Luận án Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
-----------------***-----------------
Mai Trung Thái
NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ VỚI 
THAM SỐ PHÂN BỐ, CÓ TRỄ, PHI TUYẾN
 Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa
 Mã số: 9 52 02 16
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT
Thái Nguyên - 2018
Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Kỹ thuật Công Nghiệp Thái Nguyên
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Công
	Phản biện 1: 
Phản biện 2: 
Phản biện 2: 
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái nguyên 
Vào hồi., giờ.ngày.tháng.năm
 Có thể tìm hiểu luận án tại:
Thư viện Quốc gia Việt Nam
Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
Thư viện Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CÓ 
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. Mai Trung Thái, Nguyễn Thị Mai Hương (2013), "Điều khiển tối ưu cho một hệ với tham số phân bố sử dụng phương pháp Gradient ", Tạp chí Khoa học Công nghệ - Đại học Thái Nguyên, Số 10, tập 110, tr. 45 - 52.
2.  Mai Trung Thai, Nguyen Huu Cong, Nguyen Van Chi, Vu Van Dam, (2017), “Applying Pade approximation model in optimal control problem for a distributed parameter system with time delay”, International Journal of Computing and Optimization, HIKARI Ltd, Vol.4, no.1, 2017, pp. 19-30
3. Mai Trung Thái, Nguyễn Thị Mai Hương (2017), “Hai phương pháp thay thế đối tượng có trễ trong bài toán điều khiển tối hệ với tham số phân bố”, ISSN 1859-1531, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Đà nẵng, số 5 (114). 2017 – quyển 1.
4. Cong Huu Nguyen, Mai Trung Thai (2018), “Optimal control for a distributed parameter system with time-delay, non-linear using the numerical method. Application to one-sided heat conduction system”, ISSN 2395-0250, International Journal of Thermal Engineering (IJTE), Vol 4, Issue 1, Jan-Feb 2018
MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề 
	Lý thuyết điều khiển tối ưu đã được nghiên cứu từ lâu song cho tới nay các tác giả chủ yếu nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu cho hệ có tham số tập trung mà chưa quan tâm nhiều tới bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố. Điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: tôi, ram, nhiệt luyện, ủ vật liệu từ, nung gạch men, cán thép,.Trong một số công nghệ, quá trình gia nhiệt được thực hiện trong lò nung thường bằng dầu nặng FO, ví dụ như quá trình nung trong cán thép hay nung phôi khi sản xuất nhôm kính. Trong trường hợp này, hàm truyền của lò nung là khâu quán tính có trễ, còn mối quan hệ giữa nhiệt độ lò là các phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic với điều kiện biên loại 3. Nếu ta xét bài toán điều khiển tối ưu cho quá trình “nung chính xác nhất”, lúc này đối tượng điều khiển là hệ với tham số phân bố, có trễ. Với bài toán này, đã được một số tác giả quan tâm và tìm được lời giải bằng phương pháp biến phân, phương pháp dùng nguyên lý cực đại của Pontryagin hay phương pháp số như trong [8,10,72]. Trong đó phương pháp số tỏ ra ưu việt hơn cả. Tuy nhiên trong một số công nghệ khác, lò nung là lò điện, tức là đốt bằng dây điện trở như quá trình tôi, ram, nhiệt luyện các chi tiết cơ khí, ủ vật liệu từ, v.vLúc này hàm truyền của lò điện trở cũng là khâu quán tính bậc nhất có trễ dạng: 
	(0.1)
	Nhưng, lúc này k là hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ trong lò. Thực tế qua việc nhận dạng lò điện trở thì k thay đổi khá nhiều, ví dụ như trong lò điện trở với dải nhiệt độ thay đổi từ 0-5000C. (Việc này sẽ được chứng minh ở phần sau). Vậy nếu vẫn xét bài toán điều khiển tối ưu cho quá trình “nung chính xác nhất” thì đây là bài toán điều khiển tối ưu cho đối tượng với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Chính sự phi tuyến của k làm cho lời giải của bài toán trở nên rất phức tạp. Do vậy để bài toán có thể được ứng dụng trong thực tế, luận án này tìm cách đưa ra lời giải cho bài toán với điểm khác biệt lớn nhất là tính phi tuyến của k . Bài toán điều khiển tối ưu vẫn được thực hiện bằng phương pháp số. Lời giải cho trường hợp xét tới tính phi tuyến của k chưa được các tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu. Ngoài ra, để mở rộng bài toán điều khiển tối ưu, luận án cũng xét thêm trường hợp hệ số trễ (t) của lò điện trở là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (T) của nó.
