Giáo trình Lý thuyết cán

Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 1
Phần I: cơ sở lý thuyết cán 
******* 
Ch−ơng 1 
điều kiện để trục ăn đ−ợc kim loại khi cán 
1.1- Khái niệm về góc ma sát, hệ số ma sát và lực ma sát 
 Hãy quan sát một vật thể Q có trọng l−ợng G nằm trên một mặt phẳng F: 
 Khi ta nâng dần mặt phẳng nằm 
ngang F lên theo mũi tên A qua bản lề B, 
đến khi mặt F làm với ph−ơng nằm ngang 
một góc β nào đó thì vật thể Q bắt đầu 
chuyển động trên mặt nghiêng F với một 
lực là T và lập tức xuất hiện một lực cản là 
T’, có trị số tuyệt đối bằng lực T nh−ng 
chiều thì ng−ợc lại với lực T: 
T = T’ (1.1) 
 Lực T’ ta gọi là lực ma sát của Q trên mặt phẳng F. Vật thể Q tr−ợt trên mặt 
phẳng F hoàn toàn do bản thân trọng l−ợng G của nó. Tại thời điểm G bắt đầu tr−ợt 
thì trọng l−ợng G đ−ợc chia làm 2 thành phần (nh− hình): lực P vuông góc với mặt 
phẳng F (để áp sát Q vào F) và lực T tạo cho Q sự chuyển động tr−ợt, chính lực này 
tạo ra lực ma sát T’. 
 Từ hình vẽ, ta có: 
P
T
tg =β (1.2) 
đặt tgβ = f, ta có: T = f.P (1.3) 
trong đó, β: góc ma sát 
 f: hệ số ma sát 
 T: lực ma sát 
 Biểu thức (1.2) cho ta thấy rằng trị số lực ma sát T phụ thuộc vào hệ số ma 
sát f và lực pháp tuyến P. 
1.2- Điều kiện để trục ăn vật cán 
 Tr−ớc hết chúng ta cần phân biệt quá trình cán đối xứng và không đối xứng. 
Nếu nh− các thống số công nghệ ví dụ nh− đ−ờng kính trục cán, ma sát trên bề mặt, 
bề mặt trục cán, nhiệt độ của trục cán... của trục cán trên và trục cán d−ới đều giống 
nhau, hoặc có thể coi là giống nhau thì quá trình cán ấy đ−ợc gọi là quá trình cán 
đối xứng. Ng−ợc lại, khi các thông số công nghệ nh− đã nói ở trên của hai trục cán 
khác nhau thì quá trình cán ấy đ−ợc gọi là quá trình cán không đối xứng. 
 Để đơn giản cho việc nghiên cứu điều kiện trục ăn vật cán, chúng ta giả thiết 
rằng quá trình cán là đối xứng (trong thực tế ít gặp), giả thiết trên một giá cán có 
G 
P 
T 
T’ 
F
A
B β Q
Hình 1.1- Sơ đồ giải thích góc
ma sát và lực ma sát
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 2
hai trục với tâm là O1 và O2 đối xứng qua mặt phẳng, x-x tại một thời điểm t nào đó 
phôi cán tịnh tiến đến tiếp giáp với hai bề mặt trục tại A và B (lực chuyển động là 
vô cùng bé). 
 Trong khi hai trục đang quay với các tốc độ là V1, V2 (đã giả thiết V1 = V2), 
bán kính của hai trục là R1 và R2 (R1 = R2). Tại hai điểm A và B qua hai đ−ờng 
thẳng h−ớng tâm O1 và O2 (ta có AO1 = BO2) hai đ−ờng này làm với đ−ờng thẳng 
O1O2 những góc α1 và α2 (α1 = α2) ta gọi là góc ăn. Tại thời điểm mà vật cán tiếp 
xúc với hai trục cán, trục cán sẽ tác dụng lên vật cán các lực P1 và P2 (P1 = P2), đồng 
thời với chuyển động tiếp xúc trên bề mặt vật cán xuất hiện hai lực ma sát tiếp xúc 
T1 và T2 có chiều theo chiều chuyển động đi vào của vật cán (T1 = T2). 
Ta đã giả thiết quá trình cán là đối xứng cho nên các ngoại lực tác động lên 
vật cán ví dụ nh− lực đẩy, lực kéo căng... là không có, đồng thời lực quán tính do 
bản thân trọng l−ợng của vật cán tạo ra ta bỏ qua. 
Với các lực P1, P2, T1 và T2 khi chiếu lên ph−ơng x-x là ph−ơng chuyển động 
của vật cán, chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng: nếu nh− T1 + T2 ≥ Px1 + Px2 hoặc là 
Tx1 + Tx2 ≥ Px1 + Px2 thì vật cán đi tự nhiên vào khe hở giữa hai trục cán, nghĩa là 
chúng ta có điều kiện trục cán ăn kim loại tự nhiên. 
 Tx1 = T1.cosα1 ; Tx2 = T2.cosα2 
 Px1 = P1.cosα1 ; Px2 = P2.cosα2 (1.4) 
Theo biểu thức (1.3) thì: 
 T1 = f.P1 ; T2 = f.P2 (f: hệ số bề mặt tiếp xúc) 
Theo giả thiết, quá trình cán là đối xứng nên ta có: 
 f.P1.cosα1 ≥ P1.sinα1 (1.5) 
Suy ra, f ≥ tgα1 hoặc tgβ ≥ tgα1 (1.6) 
Vì vậy, β ≥ α1 (1.7) 
Từ (1.7) ta kết luận: Với quá trình cán đối xứng, để trục cán ăn đ−ợc kim loại 
một cách tự nhiên, tại thời điểm tiếp xúc đầu tiên thì góc ma sát β > góc ăn α. 
