Bài giảng Digital signal processing - Chương 7: Hiện thực các hệ thống RRTG - Đinh Đức Anh Vũ

BK
TP.HCM
2011
dce
Chương 7
Hiện thực các hệ thống RRTG
©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ 
2011
dce
2DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Nội dung
• Cấu trúc hiện thực cho hệ FIR
– Cấu trúc trực tiếp
– Cấu trúc cascade
– Cấu trúc lấy mẫu tần số
– Cấu trúc lattice
• Cấu trúc hiện thực cho hệ IIR
– Cấu trúc trực tiếp
– Cấu trúc hoán vị
– Cấu trúc cascade
– Cấu trúc song song
– Cấu trúc lattice và lattice-lader
• Không gian trạng thái
– Mô tả không gian trạng thái bằng PTSP
– Giải PT không gian trạng thái
– Mô tả vào-ra và mô tả không gian trạng thái
– Không gian trạng thái trong miền Z
• Lượng tử hóa các hệ số của bộ lọc
– Phân tích độ nhạy của việc lượng tử hóa các hệ số
– Lượng tử hóa các hệ số của bộ lọc FIR
2011
dce
3DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Cấu trúc hiện thực cho hệ FIR
• Các dạng mô tả h/t
– PTSP
– Sơ đồ khối (cấu trúc tính toán)
– Sơ đồ các điểm cực/điểm không
• Hiện thực ⇔ sắp xếp lại PTSP
• Sự cần thiết của việc sắp xếp lại các PT
– Độ phức tạp tính toán
– Bộ nhớ
– Sai số tính toán
– Cấu trúc hiện thực: song song/pipeline
• Hệ FIR
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
1
0
1
)(


 −≤≤
=
otherwise
Mnb
nh n
0
10
)( ∑
−
=
−=
1
0
)(
M
k
k
k zbzH
ak = 0
ak = 0
∑∑
−
=
−
=
−=−=
1
0
1
0
)()()()(
M
k
k
M
k
knxbknxkhny
∑∑
==
−+−−=
M
k
k
N
k
k knxbknyany
00
)()()(
2011
dce
4DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc trực tiếp (1)
• Tham số đặc trưng cho bộ lọc: giá trị của đáp ứng xung
• Bộ nhớ: M – 1 (ô nhớ)
• Độ phức tạp (cho 1 mẫu của y(n))
– Nhân: M
– Cộng: M – 1
• Để 1 mẫu của x(n) đi qua khỏi hệ FIR
– Phải đi qua (M – 1) ô nhớ
– Cần thời gian: (M – 1)Ts (s), Ts: chu kỳ mẫu
Z–1 Z–1 Z–1 Z–1
+ + ++
x(n)
h(0) h(1) h(2) h(3) h(M–2) h(M–1)
y(n)
+
Transversal filter
Tapped-delay-line filter
∑∑
−
=
−
=
−=−=
1
0
1
0
)()()()(
M
k
k
M
k
knxbknxkhny
2011
dce
5DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc trực tiếp (2)
• Khi h(n) đối xứng: h(n) = ± h(M–1–n) → FIR là tuyến tính pha
• Sắp xếp lại (với M lẻ)
• Số phép nhân
– M chẵn: M/2
– M lẻ: (M – 1)/2
x(n)
h(0) h(1) h([M–3]/2)
Z–1
h(2) h([M–1]/2)y(n)
Z–1 Z–1 Z–1 Z–1
+
+
Z–1Z–1 Z–1 Z–1
+++
+ ++
2011
dce
6DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc Cascade (1)
∑
−
=
−=
1
0
)()(
M
k
kzkhzH
KkzbzbbzHđótrong
zHzH
kkkk
K
k
k
,,2,1)(
)()(
2
2
1
10
1
=++=
=
−−
=
∏
K = [(M+1)/2] = (M+1) DIV 2
Hk(z) : bộ lọc bậc 2
Hk(z) = bk0z-2(z-z1)(z-z2)
z1, z2: hai điểm zero
Thường chọn z1 và z2 là hai số liên hợp 
phức để các hệ số bộ lọc là số thực
Z–1 Z–1
+ +
bk0 bk1 bk2
xk(n)
yk(n)
Phân tích 
thừa số
Mỗi hệ: Hk(z)
k=1,2,,K
2011
dce
7DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc Cascade (2)
 Tích các Hk(z) tương đương cấu trúc cascade 
 Khi h(n) thực và đối xứng: h(n) = ± h(M–1–n) → FIR là tuyến tính pha
 Các điểm zero của H(z) cũng có dạng đối xứng
H1(z) H2(z) HK(z)
x(n) y(n)
x2(n)x1(n) xk(n)
Nếu có hai zero zk và z*k [đ/k để h(n) thực]
thì cũng có 1/zk và 1/z*k
Với 4 điểm zero đó, gộp hai hệ bậc 2 nối tiếp 
thành hệ bậc 4
ck1 và ck2 là hàm của zk
4
0
3
1
2
2
1
10
11*111*1
0 ))(1)(1)(1)(1()(
−−−−
−−−−−−
++++=
−−−−=
zczczczcc
zzzzzzzzczH
kkkkk
kkkkkk
x(n)
ck0 ck1
y(n)
Z–1 Z–1
Z–1 Z–1
+ +
++
ck2
Giảm 50% số phép nhân
(giảm từ 6 xuống 3)
2011
dce
8DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc lấy mẫu tần số (1)
• Tham số đặc trưng cho bộ lọc: giá trị của đáp ứng tần số
h(n)
F
H(ω)
H(k+α)
Lấy mẫu tại
2
1
2
2
1
2
( )
: 0,1, ,
: 0,1, , 1
0 |
k M
M
M
k
M le k
M chan k
πω α
α
−
= +
 =