2. Tính cấp thiết của luận án 
	Điều khiển tối ưu theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất cho hệ với tham số phân bố được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau trong các lĩnh vực công nghiệp. Các nghiên cứu trước đây [10,79] cũng đã giải quyết bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ. Nếu trong lĩnh vực lò nung thì bài toán này đã được áp dụng cho các công nghệ lò đốt bằng dầu nặng FO. Tuy nhiên, với một số công nghệ như ủ vật liệu từ, tôi ram nhiệt luyện chi tiết máy thì lò nung được thực hiện bằng lò điện. Vì vậy đây là bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Với bài toán này, hiện nay chưa có sự nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, vì vậy đề tài này có tính cấp thiết và nếu được giải quyết sẽ một mặt bổ sung vào lý thuyết điều khiển cho hệ có tham số phân bố, mặt khác cũng mở ra khả năng ứng dụng vào thực tế.
3. Mục tiêu của luận án 
	Xây dựng mô hình toán của đối tượng với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến; xét cả trường hợp có hệ số trễ lớn. Tìm ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số. Hệ này được đặc trưng bằng quá trình gia nhiệt một phía trong lò điện trở đối với vật dầy. Trong đó quan tâm nhất tới tính phi tuyến (thay đổi) của hệ số truyền tĩnh k của lò điện trở. Ngoài ra còn quan tâm tới trường hợp thời gian trễ (t) là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (T) của lò. Mô phỏng và thực nghiệm để chứng minh tính chính xác và tính ổn định của nghiệm tối ưu.
4. Đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu của luận án
- Đối tượng nghiên cứu: Hệ thống điều khiển nhiệt độ lò điện trở và vật nung, đó là một hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến.
- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu đối tượng động học có trễ mà có thời gian trễ (t) là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (T) của nó, tức là khi đối tượng có tỷ số T/t thỏa mãn điều kiện 6 £ T/t < 10 [7], sau đó áp dụng vào việc giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Lập trình mô phỏng trên máy tính và thí nghiệm trên mô hình vật lý cụ thể.
- Phương pháp nghiên cứu: Phân tích, đánh giá các công trình nghiên cứu đã được công bố trên các bài báo, tạp chí, các luận án về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến nhằm xác định chắc chắn các mục tiêu đề ra. Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Lập trình mô phỏng trên Matlab & Simulink để kiểm chứng lại lý thuyết. Tiến hành thí nghiệm kiểm chứng kết quả nghiên cứu lý thuyết và kết quả mô phỏng trên mô hình vật lý hệ thống phi tuyến cụ thể (lò điện trở và vật nung). 
5. Những đóng góp mới về mặt khoa học và thực tiễn của luận án
Luận án đã có những đóng góp mới như sau:
- Ứng dụng phép biến đổi Laplace, phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn và khai triển Pade đã đưa ra được lời giải tường minh cho bài toán tìm được trường nhiệt độ của vật nung khi biết điện áp cung cấp cho lò - xét cả trong trường hợp hệ số truyền tĩnh k của lò là phi tuyến và thời gian trễ của lò lớn.
- Đã tìm ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số, có tính tới cả điều kiện giới hạn pha – Hệ này ứng dụng cho bài toán nung chính xác nhất trong quá trình gia nhiệt.
- Đã mô phỏng và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng kết quả nghiên cứu lý thuyết làm cơ sở cho việc triển khai điều khiển thực tế nung chính xác ở lò điện trở khi gia nhiệt cho vật nung dạng tấm phẳng.
Những đóng góp trên có ý nghĩa khoa học, có giá trị thực tiễn, có thể áp dụng cho bài toán nung chính xác nhất trong quá trình gia nhiệt ở lò điện trở, ví dụ áp dụng trong một số lĩnh vực như quá trình tôi, ram, nhiệt luyện các chi tiết máy, ủ vật liệu từ, v.v
6. Cấu trúc của luận án: 
Luận án được trình bày trong 4 chương chính và phần kết luận như sau:
Chương 1: Tổng quan về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến 
Chương 2: Đề xuất và giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số sử dụng phép biến đổi Laplace.
Chương 3: Các chương trình tính toán và các kết quả mô phỏng
Chương 4. Thực nghiệm kiểm chứng chất lượng phương pháp đã đề xuất trên mô hình hệ thống thực.
Kết luận và kiến nghị
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ VỚI THAM SỐ PHÂN BỐ, CÓ TRỄ, PHI TUYẾN.
