
– Đặt pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị có tần số thấp (ω = 0)
– Đặt zero gần hoặc tại các điểm trên vòng tròn đơn vị có tần số cao (ω = π)
• Bộ lọc thông cao (highpass)
– Tương tự như bộ lọc thông thấp, bằng cách lấy đối xứng các zero/pole qua trục ảo của 
mpz
– Trong biểu thức hàm h/t, thay z bởi –z
2011
dce
72DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Ví dụ 1: bộ lọc thông thấp 
(lowpass) một pole
– Hàm hệ thống
– Độ lợi G được chọn (1–a) để
biên độ H(z) bằng đơn vị khi 
ω = 0
– Việc thêm zero = –1 sẽ làm 
suy giảm đáp ứng của bộ lọc
ở tần số cao
– Do đó
– │H2(ω)│giảm bằng 0 khi ω = 
π
11 1
1)( −−
−
=
az
azH
1
1
2 1
1
2
1)( −
−
−
+−
=
az
zazH
a = 0.9
2011
dce
73DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc thông cao 
(highpass)
– Có thể đạt được từ 
bộ lọc lowpass bằng 
cách thay z bởi –z
1
1
1
1
2
1)( −
−
−
+−
=
az
zazHlp
1
1
1
1
2
1)( −
−
+
−−
=
az
zazHhp
z = –z
a = 0.9
2011
dce
74DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Ví dụ 2: thiết kế bộ lọc lowpass, thoả:
– Một điểm pole: p
– Một zero tại: 0
– Đáp ứng năng lượng tại tần số đỉnh cho qua (ω=0) bằng 1
– Đáp ứng năng lượng tại tần số ω=π/2 là 0.5
11
1)( −−
=
−
=
pz
G
pz
zGzH
pe
eGH j
j
−
= ω
ω
ω)(
2
2
2
cos21
1
)1)(1(
1)(
pp
G
pepe
GS jjxx
+−
=
−−
= −
ω
ω ωω







=
+
=
=
+−
=
2
1
1
)(
1
21
)0(
2
2
2
2
2
p
GS
pp
GS
xx
xx
π




−±=
−=
)32(2
32
G
p 32+=p(bỏ qua vì hệ không ổn định)
z=ejω
2011
dce
75DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
2)32(cos)32(21
)32(2)(
−+−−
−
=
ω
ωxxS 11
)( −−
=
pz
Gzh
z–1p
x(n) y(n)G
+
2011
dce
76DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ 3: xác định các tham số của bộ lọc trong hình 
1 để thoả yêu cầu phổ mật độ năng lượng trong 
hình 2
2a
x(n) y(n)G
–a2
+
+
z–1
+
z–1
Hệ LTI và bộ lọc
(Hình 1) (Hình 2)
2011
dce
77DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc bandpass
– Nguyên tắc: được thực hiện tương tự lowpass và highpass
– Có một hoặc nhiều cặp pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị, trong vùng 
lân cận dải tần số cho phép
– Ví dụ 4: thiết kế bộ lọc bandpass thoả:
• Tâm của passband = π/2. Đáp ứng tần số tại tâm đó = 1
• Đáp ứng tần số = 0 tại các tần số: 0, π
• Đáp ứng biên độ = tại các tần số: 4π/9
z-1
z-1
z-1
B D
E
x(n) y(n)A
z-1
C
+ +
+ +
2
1
22
2 1
))((
)1)(1()(
rz
zG
jrzjrz
zzGzH
+
−
=
+−
+−
=



