Điều khiển hệ con lắc ngược - Xe sử dụng đại số gia tử

 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 51.2019 30
KHOA HỌC
< 
ĐIỀU KHIỂN HỆ CON LẮC NGƯỢC - XE 
SỬ DỤNG ĐẠI SỐ GIA TỬ 
CONTROL OF AN INVERTED PENDULUM - CART SYSTEM USING HEDGE ALGEBRAS 
Bùi Hải Lê1, Phạm Minh Nam1, 
Bùi Thanh Lâm2,* 
TÓM TẮT 
Cơ cấu con lắc ngược đặt trên xe là một hệ hụt dẫn động phi tuyến thường 
được dùng như một đối tượng nghiên cứu tiêu chuẩn và điển hình trong điều 
khiển. Lý thuyết Đại số gia tử (Hedge Algebras - HA) được phát triển từ năm 1990 
với nhiều ưu điểm và đã được ứng dụng vào điều khiển từ năm 2008. Trong bộ
điều khiển dựa trên Đại số gia tử (Hedge algebras based controller - HAC), các giá 
trị ngôn ngữ trong cơ sở luật có thể được thay thế tương đương bằng các giá trị
ánh xạ ngữ nghĩa định lượng (semantically quantifying mapping - SQM) và vì vậy 
cơ sở luật có thể được biểu diễn dưới dạng một lưới số 3 chiều. Việc xác định biến 
điều khiển từ các biến trạng thái được thực hiện dựa trên lưới số này sử dụng các 
phép nội suy tuyến tính. Đây là một ưu điểm nổi bật của HAC so với bộ điều khiển 
mờ truyền thống, sử dụng các phép tính tương đối rắc rối về thao tác. Trong bài 
báo này, bài toán điều khiển cân bằng hệ con lắc ngược - xe sử dụng Đại số gia tử
được trình bày, trong đó các kết quả mô phỏng được so sánh với kết quả thu được 
từ bộ điều khiển LQR. 
Từ khóa: Điều khiển, con lắc ngược - xe, Đại số gia tử. 
ABSTRACT 
The inverted pendulum - cart mechanism is an under actuated and non-linear 
system and it is usually used as a benchmark model in control. Hedge Algebras (HA) 
theory has been developed since 1990 with many advantages. It has been applied 
in control since 2008. In the Hedge algebras based controller (HAC), linguistic values 
in rule base are represented by their semantically quantifying mappings (SQM) and 
hence numerical representation of the rule base can be described in term of a grid 
of nodes. Determination of control variable from given state variables is performed 
based on this grid using linear interpolations. This is an advantage of HAC. In this 
report, the problem of stable control of an inverted pendulum - cart system using 
HA is presented, in which simulation results of the controller HAC are also compared 
with those of the controller LQR. 
Keywords: Control, inverted pendulum - cart, Hedge Algebras. 
1Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 
2Khoa Cơ khí, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội 
*Email: thanhlam710@gmail.com 
Ngày nhận bài: 20/12/2019 
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 07/3/2019 
Ngày chấp nhận đăng: 25/4/2019 
1. GIỚI THIỆU 
Các hệ con lắc nói chung và hệ con lắc ngược đặt trên 
xe nói riêng là các mô hình phi tuyến mất cân bằng điển 
hình và chúng thường được coi là các đối tượng chuẩn để 
kiểm nghiệm hiệu quả của các phương pháp điều khiển. 
Nhiều nghiên cứu về điều khiển các hệ con lắc ngược đặt 
trên xe đã được công bố. 
