Luận án Phát triển phương pháp phủ tuyến tính để kiểm tra tính hurwitz chặt và ứng dụng vào thiết kế tham số tối ưu trong điều khiển hệ tuyến tính bất định

1 
PHẦN MỞ ĐẦU 
1. Tính cấp thiết của đề tài 
 Xây dựng hệ điều khiển cho một đối tượng thường dựa vào mô hình. Giữa mô hình 
và đối tượng thật bao giờ cũng có sai lệch, do nhiều nguyên nhân khác nhau như: Phương 
pháp nhận dạng gần đúng, thông tin thu thập được không đầy đủ trong thời gian thực, do 
xấp xỉ hoá các hiệu ứng phi tuyến... Sai lệch mô hình làm giảm hiệu quả của hệ điều khiển. 
 Để khắc phục phần nào ảnh hưởng do sai lệch mô hình gây ra, người ta có thể dùng 
nhiều biện pháp khác nhau. Một trong những phương pháp hiệu quả được kể đến là điều 
khiển bền vững với mô hình bất định. 
 Mô hình bất định được đề cập đến từ giữa thế kỷ 20, nhưng chỉ từ xuất hiện công 
trình của Kharitonov (1978), đặc biệt khoảng 20 năm trở lại đây với sự phát triển của thiết 
bị tính, người ta mới quan tâm nhiều đến việc phát triển những phương pháp điều khiển 
bền vững với mô hình bất định và ứng dụng loại điều khiển bền vững vào những bài toán 
thực tế. Có thể tìm thấy nhiều ví dụ ứng dụng mô hình bất định trong các tài liệu [12, 27, 
32, 42, 65, 77].... 
 Mô hình bất định thực chất là tập gồm vô vàn phần tử. Các phương pháp phân tích 
và thiết kế hệ với mô hình bất định đều gặp khó khăn là phải xét mọi phần tử của tập 
mô hình này. Đây là khó khăn thuộc về bản chất khi dùng mô hình bất định. Các phương 
pháp hiện có để nghiên cứu hệ điều khiển bền vững cho đối tượng có thông số bất định 
mới khắc phục được khó khăn bản chất này trong một số trường hợp đơn giản như cấu trúc 
bất định dạng khoảng hay dạng tuyến tính với thông số bất định Q dạng hộp. Vì vậy cần có 
những phương pháp thích hợp để dùng cho các trường hợp phức tạp hơn. Trong luận án 
này NCS chọn một hướng nghiên cứu nhằm đưa ra một phương pháp xác định tham số tối 
ưu cho bộ điều khiển áp dụng cho hệ SISO tuyến tính có thông số bất định đảm bảo thỏa 
mãn tính ổn định bền vững và một số chỉ tiêu chất lượng, khắc phục được một phần khó 
khăn bản chất. 
2 
 Hướng nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng dụng mô hình bất 
định vào điều khiển các đối tượng thực. 
Mục tiêu của luận án 
Mục tiêu của luận án là: Phát triển một phương pháp nhằm khắc phục một phần khó 
khăn khi sử dụng mô hình có thông số bất định với cấu trúc dạng đa thức và tập thông số 
bất định dạng hộp. Phương pháp được áp dụng để kiểm tra tính Hurwitz chặt và để xác 
định tham số bộ điều khiển bền vững cho một lớp hệ SISO tuyến tính có thông số bất định 
đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện ổn định và một số chỉ tiêu chất lượng đề ra. 
Đối tƣợng và phƣơng pháp nghiên cứu 
- Đối tượng nghiên cứu là hệ thống điều khiển bền vững có mô hình tuyến tính với thông 
số bất định. 
- Phương pháp nghiên cứu: Qua tìm hiểu các phương pháp hiện có tìm ra những khó 
khăn gặp phải khi xét mô hình tuyến tính với thông số bất định, tìm cách khắc phục 
phần nào các khó khăn đó. 
 Tinh thần của phương pháp được minh hoạ bằng một số ví dụ, trong đó có những ví dụ 
xuất phát từ các bài toán thực tế. 