R1
O1 
V1 
Tx1 
T1 
Px1 
P1 
A α1 
α2 
O2 
Px2 
P2 
R2
T2 
Tx2 
x x 
V2 
O1 
V1
Tx 
T 
Px 
P 
A α 
O2 V2
B 
Hình 1.2- Sơ đồ điều kiện trục ăn vật cán. 
a) b) 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 3
Sau thời điểm trục ăn vật cán, quá trình cán đ−ợc tiếp tục cho đến khi cán hết 
chiều dài của vật cán. Trong thời gian đó, ta coi quá trình cán là ổn định. Nh− vậy 
thì khi quá trình là ổn định thì điều kiện ban đầu theo biểu thức (1.7) có cần phải 
thoả mãn nữa không? 
Ta biết rằng, sau thời điểm ăn ban đầu thì vật cán và trục cán hình thành một 
bề mặt tiếp xúc, do sự hình thành bề mặt tiếp xúc mà điểm đặt lực đ−ợc di chuyển 
và thay đổi (hình 1.2b). Giả thiết lực đơn vị phân bố đều trên bề mặt tiếp xúc (là 
cung chắn góc ở tâm α1 (α2)). Trong tr−ờng hợp này, nếu nh− ta vẫn khảo sát nh− 
tại thời điểm bắt đầu ăn thì từ biểu thức (1.5) ta thay góc ăn α1 bằng góc α1/2: 
2
sinP
2
cosP.f 11
1
1
α≥α (1.8) 
Suy ra, 
2
tgtghoặc
2
tgf 11
α≥βα≥ 
Do đó, 1
1 2hay
2
α≥βα≥β (1.9) 
Từ biểu thức (1.9) ta rút ra kết luận: Khi quá trình cán đã ổn định thì ta có 
thể giảm đ−ợc ma sát trên bề mặt tiếp xúc, hoặc tăng đ−ợc góc ăn ban đầu tức là 
tăng đ−ợc l−ợng ép. 
Trong thực tế, nếu các điều kiện về công suất động cơ, độ bền của trục cán 
và các điều kiện công nghệ khác cho phép thì ng−ời ta tăng ma sát bằng cách hàn 
vết hoặc đục rãnh trên bề mặt trục cán để tăng đ−ợc l−ợng ép cho một lần cán. 
1.3- Điều kiện để trục ăn vật cán khi hai đ−ờng kính trục cán khác nhau 
 Trong thực tế, hầu hết ở các máy cán th−ờng có đ−ờng kính trục cán không 
bằng nhau với lý do ph−ơng chuyển động của phôi cán lúc ra khỏi khe hở của trục 
cán phụ thuộc vào nhiều yếu tố công nghệ do đó không ổn định. Nhằm mục đích 
khống chế và ổn định đ−ợc ph−ơng chuyển động của vật cán lúc ra khỏi khe hở của 
trục cán, ng−ời ta cố ý làm hai trục cán có đ−ờng kính khác nhau, sự chênh lệch về 
đ−ờng kính trục cán trong tr−ờng hợp này đ−ợc gọi là “cán có áp lực”. 
Nếu nh− đ−ờng kính trục trên lớn hơn trục d−ới, ta có áp lực trên, ng−ợc lại 
là có áp lực d−ới. ở các máy cán hình bé thì trị số áp lực này là 2 ữ 3mm; ở các 
máy cán hình lớn là 10mm; ở các máy cán phá, ng−ời ta dùng áp lực d−ới có trị số 
đạt đến 20mm. 
 Vì đ−ờng kính hai trục cán khác nhau nên l−ợng ép ở hai trục cũng khác 
nhau và có giá trị nh− sau: 
 - L−ợng ép ở trên trục có đ−ờng kính bé: 
R
r
1
h
2
hr
+
∆=∆ (1.10) 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 4
 - L−ợng ép trên trục có đ−ờng kính lớn: 
R
r
1
R
h
2
h
r
R
+
∆
=∆ (1.11) 
trong đó, ∆h: tổng l−ợng ép ở cả hai trục (∆h = H - h) 
 ∆hr: l−ợng ép đ−ợc thực hiện trên trục có đ−ờng kính bé (bán kính r) 
 ∆hR: l−ợng ép đ−ợc thực hiện trên trục có đ−ờng kính lớn (bán kính R) 
 Điều kiện trục ăn vật cán khi hai trục cán có đ−ờng kính khác nhau đ−ợc 
xem xét khi chiếu tất cả các lực lên ph−ơng nằm ngang là ph−ơng chuyển động của 
phôi cán (hình 1.3). 