Bộ điều khiển mờ để điều khiển cân bằng hệ con lắc 
ngược hụt dẫn động đặt trên xe được trình bày trong [1] 
dựa trên các mô đun luật đầu vào đơn SIRMs (Single Input 
Rule Modules) kết nối với mô hình suy luận mờ, trong đó 
bộ điều khiển mờ có 4 đầu vào, mỗi đầu vào có một SIRM 
và một trọng số. Trong [2], bộ điều khiển mờ với 6 đầu vào 
và 1 đầu ra được đề xuất để điều khiển cân bằng hệ 2 con 
lắc ngược song song đặt trên xe. Một cách tiếp cận điều 
khiển mờ của các hệ thời gian rời rạc dựa trên không gian 
trạng thái sử dụng hàm tiếp tuyến hyperbol được đề xuất 
trong [3] để điều khiển cân bằng một hệ con lắc ngược - xe. 
Trong [4] trình bày về bộ điều khiển mờ để điều khiển hệ 
con lắc ngược - xe sử dụng lập trình Java. Bộ điều khiển mờ 
gồm 3 thành phần để điều khiển góc lệch của con lắc và vị 
trí của xe của một cơ cấu con lắc ngược đặt trên xe được đề 
xuất trong [5]. Bộ điều khiển mờ thích nghi để điều khiển 
cân bằng và chuyển động của một hệ con lắc ngược có 
bánh xe với các tham số không chắc chắn được nghiên cứu 
trong [6]. Trong [7], bộ điều khiển bù phân bố song song 
mờ được đề xuất để điều khiển cân bằng hệ con lắc ngược 
đặt trên xe. 
Điều khiển mờ, dựa trên lý thuyết tập mờ được Zadeh 
giới thiệu vào năm 1965, có nhiều ưu điểm như linh hoạt và 
đơn giản trong thiết kế, hiệu quả điều khiển cao, đảm bảo 
độ ổn định và bền vững khi điều khiển các hệ phức tạp, phi 
tuyến và có các tham số không chắc chắn. Vì vậy, nó được 
sử dụng rộng rãi các hệ điều khiển quá trình với nhiều ứng 
dụng khác nhau [8]. Tuy nhiên, một bộ điều khiển mờ 
truyền thống (conventional fuzzy controller – FC) cũng có 
nhiều điểm hạn chế như: đòi hỏi thời gian tính toán lâu, thứ 
tự ngữ nghĩa vốn có của các giá trị ngôn ngữ của một biến 
ngôn ngữ không được đảm bảo chặt chẽ và các bước mờ 
hóa và giải mờ khá rắc rối về mặt thao tác [9, 10]. 
Lý thuyết HA được phát minh từ năm 1990 [11] để mô 
hình hóa ngữ nghĩa dựa trên thứ tự của các giá trị ngôn 
ngữ của các biến ngôn ngữ. Mỗi tập giá trị ngôn ngữ có thể 
được coi là một cấu trúc HA [12]. Một trong những đặc 
trưng của một cấu trúc HA là thứ quan hệ thứ tự vốn có của 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 51.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 31
các giá trị ngôn ngữ của mỗi biến ngôn ngữ luôn được đảm 
bảo. Giá trị số định lượng ngữ nghĩa của của những giá trị 
ngôn ngữ này có thể được xác định bởi ánh xạ ngữ nghĩa 
định lượng (semantically quantifying mapping - SQM) dựa 
trên một vài tham số mờ của mỗi biến ngôn ngữ thay vì sử 
dụng các tập mờ [13-16]. Vì vậy, một hệ luật mờ có thể 
được mô tả dưới dạng một hệ luật số [17] hoặc một lưới số 
[10]. Sơ đồ điều khiển của HAC và FC là giống nhau, và 
ngoài ra, HAC đơn giản và thuận tiện hơn khi thiết lập, tính 
cấu trúc cao hơn, tường minh hơn trong thực hiện so với FC 
[10]. Như vậy, HAC có thể dễ dàng ứng dụng vào lĩnh vực 
điều khiển quá trình nói chung và trong điều khiển các mô 
hình cơ học nói riêng, ví dụ trong điều khiển tối ưu con lắc 
ngược [18], trong điều khiển chủ động nhà cao tầng chịu 
tải động đất [10, 19-21] hay trong điều khiển điện áp của 
máy phát từ tự kích [12]. 