= −
 =






−=
=+=+ ∑
−
=
+−
1,,1,0
)())(()(
1
0
)(2 2
Mk
enhkHkH
M
n
nkj
M
M

απ
π
αα
α = 0
H(k) là DFT M điểm của h(n)
α = 0
h(n) là IDFT M điểm của H(k)
1,,1,0)()(
1
0
−== ∑
−
=
− MkenhH
M
n
nj ωω
Mẫu tần số của H(ω)




−=
+= ∑
−
=
+
1,,1,0
)(1)(
1
0
)(2
Mn
ekH
M
nh
M
k
nkj M

απα
2011
dce
9DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc lấy mẫu tần số (2)
∑ ∑∑ ∑
∑
−
=
−
=
−+
−
=
−
−
=
+
−
=
−






+=





+=
=
1
0
1
0
1)(1
1
0
1
0
)(1
1
0
)()()(
)()(
22
M
k
M
n
nkj
M
M
n
n
M
k
nkj
M
M
n
n
zekHzekH
znhzH
MM αα
ππ
αα
∑
−
=
−+
−
−
+−
=
1
0
1)(
2
2
1
)(1)(
M
k
kj
jM
ze
kH
M
ezzH
M α
πα
π
α H(z)
H1(z) H2(z)∑
−
=
−+
−
−
+
=
−=
1
0
1)(2
21
1
2
1
)()(
)1()(
M
k
kj
jM
M
ze
kHzH
ezzH
M α
πα
π
α
2011
dce
10DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc lấy mẫu tần số (3)
• Hệ H1(z)
– Bậc M
– Có M điểm zero
• Hệ H2(z)
– Tổng của M hệ H2k(z) (k =1,2,,M)
– Cấu trúc gồm M hệ mắc song song: H21(z), H22(z),, H2M(z)
– Mỗi hệ H2k(z) có tần số cộng hưởng (điểm cực)
1,,1,0)(
2
−== + Mkez kjk M 
απ
1,,1,0)(
2
−== + Mkep kjk M 
απ
Z–M
+
M
1
πα2je−
Hệ H1(z)
Z–1απMje
2
)( α+kH
+
Hệ H2k(z)
H21(z)
H22(z)
H2M(z)
+
Hệ H2(z)
)1()( 211
παjM
M ezzH
−−=
∑
−
=
−+−
+
=
1
0
1)(2 21
)()(
M
k
kj ze
kHzH
M α
π
α
2011
dce
11DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc lấy mẫu tần số (4)
• Khi LTI là bộ lọc thông hẹp (narrowband)
– Hầu hết các H(ω) ~ 0. Các H(k+α) tương ứng cũng ~ 0 → có thể bỏ qua một số hệ 
H2k(z) ⇒ Giảm được số phép tính 
• H(k+α) là một hàm đối xứng
– H(k+α) = H*(M – k – α)
– Có thể rút gọn hơn H2(z)
• Nhóm 2 hệ H2k(z) một pole thành một hệ có 2 pole với các tham số thực
• Khi α = 0 (tương tự khi α = ½)
∑
−
=
−−
−
− +−
−
+
−
=
2
1
1
212
1
12 )cos(21
)()(
1
)0()(
M
k M zzk
zkBkA
z
HzH
π
∑
−
=
−−
−
−− +−
−
+
+
+
−
=
1
1
212
1
1
2
12
2
)cos(21
)()(
1
)(
1
)0()(
M
k M
M
zzk
zkBkA
z
H
z
HzH
π
M lẻ
M chẵn