±=
=
⇒




=
=
7.0
15.0
)(
1)(
2
1
9
4
2
r
G
H
H
π
π
2
2
7.01
115.0)( −
−
+
−
=
z
zzH
12,1
2,1
2
±=
= ±
zZero
repPole j
π
2011
dce
78DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
2
2
7.01
115.0)( −
−
+
−
=
z
zzH
2011
dce
79DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Biến đổi đơn giản từ bộ lọc lowpass sang bộ lọc highpass
– Tạo bộ lọc highpass bằng cách dịch Hlp(ω) một đoạn π (nghĩa là thay 
thế ω bởi ω – π
Hhp(ω) = Hlp(ω – π)
– Trong miền thời gian
hhp(n) = (ejπ)nhlp(n) = (-1)nhlp(n)
∑∑
==
−+−−=
M
k
k
N
k
k knxbknyany
01
)()()( ∑∑
==
−−+−−−=
M
k
k
k
N
k
k
k knxbknyany
01
)()1()()1()(
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
kj
k
M
k
kj
k
lp
ea
eb
H
1
0
1
)(
ω
ω
ω
∑
∑
=
−
=
−
−+
−
= N
k
kj
k
k
M
k
kj
k
k
hp
ea
eb
H
1
0
)1(1
)1(
)(
ω
ω
ω
2011
dce
80DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ cộng hưởng số
– Bộ lọc bandpass 2 pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị
– Vị trí góc của pole xác định tần số cộng hưỏng
– Chọn pole liên hợp phức p1,2 = re±jω0 (0 < r < 1)
– Có thể chọn thêm tối đa 2 zero
• Hoặc zero tại gốc tọa độ
• Hoặc zero tại ±1
• Cho phép loại bỏ các đáp ứng của bộ lọc tại ω = 0 hoặc ω = π
– Giả sử zero được chọn tại gốc
• Do |H(ω)| có đỉnh tại (hoặc gần) ω = ω0, nên
)1)(1(
)( 11
0
00 −−− −−
=
zrezre
bzH jj ωω
1
)1)(1(
)(
0000
0
0 =−−
= −−− ωωωωω jjjj ereere
bH
0
2
0 2cos21)1( ωrrrb −+−=
2011
dce
81DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Phổ biên độ và phổ pha trong trường hợp ω0 = 1
• SV khảo sát trường hợp 
zero được chọn tại ±1 và so 
sánh phổ biên độ và phổ pha 
với trường hợp zero tại 0
ω0
–ω0
r
r
p1 = rej
p2 = re–j
2011
dce
82DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc khe V (notch)
– Chứa một hoặc nhiều khe sâu, có 
đáp ứng tần số bằng 0
– Đặt một cặp zero liên hợp phức 
trên vòng tròn đơn vị, tại góc ω0, 
tức
– Hàm h/t
– Nhược điểm
• Khe có độ rộng khá lớn
• Thành phần tần số xung quanh 
ω0 bị suy hao
• P/p khắc phục: ad-hoc (nhiều p/p 
khác được trình bày ở chương 8)
0
2,1
ωjez ±=
)cos21(
)1)(1()(
21
00
11
0
00
−−
−−−
+−=
−−=
zzb
zezebzH jj
ω
ωω
ω0 = π/4
2011
dce
83DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• P/p khắc phục bộ lọc notch
– Đặt cặp pole liên hợp phức tại ω0
để cộng hưởng trong vùng lân cận 
ω0
– Hàm h/t
– Nhược điểm:
• Ngoài việc giảm băng thông của 
khe, pole cũng tạo ra các lăn tăn 
(ripple) trong bandpass của bộ lọc 
(do việc cộng hưởng)
• Khắc phục ripple bằng cách thêm 
zero và/hoặc pole → thử và sai
0
2,1
ωjrep ±=
221
0
21
0
0 cos21
cos21)( −−
−−
+−
+−
=
zrzr
zzbzH
ω
ω ω0 = π/4
2011
dce
84DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc răng lược (comb)
– Là bộ lọc notch với các khe xuất hiện tuần hoàn
– Hàm h/t
– Thay z bằng zL (L>0)
– Đáp ứng tần số HL(ω) chính là việc lặp bậc L của đáp ứng tần số H(ω) trong
khoảng [0, 2π]
• Nếu H(ω) có một phổ không tại tần số ω0 nào đó, HL(ω) sẽ có các phổ không răng
lược tại ωk = ω0+2πk/L (k=0, 1, 2, , L-1)
∑
=
−=
M
k
kzkhzH
0
)()( ∑
=
−=
M
k
jkekhH
0
)()( ωω
∑
=
−=
M
k
kL
L zkhzH
0
)()( )()()(
0
ωω ω LHekhH
M
k
jkL
L ==∑
=
−z=ejω
z=ejω
H4(ω)
ω
ππ/2 3π/2 2π
H(ω)
2π
ω
-2π
2011
dce
85DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
M=10 & L=3M=10
Hệ LTI và bộ lọc
• Ví dụ: bộ lọc trung bình ∑
=
−
+
=
M
k
knx
M
ny
0
)(
1
1)(
1
)1(
0 1
1
1
1
1
1)( −
+−
=
−
−
−
+
=
+
= ∑ z
z
M
z
M
zH
MM
k
k
2
2
12/
sin
)(sin
1
)(
ω
ω ω
ω
+−
+
=
MMj
M
eH
Mkez Mkjk ,...,3,2,1
)1/(2 == +π )1/(2 += Mkk πω
L
ML
L z
z
M
zH −
+−
−
−
+
=
1
1
1
1)(
)1(
2
2
12/
sin
)(sin
1
)(
ω
ω ω
ω
L
MLMj
L
L
M
eH
+−
+
=
z-1 z-1 z-1 z-1z-1z-1 z-1 z-1 z-1
+ ++
h(0)
x(n)
h(1) h(2) h(3)
y(n)
L=3 & M=3
z=ejω
2011
dce
86DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc Allpass
– |H(ω)| = 1 (0 ≤ ω ≤ π)
– Loại đơn giản nhất: H(z) = z–k
– Loại khác
• Nếu z0 là pole của H(z), thì 1/z0 là zero của H(z)
realaa
za
za
zH kN
k
k
k
N
k
kN
k
,1)( 0
0
0 ≡=
∑
∑
=
−
=
+−
1)( 0
0
≡=∑
=
− azazA
N
k
k
k )(
)()(
1
zA
zAzzH N
−
−=
0 a 1 a-1 0
(r–1,–ω0)
(r–1,ω0)
(r,–ω0)
(r,ω0)
–ω0
ω0
2011
dce
87DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
1
1
1 1
)( −
−
+
+
=
az
zazH 221
0
21
0
2
2 cos21
cos2)( −−
−−
+−
++
=
zrzr
zzrrzH
ω
ω
θ1(ω)
θ2(ω)
a = 0.6
r = 0.9
ω0 = π/4
2011
dce
88DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ dao động sin số
– Bộ cộng hưởng 2 pole, trong đó các pole nằm trên vòng tròn đơn vị
– Pole và đáp ứng xung đơn vị
– Nếu pole nằm trên vòng tròn đơn vị: r = 1 và b0 = Asinω0



=
−=
++
= −− 2
2
01
2
2
1
1
0
cos2
1
)(
ra
ra
zaza
bzH
ω
0
2,1
ωjrep ±= )()1sin(
sin
)( 0
0
0 nunrbnh
n
ω
ω
+=
)()1sin()( 0 nunAnh ω+=
+
+
z-1
z-1
x(n)=(Asinω0)δ(n)
–a2
–a1
y(n)=Asin(n+1)ω0
a1= –2cosω0
a2= 1
y(n) = –a1y(n–1) – a2y(n–2) + b0δ(n)