 ΣX = f.Pr.cosαr + f.PR.cosαR - Pr.sinαr - PR.sinαR = 0 
 Trong tr−ờng hợp này ta giả thiết rằng: 
 Pr ≈ PR; r.sinαr = R.sinαR ; cosαr = cosαR 
 Nh− vậy: rr sinR
r
1cosf2 α⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=α 
 Hay: rtgR
r
1tg2 α⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=β (1.12) 
 Vì góc ăn α trên cả hai trục là rất bé đồng thời góc ma sát β cũng bé cho nên 
ta có thể tìm đ−ợc điều kiện ăn ở hai trục có đ−ờng kính khác nhau nh− sau: 
 - Với trục có đ−ờng kính bé: 
 β
+
≤α
R
r
1
2
r (1.13) 
 - Với trục có đ−ờng kính lớn: 
 β
+
≤α
r
R
1
2
R (1.14) 
Hình 1.3- Sơ đồ trục cán ăn kim loại khi đ−ờng kính trục khác nhau 
r 
Tr 
PR 
αr 
αR 
Pr 
R 
TR 
R.sinαR 
a) 
r.sinαr 
r 
Tr 
PR 
αr 
αR Pr R 
TR 
∆hR/2
b) ∆hr/2
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 5
 Từ hai biểu thức (1.13) và (1.14) ta xác định đ−ợc điều kiện ăn ở cả hai trục: 
 αr + αR ≤ 2β (1.15) 
 Khi quá trình cán đã ổn định với giả thiết là lực đơn vị phân bố đều trên bề 
mặt tiếp xúc. Từ (1.12) ta thay αr bằng αr/2 và αR bằng αR/2. Bằng các phép biến 
đổi t−ơng tự nh− trên, ta có thể tìm đ−ợc điều kiện ăn ở trên cả hai trục nh− sau: 
 αr + αR ≤ 4β (1.16) 
1.4- Điều kiện để trục ăn vật cán khi chỉ có một trục cán đ−ợc dẫn động 
 ở một số tr−ờng hợp, quá trình cán đ−ợc thực hiện trên máy chỉ có một trục 
đ−ợc dẫn động. Ưu điểm chủ yếu ở loại máy này là không cần có hộp truyền lực, 
loại máy cán này th−ờng dùng cán tấm mỏng xếp chồng, cán thép dây (sử dụng ở 
giá cán tinh), điều kiện ăn ở đây không có sự tham gia của mômen trên trục không 
dẫn động mà thay vào đó bằng một mômen kháng quay trong các ổ tựa của nó. 
 Mômen kháng quay chính bằng mômen của lực ma sát trên cổ trục cán và có 
thể biểu thị nh− sau: 
 Mms = T1.rc = P.fc.rc (1.17) 
Trong đó, P: áp lực của kim loại lên trục cán 
 fc: hệ số ma sát ở ổ trục cán 
 rc: bán kính cổ trục cán không dẫn động 
 Tại thời điểm kim loại tiếp xúc với trục cán thì xuất hiện các lực P1, P2 và các 
lực ma sát T1, T2 (hình). Lực T1 ở trục không có dẫn động có chiều ng−ợc h−ớng 
cán. Ta lập ph−ơng trình cân bằng lực tác dụng lên cả hai trục khi ăn kim loại nh− 
sau: 
 0cosfPcos
R
rf
PsinPsinPX 2
cc
121 =α−α+α+α=Σ (1.18) 
 Khi P1 = P2, ta có: 
 0tg
R
rf
tg2 cc =β−+α 
R T1 
P1 
α 
α 
P2 
R 
T2 T2 
T1 
P2 
P1 
α 
Hình 1.4- Sơ đồ điều kiện trục ăn vật cán khi có một trục dẫn động.
a) b) rc T1 = f.P
α 
ϕn 
ϕx 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 6
Do đó, 
2
R
rf
tg
tg
cc−β
=α 
Với điều kiện là α, β bé, ta có: 
R2
rf
2
cc−β=α (1.19) 
Từ (1.19) ta thấy,khi cán trên máy có một trục không dẫn động thì góc ăn 
nhỏ hơn 2 lần so với cán trên máy có hai trục đ−ợc dẫn động. Quan sát hình 1.4 khi 
quá trình cán đã ổn định (trục trên không đ−ợc dẫn động), ta lập ph−ơng trình cân 
bằng lực ở tr−ờng hợp tới hạn: 
 ΣX = T2.cosϕn - P2.sinϕn - T1.cosϕx - P1.sinϕx = 0 
 Giả thiết rằng, ϕx = ϕn = ϕ; thay 
R
rf
PT cc11 = , T2 = f.P2, f = tgβ, ta có: 
 0
R
rf
P
P
tg
P
P
tgtg cc
2
1
2
1 =−ϕ−ϕ−β 
Suy ra, 
2
1
cc
2
1
P
P
1
R
rf
P
P
tg
tg
+
−β
=ϕ (1.20) 
Từ (1.20) ta thấy rằng, điều kiện ổn định của quá trình cán khi chỉ có một 
trục đ−ợc dẫn động đ−ợc xác định bởi hệ số ma sát trên bề mặttiếp xúc giữa trục 
cán với phôi và bởi tỷ số áp lực kim loại lên hai trục và trở lực ma sát trong cổ trục. 
Nếu ta cho rằng, ϕ = α/2, P1 = P2 thì từ (1.20) ta có: 
R
rf cc−β=α (1.21) 
Có nghĩa là so với tr−ờng hợp cán có hai trục dẫn động thì góc ăn vẫn nhỏ 
hơn trên 2lần. 
Trong tr−ờng hợp quá trình cán thực hiện ở trục có lỗ hình và chiều rộng đáy 
lỗ hình nhỏ hơn chiều rộng của phôi cán trong lỗ hình đó thì điều kiện trục ăn kim 
loại cũng chịu ảnh h−ởng của các lực ở thành bên của lỗ hình. Vì vậy, góc ăn cực 
đại không những chỉ đ−ợc xác định bởi góc ma sát mà còn đ−ợc xác định bởi góc 
nghiêng của thành bên lỗ hình (góc kẹp chặt phôi). 
Ví dụ: góc ăn khi cán một phôi tiết diện vuông trong lỗ hình thoi có giá trị: 
tcos
b
ϕ=α (1.21) 
(ϕt: góc nghiêng của thành bên lỗ hình thoi) 
Nh− vậy, điều kiện ăn sẽ đ−ợc cải thiện khi giảm góc ở đỉnh của lỗ hình thoi. 
