Bài giảng Digital signal processing - Chương 8: Thiết kế Bộ lọc số - Đinh Đức Anh Vũ

BK
TP.HCM
2011
dce
Chương 8
Thiết kế Bộ lọc Số
©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ
2011
dce
2DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Nội dung
• Bộ lọc lý tưởng
• Bộ lọc thực tế
– Bộ lọc với đáp ứng xung hữu hạn (FIR)
• Bộ lọc tuyến tính pha
– Phương pháp cửa sổ
– Phương pháp mẫu tần số
• Bộ lọc tuyến tính pha tối ưu
• Bộ biến đổi Hilbert
• So sánh các phương pháp thiết kế
– Bộ lọc với đáp ứng xung vô hạn (IIR)
• Phương pháp xấp xỉ đạo hàm
• Phương pháp bất biến xung
2011
dce
3DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Giới thiệu
• Phương pháp thiết kế bộ lọc tần số
– Đặc tính bộ lọc được mô tả bởi đáp ứng biên độ và pha
– Tùy theo đáp ứng mong muốn, bộ lọc nhân quả FIR hoặc 
IIR sẽ được chọn
• FIR
– Được dùng khi có yêu cầu đáp ứng pha tuyến tính trong passband
– Nhiều thông số hơn IIR → Độ phức tạp tính toán cao
• IIR
– Có các thuỳ biên ở dải stopband thấp hơn bộ lọc FIR có cùng số tham 
số → được dùng nhiều hơn so với FIR (khi độ méo pha trong 
passband có thể chấp nhận được)
– Độ phức tạp tính toán không cao và tiêu tốn ít bộ nhớ
– Xác định các hệ số bộ lọc
2011
dce
4DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tính nhân quả
• Xét bộ lọc lý tưởng