2. Nội dung 
 Nội dung là các nghiên cứu sau: 
- Các phương pháp xét sự ổn định bền vững, và một số chỉ tiêu chất lượng của hệ. 
- Các phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền vững hiện có, những khó khăn gặp 
phải và đề nghị cách khắc phục một phần khó khăn đó. 
- Các phương pháp đưa bài toán thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng có 
mô hình tuyến tính với thông số bất định về một dạng của bài toán tối ưu dạng qui 
hoạch nửa vô hạn (semiinfinite programming), đảm bảo ổn định bền vững và một 
số chỉ tiêu chất lượng đặt ra trước. Đề nghị phương pháp tìm nghiệm của bài toán 
này sao cho thoả mãn chặt các ràng buộc chứa thông số bất định nhờ dùng khái 
3 
niệm “một trị cực tiểu non”. Phương pháp được minh họa qua một số ví dụ và được 
kiểm nghiệm kết quả qua mô phỏng nhờ phần mềm Matlab. 
3. Ý nghĩa khoa học và giá trị thực tiễn của luận án 
 Đề tài nghiên cứu của luận án có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng dụng mô 
hình bất định vào điều khiển các đối tượng thực. Ý nghĩa khoa học và giá trị thực tiễn của 
luận án được thể hiện qua việc phát triển phương pháp phủ tuyến tính để xác định được 
một trị cực tiểu non MuN của cực tiểu toàn thể min ( ),  M g q q Q , với ( )g q là đa thức 
dạng 
10
( ) ij
m L m
i j
ji
g q g q
  và Q dạng hộp. Trị cực tiểu này có thể dùng để giải quyết bài 
toán: 
- Kiểm tra tính thực dương chặt của hàm ( )g q dạng đa thức và Q dạng hộp. 
- Kiểm tra sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững cho hệ thống có mô hình tuyến 
tính với cấu trúc bất định dạng đa thức và Q dạng hộp. 
- Xác định tham số bộ điều khiển bền vững nhờ đưa bài toán tối ưu về bài toán qui hoạch 
nửa vô hạn và đề nghị một phương pháp tìm nghiệm thoả mãn chặt điều kiện ổn định 
và chất lượng dạng đại số. 
Những kết quả trên góp phần vào việc khắc phục khó khăn khi dùng mô hình có 
thông số bất định. Do đó làm cho việc ứng dụng loại mô hình này vào những bài toán thực 
tế được dễ dàng hơn. 
4. Điểm mới của luận án 
 Qua nghiên cứu hệ điều khiển bền vững có mô hình tuyến tính với thông số bất 
định, tác giả luận án đã đưa ra một đánh giá tổng quan về các phương pháp xét ổn định bền 
vững và chất lượng cũng như các phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền vững. Luận án 
đã có những đóng góp mới, cụ thể như: 
- Phát triển một phương pháp phủ tuyến tính để xác định được một trị cực tiểu non MuN 
của cực tiểu toàn thể min ( )M g q với ( )g q dạng đa thức và Q dạng hộp. Luận án đã 
xây dựng thuật toán 1 để xác định một trị cực tiểu non tiệm cận MuN. Tính tiệm cận và 
đánh giá sai số gặp phải cũng được xét qua định lý 1. 
4 
- Dùng trị cực tiểu non MuN để kiểm tra tính dương chặt của một hàm ( )g q dạng đa thức 
và Q dạng hộp. Do đó MuN ứng dụng để kiểm tra sự thoả mãn chặt điều kiện ổn định 
bền vững dạng đại số và để tìm nghiệm của bài toán qui hoạch nửa vô hạn. 
- Đưa việc xác định tham số bộ điều khiển bền vững về bài toán tối ưu dùng qui hoạch 
phi tuyến hoặc qui hoạch nửa vô hạn nên có điều kiện để xét tính ổn định bền vững và 
một số chỉ tiêu chất lượng như bám tiệm cận đầu vào, quá trình quá độ tắt với hệ số tắt 
 lớn nhất (tối ưu theo nghĩa quá trình quá độ tắt nhanh nhất), hoặc dải bất định lớn 
nhất... 