Trong bài báo này, các tác giả trình bày về điều khiển cân 
bằng hệ con lắc ngược gắn trên xe sử dụng bộ điều khiển 
dựa trên đại số gia tử, trong đó, góc lệch/vận tốc góc của con 
lắc và vị trí/vận tốc của xe được điều khiển đồng thời. 
2. MÔ HÌNH CON LẮC NGƯỢC GẮN TRÊN XE 
Xét mô hình con lắc ngược gắn trên xe chuyển động 
thẳng như hình 1. Bỏ qua ma sát giữa xe và đường cũng như 
ma sát giữa xe và con lắc. Các thông số của hệ gồm: m0 - khối 
lượng của xe; m - khối lượng của thanh; l - chiều dài của 
thanh; I - mô men quán tính đối với tâm của thanh; φ - góc 
hợp bởi thanh với mặt phẳng thẳng đứng; u(t) - lực điều 
khiển; lc - khoảng cách từ O đến trọng tâm C của thanh. 
Hình 1. Mô hình con lắc ngược gắn trên xe 
Quan hệ giữa vị trí, vận tốc, gia tốc của thanh với vị trí, 
vận tốc, gia tốc của xe và góc φ như sau: 
G c G c G c
2
G c G c c
2
G c c
x x l sinφ ; y l cosφ ; x x l cosφ.φ ;
y l sinφ.φ;x x l sinφ.φ l cosφ.φ ;
y l cosφ.φ l sinφ.φ
= + = = +
= = +
= 
 
    
 
 (1) 
Phương trình chuyển động theo phương x của xe và thanh: 
;x 0 x Gu N m x N mx = = 
(2) 
Thay Gx ở trên vào ta được: 
2
x c c 0
2
c c
0
u N u m(x l sinφ.φ l cosφ.φ) m x
u ml sinφ.φ ml cosφ.φ
x
m m
 = + =
+ 
 =
+
  
 

(3) 
Phương trình cân bằng momen của thanh: 
0 qt c cI φ F l cos φ mgl sin φ= + 
(4) 
Trong đó: 
2 2
0 c c
2
c c
qt
0
4I I ml ml ;
3
u ml sinφ.φ ml cosφ.φF mx m
m m
= + =
+ 
= =
+
 

(5) 
Thay x vào (5), suy ra: 
2
2 c c
c c
0
c
u ml sinφ.φ ml cosφ.φ
(I ml )φ m l cosφ
m m
mgl sinφ
+ 
+ = 
+
+
 

(6) 
Như vậy: 
2
0 c c
2
c c c
m m x ml cosφφ u(t) ml φ sinφ
ml cosφx ml I φ ml gsinφ
+ + = +
+ + =
 

(7) 
Suy ra: 
2 2 2 2
c c c
2 2 2 2
0 c c
2
0 c c c
2 2 2 2
0 c c
u(t) ml φ sinφ ml I m l gsinφcosφ
x
m m ml I m l cos φ
m m ml gsinφ ml cosφ u(t) ml φ sinφ
φ
m m ml I m l cos φ
+ + 
=
+ + 
+ +
=
+ + 




(8) 
Đặt các biến trung gian như sau: 
1 2 3 4x x, x x, x φ, x φ= = = =  
Từ đó ta có phương trình trạng thái của hệ: 
1 2
2 2 2 2
c 4 3 c c 3 3
2 2 2 2 2
0 c c 3
3 4
2
0 c 3 c 3 c 4 3
4 2 2 2 2
0 c c 3
x x
u(t) ml x sinx ml I m l gsinx cosx
x
m m ml I m l cos x
x x
m m ml gsinx ml cosx u(t) ml x sinx
x
m m ml I m l cos x
=
+ + 
=
+ + 
=
+ +
=
+ + 




(9) 
Mục tiêu điều khiển cân bằng của hệ là đưa các biến 
trạng thái ix 0 khi một số các biến trạng thái khác 
không, i 1 4=  . 