≤<
≤
=
πωω
ωω
ω
c
cH
0
1
)(




≠
=
=
0
0
)( )sin( n
n
nh
n
n
c
cc
c
ω
ω
π
ω
π
ω
ω
H(ω)
1
ωc-ωc
Bộ lọc không nhân quả 
→ không hiện thực được
ωc = π/4
2011
dce
5DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Đ/k để bộ lọc nhân quả
• Định lý Paley-Wiener
– H(ω) chỉ được phép = 0 tại một tập hữu hạn các tần số
– |H(ω)| không được là hằng số cho một khoảng tần
• Việc chuyển từ passband sang stopband không được thẳng góc
– HR(ω) và HI(ω) phụ thuộc nhau → Phổ biên độ và phổ pha không thể 
chọn độc lập được
∞<∫
−
π
π
ωω dH )(lnh(n) có năng lượng hữu hạn
h(n) = 0 ∀n<0
∫
∫
−
−
∞<
∞<
π
π
π
π
ωω
ωω
dH
dH
2)(
)(ln
( )( ), ( ) ( )
( ) :
jVoi H H e
h n nhân qua
ωω ω ω ΘΘ =
2011
dce
6DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
)()()( nhnhnh oe +=
[ ]
[ ])()()(
)()()(
2
1
2
1
nhnhnh
nhnhnh
o
e
−−=
−+=
1)()0()()(2)(
0)()0()()(2)(
≥+=
≥−=
nnhnunhnh
nnhnunhnh
o
ee
δ
δ
h(n) nhân quả
)()()( ωωω IR jHHH +=
)()()( nhnhnh oe +=
FF
∫
−
−−=
π
π
λω
π λλω dHH RI )cot()()( 221BĐ Hilbert rời rạc
1)()( ≥= nnhnh eo
h(n) được mô tả bởi he(n)
H(ω) được mô tả bởi HR(ω)
H(ω) được mô tả bởi HI(ω) và h(0)
h(n) thực
Đ/k để bộ lọc nhân quả
2011
dce
7DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Đ/k để bộ lọc nhân quả
• Ví dụ: xác định đáp ứng tần số của h/t ổn định với đáp ứng xung là hàm 
thực và chẵn, nếu biết
1
cos21
cos1)( 2 <+−
−
= a
aa
aH R ω
ωω
[ ]ωωω jj ee −+= 21cos
azaROC
azaz
zaz
azza
zzazH R
/1:
)1)((
2/)1(
)(1
)(1)(
2
21
1
2
1
<<
−−
+−
=
++−
+−
= −
−
)()( 2121 nanh
n
e δ+= )()( nuanh
n=
ωω jae
H −−
=
1
1)(
2011
dce
8DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc tần số trong thực tế
• LTI
• Đặc trưng 
|H(ω)|
ω
1+δ1
1-δ1
δ2
Passband ripple
Transition Band
StopBand
0 ωp ωs π
δ1: Passband ripple
δ2: Stopband ripple
ωp: Passband edge ripple
ωs: Stopand edge ripple
∑∑
==
−+−−=
M
k
k
N
k
k knxbknyany
01
)()()(
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
kj
k
M
k
kj
k
ea
eb
H
1
0
1
)(
ω
ω
ω
2011
dce
9DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng
∑
−
=
−=
1
0
)()()(
M
k
knxkhny
• Bộ lọc FIR • Bộ lọc FIR tuyến tính pha
– H(ω) có pha Ө(ω) là hàm tuyến tính
– Đ/k: h(n) = ± h(M–1–n)
n = 0, 1, , M-1
∑
−
=
−=
1
0
)()(
M
k
k knxbny
h(k) = bk ∑
−
=
−=
1
0
)()(
M
k
kzkhzH
)()( 1)1( zHzHz M ±=−−−
• Thay z bởi z-1
• Nhân 2 vế với z-(M-1)
• h(n) = ± h(M–1–n)
z1
z1*
1/z1*
1/z1
11/z2 z2 • Nếu z1 là nghiệm (hoặc zero) của H(z) thì 1/z1 cũng là nghiệm
• Để h(n) thực thì z1* cũng là nghiệm 
và 1/ z1* cũng là nghiệm
2011
dce
10DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng
• Hàm h/t
• Đáp ứng xung đơn vị đối xứng h(n) = h(M – 1 – n)
3
2( 1) ( 1 2 ) ( 1 2 )
2 2 2
2( 1) ( 1 2 ) ( 1 2 )
2 2 2
1 ( 1)
1
2
0
1
0
( ) (0) (1) ... ( 1)
( ) ( )
( )
M
M M n M n
M
M M n M n
M
M
n
n
H z h h z h M z
z h h n z z M le
z h n z z M chan
−
− − − − −
− − − − −
− − −
− −−
=
−
− −
=
= + + + −
    + ±      = 
  ±  
∑
∑
3
2
2
1 21
2 2
0
1
1 2
2
0
( ) 2 ( ) cos ( )
( )
2 ( ) cos ( )
M
M
M nM
n
r
M n
n
h h n M le
H
h n M chan
ω
ω
ω
−
− −−
=
−
− −
=

+
= 


∑
∑



<+−
>−
=Θ
−
−
0)()(
0)()(
)(
2
1
2
1
ωπω
ωω
ω
r
M
r
M
H
H
2
)1(
)()(
−−=
Mj
r eHH
ωωω
Đặc tính pha Tuyến tính
Biên độ thực
2011
dce
11DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng h(n) = –h(M–1–n)
– Khi M lẻ h[(M–1)/2] = 0
• Đối xứng hay phản đối xứng ?
– Tùy
Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng
3
2
2
1 2
2
0
1
1 2
2
0
2 ( )sin ( )
( )
2 ( )sin ( )
M
M
M n
n
r
M n
n
h n M le
H
h n M chan
ω
ω
ω
−
− −
=
−
− −
=