- Xây dựng một thuật toán dùng 
uN
M (x) thay cho M(x) để tìm nghiệm bài toán qui 
hoạch nửa vô hạn nghiệm tìm được đảm bảo được sự thoả mãn chặt của ràng buộc 
chứa thông số. Chọn được phương pháp hàm phạt sử dụng trực tiếp độ đo 
uN
M (x) chỉ 
tính được bằng số để tìm nghiệm của bài toán qui hoạch nửa vô hạn. Tính tiệm cận và 
sai số gặp phải của bài toán này cũng được xét tới thông qua định lý 2. Một số ví dụ 
minh họa đã được trình bày. 
 Một số kết quả của luận án đã được công bố trong các hội nghị khoa học kỹ thuật 
hoặc tạp chí như: Tạp chí KH&KT Quân sự học viện KTQS số 173 (2015), số 175 (2016) 
và Hội nghị quốc tế về Điện-Điện tử 2016 (Regional conference on Electrical and 
Electronics Engineering- RCEEE 2016). 
 Trị cực tiểu non tiệm cận MuN được đề nghị và đã được áp dụng để xét ổn định bền 
vững và xác định tham số tối ưu bộ điều khiển mới chỉ cho một trường hợp: Hệ điều khiển 
bền vững có mô hình tuyến tính liên tục SISO có thông số bất định với cấu trúc dạng đa 
thức và thông số bất định q Q dạng hộp. 
5. Bố cục của luận án 
Bố cục của luận án: Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, nội dung của luận án được 
chia thành 3 chương: 
Chương 1: Tổng quan về hệ điều khiển bền vững với đối tượng có mô hình bất 
định 
 Chương 1 trình bày vắn tắt những khái niệm về mô hình bất định và điều khiển bền 
vững cho hệ SISO với mô hình tuyến tính có cấu trúc được thông số hoá (mô hình tuyến 
5 
tính có thông số bất định), mô hình không có cấu trúc, cấu trúc của hệ điều khiển bền 
vững, các ví dụ minh hoạ. Đồng thời giới thiệu vấn đề ổn định bền vững và thiết kế bộ điều 
khiển bền vững. 
Chương 2: Xác định một trị cực tiểu non và ứng dụng để kiểm tra ổn định bền 
vững hệ tuyến tính có thông số bất định. 
 Sau khi trình bày tổng quan về ổn định bền vững, chương 2 đưa ra định nghĩa một 
trị cực tiểu non sau đó trình bày phương pháp xác định một trị cực tiểu non tiệm cận MuN 
của trị cực tiểu toàn thể min ( ),  M g q q Q rồi sử dụng MuN vào bài toán kiểm tra ổn 
định bền vững, lập một thuật toán tính MuN có đánh giá tính tiệm cận và sai số gặp phải đã 
được đưa ra. Chương 2 cũng trình bày một số ví dụ tính MuN và dùng nó để kiểm tra tính 
ổn định bền vững. 
Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng với mô hình tuyến tính 
có thông số bất định. 
 Chương này sẽ trình bày tổng quan về bài toán thiết kế bộ điều khiển bền vững, 
giới thiệu sơ lược các phương pháp thiết kế hiện có để chỉ ra sự khác biệt của phương pháp 
đề xuất và đưa ra khả năng ứng dụng của cực tiểu non đã trình bày ở chương 2 vào bài toán 
thiết kế bộ điều khiển bền vững cho hệ thống tuyến tính có đối tượng với thông số bất định 
thông qua việc thiết lập và giải bài toán tối ưu dạng qui hoạch nửa vô hạn. Nghiệm tìm 
được thỏa mãn chặt ràng buộc từ điều kiện ổn định và một số chỉ tiêu chất lượng. Một số ví 
dụ minh họa đã được trình bày. 
6 
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN BỀN 
VỮNG VỚI ĐỐI TƢỢNG CÓ MÔ HÌNH 
BẤT ĐỊNH 
Trong chương này NCS sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về mô hình bất định, 
và hệ điều khiển bền vững cho đối tượng với mô hình tuyến tính có thông số bất định. 