3. BỘ ĐIỀU KHIỂN DỰA TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ - HAC 
Xét cấu trúc đại số gia tử AX của một biến ngôn ngữ X: 
AX (X,G,C,H, )= (10) 
trong đó  G Negative Positive c c += =, , là tập các nhãn 
gốc; C = 0,W,1 với 0, W và 1 lần lượt là các hằng số 
absolutely Negative, neutral và absolutely Positive; 
 H Very Little H H+ = = , là tập các gia tử; và là quan hệ 
thứ tự của X. 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 51.2019 32
KHOA HỌC
Các định nghĩa, định lý và các công thức cơ bản của lý 
thuyết HA trong [11, 13, 15, 16, 22-25] cho phép xác định 
tất cả ánh xạ ngữ nghĩa định lượng (semantically 
quantifying mapping – SQM) có thể có của các giá trị ngôn 
ngữ của biến ngôn ngữ X. Trong trường hợp fm(c ) và 
(h ) = 0,5, các giá trị ngôn ngữ điển hình với các SQM của 
X được thể hiện trên bảng 1, trong đó fm(c ) là độ đo tính 
mờ của c và (h ) là độ đo tính mờ của h và N, P, V và L lần 
lượt là các kí hiệu của Negative, Positive, Very và Little. 
Bảng 1. Các giá trị ngôn ngữ điển hình 
Giá trị ngôn ngữ VN N LN W LP P VP 
SQM 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 
Tiếp theo, bộ điều khiển HAC gồm 4 biến trạng thái (xi,
i 1 4=  ) và 1 biến điều khiển (u), được trình bày với sơ đồ 
điều khiển như trên Hình 2. Giả thiết rằng các khoảng xác 
định của các biến trạng thái và điều khiển được cho như 
sau:  i i ix a a , , i 1 4=  và  u b b , . Các giá trị ngôn 
ngữ với SQM của các biến được lựa chọn như trên bảng 2 
(ký hiệu là “ ”). Sơ đồ chuẩn hóa của các biến trạng thái, 
chuyển đổi từ miền xác định sang miền SQM, thể hiện trên 
hình 3a, trong đó xis là giá trị SQM của xi. Cơ sở luật mờ HA 
gồm 81 luật được thể hiện trên bảng 3 [26]. 
Hình 2. Sơ đồ điều khiển HAC 
Bảng 2. Các giá trị ngôn ngữ được lựa chọn 
Biến ngôn 
ngữ 
VN: 
0,125 
N: 
0,25 
LN: 
0,375 
W: 
0,5 
LP: 
0,625 
P: 
0,75 
VP: 
0,875 
x1 
x2 
x3 
x4 
u 
Hình 3. Sơ đồ chuẩn hóa của các biến trạng thái (a) và giải chuẩn của biến 
điều khiển (b) 
Bảng 3. Cơ sở luật mờ HA 
TT x1 x2 x3 x4 u TT x1 x2 x3 x4 u TT x1 x2 x3 x4 u 
1 N N N N VN 28 W N N N VN 55 P N N N N 
2 N N N W VN 29 W N N W N 56 P N N W LN 
3 N N N P N 30 W N N P LN 57 P N N P W 
4 N N W N VN 31 W N W N N 58 P N W N LN 
5 N N W W N 32 W N W W LN 59 P N W W W 
6 N N W P LN 33 W N W P W 60 P N W P LP 
7 N N P N N 34 W N P N LN 61 P N P N W 
8 N N P W LN 35 W N P W W 62 P N P W LP 
9 N N P P VN 36 W N P P LP 63 P N P P P 
10 N W N N VN 37 W W N N N 64 P W N N LN 
11 N W N W N 38 W W N W LN 65 P W N W W 
12 N W N P LN 39 W W N P W 66 P W N P LP 
13 N W W N N 40 W W W N LN 67 P W W N W 
14 N W W W LN 41 W W W W W 68 P W W W LP 
15 N W W P W 42 W W W P LP 69 P W W P P 