1.1. Tổng quan chung
1.2. Tổng quan các công trình nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến trong và ngoài nước.
Lý thuyết về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố (DPS) đã được nghiên cứu từ thập niên 60 của thế kỷ trước. Buttkovskii và Lerner đã đưa ra bài báo đầu tiên trong lĩnh vực này vào năm 1960 [36], bắt đầu từ nguyên lý cực đại cho một lớp các hệ thống tham số phân bố. Điều này đã cho ra một loạt các bài báo từ Butkovskii [32,34,35]. Các nghiên cứu này đã đề cập đến việc mô tả bài toán và nguyên lý cực đại cho một hệ tham số phân bố được mô tả bởi một tập các phương trình tích phân phi tuyến. Các kết quả nghiên cứu [29,46,72,86], các tác giả đã dùng nguyên lí cực đại của Pôntriagin và phương pháp biến phân để đưa ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu một hệ với tham số phân bố (cụ thể là bài toán truyền nhiệt một phía trong lò gia nhiệt). Khi tìm nghiệm tối ưu thường dẫn đến phải giải các phương trình Fredhom loại một nên rất khó giải, khó khẳng định được sự tồn tại nghiệm. Đặc biệt khi hàm điều khiển v(t) có kèm theo điều kiện ràng buộc thì việc tìm nghiệm của các phương trình trên là rất khó khăn. Việc ứng dụng các kết quả này vào thực tế gặp khó khăn vì nghiệm tối ưu v*(t) là các hàm đổi dấu tức thời, tức là tín hiệu điều khiển thuộc dạng “bang-bang”- xung vuông. Song v*(t) ở đây chính là nhiệt độ lò nên không thể thay đổi đột ngột được vì có quán tính nhiệt khá lớn, nhất là khi tần suất thay đổi nhiều.
Ở Việt Nam, vấn đề này đã được một số học giả tiếp cận, nghiên cứu trong khoảng hơn một thập niên trở lại đây. Các kết quả nghiên cứu chủ yếu là các bài báo, luận văn thạc sỹ của một số học viên cao học thuộc một số trường Đại học trong cả nước. Theo hiểu biết của tác giả, hiện nay các công trình nghiên cứu về hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến, đặc biệt khi hệ này được áp dụng cho bài toán truyền nhiệt một phía trong lò nung là lò điện (tức là đốt bằng dây điện trở áp dụng cho các quá trình tôi, ram, nhiệt luyện các chi tiết cơ khí, ủ vật liệu từ,) để điều khiển nhiệt độ cho vật nung có dạng tấm phẳng theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất ở trong nước chưa có tác giả nào nghiên cứu, chủ yếu mới dừng lại ở nghiên cứu về hệ với tham số phân bố, có trễ, điển hình là một số bài báo và luận án tiến sĩ như [7,8,9,10,11]
Đặc biệt, theo [10], luận án nghiên cứu giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố có trễ, hệ này được áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt một phía trong lò nung để điều khiển nhiệt độ cho phôi tấm theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất, quá trình gia nhiệt cho lò nung bằng dầu nặng FO, ví dụ như quá trình nung trong cán thép hay nung phôi khi sản xuất nhôm kính. [10] đã đưa ra hướng khắc phục nhược điểm của [29,46,72,86] bằng cách không dùng tác động điều khiển là nhiệt độ lò v(t) mà là công suất p(t) cung cấp cho lò thông qua một khâu chuyển đổi. Công suất cung cấp cho lò nếu dùng năng lượng điện thì việc đóng mở các hệ thống cung cấp điện (ví dụ như rơle, công tắc tơ, bộ biến đổi thyristor) được thực hiện rất nhanh vì các thiết bị đóng cắt có quán tính nhỏ. Điều này hoàn toàn có thể thực hiện được trong thực tế. Khâu chuyển đổi biểu thị mối quan hệ giữa công suất cung cấp cho lò và nhiệt độ lò, nó là một khâu quán tính bậc nhất có trễ, trong đó khâu trễ đã được xấp xỉ bằng một khâu quán tính bậc nhất theo xấp xỉ Taylor.
 Ngoài ra, [10] xét đối với trường hợp khâu quán tính bậc nhất có trễ có thời gian trễ (t) là khá nhỏ so với hằng số thời gian (T) của nó, cụ thể là tỷ số T/t thỏa mãn điều kiện T/t > 10 [7]. Sau khi đưa thêm vào khâu chuyển đổi, hàm điều khiển tối ưu cần tìm là p*(t) chính là công suất cung cấp cho lò chứ không phải là nhiệt độ lò v(t). Như vậy, dù hàm điều khiển tối ưu p*(t) có dạng bang-bang (dạng xung vuông) tức là có dạng biến thiên nhảy cấp thì hoàn toàn có thể thực hiện được vì quán tính của các phần tử điện là rất nhỏ so với các phần tử nhiệt. 
Nội dung luận án [10] đã giải quyết được một số vấn đề chính như sau:
- Xét với công nghệ gia nhiệt cho các lò nung phôi cán được cung cấp năng lượng bằng việc đốt nguyên liệu là dầu nặng FO. Việc điều chỉnh công suất cung cấp cho lò là điều chỉnh lưu lượng dầu để phối hợp với lượng không khí trong quá trình đốt.