= 


∑
∑



<−
>−
=Θ
−
−
0)()(
0)()(
)(
2
1
2
3
2
1
2
ωω
ωω
ω
π
π
r
M
r
M
H
H
][ 22
)1(
)()(
πωωω −−
−
=
Mj
r eHH
Đặc tính pha Tuyến tính
h(n) = –h(M–1–n)
M lẻ
Hr(0) = 0
Hr(π) = 0
Không thích hợp 
cho các bộ lọc thông thấp 
và thông cao
Biên độ thực
2011
dce
12DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Giả sử 
– Hd(ω): hàm đáp ứng tần số mong muốn
– hd(n): hàm đáp ứng xung đơn vị mong muốn
• hd(n) có chiều dài vô hạn
• Để chiều dài hd(n) hữu hạn, cắt hd(n) tại điểm n = M-1
– Nhân hd(n) với hàm cửa sổ w(n)
– Cửa sổ hình chữ nhật
• Đáp ứng xung mẫu của bộ lọc
– Với Hd(ω) cho trước, thì W(ω) có tác dụng làm trơn Hd(ω)
– Một W(ω) tốt khi
• Có thuỳ chính phải rộng, cao hơn nhiều so với thuỳ phụ
• w(n) không nên giảm xuống 0 tại hai bên cạnh 
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP cửa sổ
∑
∞
=
−=
0
)()(
n
nj
dd enhH
ωω


 −=
=
otherwise
Mn
nw
0
1,...,1,01
)(


 −=
=
=
otherwise
Mnnh
nwnhnh
d
d
0
1,..,1,0)(
)()()(
ωω ω
π
π
π deHnh
nj
dd ∫
−
= )()( 21
∫
−
−=
π
π
π ωω dvvWvHH d )()()( 21
2011
dce
13DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP cửa sổ
Nhận xét:
- Thuỳ chính hẹp hơn khi M tăng
- Các thuỳ phụ tương đối lớn so với thuỳ 
chính và không thay đổi khi M tăng
- Chiều cao thuỳ phụ tăng khi M tăng
)2/sin(
)2/sin(
1
1)(
2/)1(
1
0
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Me
e
eeW
Mj
j
MjM
n
nj
−−
−
−−
=
−
=
−
−
== ∑



<−
≥−
=Θ
≤≤−=
−
−
0)sin()(
0)sin()(
)(
)sin(
)sin(
)(
22
1
22
1
2
2
MM
MM
M
W
ω
ω
ω
ω
ωπ
ω
ω
πωπω
Độ rộng của thùy chính: 4π /M
[được đo bởi điểm zero đầu tiên của W(ω)]
2011
dce
15DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy 
mẫu tần số
• Hd(ω) được định nghĩa tại M điểm tần số cách đều
2 1
2
2
1
2
( ) 0,1, ,
0,1, , 1
0 |
M
k M
M
k k M le
k M chan
πω α
α
−= + =
= −
=


∑
−
=
−=
1
0
)()(
M
n
nj
dd enhH
ωω
1,,1,0)()(
1,,1,0)()(
)]([)(
1
0
/)(21
1
0
/)(2
2
−=+=
−==+
+≡+
∑
∑
−
=
+
−
=
+−
MnekHnh
MkenhkH
kHkH
M
k
Mnkj
dMd
M
n
Mnkj
dd
Mdd


απ
απ
π
α
α
αα
α=0, 2 công thức 
này chính là công thức 
DFT và IDFT
)()( * αα −−=+ kMHkH ddChuỗi h(n) thực
Chỉ cần định nghĩa Hd(ω) tại (M+1)/2 điểm khi M lẻ 
hoặc tại M/2 điểm khi M chẵn
2011
dce
16DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy 
mẫu tần số
• Mẫu tần số
• Định nghĩa các mẫu tần số thực G(k+m)
• Tùy theo giá trị α (0|½) và β (0|1), H(k) và h(n) sẽ có công thức đơn giản
– Ví dụ khi α = 0 và β = 0
( ) [ ]MMkjMrd ekHkH 2/)1)((22/2 )()( −+−+=+ απβππ αα
0 { ( )}
1 { ( )}
h n doi xung
h n phan doi xung
β
β
=
 =
( ))()1()( 2 αα π +−=+ kHkG Mrk
[ ]MMkjjk
d eekGkH
2/)1)((22/)()( −+−+=+ απβππαα
Với
( )
)()(
)1()(
1,,1,0)()(
2
/
kMGkG
HkG
MkekGkH
M
k
r
k
Mkj
−−=
−=
−==
π
π  2 12
1
1
2
2
1( ) (0) 2 ( )cos ( )
1
U
k
M
k
M
M
h n G G k n
M
khi M le
voi U
khi M chan
π
=
−
 