Khi cán phôi tiết diện vuông trong lỗ hình ôvan thì góc ăn cũng đ−ợc xác 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 7
định theo (1.21) nh−ng góc ϕt lấy theo giá trị: 
ov
t r2
B
arcsin≈ϕ (1.22) 
trong đó, B: chiều rộng của phôi 
 rov: bán kính của ôvan 
1.5- Chế độ tốc độ khi trục cán ăn vật cán 
 ở trên chúng ta nghiên cứu quá trình trục ăn phôi là ở trong điều kiện tĩnh 
(không xét đến tốc độ ban đầu của vật cán và trị số tốc độ quay của trục V1 và V2). 
Trong thực tế, khi cán bao giờ cũng có tốc độ đ−a phôi (tốc độ này đ−ợc tạo ra chủ 
yếu là do tốc độ quay của con lăn đem lại và một phần là do sự thao tác của công 
nhân vận hành máy khi cán thủ công). Quan hệ giữa tốc độ đ−a phôi và tốc độ quay 
của trục cán sẽ ảnh h−ởng lẫn nhau theo quy trình công nghệ. 
 1.5.1- Giả thiết tốc độ đ−a phôi là C0 và hình chiếu tốc độ quay của trục lên 
ph−ơng nằm ngang là CTX với điều kiện C0 ≤ CTX 
 Bằng thực tế đo đạc và nghiên cứu nhận thấy, trong một khoảnh khắc ∆t lúc 
ăn vào thì đầu cùng của phôi đ−ợc chuyển động với một tốc độ là C0 = const, trong 
khi đó thì tốc độ quay của trục CTX bị giảm đi. Tiếp theo với một thời gian ∆t1 cả hai 
tốc độ C0 và CTX đều tăng, nh−ng C0 tăng nhanh hơn và sau thời gian (∆t + ∆t1) thì 
đồ thị tăng của C0 giao nhau với đồ thị tăng của CTX (hình 1.5a). Sau một thời gian t 
nhất định phôi có tốc độ là C1 lúc ra khỏi khe hở giữa hai trục cán lớn hơn tốc độ 
CTX, điều này đ−ợc giải thích bằng hiện t−ợng v−ợt tr−ớc khi cán. 
 1.5.2- Giả thiết tốc độ đ−a phôi là C0 ≤ CTX nh−ng chỉ có một trục cán đ−ợc 
dẫn động 
 Tr−ờng hợp này, sự chênh lệch tốc độ quay giữa hai trục là rất lớn khi trục ăn 
kim loại, do đó ta thấy cả hai tốc độ đều giảm trong thời gian ton. Sau đó cả hai tốc 
độ lại tiếp tục tăng nh−ng tốc độ của phôi vẫn tăng nhanh hơn (hình 1.5b). 
 1.5.3- Giả thiết tốc độ đ−a phôi là C0 ≥ CTX và thiết bị cán có độ cứng vững 
tuyệt đối giữa các chi tiết nối, dẫn động 
 Tr−ờng hợp này, tốc độ của phôi bị giảm mạnh sau thời gian ∆t rồi ngừng 
hẳn, tốc độ của trục cán CTX cũng giảm nh−ng c−ờng độ giảm ít hơn và sau một thời 
gian ∆t thì cũng ngừng hẳn trong một thời gian là t0. Sau đó cả hai tốc độ lại tiếp tục 
tăng nh−ng nhịp độ tăng của phôi cũng tăng nhanh hơn (hình 1.5c). 
 1.5.4- Giả thiết tốc độ đ−a phôi là C0 ≥ CTX nh−ng thiết bị cán không có độ 
cứng vững tuyệt đối giữa các chi tiết nối, dẫn động 
 Sự biến đổi tốc độ trong tr−ờng hợp này cũng t−ơng tự nh− trên nh−ng thời 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 8
gian ngừng của trục ngắn hơn thời gian ngừng của phôi. 
 Các kết quả quan sát và nghiên cứu trên giúp cho sự hình thành các ph−ơng 
trình động học của máy cán. 
1.6- Ph−ơng của lực quán tính và lực ma sát khi chuyển từ quá trình cán 
không ổn định sang ổn định 
 Ta giả thiết rằng C0 > CTX, khi phôi tiếp xúc với trục cán có hai lực phát sinh 
đó là lực đẩy vào Q và lực quán tính I, đồng thời đầu phôi bị tóp vào. Giả thiết rằng 
đầu tóp vào của phôi có diện tích là S, lực của trục cán tác dụng lên đầu phôi có 
diện tích S là P. 
 Nh− ta đã giả thiết ban đầu, tại thời điểm này tốc độ C0 sẽ giảm đi đến giá trị 
là CTX, thiết bị cán có độ cứng vững tuyệt đối giữa các chi tiết nối, dẫn động. Với C0 
= 0, nếu nh− thiết bị cán không có độ cứng vững tốt thì sau một ∆t vô cùng bé (1% 
hoặc 0,1% giây) tốc độ của phôi C0 lại tăng bằng trị số CTX. Tại thời điểm này lực 
quán tính ng−ợc với h−ớng chuyển động của phôi, nghĩa là nó cản trở quá trình ăn 
∆t 
∆t1
t 
CTX 
C0 
ton
CTX 
C0 
t
CTX 
C0 
∆t 
t0 
CTX 
C0 
∆t1 
∆t2 
a) b) 
c) 
Hình 1.5- Sự thay đổi tốc độ của trục cán và tốc độ phôi trên độ dài cung tiếp xúc
∆t
t0 
CTX 
C0 
∆t1 
∆t2 
t 
d) 
∆t’ 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 9
phôi nh−ng vì lực quán tính rất bé đồng thời cũng xảy ra trong một khoảnh khắc rất 
ngắn n ... 0LVLLV Dyyy β=ξ=ξ −= (8.32) 
 Trên thực tế, việc xác định hiệu số này ch−a thực hiện đ−ợc, vì vậy ng−ời ta 
th−ờng dùng giá trị độ uốn: 
 bLV
L
LV yy = 
 Tất cả các khái niệm trình bày trên đây, chúng ta có thể hiểu là khi cán tấm 
thì toàn bộ giá cán, nhất là trục cán bị biến dạng đàn hồi và bị võng. Sự biến dạng 
đàn hồi này là không đồng đều giữa các bề mặt tiếp xúc giữa hai trục và giữa trục 
với kim loại cán. Nguyên nhân của sự không đồng đều là do sự phân bố áp lực của 
kim loại lên trục cán không đồng đều, phân bố nhiệt không đều, quá trình mài mòn 
trục cán không đều, cuối cùng dẫn đến khe hở giữa hai trục cán khong đều, làm cho 
băng kim loại cán ra không đều. 