- Xét với đối tượng có trễ nhỏ, cụ thể là đối tượng có tỷ số T/t thỏa mãn điều kiện T/t ³ 10 [7], khâu trễ được thay thế bằng khâu quán tính bậc nhất theo xấp xỉ Taylor.
- Đã giải được bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ khi xét các hệ số a, l, k của lò và vật nung là hằng số. 
- Chưa đề cập đến phần phi tuyến, cụ thể là chưa giải bài toán điều khiển tối ưu khi xét các hệ số a, l, k là phi tuyến (thực tế các hệ số này luôn thay đổi theo nhiệt độ của môi trường không khí trong lò nung, tức là chúng có tính phi tuyến).
1.3. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến và hướng nghiên cứu của luận án
Một số vấn đề tồn tại cần được tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện:
Cho đến thời điểm này, tác giả vẫn chưa tìm thấy được nhiều công trình nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến, đặc biệt hệ này được áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt một phía trong lò điện trở để điều khiển nhiệt độ cho vật nung có dạng tấm phẳng theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất (áp dụng cho một số công nghệ như ủ vật liệu từ, tôi ram nhiệt luyện các chi tiết cơ khí,). Ngoài ra, hiện nay cũng chưa có nhiều công trình khoa học ở trong và ngoài nước đưa ra một cách chính xác biểu thức toán học mô tả các hệ số a, l, k trong phương trình truyền nhiệt là phi tuyến, các hệ số này chủ yếu được xác định gần đúng thông qua thực nghiệm.
Hướng nghiên cứu mới của luận án là:
- Thành lập bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến
- Nghiên cứu đối tượng có trễ khá lớn, cụ thể là đối tượng có tỷ số T/t thỏa mãn điều kiện 6 £ T/t < 10 [7]. Thay thế khâu trễ trong khâu quán tính bậc nhất, có trễ (lò điện trở) bằng phép xấp xỉ Pade bậc một. 
- Phân tích tính phi tuyến của hệ số truyền tĩnh k của lò theo nhiệt độ bằng cách nhận dạng lò điện trở thực tế.
- Sau đó tiến hành giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số. Hệ này được áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt một phía trong lò điện ... i 3 trường hợp:
+ Nếu 0 ≤ t ≤ t1 thì:
	 (2.116)
+ Nếu t1 ≤ t ≤ t2 thì:
 	 (2.117)
+ Nếu t2 ≤ t ≤ tf thì:
	 (2.118)
Kết luận: Ta đã giải được một hệ thống gồm phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng Parabolic với điều kiện biên loại 3 (quan hệ giữa v(t) và q(x,t)) kết hợp với phương trình vi phân thường có trễ, phi tuyến (quan hệ giữa u(t) và v(t)). Như vậy, nếu chưa quan tâm tới bài toán tối ưu thì ta có thể tính được trường nhiệt độ trong vật nung khi biết điện áp cung cấp cho lò (bài toán biết vỏ tìm lõi).
Trường hợp tổng quát: Quan hệ giữa điện áp cung cấp cho lò u(t) và phân bố trường nhiệt độ trong vật nung q(x,t) được tính theo các công thức (2.116), (2.117) và (2.118) tương ứng với 3 miền thời gian phân chia theo hệ số (i=1,2,3).
2.5.3. Lời giải bài toán điều khiển tối ưu
2.5.3.1. Đặt bài toán
Sau khi tìm được quan hệ giữa q(x,t) và u(t) dưới dạng phương trình tích phân như ở mục 2.5.2, bài toán được đặt ra: Hãy xác định hàm điều khiển tối ưu u*(t) với (0 £ t £ tf ) sao cho làm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu: 
 (2.119)
trong đó q*(x) là phân bố nhiệt độ cho trước còn q(x,tf ) là phân bố nhiệt độ trong vật nung tại thời điểm cuối quá trình nung t = tf. 
Thay t = tf vào công thức (2.118) sẽ được hàm q(x,tf ):
 (2.120)
trong đó các hàm g1(x,t), g2(x,t) và g3(x,t) được tính từ các công thức (2.94), (2.95) và (2.96), với tf là thời gian nung cho phép tính bằng giây (s). 
Thay (2.120) vào (2.119) sẽ có dạng thức của Jc.
2.5.3.2. Tìm tín hiệu điều khiển tối ưu u*(t) bằng phương pháp số
Để tìm u*(t) ta phải cực tiểu hoá phiếm hàm (2.121): 
(2.121)
Trước hết ta dùng phương pháp tích phân số [10,11,13,15], áp dụng công thức Simson đối với tích phân vế trái của phiếm hàm (2.121). Khoảng không gian là bề dày tấm từ 0 đến L ta chia làm n phần bằng nhau (n là một số chẵn).