= + + 
 

= 
−
∑
2011
dce
17DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương 
pháp tối ưu
• Bài toán xấp xỉ Chebyshev
– Tối ưu: sai số xấp xỉ giữa đáp ứng t/s mong muốn 
và thực tế phân bố đều trên passband và 
stopband ⇒ tối thiểu hóa các sai số cực đại
– Bộ lọc có gợn sóng trong cả passband và 
stopband
2011
dce
18DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu
• Trường hợp 1: đáp ứng xung đơn vị đối xứng và M lẻ
∑
−
=
−− −+=
2/)3(
0
2
1
2
1 )(cos)(2)()(
M
n
MM
r nnhhH ωω
∑
−
=
=
2/)1(
0
cos)()(
M
k
r kkaH ωω



=−
=
=
−−
−
2
1
2
1
2
1
,,2,1)(2
0)(
)(
MM
M
kkh
kh
k

α
k = (M-1)/2 – n
2011
dce
19DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu
• Trường hợp 2: đáp ứng xung đơn vị đối xứng và M chẵn
∑
−
=
− −=
12/
0
2
1 )(cos)(2)(
M
n
M
r nnhH ωω
∑
=
−=
2/
1
2
1 )(cos)()(
M
k
r kkbH ωω
22 ,,2,1)(2)( MM kkhkb =−=
k = M/2 – n
∑
−
=
=
12/
0
2 cos)('cos)(
M
k
r kkbH ωω ω
)(2)1('
2,,2,1)(2)1(')('
)1()0('
22
2
2
1
MM
M
bb
kkbkbkb
bb
=−
−==−+
=

2011
dce
20DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu
• Trường hợp 3: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng và M lẻ
∑
−
=
− −=
2/)3(
0
2
1 )(sin)(2)(
M
n
M
r nnhH ωω
∑
−
=
=
2/)1(
1
sin)()(
M
k
r kkcH ωω
2
1
2
1 ,,2,1)(2)( −− =−= MM kkhkc 
k = (M-1)/2 – n
∑
−
=
=
2/)3(
0
cos)('sin)(
M
k
r kkcH ωωω
)1()2(')0('
2)(2)1(')1('
)(2)('
)()('
2
1
2
5
2
3
2
5
2
1
2
3
ccc
kkckckc
cc
cc
M
MM
MM
=+
≤≤=+−−
=
=
−
−−
−−

2011
dce
21DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu
• Trường hợp 4: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng và M 
chẵn
∑
−
=
− −=
12/
0
2
1 )(sin)(2)(
M
n
M
r nnhH ωω
∑
=
−=
2/
1
2
1 )(sin)()(
M
k
r kkdH ωω
22 ,,2,1)(2)( MM kkhkd =−=
k = M/2 – n
∑
−
=
=
12/
0
2 cos)('sin)(
M
k
r kkdH ωω ω
)1()1(')0('
12)(2)(')1('
)(2)1('
2
1
2
22
ddd
kkdkdkd
dd
M
MM
=−
−≤≤=−−
=−
2011
dce
22DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu
• Tổng quát )()()( ωωω PQHr =
2
2
1 1
cos 2
( )
sin 3
sin 4
truong hop
truong hop
Q
truong hop
truong hop
ω
ω
ω
ω


= 


∑
=
=
L
k
kkP
0
cos)()( ωαω
( 1) / 2 1
/ 2 1 2
( 3) / 2 3
/ 2 1 4
M truong hop
M truong hop
L
M truong hop
M truong hop
−
 −=  −
 −