−+=
−+=
− MkjMkj ekMHekHkB
kMHkHkA
/2/2 )()()(
)()()(
ππ
2011
dce
12DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc lấy mẫu tần số (5)
• Ví dụ: cho hệ FIR tuyến tính pha có hàm đáp ứng xung đơn vị là h(n), h(n) thực và 
có chiều dài M = 8. Biết rằng các mẫu tần số của h(n) như sau
– Yêu cầu:
• Vẽ sơ đồ hiện thực dạng trực tiếp
• Vẽ sơ đồ hiện thực dạng lấy mẫu tần số
• So sánh số phép toán nhân và cộng trong mỗi loại trên
• Từ các mẫu đã cho suy ra các mẫu còn lại như sau [dựa vào tính đối xứng 
H(k) = H*(M – k)]
• h(n) cũng đối xứng (FIR tuyến tính pha) → các mẫu của h(n) có thể được tính theo 
công thức IDFT sau





=
=
=
=
4,30
2,11
02
)( 82
k
k
k
kH π





=
=
=
=
5,4,30
6,7,2,11
02
)( 82
k
k
k
kH π
∑
=
−==
7
0
8)(8
1)}({)(
k
knWkHkHIDFTnh
0.428} 0 0.0732 0.25 0.0732 0 0.428 0.75{h(n)
↑
=
2011
dce
13DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc Lattice (1)
• Trong nhiều ứng dụng (xử lý tiếng nói), cần thiết có sự dự đoán mẫu tín hiệu
– Dự đoán mẫu: x(n) từ M–1 mẫu quá khứ: x(n–1), x(n–2), , x(n–M)
– Dự đoán mẫu: x(n–M) từ M–1 mẫu tương lai: x(n), x(n–1), x(n–2), , x(n–M+1)
• Hệ LTI
∑
=
−−=
m
k
m knxknx
1
^
)()()( α
∑
−
=
−−=−
1
0
^
)()()(
m
k
m knxkmnx β
1)0(
)()()(
0
=
−=∑
=
α
α
m
k
m knxkny
Z–1 Z–1 Z–1 Z–1
+
x(n)
1 αm(1) αm(2) αm(3) αm(M–1) αm(M)
y(n)++ + +
LTI: bộ lọc 
sai số dự đoán
)()()(
^
nxnxny −=
1)0()()()(
0
=== ∑
=
− αα
m
k
k
mmm zkzAzH với
Đáp ứng xung đơn vị (0) 1 ( ) ( ) 1,2,...,m m mh và h k k k mα= = =
2011
dce
14DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc Lattice (2)
• Bộ lọc m = 1
– y(n) = f1(n) = x(n) + α1(1)x(n–1)
– α1(1) = K1