 	Lúc đó ta có thể biểu thị hàm mục tiêu Jc như sau:
 (2.122)
trong đó: xi là các trọng số gán cho giá trị của hàm dưới dấu tích phân tại điểm xi . Các giá trị xi và trọng số xi là biết trước với mỗi công thức tích phân. Nếu dùng công thức Simson, các giá trị của xi và xi được xác định như sau [10,79]:
 với và n là một số chẵn (2.123) 
Do q(xi,tf ) trong (2.122) được xác định theo (2.120) nên để tính ta áp dụng một lần nữa công thức tích phân số Simson và áp dụng tương tự đối với vế phải của (2.121). 
Khoảng thời gian từ 0 đến tf được chia ra ba khoảng thời gian bằng nhau là 0÷t1; t1÷t2 và t2÷tf , trong đó: - Khoảng thời gian từ 0 đến t1 ta chia ra thành m1 khoảng bằng nhau. 
Khoảng thời gian từ t1 đến t2 ta chia ra thành m2 khoảng bằng nhau.
Khoảng thời gian từ t2 đến tf ta chia ra thành m3 khoảng bằng nhau.
(với m1 , m2 , m3 cũng là một số chẵn). 
Khi đó giá trị của q(xi,tf ) được tính :	 
 	 (2.124)
trong đó: các giá trị của ;; và ;;được xác định như sau:  (2.125)
với ;;.Đặt: 
 ;;;; (2.126) 
 là điểm nối điện áp điều khiển tại thời điểm t1 .
 là điểm nối điện áp điều khiển tại thời điểm t2.
 thay (2.124); (2.125) và (2.126) vào (2.122), ta được :
	 (2.127) 
Ràng buộc của hàm điều khiển (giới hạn điện áp cung cấp cho lò) được viết là: 
 U1 £ uj £ U2 (j = 0,1,2,,m ) với m = m1 + m2 + m3 	 (2.128)
trong đó: U1 là giới hạn dưới điện áp, U2 là giới hạn trên điện áp 
Như vậy, bài toán được đặt ra là hãy tìm cực tiểu của hàm (2.127) với mj+1 biến uj tuân theo ràng buộc (2.128). Bài toán trở thành bài toán quy hoạch bậc hai [8,10,79]. Bài toán này có thể tìm nghiệm đúng bằng phương pháp số sau một số hữu hạn phép lặp. 
2.6. Tính toán các giới hạn khi giải bài toán nung chính xác nhất.
2.7. Tính toán nhiệt độ lò v(t) và sự phân bố nhiệt độ trong vật q(x,t)
2.7.1. Đặt vấn đề
2.7.2. Tính toán nhiệt độ lò v(t)
	Nhiệt độ lò v(t) được tính như sau: 
 	 (2.170)
với 
; tf là thời gian nung cho phép (s),  ; 
m1 , m2 , m3 là số khoảng thời gian tương ứng với khoảng thời gian Dt1 ; Dt2 ;Dt3. 
T là hằng số thời gian của lò (s). 
Như vậy khi đã biết u*(t) ta có thể tính được v(t) từ phương trình (2.170).
2.7.3. Tính toán phân bố nhiệt độ trong vật nung q(x,t)
Để tính q(x,t) khi biết u*(t) ta cũng dùng phương pháp số [8,10,13,15].
Phân bố nhiệt độ trong toàn bộ vật nung trong khoảng thời gian từ 0 ¸ tf được tính như sau:
 	 (2.83)
với ; ; . 
 2.8. Kết luận chương 2: 
Chương 2 là nội dung trọng tâm (đóng góp chính thứ nhất) của luận án, chương này đã giải quyết được một số vấn đề sau: 
- Thành lập bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến 
- Nhận dạng mô hình lò điện trở và phân tích tính phi tuyến của hệ số truyền tĩnh k của lò. 
- Đã thay thế khâu trễ trong khâu quán tính bậc nhất, có trễ (lò điện trở) bằng phép xấp xỉ Pade 1 khi đối tượng điều khiển có tỷ số T/t thỏa mãn điều kiện 6 £ T/t < 10 [7]. 
- Đã đưa ra được lời giải tường minh cho bài toán tìm trường nhiệt độ của vật nung (dạng tấm phẳng) khi biết điện áp cung cấp cho lò - xét cả trong trường hợp hệ số truyền tĩnh k của lò là phi tuyến và thời gian trễ của lò lớn.
- Đã tìm ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số – Hệ này ứng dụng cho bài toán nung chính xác nhất trong quá trình gia nhiệt.