 Để giải quyết vấn đề không đồng đều này có nhiều cách, trong đó có biện 
pháp tạo ra profin của trục cán có xét đến mọi yếu tố ảnh h−ởng ở trên. Chính 
profin trục cán tiếp xúc với băng kim loại khi cán gọi là đ−ờng sinh tích cực, đ−ợc 
đặc tr−ng bởi tổng các thành phần LT
L
LV y,y , δ∆N, δ∆LV tạo ra đ−ờng sinh tích cực 
trên bề mặt trục cán, cũng chính là tạo ra biên dạng trục cán khi có xét đến mọi yếu 
tố công nghệ nhằm hình thành ra đ−ợc các đ−ờng kính trục cán thích hợp để bù đắp 
đ−ợc trị số biến dạng đàn hồi. 
Đối với giá 2 trục: ∆DT = α.DLV(Tg - Tm) (mm) (8.33) 
trong đó, α: hệ số nở nhiệt (α = 0,000012 1/0C) 
 DLV: đ−ờng kính trục làm việc (mm) 
 Tg, Tm: nhiệt độ ở giữa thân trục và ngoài biên mép (
0C) 
 ∆DT: sự chênh lệch đ−ờng kính trục cán ở giữa thân trục và ngoài biên mép 
Đối với giá 4 trục: ∆DT = α.(TgLV - TmLV)[(DLV - dLV) + 1/4(DT - dT) (8.34) 
trong đó, d: đ−ờng kính trong (nếu trục rỗng). 
 Đối với độ mòn trục do nhiều nguyên nhân gây ra nh− nhiệt độ, tốc độ cán, 
sự tr−ợt giữa bề mặt tiếp xúc, áp lực cán, vật liệu trục, vật cán... vì thế phải đo 
đ−ờng kính định kỳ bằng thực nghiệm. 
 Biến dạng của trục làm việc tr−ớc khi cán có dạng lồi (hoặc lõm) là cần thiết. 
Ký hiệu ∆DLV,D là độ lồi theo đ−ờng kính trục làm việc. 
 ∆DLV,D = 2δST - ∆DT,LV (mm) (8.35) 
với, ∆DT,LV: độ lồi nhiệt trục làm việc xét ở hai mép băng cán. 
 Nếu biểu thức (8.35) đ−ợc thoả mãn thì độ đồng đều chiều dày theo chiều 
rộng sẽ đ−ợc thoả mãn. Song ở đây có thể xảy ra sự biến dạng không đồng đều trên 
chiều rộng (à không đồng đều) có thể mang lại khuyết tật khác cho băng cán (độ 
cong vênh). 
 Biên dạng trục cán có thể có dạng lõm (sự phân bố à không đồng đều hơn). 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 
112
 Hiện nay để tiện lợi cho quá trình điều khiển tự động (điều chỉnh dọc trục, 
điều chỉnh h−ớng vuông góc với tâm trục) ng−ời ta chế tạo biên dạng trục cán có 
nhiều loại khác nhau nh−: lồi, lõm, trục bậc, dạng chữ S. 
8.6- Ph−ơng trình cơ bản của độ không đồng đều dọc và ngang chiều dày băng cán 
 Sự thay đổi khoảng cách bề mặt của hai trục cán trong quá trình cán (do sự 
thay đổi các yếu tố công nghệ tức thì) là nguyên nhân làm cho chiều dày băng cán 
bị thay đổi theo chiều dài vật cán. 
 8.6.1- Ph−ơng trình cơ bản về độ không đồng đều dọc và ph−ơng pháp điều 
chỉnh 
 Ký hiệu dh1 là độ không đồng đều dọc của chiều dày vật cán: 
gcgc
gc
gc
01 M
P
.
M
dM
M
dP
dSdh −+= (8.36) 
trong đó, P: lực cán 
 S0: khe hở giữa hai trục ban đầu. 
 Nếu nh− trong quá trình cán mà Mgc = const thi dMgc/Mgc = 0, do đó: 
gc
01 M
dP
dSdh += (8.37) 
 Biểu thức (8.37) là ph−ơng trình cơ bản của độ không đồng đều dọc. Nếu S0 
thay đổi một vi l−ợng nào đó: 
 DS0 = dA - dDLV, D - dDLV, T - dRT, D - dRT, T (8.38) 
trong đó, A: khoảng cách đ−ờng tâm hai trục tựa (mm). 
 DLV, D(T): đ−ờng kính trục làm việc d−ới và trên (mm). 
 RT, D(T): bán kính trục tựa d−ới và trên (mm). 
 d(): vi l−ợng biến thiên của các đại l−ợng. 
 Chúng ta biết rằng, lực cán P là một hàm số của nhiều yếu tố công nghệ: 
 P = f(h0, h1, RLV, δT, f, T0, T1...) 
