Cơ học máy - Chương 2: Cơ sở tính toán theo độ bền và độ cứng

1Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Cơ sở tính toán theo độ bền và độ cứngChương 2
1. Khái niệm:
Vật rắn biến dạng: dưới tác dụng của ngoại lực, mọi vật rắn đầu bị
thay đổi hình dáng và kích thước.
Biến dạng đàn hồi: khi chịu ngọai lực thì vật rắn bị biến dạng. Khi
không còn ngoại lực tác động thì vật rắn phục hồi hình dáng ban 
đầu.
Ngọai lực: là lực bên ngòai tác động lên vật rắn, bao gồm lực kỹ
thuật, trọng lượng, lực ma sát, phản lực (tại các liên kết), lực quán
tính .
Tải trọng: bao gồm lực (tập trung/phân bố) và mômen (tập
trung/phân bố).
Nội lực: là lực xuất hiện bên trong vật rắn khi bị biến dạng – khi
khỏang cách giữa các phân tử vật chất bị thay đổi do biến dạng thì
sẽ phát sinh nội lực để chống lại sự biến dạng.
2Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
3Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Nội lực được phân chia thành 6 thành phần:
• Lực dọc Nz (là lực có phương trùng với trục Z).
• Lực cắt Qx (là lực có phương trùng với trục X).
• Lực dọc Qy (là lực có phương trùng với trục Y).
• Mô men uốn Mx (là mô men có phương của véctơ mô men trùng với trục
X).
•Mô men uốn My (là mô men có phương của véctơ mô men trùng với trục
Y).
•Mô men xoắn Mz (là mô men có phương của véctơ mô men trùng với
trục Z).
• Thường chọn trục Z trùng với trục
của thanh.
4Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Qui ước dấu của nội lực:
• Lực dọc Nz dương khi hướng ra khỏi mặt cắt.
• Lực cắt Qx, Qy dương khi quay Nz dương 1 góc 900 theo chiều kim
đồng hồ thì có chiều trùng nhau.
• Mô men uốn Mx, My dương khi làm căng thớ dưới.
•Mô men xoắn Mz dương khi quay theo chiều kim đồng hồ khi nhìn vào
mặt cắt.
5Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Sơ đồ hóa kết cấu vật rắn dạng dầm phẳng (chương trình chỉ học dầm
phẳng, không học dầm cong, khung, tấm vỏ hay dạng khối)
Sơ đồ hóa 3 lọai liên kết chính
6Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
2. Điều kiện cân bằng của hệ lực
• Tất cả ngọai lực (bao gồm cả lực và mô men) tác động lên vật rắn tạo
thành một hệ lực.
• Nếu vật đứng yên (hoặc chuyển động đều) thì hệ lực cân bằng.
• Khi hệ lực cân bằng thì:
• tổng hình chiếu tất cả các véctơ lực của hệ lên 1 phương bất kỳ triệt
tiêu.
• tổng hình chiếu tất cả các véctơ mô men của hệ lên 1 phương bất kỳ
triệt tiêu.
• Nếu vật di chuyển không đều (có gia tốc) thì áp dụng nguyên lý
D’Alembert
7Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Phương trình cân bằng của hệ lực:
Thông thường, ta lập 3 phương trình tổng hình chiếu của các véctơ lực
trong hệ lực trên 3 trục tọa độ XYZ và 3 phương trình tổng hình chiếu của
các véctơ mômen của hệ lực trên 3 trục tọa độ XYZ .
Phương trình cân bằng lực theo phương X
Với FXi là hình chiếu của véctơ lực thứ i lên
phương X.
Phương trình cân bằng lực theo phương Y
Với FYi là hình chiếu của véctơ lực thứ i lên
phương Y.
Phương trình cân bằng lực theo phương Z
Với FZi là hình chiếu của véctơ lực thứ i lên
phương Z.
0
1
=∑
=
n
i
XiF
0
1
=∑
=
n
i
YiF
0
1
=∑
=
n
i
ZiF
8Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Phương trình cân bằng mô men theo trục X
Với mXi là hình chiếu của véctơ mô men thứ i 
lên trục X
Phương trình cân bằng mô men theo trục Y
Với mYi là hình chiếu của véctơ mô men thứ i 
lên trục Y
Phương trình cân bằng mô men theo trục Z
Với mZi là hình chiếu của véctơ mô men thứ i 
lên trục Z
∑
=
=n
i
Xim
1
0
∑
=
=n
i
Yim
1
0
∑
=
=n
i
Zim
1
0
9Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
3. Vẽ biểu đồ nội lực
Biểu đồ nội lực biểu thị sự biến thiên của nội lực dọc theo trục thanh.
Trình tự vẽ biểu đồ nội lực:
• Giải phóng liên kết, đặt các phản lực liên kết tại các liên kết vừa bỏ đi.
• Dùng các phương trình cân bằng lực và mô men để tìm giá trị các phản
lực liên kết. Lưu ý chỉ cần chọn số phương trình bằng số ẩn cần tìm.