- Đã tính toán các điều kiện giới hạn của bài toán tối ưu cũng như đưa ra các thuật toán để tính nhiệt độ lò v(t) và phân bố nhiệt độ trong vật nung q(x,t). 
CHƯƠNG 3
CÁC CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN VÀ CÁC KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
3.1. Đặt vấn đề
3.2. Các chương trình tính 
3.2.1 Chương trình tính các giá trị fi
3.2.2 Tính giá trị hàm g(x,t)
3.2.3 Chương trình tính hàm g1(x,t-t)
3.2.4. Chương trình giải bài toán tối ưu
3.3. Các kết quả mô phỏng chính
3.3.1- Mô phỏng với mẫu Samot 
a = 60 (w/m2 độ); l = 0.955 (w/mđộ); a = 4.86.10-7 (m2/s); L = 0.03 (m); T = 1200 (s); t = 130 (s);; q* = 300 0C; tf = 4200 (s); U1 = 125 V; U2 = 205 V.
; 
Đây là vật dầy vì có hệ số Bi >> 0,5. Chọn số lớp không gian là n=4, số khoảng thời gian m1 =m2=m3=m= 16. Sau khi chạy chương trình ta được kết quả như hình 3.2 
v(t)
U*(t)
q(x,t)
q(x,tf)=q* q*=q*=
Hình 3.2: Thực hiện chế độ nung tối ưu với mẫu Samot (sai số e » 0)
3.3.2- Mô phỏng với mẫu Diatomite 
a = 60 (w/m2 độ); l = 0.2 (w/mđộ); a = 3.6.10-7 (m2/s); L = 0.04 (m); T = 1200 (s); t = 130 (s);; q* = 400 0C; tf = 4500 (s); U1 = 125 V; U2 = 220 V.
 ; 
Đây cũng là vật dầy vì có Bi >> 0,5. Chọn số lớp không gian là n=10, số khoảng thời gian m1 =m2=m3=m= 100. 
Sau khi chạy chương trình ta được kết quả như hình 3.15 
v(t)
U*(t)
q(x,t)
q*
q(x,tf)
Hình 3.15: Thực hiện chế độ nung tối ưu với mẫu Diatomite (sai số e » 0.003) 
Nhận xét: Trên hình 3.2 và hình 3.15 thì U*(t) là tín hiệu điều khiển tối ưu (điện áp tối ưu); v(t) là nhiệt độ lò; q(x,t) là trường nhiệt độ trong vật nung (đồ thị biểu diễn nhiệt độ của bề mặt, nhiệt độ các lớp bên trong và nhiệt độ lớp dưới cùng của vật), e là sai số của hàm mục tiêu Jc. Tại thời điểm cuối của quá trình nung t = tf , phân bố nhiệt độ tại các lớp trong vật nung q(x,tf ) đều xấp xỉ nhiệt độ đặt q*. 
Như vậy lời giải tối ưu đã được kiểm chứng.
So sánh nghiệm tối ưu khi thay thế khâu trễ bằng phép xấp xỉ Taylor và phép xấp xỉ Pade bậc một (phần mở rộng của luận án). 
Kết quả mô phỏng với mẫu Samot được thể hiện ở hình 3.3 và hình 3.4.
v(t)
U*(t)
q(x,t)
q(x,tf)
q*
Hình 3.3: Thực hiện chế độ nung tối ưu với mẫu Samot với n=6, m1=m2=m3=40
Sai số e = 3.9104.e-08 (Theo Taylor)
v(t)
U*(t)
q(x,t)
q(x,tf)
q*
Hình 3.4: Thực hiện chế độ nung tối ưu với mẫu Samot với n=6, m1=m2=m3=40
Sai số e =5.8559.e-10 (Theo Pade 1)
Nhận xét: Kết quả mô phỏng trên hình 3.3 và hình 3.4 ta thấy, khi khâu trễ được thay thế gần đúng bằng phép xấp xỉ Pade 1 thì sai số của hàm mục tiêu Jc (e =5.8559.e-10) nhỏ hơn so với trường hợp khi khâu trễ được thay thế gần đúng bằng phép xấp xỉ Taylor với (e = 3.9104.e-08), nghĩa là bài toán tối ưu có độ chính xác cao hơn.
3.4. Kết luận chương 3
Như vậy, thông qua các kết quả mô phỏng có thể khẳng định rằng việc giả thiết tuyến tính hóa hệ số truyền tĩnh trong khoảng nhiệt độ cho trước vf ra thành 3 giá trị là và khi áp dụng phương pháp số để giải bài toán điều khiển tối ưu như ở chương 2 thì độ chính xác của lời giải có thể chấp nhận được, tức là sai lệch (e) giữa phân bố nhiệt độ tại các lớp trong vật nung q(x,t) so với phân bố nhiệt độ cho trước q* tại thời điểm cuối quá trình nung t=tf là rất nhỏ, đặc biệt với đối tượng nhiệt thì việc sai số nhiệt độ như trên hoàn toàn chấp nhận được. Nội dung trong chương 3 là đóng góp chính thứ hai của luận án.