 Vì vậy, trong quá trình cán, áp lực sẽ có thể bị thay đổi cho nên: 
 ++∂
∂+∂
∂+∂
∂= ...dR.
R
P
dh.
h
P
dh.
h
P
dP LV
LV
1
1
0
0
 (8.39) 
 Đ−a biểu thức (8.39) vào biểu thức (8.37), ta có: 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++∂
∂+∂
∂+
∂
∂−
= ...dR.
R
P
dh.
h
P
dS.M
h
P
M
1
dh LV
LV
0
0
0gc
1
gc
1 (8.40) 
 Về mặt vật lý của biểu thức (8.40) các số hạng trong dấu ngoặc đơn chính là 
sự biến đổi của áp lực P khi các thông số công nghệ thay đổi. Do đó, ta có thể đ−a 
biểu thức (8.40) về dạng tổng quát: 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 
113
1
gc
1
h
P
M
P
dh
∂
∂−
∂= (8.41) 
ở đây, 
1h
P
∂
∂
 là môđun cứng của băng kim loại, b
1
Mtg
h
P −=β−=∂
∂
 Vậy, 
bgc
1 MM
P
dh +
∂= (8.42) 
 Biểu thức (8.42) là ph−ơng trình cơ bản của độ không đồng đều dọc và nh− 
vậy dh1 phụ thuộc vào sự biến thiên của lực cán, độ cứng vững của thiết bị và của 
băng cán. 
 Sự biến thiên của dh1 có thể biểu diễn d−ới một dạng khác: 
gc
b
1
0
gc
1b
01 M
M
dh
dS
M
dh.M
dSdh −=−= (8.43) 
 Đặt dS0/dh1 = KS, có nghĩa là khi khe cán biến thiên một l−ợng là dS0 thì làm 
cho độ dày băng cán cũng biến thiên một l−ợng là dh1 (KS >> 1). 
 Nếu đặt KS = 1 + Mb/Mgc, nh− vậy khi Mgc→∞ (cứng vững tuyệt đối) thì KS= 1 
và do đó dS0 = dh1. 
Vật cán trên thực tế cũng ảnh h−ởng đến độ không đồng đều về chiều dày và 
ký hiệu sự ảnh h−ởng đó là Kc thì: 
1
0
c dh
dh
K = (dh0: độ không đồng đều dọc phôi) 
Để xác định Kc cần có quan hệ giữa dS0 và dh0: 
gc
b0
0 M
M.dh
dS = (8.44) 
Đ−a biểu thức (8.44) vào biểu thức (8.43) và biến đổi, ta có: 
b
gc
c M
M
1K += (8.45) 
Nh− vậy, mối quan hệ giữa KS và Kc là: 
gc
b
c
S
M
M
K
K = 
Vậy nếu biết đ−ợc tỷ số Mb/Mgc thì có thể tính đ−ợc KS và Kc. Giá trị Kc có thể 
có: Kc > 1; Kc < 1; Kc = 1. Khi thiết kế độ cứng vững tối −u của giá cán, cũng nh− 
chọn chế độ ép tối −u thì cần phải biết Kc và phải chọn sao cho Kc > 1. 
Thông qua sự nghiên cứu và qua các biểu thức, nếu muốn xử lý độ không 
đồng đều dọc, từ biểu thức (8.36) ta thấy các yếu tố nh−: lực cán, độ cứng vững của 
giá cán (Mgc), khe hở ban đầu (dS0) ảnh h−ởng đến dh1 cho nên biện pháp khắc phục 
dựa trên cơ sở các yếu tố ấy. 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 
114
 - Chọn độ cứng vững cần thiết cho giá cán: 
Độ cứng vững của giá cán Mgc tùy thuộc vào yếu tố kỹ thuật công nghệ cho 
một sản phẩm thép tấm nhất định. Có nghĩa là chọn đ−ợc thiết bị cần thiết khi thiết kế 
công nghệ, mặt khác dựa trên hệ số Kc để thay đổi Mc. 
 - Điều chỉnh vít nén: 
Bằng cách thay đổi khoảng cách của bề mặt trục làm việc để nhằm giữ cho 
khoảng cách này không đổi, sử dụng ph−ơng pháp tự động hoá để thay đổi khe hở 
một cách mềm mại khi các thông số công nghệ thay đổi. Ví dụ, ứng dụng ác cơ cấu 
vít nén điện - cơ, thuỷ - cơ, thuỷ lực thuần tuý nhằm điều chỉnh nhanh khe hở khi có 
các tín hiệu thay đổi các thông số công nghệ. 
 - Điều chỉnh tải trọng lên giá cán: 
Biện pháp này th−ờng sử dụng các giá cán có dự ứng lực tr−ớc để sao cho phải 
thoả mãn điều kiện: P + Px = const 
 Trong tr−ờng hợp giá cán có dự ứng lực tr−ớc thì: 
DC
DC
gc
01 M
P
M
P
Sh ++= (8.46) 
trong đó, PDC: trị số dự ứng lực tr−ớc cho khung giá cán. 
 MDC: môđun cứng của chi tiết chịu tác dụng của PDC. 
Khi MDC = Mgc thì biểu thức (8.46) 
sẽ trùng với biểu thức (8.26) nh−ng giá trị 
khe hở S0 sẽ dịch chuyển xuống S0’ t−ơng 
ứng với giá trị PDC (hình 8.11). Khi MDC ≠ 
Mgc thì biểu thức (8.46) trong khoảng 
tác dụng của PDC sẽ có góc nghiêng khác 
với góc ϕ. 