• Bộ lọc m = 2
– y(n) = f2(n) = x(n) + α2(1)x(n–1) + α2(2)x(n–2)
– α2(1) = K1(1+K2)
– α2(2) = K2
Z–1 Z–1 Z–1 Z–1
+
x(n)
–αm(1) –αm(2) –αm(3) –αm(M–1) –αm(M)
y(n)
++ + +
+
–
Z-1
K1
K1
f1(n) = y(n)
g1(n)g0(n)
f0(n)
x(n)
g0(n-1)
+
+
Z–1
K1
K1
g0(n)
f0(n)
x(n)
g0(n–1)
+
+ Z–1
K2
K2
f2(n) = y(n)
g2(n)g1(n–1)
+
+
f1(n)
g1(n)
2011
dce
15DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc Lattice (3)
Tầng (M–1)
g1(n)
f1(n)
x(n) Tầng 2Tầng 1
g2(n)
f2(n)
gM–2(n)
fM–2(n)
gM–1(n)
fM–1(n) = y(n)
g0(n)
f0(n)
Z–1
Km
Km
fm(n) = y(n)
gm(n)gm–1(n)
fm–1(n)
gm-1(n–1)
+
+)1()()(
)1()()(
)()()(
11
11
00
−+=
−+=
==
−−
−−
ngnfKng
ngKnfnf
nxngnf
mmmm
mmmm
)(
)()(
zX
zFzA mm =)()()( zXzAzF mm =
)(
)()(
zX
zGzB mm =)()()( zXzBzG mm =
Hàm h/t của bộ lọc 
dự đoán thuận
Hàm h/t của bộ lọc 
dự đoán nghịch
0
( ) ( ) ( ) 1
m
k
m m
k
B z k z mβ β−
=
= =∑ với
)()( kmk mm −=αβ )()( 1−−= zAzzB m
m
m
Bm(z): đa thức 
nghịch đảo của Am(z)
2011
dce
16DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – Cấu trúc Lattice (4)
• Quan hệ giữa hệ số bộ lọc dạng cấu trúc lattice và hệ số bộ lọc dạng cấu trúc trực tiếp
)1()()(
)1()()(
)()()(
11
11
00
−+=
−+=
==
−−
−−
ngnfKng
ngKnfnf
nxngnf
mmmm
mmmm
)1()()(
)()()(
)()()(
1
1
1
1
1
1
00
−+=
+=
==
−
−
−
−
−
−
zGzzFKzG
zGzKzFzF
zXzGzF
mmmm
mmmm
)()()(
)()()(
1)()(
1
1
1
1
1
1
00
zBzzAKzB
zBzKzAzA
zBzA
mmmm
mmmm
−
−
−
−
−
−
+=
+=
==












=





−
−
−
)(
)(
1
1
)(
)(
1
1
1
zBz
zA
K
K
zB
zA
m
m
m
m
m
m
BĐ Z
/ X(z)
Tổng hợp
)]([)()( 11
)1(1
1
−
−
−−−
− += zAzzKzAzA m
m
mmm
∑∑∑
−
=
+−
−
−
=
−
−
=
− −−+=
1
0
)1(
1
1
0
1
0
)1()()(
m
k
k
mm
m
k
k
m
m
k
k
m zkmKzkzk ααα