16 N W P N LN 43 W W P N W 70 P W P N LP 
17 N W P W W 44 W W P W LP 71 P W P W P 
18 N W P P LP 45 W W P P LP 72 P W P P VP 
19 N P N N N 46 W P N N P 73 P P N N VP 
20 N P N W LN 47 W P N W LN 74 P P N W LP 
21 N P N P W 48 W P N P LP 75 P P N P P 
22 N P W N LN 49 W P W N W 76 P P W N LP 
23 N P W W W 50 W P W W LP 77 P P W W P 
24 N P W P LP 51 W P W P P 78 P P W P VP 
25 N P P N W 52 W P P N LP 79 P P P N P 
26 N P P W LP 53 W P P W P 80 P P P W VP 
27 N P P P P 54 W P P P VP 81 P P P P VP 
Suy luận HA để tính toán giá trị SQM us của biến điều 
khiển u sử dụng phép nhân. Ví dụ với luật 22 ta có: 
Nếu x1 = N, x2 = P, x3 = W và x4 = N thì u = LN 
Khi sử dụng phép nhân trong miền SQM ta có: 
Nếu x1s × x2s × x3s × x4s = 0,25×0,625×0,5×0,25 = 
0,01953125 thì us = 0,375 
Sơ đồ suy luận HA sử dụng phép nhân được thể hiện 
trên hình 4. 
Hình 4. Sơ đồ suy luận HA sử dụng phép nhân 
- ai 0 ai xi 
N: 0.25 
W: 0.5 
P: 0.75 
xis 
- b 0 b u 
VN: 0.125 
W: 0.5 
VP: 0.875 
us 
a) b) 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4
x1s × x2s × x3s × x4s 
u s
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 51.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 33
Giá trị SQM us thu được phải được chuyển đổi sang giá 
trị thực của biến điều khiển. Bước này có thể sử dụng lại 
bước chuẩn hóa, gọi là bước giải chuẩn, xem hình 3b. 
4. KẾT QUẢ SỐ 
Các tham số của mô hình con lắc ngược đặt trên xe và 
của bộ điều khiển được cho như sau: m0 = 1kg, m = 0,1kg, 
 g = 9,81m/s2, lc = 1 m; a1 = 3m, a2 = 3m/s, a3 = 0,3rad, 
a4 = 1rad/s và b = 40N. 
Kết quả đáp ứng theo thời gian của góc lệch và vận tốc 
góc của con lắc và vị trí và vận tốc của của xe với 2 bộ điều 
khiển HAC và LQR được lần lượt thể hiện trên các hình 5-8. 
Trong đó, véc tơ hệ số K của bộ điều khiển LQR được tính 
toán như sau: 
 , , ,K 1 2 4644 36 9505 13 0522= (11) 
Hình 5. Góc lệch của con lắc, nét liền: HAC, nét đứt: LQR 
Hình 6. Vận tốc góc của con lắc, nét liền: HAC, nét đứt: LQR 
Hình 7. Vị trí của xe, nét liền: HAC, nét đứt: LQR 
Hình 8. Vận tốc của xe, nét liền: HAC, nét đứt: LQR 
Thời gian tính toán (CPU time) của các bộ điều khiển 
được thể hiện trên bảng 4. Trong đó, các mô phỏng được 
thực hiện trên máy tính có vi xử lý Core i7-2640M, bộ nhớ 
RAM 8GB với thời gian mô phỏng 10s và bước thời gian 
(timestep) 0,01s. 
Bảng 4. Thời gian tính toán (CPU time), s 
HAC 4,23 
LQR 32,77 
Qua các kết quả mô phỏng số, có thể thấy rằng: 
- Bộ điều khiển HAC hoạt động đơn giản, tường minh vì 
đều sử dụng các phép nội suy tuyến tính (hình 3 và 4). Cơ 
chế suy luận HA trên hình 4 cho phép xác định nhanh và dễ 
dàng biến điều khiển từ các biến trạng thái đầu vào. 