 8.6.2- Ph−ơng trình cơ bản về độ không đồng đều ngang và ph−ơng pháp 
điều chỉnh 
 Do nhiều yếu tố công nghệ mà trị số đàn hồi của trục cán ở giữa thân trục 
 trục khác nhau cho nên: 
m
gc
m
0
m
1
M
P
Sh += (mm) (8.47) 
g
gc
g
0
g
1
M
P
Sh += (mm) 
với, g1
m
1 h,h : chiều dày vật cán ở đầu mép và ở giữa trục cán. 
Hình 8.11- Sơ đồ điều chỉnh 
chiều dày của tấm (h) 
h0 
O 
H
P 
PDC 
h1 = S0 + P/Mgc 
h1’ h1 S0 
ϕ 
H 
S0 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 
115
 Ký hiệu hiệu số của hai chiều dày là g1hδ , ta có: 
m
gc
g
gc
m
0
g
0
g
1
M
P
M
P
SSh −+−=δ 
hoặc: 
T
0
g
1 M
P
Sh +∆=δ (8.48) 
trong đó, ∆S0: độ lồi (lõm) ban đầu của trục cán (mm) 
 MT: môđun cứng của hệ trục trên chiều rộng băng cán. 
 Biểu thức (8.48) là ph−ơng trình cơ bản của độ không đều đến chiều dày theo 
chiều rộng vật cán. 
 Để xác định đ−ợc trị số δhg thì phải có ∆S0 và MT đồng thời với mối quan hệ 
giữa lực cán và chiều dày vật cán (8.26). Có thể giải theo ph−ơng pháp đồ thị (hình 
8.12). 
 Nh− trên hình 8.12 ta thấy 
t−ơng ứng với một chiều dày là h1 
ta có P1, độ không đồng đều về 
chiều dày theo chiều rộng của 
băng cán chính là hoành độ của 
giao điểm đ−ờng thẳng với áp lực 
của kim loại lên trục P1 (8.48) 
 Để đánh giá hiệu suất của hệ 
thống điều chỉnh biến dạng trục 
cán, ng−ời ta dùng hệ số truyền KgS 
( )( )g10gS hd SdK δ∆= 
hoặc: ( )g11TbgS hddh.'MM1K δ+= (8.49) 
 Phạm vi biến đổi của KgS có thể: K
g
S > 1, K
g
S = 0, K
g
S < 1, t−ơng ứng có độ 
không đồng đều chiều dày theo chiều rộng giảm đi hoặc không đổi, hoặc tăng lên. 
 T−ơng tự ta có hệ số cân bằng ngang: 
 ( )g11TbgS hddh.'MM1K δ+= (8.50) 
với, dh1 là vi l−ợng thay đổi chiều dày băng sau khi cán. 
 T−ơng tự nh− ở độ không đồng đều dọc, ta có: 
'M
M
K
K
T
b
g
c
g
S = (8.51) 
 Hiện nay để điều chỉnh độ không đồng đều ngang của chiều dày băng kim 
loại, ng−ời ta th−ờng sử dụng 3 ph−ơng pháp tạo biên dạng cho trục cán: 
Hình 8.12- Cách giải ph−ơng trình 
theo biểu thức (8.48) 
h0 H
P 
h1 = S0 + P/Mgc 
h1∆S0 
H
S0 
P 
δhg1 = ∆S0 + P/MT’
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 
116
 - Tạo biên dạng bằng gia công cơ: ph−ơng pháp này tạo cho đ−ờng sinh 
trục làm việc một biên dạng nhất định t−ơng ứng với độ lồi (lõm) đã đ−ợc xác định 
tr−ớc theo một điều kiện công nghệ nhất định. Việc tính và chọn này không thể xét 
đến các yếu tố làm ảnh h−ởng đến biên dạng của đ−ờng sinh hữu hiệu khi cán. Vì 
thế chỉ đạt đ−ợc một sự gần đúng của biên dạng ngang của băng kim loại. 
 - Tạo biên dạng nhiệt: ta biết rằng khi trục làm việc sẽ bị đốt nóng lên 
cùng với băng cán, thế nh−ng sự nung nóng này lại không đều trên toàn bộ chiều 
dài thân trục, vì vậy sự giản nở theo đ−ờng kính cũng khác nhau. Do đó trong quá 
trình cán phải phun lên bề mặt trục chất lỏng làm nguội hoặc nung nóng trục bằng 
các thiết bị chuyên dùng (vòi đốt, nung cảm ứng...). Nh−ợc điểm của ph−ơng pháp 
này là tác dụng chậm và khả năng điều khiển tự động hoá thấp. 
 - Tạo biên dạng bằng ph−ơng pháp thuỷ lực: ph−ơng pháp này t−ơng đối 
phổ biến, hiệu quả nhanh, dễ tự động hoá. Một trong các biện pháp của ph−ơng 
pháp này là dùng kích thuỷ lực tác dụng lên cổ trục cán các dự ứng lực nén tr−ớc. 
(hình 8.13). Cách đặt lực nén có thể khác nhau, có thể đặt giữa các gối trục làm việc 
hoặc đặt giữa gối trục tựa và trục làm việc hoặc chỉ đặt ở gối trục tựa. 
 Việc tạo lực nén tr−ớc nhằm chống độ uốn trục làm việc, làm tăng độ cứng 
vững của giá cán, do vậy độ không đồng đều dọc đ−ợc khắc phục một phần. 
 Qua 3 cách đặt lực Q ta 
nhận thấy: Nếu đặt lực Q ở 
trục làm việc thì vấn đề thiết kế 
đơn giản và có hiệu quả cao 
nhất là với máy cán nóng tấm 
mỏng rộng bản, máy cán nguội 
và giá cán tinh chỉnh khi chiều 
dài trục không quá 2000 mm. 