−=
−≤≤





−+=
=
=
−−
1,...,2,1
11
)()()(
)(
1)0(
11
Mm
mk
kmKkk
Km
mmmm
mm
m
ααα
α
α
2011
dce
17DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hiện thực hệ IIR – Cấu trúc trực tiếp
• Hệ IIR
– H(z) gồm H1(z) cascade với H2(z)
• H1(z) đặt trước H2(z): cấu trúc trực tiếp dạng I
• H2(z) đặt trước H1(z): cấu trúc trực tiếp dạng II
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
1
0
1
)(∑∑
==
−+−−=
M
k
k
N
k
k knxbknyany
00
)()()(
∑
=
−+
= N
k
k
k za
zH
1
2
1
1)(∑
=
−=
M
k
k
k zbzH
0
1 )(
hệ toàn zero (FIR) hệ toàn pole
2011
dce
18DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
IIR – Cấu trúc trực tiếp
• Nhược điểm (cả 2 cấu trúc): khi lượng tử hóa các tham số của bộ lọc với 
N lớn, sai số nhỏ cũng dẫn đến sự thay đổi lớn vị trí điểm zero và điểm 
pole của h/t
Dạng I Dạng II
+x(n)
y(n)
z–1
z–1
z–1
–a1
+
b0
b1
b2–a2
bM
+
+
+
+
–aM
–aN z
–1
+
–aN-1
+
z–1
z–1
+
z–1
b1 –a1
–a2
x(n) y(n)b0
z–1
b2
z–1
bM
z–1
+
+
–aN
+
bM-1
+
+
+
+
–aN-1
2011
dce
19DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
IIR – Cấu trúc đảo
• Biểu diễn sơ đồ khối của h/t: biểu đồ dòng t/h
– Nhánh: có hướng
– Node: node cộng/node rẽ nhánh
• Định lý đảo
– Cấu trúc đảo có cùng hàm h/t
z–1
z–1
b0
b1
b2
–a1
–a2
x(n) y(n)
1 2 3
4
5
z–1
z–1
b0
b1
b2
–a1
–a2
y(n) x(n)
1 2 3
4
5
2
2
1
1
2
2
1
10
1
)( −−
−−
++
++
=
zaza
zbzbbzH
y(n) x(n)
z–1
z–1
b0
b1–a1
b2–a2
+
+
+
x(n) y(n)
Z–1
Z–1
–a1
b0
b1
b2–a2
+
+
+
+
2011
dce
20DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
IIR – Cấu trúc cascade
• Các hệ số {aki} và {bki} thực → gộp các zero và các pole theo cặp liên hợp phức 
trong việc tách Hk(z)
• Hk(z) có thể hiện thực dùng cấu trúc trực tiếp hoặc cấu trúc đảo
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
1
0
1
)(
][)()( 2 1
1
+
=
==∏ N
K
k
k KzHzH
2
2
1
1
2
2
1
10
1
)( −−
−−
++
++
=
zaza
zbzbbzH
kk
kkk
k
H2(z) HK(z)H1(z)
x(n) = x1(n) xK(n)
y(n)
x2(n)
y1(n) y2(n)
z–1
++
z–1
++
1
–ak1
–ak2
bk1
bk2
bk0 yk(n) = xk+1(n)xk(n)
2011
dce
21DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
IIR – Cấu trúc song song
• Nếu pk phức, Ak cũng phức → gộp các pole liên hợp phức để tạo các hệ số thực
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
1
0
1
)(
N
N
a
b
N
k k
k
C
zp
ACzH
≡
−
+= ∑
=
−
1
11
)(
2
2
1
1
1
10
1
)( −−
−
++
+
=
zaza
zbbzH
kk
kk
k
][)()( 2 1
1
+
=
=+= ∑ N
K
k
k KzHCzH
z–1
++
z–1
++
1
–ak1
–ak2
bk1
bk0 yk(n) = xk+1(n)xk(n)
HK(z)
H1(z)
x(n)
y(n)
+
+
H2(z) +
C
2011
dce
22DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
IIR – Cấu trúc Lattice-Ladder
g1(n)
f1(n)
y(n)
g2(n)
f2(n)
gN-1(n)
fN-1(n)
gN(n)
fN(n) = x(n)
g0(n)
f0(n) Tầng NTầng 2Tầng 1