• Dùng phương pháp mặt cắt để xác định nội lực trên từng đọan dầm.
• Dưa vào qui luật phân bố nội lực trong từng đọan dầm để vẽ biều đồ nội
lực cho tòan bộ dầm.
• Kiểm tra lại biểu đồ nội lực.
10
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Giải phóng liên kết
11
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Phương trình cân bằng mômen trong mặt phẳng đứng tại A
02.. =+−=∑ aRaFM BAX
2
FRB =⇒
Phản lực liên kết trong mặt phẳng đứng tại B
Phương trình cân bằng lực theo phương đứng
0=−−=↓ ∑ ABY RRFF
Phản lực liên kết trong mặt phẳng đứng tại A
2
FRA =⇒
12
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Phương pháp mặt cắt
Chia dầm ra nhiều đoạn, trên từng đoạn chỉ có các giá trị lực hay mômen ở 2 đầu
Ví dụ dầm đã cho được chia thành 2 đoạn AC và CB
Xét đoạn AC với chiều dài
Dùng 1 mặt cắt tại vị trí x (với 0<x<a) để cắt
đoạn AC thành 2 phần và bỏ đi 1 phần bên
phải. Tại mặt cắt đó đặt vào 3 thành phần
nội lực MX, QY, NZ (vì trong mặt phẳng chỉ
có 3 thành phần nội lực).
aa ≈−ε
13
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Phương trình cân bằng mômen trong mặt phằng đứng tại mặt cắt C
∑ =+−= 0)(. xMxRM XAX
2
..)( xFxRxM AX ==⇒
Mômen nội lực trong mặt phẳng đứng tại mặt cắt C
Nhận xét:
• Mômen nội lực MX là hàm bậc 1 theo x trong đoạn AC
• Giá trị tại các biên : tại A (x=0) Æ MX(0)=0; tại C (x=a) Æ MX(a)=F.a/2
Phương trình cân bằng lực theo phương đứng tại mặt cắt C
∑ =+−=↓ 0)(xQRF YAY
Lực cắt theo phương đứng tại mặt cắt C
2
)( FRxQ AY ==
14
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Nhận xét:
• Lực cắt QY là hằng số trong đoạn AC
Tương tự xét đoạn CB
Dùng 1 mặt cắt tại vị trí x (với 0<x<a) 
để cắt đoạn CB thành 2 phần và bỏ đi
1 phần bên phải. Tại mặt cắt đó đặt
vào 3 thành phần nội lực MX, QY, NZ
(vì trong mặt phẳng chỉ có 3 thành
phần nội lực).
15
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Phương trình cân bằng mômen trong mặt phằng đứng tại mặt cắt C
( )∑ =+++−= 0)(.. xMxFxaRM XAX
( ) ( )xaFxFxaRxM AX −=−+=⇒ 2..)(
Mômen nội lực trong mặt phẳng đứng tại mặt cắt C
Nhận xét:
• Mômen nội lực MX là hàm bậc 1 theo x trong đoạn CB
• Giá trị tại các biên : tại C (x=0) Æ MX(0)=F.a/2; tại B (x=a) Æ MX(a)=0
Phương trình cân bằng lực theo phương đứng tại mặt cắt C
∑ =++−=↓ 0)(xQFRF YAY
Lực cắt theo phương đứng tại mặt cắt C
2
)( FFRxQ AY −=−=
16
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Nhận xét:
• Lực cắt QY là hằng số trong đoạn CB
Thể hiện dưới dạng biểu đồ
Biểu đồ lực cắt QY
Biểu đồ mômen MX
17
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
5. Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
Khái niệm:
Ngoài diện tích, còn có những thông số khác đặc trưng cho mặt cắt
ngang về mặt hình học. Đó là mômen tĩnh và mômen quán tính.
5.1 Mômen tĩnh của mặt cắt ngang
Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục x
∫=
A
X dAyS .
Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục y
∫=
A
Y dAxS .
Khi Sx=0 và Sy=0 thì giao điểm của trục x và y là trọng tâm của mặt cắt ngang.
Gọi tọa độ của trọng tâm C là xC và yC. Ta có
A
Syvà
A
S
x xC
y
C ==
AA
A
A A
18
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Nếu diện tích A bao gồm nhiều diện tích Ai đơn giản có tọa độ trọng tâm
là xi và yi.
A
Ax
x
n
i
ii
C
∑
== 1
.
A
Ay
y
n
i
ii
C
∑
== 1
.
5.2 Mômen quán tính của mặt cắt ngang
Mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x
∫=
A
X dAyJ .
2
Mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục y
∫=
A
Y dAxJ .