CHƯƠNG 4
THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG CHẤT LƯỢNG PHƯƠNG PHÁP ĐÃ ĐỀ XUẤT TRÊN MÔ HÌNH HỆ THỐNG THỰC
4.1. Giới thiệu mô hình hệ thống thí nghiệm
0¸220V
Vật nung
Buồng đốt
Khuếch đại 
Khuếch đại 
Cặp nhiệt đo nhiệt độ vật
Cặp nhiệt đo nhiệt độ lò
Card NI 
USB 6008
0¸10 V
Matlab 
Simulink
(PC)
Card NI 
USB 6008
Mạch pha xung
BBĐ AC/AC 
một pha
Lò
0¸5 V
uđk
1
2
	Thí nghiệm nhằm mục đích kiểm tra tính đúng đắn của các thuật toán, chương trình tối ưu đã được tính toán bằng mô phỏng và để kiểm tra độ chính xác mô hình toán học của đối tượng cũng như các thông số vật lý của lò nhiệt và vật nung.
Sơ đồ khối hệ thống thí nghiệm như hình 4.2:
Hình 4.2. Sơ đồ khối hệ thống thí nghiệm
4.2. Quá trình thí nghiệm thực
Với lò để tiến hành thí nghiệm, qua nhận dạng lại lò điện trở như đã trình bày ở mục 2.4 cho thấy lò là một khâu quán tính bậc nhất, có trễ, với các hệ số được xác định:
	 ,, là các hệ số truyền tĩnh của lò ứng với 3 khoảng nhiệt độ . T»1200 (s) là hằng số thời gian của lò; t »130 (s) là thời gian trễ của lò 
Trong quá trình thí nghiệm, ta đo nhiệt độ trong không gian lò và tại ba điểm của vật: điểm thứ nhất là lớp bề mặt vật (ký hiệu là qm(t)); điểm thứ hai là lớp ở tâm vật (ký hiệu qt(t)); điểm thứ ba là lớp dưới cùng của vật (ký hiệu qc(t). Cả bốn tín hiệu đo này được đưa qua bộ khuếch đại để cho điện áp ra từ 0 đến 10V, sau đó đưa vào máy tính thông qua card NI USB 6008.
Các tham số đầu vào
(lò, vật)
Chương trình tối ưu
Lò điện trở
Vật nung
(đối tượng với tham số phân bố)
u*(t)
v(t)
q(x,t)
Hình 4.10: Sơ đồ khối mạch thí nghiệm điều khiển tối ưu
	Trong sơ đồ khối hình 4.10 thì các tham số của lò và vật đã biết còn chương trình tối ưu đã được tính toán từ lời giải của bài toán tối ưu, chương trình này tạo ra điện áp tối ưu đặt vào lò. Đường điện áp tối ưu u*(t) có dạng xung vuông, tiếp theo là lò điện trở (đối tượng có trễ, phi tuyến), cuối cùng là vật nung (đối tượng với tham số phân bố). Từ sơ đồ khối hình 4.10, ta có sơ đồ mạch thí nghiệm thực như hình 4.11.
Hình 4.11: Sơ đồ mạch thí nghiệm thực
4.3. Một số kết quả thí nghiệm
4.3.1. Thí nghiệm với mẫu Samot
4.3.1.1. Thí nghiệm 1. Tiến hành thí nghiệm với một mẫu Samot có các thông số sau:
 L = 0,03 (m); a = 4,86.10-7 (m2/s); l = 0.955 (W/m.độ); q* = 3000C; tf =4200 (s)
 U1 = 125 (V); U2 =205 (V). Kết quả thí nghiệm thực như hình 4.12
v(t)
U*(t)
qm(t)
qt(t)
qc(t)
q*
Hình 4.12: Kết quả thí nghiệm với mẫu Samot (q*=3000C)
4.3.1.2. Thí nghiệm 2. 
Giữ nguyên các thông số của vật nung, thời gian nung; thay đổi thông số sau: q* = 4000C; U1 = 140 (V); U2 =220 (V). 