- Hiệu quả điều khiển của HAC tương đương với LQR. 
Điểm vọt lố của vị trí và vận tốc xe của HAC thấp hơn so với 
LQR. 
- Đặc biệt, thời gian tính toán (CPU time) của HAC nhanh 
hơn nhiều so với LQR, mặc dù biến điều khiển u theo LQR là 
một biểu thức tường minh. Đây là một lợi thế của HAC khi 
ứng dụng vì trong thực tế điều khiển yếu tố trễ (trong đó có 
nguyên nhân do CPU time) là không thể tránh khỏi. 
- Hệ luật điều khiển gồm 81 luật của HAC trong bài báo 
này tương đối khó hình dung và thiết lập nếu chỉ dựa vào 
kinh nghiệm chuyên gia nên cần có sự cải tiến hệ luật này. 
5. KẾT LUẬN 
Bài báo này trình bày về bài toán điều khiển cân bằng 
của hệ con lắc ngược đặt trên xe sử dụng bộ điều khiển dựa 
trên Đại số gia tử (HAC). Trong đó, góc lệch và vận tốc góc 
của con lắc cũng như vị trí và vận tốc của xe được điều 
khiển đồng thời. Các kết quả mô phỏng của bộ điều khiển 
HAC cũng được so sánh với bộ điều khiển LQR. 
Hướng phát triển tiếp theo là tối ưu hệ luật và đề xuất 
các cơ chế suy luận HA mới để cải thiện hiệu quả điều khiển 
của mô hình cũng như so sánh kết quả mô phỏng và CPU 
time giữa HAC và FC để kiểm chứng các ưu điểm của HAC 
trong dạng bài toán này. 
LỜI CẢM ƠN 
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học 
và công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 
107.01-2017.306. 
-0,15 
-0,1 
-0,05 
0 
0,05 
0,1 
0,15 
0,2 
0,25 
0 2 4 6 8 10
x1 (rad) 
Thời gian (s) 
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0 2 4 6 8 10 
x2 (rad/s) 
Thời gian (s) 
-0,4
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
0 2 4 6 8 10 
x3 (m) 
Thời gian (s) 
-1,2
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
1,2
0 2 4 6 8 10 
Thời gian (s) 
x4 (m/s) 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 51.2019 34
KHOA HỌC
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Yi, J. and N. Yubazaki, 2000. Stabilization fuzzy control of inverted 
pendulum systems. Artificial Intelligence in Engineering. 14(2), 153-163. 
[2]. Yi, J., N. Yubazaki, and K. Hirota, 2002. A new fuzzy controller for 
stabilization of parallel-type double inverted pendulum system. Fuzzy Sets and 
Systems. 126(1), 105-119. 
[3]. Margaliot, M. and G. Langholz, 2003. A new approach to fuzzy 
modeling and control of discrete-time systems. IEEE Transactions on Fuzzy 
Systems. 11(4), 486-494. 
[4]. Becerikli, Y. and B.K. Celik, 2007. Fuzzy control of inverted pendulum 
and concept of stability using Java application. Mathematical and Computer 
Modelling. 46(1-2), 24-37. 
[5]. Tao, C.-W., et al., 2008. Fuzzy hierarchical swing-up and sliding 
position controller for the inverted pendulum–cart system. Fuzzy Sets and 
Systems. 159(20), 2763-2784. 
[6]. Li, Z. and C. Xu, 2009. Adaptive fuzzy logic control of dynamic balance 
and motion for wheeled inverted pendulums. Fuzzy Sets and Systems. 160(12), 
1787-1803. 
[7]. Roose, A.I., S. Yahya, and H. Al-Rizzo, 2017. Fuzzy-logic control of an 
inverted pendulum on a cart. Computers & Electrical Engineering. 61, 31-47. 
[8]. Precup, R.-E. and H. Hellendoorn, 2011. A survey on industrial 
applications of fuzzy control. Computers in Industry. 62(3), 213-226. 