2
JX và JY luôn luôn dương
19
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Mômen quán tính độc cực với tọa độ O( )∫ ∫ +==+=
A
YX
A
JJdAdAyxJ .. 2220 ρ
2.bFJJ xX +=
Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính
2...2 bASbJJ xxX ++=
2...2 aASaJJ yyY ++= A
20
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
5.3 Mô men quán tính của 1 số mặt cắt thường gặp:
• Hình chữ nhật b x h
12
. 3hbJ X = 12
. 3bhJY =
• Hình tròn đường kính D
4
4
05.0
64
. DDJJ YX ×≈== π
32
. 4
0
DJJJ YX
π=+=
• Hình vành khăn đường kính ngoài D, 
đường kính trong d 
( )44 1
64
. ηπ −== DJJ YX Dd=ηvới
21
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
5.4 Các trạng thái ứng suất
Ngoại lực tác động lên vật thể Æ biến dạng vật thể Æ khoảng cách giữa
các phân tử thay đổiÆ xuất hiện số gia của lực liên kết phân tử chống lại
sự thay đổiÆ nội lực.
Ứng suất là nội lực tại 1 điểm.
Khi ứng suất vượt quá giới trị tới hạn (tùy thuộc loại vật liệu) Æ phá hủy.
Tùy thuộc trạng thái chịu ngoại lực, bên trong vật thể có thể xuất hiện
ứng suất pháp σ, ứng suất tiếp τ hay đồng thời cả hai loại ứng suất này. 
Trường hợp tổng quát sẽ có 6 loại
ứng suất trên phân tố vật liệu hình
hộp.
22
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Có 3 trạng thái ứng suất:
a) Ứng suất khối
b) Ứng suất phẳng
c) Ứng suất đơn
23
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
5.4.1 Trường hợp thanh chịu kéo (nén) đúng tâm:
Định nghĩa: thanh chịu kéo (nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ
có thành phần lực dọc NZ. 
24
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Ứng suất kéo nén phân bố đều
trên mặt cắt ngang của thanh:
A
NZ
NK =,σ
AE
NZ
.
.ll =∆
l∆
Điều kiện bền (tránh phá hủy chi tiết):
[ ]NKZNK AN ,, σσ ≤= Với [σ] là ứng suất cho phép của vật liệu, giá trị lấy từ thực nghiệm. 
Biến dạng dài: Với là biến dạng dài (mm).
là chiều dài thanh (mm).
E là mô đun đàn hồi của thanh (nếu là thép
thì E = 2.1x105 MPa.
l
Với σK,N là ứng suất kéo – nén (MPa –
MegaPascal).
NZ là nội lực (lực dọc) – (N)
A là diện tích mặt cắt ngang của thanh
(mm2).
25
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
5.4.2 Dầm thẳng chịu uốn:
Thanh chịu uốn gọi là dầm.
Khi chịu uốn, trên mặt cắt ngang của
dầm sẽ có thớ vật liệu chịu kéo, thớ vật
liệu chịu nén và những thớ vật liệu
không chịu kéo nén gọi là thớ trung hòa. 
Tập hợp các thớ trung hòa gọi là đường
trung hòa. 
26
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
Ứng suất uốn tại vị trí cách đường trung hòa một khoảng y
y
J
M
x
x
z =σ
Ứng suất uốn cực đại:
• Với tiết diện chữ nhật b x h
x
xxx
zF W
M
hb
Mh
hb
M ==×==
6
.2
12
. 23
σσ
Điều kiện bền (tránh phá hủy chi tiết):[ ]σσ ≤F Với [σ] là ứng suất cho phép của vật liệu, giá trị lấy từ thực nghiệm. 
Với tiết diện hình hình tròn 3
3
1.0
32
. DDWx ×≈= π
6
. 2hbWx =⇒WX gọi là mô men chống uốn
27
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
5.4.3 Thanh thẳng chịu xoắn:
Thanh chịu xoắn khi trên mặt cắt ngang
chỉ có thành phần nội lực MZ.
Ứng suất trong thanh chịu xoắn là ứng
suất tiếp τX.
Ứng suất τX tại điểm cách trọng tâm mặt
cắt bán kính ρ là:
ρτ
0J
MZ
X =
Ứng suất cực đại của tiết diện hình tròn:
0
34
16
.2
32
. W
M
D
MD
D
M ZZZ
X ==×= ππτ
W0 gọi là mô men chống xoắn
16
. 3
0
DW π=
Điều kiện bền [ ]ττ ≤X
28
Cơ học máy TS Phan Tấn Tùng
5.4.4 Thuyết bền:
Trong thực tế chỉ xác định được ứng suất cho phép ở trạng thái ứng suất
đơn.
Ở trạng thái ứng suất phức tạp, phải qui đổi về trang thái ứng suất đơn
để kiểm tra bền.
Có 5 thuyết bền đưa ra giả thuyết về cách qui đổi từ trạng thái ứng suất
phức tạp về trạng thái ứng suất đơn. Trong đó ta chỉ xét đến thuyết bền 4.
Trạng thái ứng suất đơn tương đương theo thuyết bền 4
22 .3τσσ +=tđ Điều kiện bền [ ]σσ ≤tđ
Hết chương 2