Kết quả thí nghiệm như hình 4.13
v(t)
U*(t)
qt(t)
qc(t)
q*
qm(t)
Hình 4.13: Kết quả thí nghiệm với mẫu Samot (q*=4000C)
Trên hình 4.12 và hình 4.13 thì U*(t) là điện áp tối ưu đặt lên thanh dây đốt, q* là nhiệt độ đặt, v(t) là nhiệt độ trong không gian lò; qm(t), qt(t) và qc(t) tương ứng cũng là nhiệt độ lớp bề mặt, nhiệt độ ở tâm và nhiệt độ lớp dưới cùng của vật nung
Kết quả thí nghiệm cũng cho thấy, cuối quá trình nung (tại tf = 4200s) thì nhiệt độ tại lớp bề mặt, lớp ở giữa và lớp dưới cùng đều xấp xỉ nhiệt độ đặt là 3000C và 4000C. 
4.3.2. Thí nghiệm với mẫu Diatomite
Để kiểm tra tính đa dạng của chương trình tối ưu, ta tiếp tục tiến hành thí nghiệm với một mẫu Diatomite có độ dầy lớn hơn mẫu Samot. Trong trường hợp này ta cũng thí nghiệm với nhiệt độ đặt là 3000C và 4000C. 
4.3.2.1. Thí nghiệm 1. Thí nghiệm với mẫu Diatomite có các thông số sau: 
 L = 0,04 (m); q* = 3000C; tf = 4500 (s); U1 =125 (V); U2 =205 (V). 
Kết quả thí nghiệm như hình 4.14
v(t)
U*(t)
qm(t)
qt(t)
qc(t)
q*
Hình 4.14: Kết quả thí nghiệm với mẫu Diatomite (q*=3000C)
4.3.2.2. Thí nghiệm 2. 
Giữ nguyên các thông số của vật nung, thời gian nung; thay đổi thông số sau: q* = 4000C; U1 = 125 (V); U2 =220 (V). 
Kết quả thí nghiệm như hình 4.15
v(t)
U*(t)
qm(t)
qt(t)
qc(t)
q*
Hình 4.15: Kết quả thí nghiệm với mẫu Diatomite (q*=4000C)
Trên hình 4.14 và hình 4.15 thì U*(t) cũng là điện áp tối ưu đặt lên thanh dây đốt, q* là nhiệt độ đặt, v(t) là nhiệt độ trong không gian lò; qm(t), qt(t) và qc(t) tương ứng cũng là nhiệt độ lớp bề mặt, nhiệt độ ở tâm và nhiệt độ lớp dưới cùng của vật nung.
Kết quả thí nghiệm cũng cho thấy, tại cuối quá trình nung (tại tf = 4500s) thì nhiệt độ tại lớp bề mặt, lớp ở giữa và lớp dưới cùng cũng đều đạt xấp xỉ 3000C và 4000C.
4.4. Kết luận chương 4
Sau khi tiến hành thí nghiệm thực trên hai mẫu vật nung là Samot và Diatomite để kiểm chứng một số các kết quả mô phỏng ta có một số kết luận sau:
- Từ các kết quả thí nghiệm, ta thấy phân bố nhiệt độ q(x,tf) tại các lớp trong vật nung tại thời điểm cuối của quá trình nung đều đạt gần giá trị nhiệt độ mong muốn q*, tức là thỏa mãn yêu cầu của bài toán nung chính xác nhất.
- Kết quả thí nghiệm phản ánh chính xác các thuật toán và chương trình tối ưu đã được tính toán.
- Kết quả thí nghiệm đã chứng minh tính chính xác và tính ổn định của nghiệm tối ưu.
	Kết quả chương 4 là đóng góp chính thứ ba của luận án. 
KẾT LUẬN
Với mục tiêu tìm ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số. Hệ này được đặc trưng bằng quá trình truyền nhiệt một phía trong lò điện trở để điều khiển nhiệt độ cho vật nung có dạng tấm phẳng (xét với vật dầy) theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất. 
Kết quả nghiên cứu của luận án đã có một số kết quả đóng góp mới như sau:
1. Ứng dụng phép biến đổi Laplace, phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn và khai triển Pade đã đưa ra lời giải tường minh cho bài toán tìm được trường nhiệt độ của vật nung khi biết điện áp cung cấp cho lò - xét cả trong trường hợp hệ số truyền tĩnh k của lò là phi tuyến và thời gian trễ của lò lớn.
2. Tìm ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số, có tính tới cả điều kiện giới hạn pha – Hệ này ứng dụng cho bài toán nung chính xác nhất trong quá trình gia nhiệt.
3. Đã mô phỏng và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng kết quả nghiên cứu với mô hình lò điện trở gia nhiệt một phía cho vật nung dạng tấm phẳng.
HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
 Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu quá trình gia nhiệt theo mục tiêu nung chính xác nhất trong lò nung tĩnh với các hình dạng khác nhau như: hình trụ, hình xuyến, hình ovan
 Nghiên cứu bài toán truyền nhiệt theo ba chiều (ba phía) để giảm thời gian nung.
 Giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến khi xét các hệ số a, l của vật là phi tuyến.