[9]. Anh, N.D., et al., 2013. Application of hedge algebra‐based fuzzy 
controller to active control of a structure against earthquake. Structural Control 
and Health Monitoring. 20(4), 483-495. 
[10]. Bui, H.-L., et al., 2015. General design method of hedge-algebras-
based fuzzy controllers and an application for structural active control. Applied 
Intelligence. 43(2), 251-275. 
[11]. Ho, N.C. and W. Wechler, 1990. Hedge algebras: an algebraic 
approach to structure of sets of linguistic truth values. Fuzzy sets and systems. 
35(3), 281-293. 
[12]. Vukadinović, D., et al., 2014. Hedge-algebra-based voltage controller 
for a self-excited induction generator. Control Engineering Practice. 30, 78-90. 
[13]. Ho, N.C. and W. Wechler, 1992. Extended hedge algebras and their 
application to fuzzy logic. Fuzzy sets and systems. 52(3), 259-281. 
[14]. Ho, N. and H. Nam, 2002. Towards an algebraic foundation for a Zadeh 
fuzzy logic. Fuzzy Set and System. 129, 229-254. 
[15]. Ho, N.C., 2007. A topological completion of refined hedge algebras and 
a model of fuzziness of linguistic terms and hedges. Fuzzy Sets and Systems. 
158(4), 436-451. 
[16]. Ho, N.C. and N. Van Long, 2007. Fuzziness measure on complete hedge 
algebras and quantifying semantics of terms in linear hedge algebras. Fuzzy Sets 
and Systems. 158(4), 452-471. 
[17]. Ho, N.C., V.N. Lan, and L.X. Viet, 2008. Optimal hedge-algebras-based 
controller: Design and application. Fuzzy Sets and Systems. 159(8), 968-989. 
[18]. Bui, H.-L., D.-T. Tran, and N.-L. Vu, 2012. Optimal fuzzy control of an 
inverted pendulum. Journal of vibration and control. 18(14), 2097-2110. 
[19]. Duc, N.D., et al., 2012. A study on the application of hedge algebras to 
active fuzzy control of a seism-excited structure. Journal of Vibration and Control. 
18(14), 2186-2200. 
[20]. Anh, N.D., et al., 2013. Application of hedge algebra-based fuzzy 
controller to active control of a structure against earthquake. Structural Control 
and Health Monitoring. 20(4), 483-495. 
[21]. Bui, H.-L., et al., 2015. Vibration control of uncertain structures with 
actuator saturation using hedge-algebras-based fuzzy controller. Journal of 
Vibration and Control, 1077546315606601. 
[22]. NGUYEN, C.H., et al., 1999. Hedge algebras, linguistic-value logic and 
their application to fuzzy reasoning. International Journal of Uncertainty, 
Fuzziness and Knowledge-Based Systems. 7(04), 347-361. 
[23]. Nguyen, C.H., et al., 2013. A genetic design of linguistic terms for fuzzy 
rule based classifiers. International Journal of Approximate Reasoning. 54(1), 1-
21. 
[24]. Nguyen, C.H., T.S. Tran, and D.P. Pham, 2014. Modeling of a semantics 
core of linguistic terms based on an extension of hedge algebra semantics and its 
application. Knowledge-Based Systems. 67, 244-262. 
[25]. Nguyen, C.-H. and W. Pedrycz, 2014. A construction of sound semantic 
linguistic scales using 4-tuple representation of term semantics. International 
Journal of Approximate Reasoning. 55(3), 763-786. 
[26]. Varsek, A., T. Urbancic, and B. Filipic, 1993. Genetic algorithms in 
controller design and tuning. IEEE transactions on Systems, Man, and Cybernetics. 
23(5), 1330-1339. 
AUTHORS INFORMATION 
Bui Hai Le1, Pham Minh Nam1, Bui Thanh Lam2 
1School of Mechanical Engineering, Hanoi University of Science and Technology 
2Faculty of Mechanical Engineering, Hanoi University of Industry