)()()()(
1
nxknykany
N
k
N +−−= ∑
=
)(
1
)(1
1)(
1
kAzka
zH
N
N
k
k
N
=
+
=
∑
=
−
)()()()(
1
nyknxkanx
N
k
N +−−= ∑
=
)()(1)(
1
kAzkazH N
N
k
k
N =+= ∑
=
−
Hệ IIR toàn pole Hệ FIR toàn zero
Hệ này có thể được hiện thực bằng cách đảo vai trò ngõ nhập/xuất
x(n) ↔ y(n)
Cấu trúc lattice của hệ FIR toàn zero
x(n) = fN(n)
y(n) = f0(n)
+
+
z–1
–K2
K2
+
+
z–1
–KN
KN
+
+
z–1
–K1
K1
2011
dce
23DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
IIR – Cấu trúc Lattice-Ladder
• Hệ lattice 1 pole (hệ IIR toàn pole bậc 1)
• Hệ lattice 2 pole (hệ IIR toàn pole bậc 2)
x(n) = f2(n) 
f1(n) = f2(n) – K2g1(n–1) 
g2(n) = K2f1(n) + g1(n–1)
f0(n) = f1(n) – K1g0(n–1) 
g1(n) = K1f0(n) + g0(n–1) 
y(n) = f0(n) = g0(n)
Z–1
K1
K1
f0(n) = y(n)
g0(n)g1(n)
f1(n)
x(n) +
+
–
Z–1
K2
K2
g2(n)
f2(n)
x(n) +
+
–
Z–1
K1
K1
f0(n) = y(n)
g0(n)g1(n)
f1(n) +
+
–
x(n) = f1(n) 
f0(n) = f1(n) – K1g0(n–1) 
g1(n) = K1f0(n) + g0(n–1) 
y(n) = f0(n) = – K1y(n–1) + x(n) 
y(n) = –K1(1+K2)y(n–1) – K2y(n–2) + x(n)
g2(n) = K2y(n) + K1(1+K2)y(n–1) + y(n–2)
Hệ IIR 2 pole
Hệ FIR 2 zero
2011
dce
24DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
IIR – Cấu trúc Lattice-Ladder
• Hệ IIR chứa cả pole và zero 
gN–1(n)
fN–1(n)
g2(n)
f2(n)
g1(n)
f1(n)
g0(n)
f0(n)
gN(n)
fN(n)
Tầng NTầng 2Tầng 1x(n)
++ + +
y(n)
vN vN–1 v2 v1 v0
)(
)(
)(1
)(
)(
1
0
zA
zC
zka
zkc
zH
N
M
N
k
k
N
M
k
k
M
=
+
=
∑
∑
=
−
=
−
∑
∑
=
=
−=
+−−=
M
k
M
N
k
N
knwkcny
nxknwkanw
0
1
)()()(
)()()()(
w(n): hệ IIR toàn pole – được thực hiện bằng cấu trúc lattice
y(n): hệ FIR toàn zero – được thực hiện bằng cấu trúc ladder tuyến tính
+
+
z–1
– KN
KN
+
+
z–1
– KN
KN
+
+
z–1
– KN
KN
∑
=
=
M
m
mm ngvny
0
)()(
2011
dce
25DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Không gian trạng thái
• Mô tả h/t
– Bằng quan hệ vào-ra (mô tả bên ngoài)
– Bằng không gian trạng thái (mô tả bên trong)
• Quan hệ giữa ngõ xuất, ngõ nhập và các trạng thái bên trong của hệ
• Mô tả không gian trạng thái của hệ đặc trưng bởi PTSP
– Trạng thái của h/t tại n0: thông tin về h/t tại điểm n0, kết hợp với ngõ nhập giúp 
xác định duy nhất ngõ xuất tại các điểm sau đó (n ≥ n0)
– H/t có thể xem như bao gồm 2 phần
• Phần có bộ nhớ: chứa thông tin về trạng thái của h/t
• Phần không có bộ nhớ: tính toán giá trị ngõ xuất dựa trên giá trị ngõ nhập và trạng 
thái của h/t
Bộ nhớ
Tính toán
T/h nhập T/h xuất
Trạng thái
kế tiếp của h/t
Trạng thái 
hiện tại của h/t
2011
dce
26DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Không gian trạng thái – Mô tả
∑∑
==
−+−−=
M
k
k
N
k
k knxbknyany
00
)()()( )()()1( nqxnFvnv +=+
)()(')( ndxnvgny +=
PT ngõ xuất
PT trạng thái
