Khi đặt lực Q ở gối trục tựa thì 
việc điều chỉnh đ−ờng sinh hữu 
hiệu có hiệu quả hơn, tuy 
nhiên lực Q phải đủ lớn, vì vậy 
các chi tiết của giá cán phải 
chịu quá tải lớn. Ph−ơng pháp 
này sử dụng ở máy cán tấm dày, cán nóng băng rộng bản liên tục, máy bán liên tục 
và máy cán nguội. 
 Thực nghiệm cho thấy khi LT/DT > 2 nên dùng ph−ơng pháp đặt Q ở trục tựa; 
khi LT/DT < 2 nên dùng ph−ơng pháp đặt Q ở trục làm việc. 
 8.6.3- Ph−ơng pháp điều chỉnh kết hợp độ không đồng đều dọc và ngang 
của chiều dày băng kim loại 
 Từ thực tiễn cho thấy, việc điều chỉnh độ không đồng đều ngang và dọc riêng 
Hình 8.13- Mô tả tạo biên dạng 
bằng ph−ơng pháp thuỷ lực 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 
117
biệt ch−a phải là tối −u. Cho nên ng−ời ta đ−a ra ph−ơng pháp điều chỉnh kết hợp cả 
hai yếu tố. Để làm đ−ợc điều này cần phải xác định 3 thành phần: Độ dày băng kim 
loại (h1); độ không đồng đều ngang của chiều dày băng (δg1); áp lực của kim loại 
lên trục cán (P). Có nghĩa là phải giải hệ 3 ph−ơng trình: 
( )1
T
0
g
1
gc
01
hfP
'M
P
Sh
M
P
Sh
=
+∆=δ
+=
 (8.52) 
 Hệ ph−ơng trình (8.52) ở dạng vi phân: 
( ) 11
T
0
g
1
gc
01
dhhfdP
'M
dP
Sdhd
M
dP
dSdh
=
+∆=δ
+=
 (8.53) 
 Qua biểu thức (8.53) ta có nhận xét: Nếu bất cứ có một sự thay đổi nào của 
một trong các yếu tố của ph−ơng trình đều dẫn đến sự thay đổi chiều dày băng kim 
loại (dh1) hoặc thay đổi độ không đồng đều ngang của chiều dày d(δhg1). 
 Chúng ta cũng đã có: 
gc
b
01
M
M
1
1
.dSdh
+
= (8.54) 
và ( )
( )g11Tb
0
g
1
hd
dh
.
'M
M
1
1
.Sdhd
δ+
∆=δ (8.55) 
 Tỷ số ( )g11hddhδ đặc tr−ng sự thay đổi mức độ không đồng đều dọc và ngang 
của chiều dày băng kim loại đ−ợc gọi là tỷ số truyền kết hợp. 
 Ta có: ( )g11cS hddhK δ= (8.56) 
đồng thời ( )g10gS hd SdK δ∆= . Kết hợp với biểu thức (8.56), ta có: 
 kS
T
bg
S K'M
M
1K += (8.57) 
 Tr−ớc đây ta đã biết: 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 
118
gc
b
S M
M
1K += 
 Vì vậy, 
gc
T
S
g
Sk
S M
'M
.
1K
1K
K −
−= (8.58) 
 Nh− vậy, khi điều chỉnh kết hợp cả độ đồng đều ngang và dọc thì tỷ số 
truyền kết hợp KS phụ thuộc vào từng hệ số truyền riêng biệt KS và K
g
S cùng với độ 
cứng của hệ trục MT và của giá cán Mgc. 
 Trong tr−ờng hợp KgS = 0 thì: 
 ( ) gcS
Tk
S M1K
'M
K −= 
và khi KgS = 0 và KS = 0 thì: 
gc
Tk
S M
'M
K −= 
 Có nghĩa là mọi yếu tố làm thay đổi lực cán sẽ làm cho độ không đều dọc 
băng kim loại sẽ lớn hơn l−ợng thay đổi độ không đồng đều ngang băng kim loại 
MT’/Mgc lần. 
 Bằng ph−ơng pháp đồ thị ta có thể giải ph−ơng trình biểu thức (8.52). 
 Khi điều kiện cán ổn định, độ dày băng kim loại h1 và lực cán P1 đ−ợc xác 
định bằng giao điểm của hai ph−ơng trình đ−ờng đàn hồi giá cán và đ−ờng đàn hồi 
dẻo của băng cán. 
 Độ không đồng đều ngang là δhg1 là hoành độ của giao điểm đ−ờng thẳng 
δhg1 = ∆S0 + P/T’ và tung độ của lực cán P1. 
 Nếu trong quá trình cán mà các yếu tố nhiệt độ, ma sát, lực kéo căng kim 
loại mà thay đổi thì ph−ơng trình đàn hồi dẻo của băng sẽ thay đổi từ P = f(h1) sang 
P = f(h1’) và do đó lực cán sẽ tăng từ P1 (xem hình 8.14). Có nghĩa là chiều dày 
băng cán tăng theo từ h1 đến h1’, tức là sinh ra độ không đồng đều về chiều dọc dh1 
và chiều ngang d(δhg1) của chiều dày vật cán. 
 Hình 8.14- ảnh h−ởng của lực cán đến dh1 và δhg1 
h0 H
P 
h1 = S0 + P/Mgc 
h1∆S0 S0
P 
δhg1 = ∆S0 + P/MT’
h1’
d(δhg1) 
dh = (MT’/Mgc).d(δhg1) 
Giáo trình: Lý thuyết cán 
Tr−ờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng 
119