−−−−
=
− 121
10
1000
000100
000010
aaaa
F
NN 




















=
1
0
0
0
q
















−
−
−
−
=
−−
101
202
101
0
abb
abb
abb
abb
g
NN
NN

F, q, g, d: hằng số không phụ thuộc thời gian → hệ LTI 
Ngược lại → hệ phụ thuộc thời gian
q z–1 g’
F
y(n)x(n)
v(n+1) v(n)
++
d
2011
dce
27DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Không gian trạng thái – Mô tả
• Ví dụ ∑∑
==
−+−−=
2
0
2
1
)()()(
k
k
k
k knxbknyany
)(
1
0
)(
)(10
)1(
)1(
2
1
122
1 nx
nv
nv
aanv
nv






+











−−
=





+
+
[ ] )(
)(
)(
)( 0
2
1
101202 nxbnv
nv
abbabbny +





−−=
x(n) y(n)
z–1–a1
b0
b1
b2–a2
z–1
v1(n)
v2(n)
+
+
+
+
+
+
)(
)(
)(
1
0
)1(
)1(
101
202
2
1
1
2
2
1 nx
abb
abb
nv
nv
a
a
nv
nv






−
−
+











−
−
=





+
+
[ ] )(
)(
)(
10)( 0
2
1 nxb
nv
nv
ny +





=
x(n)
y(n)
–a1
b0
b1
b2 –a2
z–1
+
z–1
+
+
v1(n)
v2(n)
bkx(n–k) – aky(n–k)
t(n) = bkx(n) – aky(n)
t(n-k)
Hiện thực
Loại 1
Hiện thực
Loại 2
2011
dce
28DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Không gian trạng thái – Giải PT
)()()1( nqxnFvnv +=+
)()(')( ndxnvgny +=
0
1
1
0
0
0 )()()( nnkqxFnvFnv
n
nk
knnn ≥+= ∑
−
=
−−−
0F
)()( jiFji ji ≥≡−Φ −
Ma trận đường chéo chính (NxN)
Ma trận chuyển trạng thái
0
1
00 )()()1(')()(')(
0
nnndxkqxkngnvnngny
n
nk
≥+−−Φ+−Φ= ∑
−
=
)()(')( 00 nvnngnyzi −Φ=
)()()1(')(
1
0
ndxkqxkngny
n
nk
zs +−−Φ= ∑
−
=
Đáp ứng không ngõ nhập
Đáp ứng trạng thái không
Đ/k đầu v(n0)
Đáp ứng xung đơn vị (n0 = 0; v(0) = 0; x(n) = δ(n)
)()1()1(')( ndnqungnh δ+−−Φ=
2011
dce
29DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Không gian trạng thái – Phân tích trong 
miền Z
)()()1( nqxnFvnv +=+ )()(')( ndxnvgny +=
)()()( 1 zqXFzIzV −−= )(])('[)( 1 zXdqFzIgzY +−= −
dqFzIgzH zX
zY +−== −1)(
)( )(')(nFn =Φ )(
{ } 111
0
)()()( −−−
∞
=
− −=−==Φ ∑ FzIzFzIzFnZ
n
nn
)det(
)()( 1
FzI
FzIadjFzI
−
−
=− −
BĐ Z
BĐ ZBĐ Z
Pole của h/t [nghiệm PT det(zI – F) = 0] 
là eigenvalues của ma trận F
dq
FzI
FzIadjgzH +
−
−
=
)det(
)(')(
2011
dce
30DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Lượng tử hóa các hệ số của bộ lọc
• Hiện thực bộ lọc FIR và IIR bằng máy tính → phải lượng tử hóa các hệ số
– Các hệ số biểu diễn không chính xác → vị trí điểm zero và điểm cực không như mong muốn → đáp 
ứng tần số của bộ lọc bị sai lệch
• Ảnh hưởng của việc lượng tử hóa các hệ số bộ lọc
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
1
0
1
)(
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
1
__
0
__
___
1
)(
Mkbbb
Nkaaa
kkk
kkk
,...,1,0
,...,2,1
__
__
=∆+=
=∆+=
∏∑
=
−
=
− −=+=
N
k
k
N
k
k
k zpzazD
1
1
1
)1(1)( ∏
=
−−=
N
k
k zpzD
1
1
_____
)1()(
∑
∏
∑
=
≠
=
−
=
∂
∂ ∆
−
=∆=∆
N
k
kN
il
l
li
kN
i
N
k
ka
p
i a
pp
pap
k
i
1
1
1 )(
Nkppp kkk ,...,2,1
__
=∆+=
H
/t 
vớ
i c
ác
 h
ệ 
số
 c
hư
a 
lư
ợ
ng
 tử
 h
óa
H
/t vớ
i các hệ số đư
ợ
c lư
ợ
ng tử
 hóa
Δak, Δbk
Sai số lượng tử