1.1 Hệ điều khiển bền vững dựa trên mô hình bất định 
Xây dựng hệ thống điều khiển (HTĐK) cho một đối tượng thường dựa vào mô 
hình, tuỳ vào đặc điểm của đối tượng người ta sử dụng loại mô hình thích hợp, giữa mô 
hình và đối tượng thật bao giờ cũng có những sai lệch do nhiều nguyên nhân như: Thông 
tin không đầy đủ, phương pháp nhận dạng gần đúng, tác động của nhiễu, tuyến tính hóa 
khâu phi tuyến... chính các sai lệch mô hình làm giảm hiệu quả của hệ điều khiển. Dùng 
mô hình bất định (MHBĐ) trong việc xây dựng hệ điều khiển bền vững là một biện pháp 
hiệu quả để khắc phục các ảnh hưởng sai lệch mô hình của đối tượng. 
1.1.1 Mô tả đối tƣợng điều khiển nhờ mô hình bất định 
Mô hình bất định có thể trình bày dưới dạng một tập mô hình (P0, P), trong đó: 
Mô hình chuẩn P0 (Nominal model) được xây dựng từ những thông tin xác định, sai lệch 
 P là do sự thiếu thông tin hoặc dùng phương pháp nhận dạng gần đúng ...gây ra. Sai lệch 
mô hình thường không được biết chắc chắn từ trước, tuy vậy việc phân tích và thiết kế hệ 
thống điều khiển cần đến một đánh giá định lượng về sai lệch P. Việc đánh giá định 
lượng thường ở dưới dạng bị chặn (bounded) dạng thích hợp của P (ví dụ: dạng chuẩn 
| P|, || P|| , )(  , ) hoặc ở dưới dạng tập biến thiên của thông số. 
7 
Để lập mô hình bất định người ta có thể tiếp cận theo 2 cách: Mô tả mô hình đối 
tượng dưới dạng bất định có cấu trúc và bất định không có cấu trúc. Dưới đây ta xét hệ 
SISO liên tục, tuyến tính có hệ số không biến thiên theo thời gian (hệ số hằng) 
1.1.1.1 Mô hình bất định có cấu trúc 
 Khi dựa vào bản chất vật lý hoặc yêu cầu công nghệ của đối tượng, trong bước nhận 
dạng ta có thể xác định được cấu trúc của mô hình (Có nghĩa là biết được bậc của tử số và 
mẫu số hàm truyền của mô hình tuyến tính), ta có thể dùng mô hình tuyến tính có hệ số 
không biến thiên theo thời gian và thông số hóa độ bất định ta có được mô hình với thông 
số bất định. Khi đó thông tin định lượng về sai lệch mô hình P được thể hiện dưới dạng 
tập biến thiên Q của thông số bất định q xuất hiện trong hàm truyền của đối tượng. Hình 
hình 1.1 là mô hình đối tượng ( , )P s q chứa thông số bất định q ở công thức (1.1) : 
Hình 1.1: Đối tượng với hàm truyền chứa thông số bất định 
Trong hình đó: 
- u là tín hiệu điều khiển của đối tượng 
- y là tín hiệu ra của đối tượng 
Hàm truyền đối tượng có dạng: 
0
0
p
p
m
k
kP k
n
iP
i
i
q sN s,q
P s,q
D s,q
q s

 
 (1.1) 
trong đó vector q là véc tơ thông số bất định 1 2, ,..,q ,.., ; 1..Tj Lq q q q j L biến thiên 
độc lập trong tập Q. 
Lq R q Q (1.2) 
Tập Q có thể có một số dạng, ví dụ: lp-hypersolid (xem (2) trong [40]): 
Đối tƣợng 
điều khiển 
( , )P s q 
u y 
8 
1
0
0
1
p p
L
j j
j
j
q q
Q q q, q
w 
 
    
 
 (1.3) 
trong đó 0
j
q là giá trị chuẩn của
j j
q ;w là hằng số trọng. Với 1 p ,  là hằng số thể hiện 
độ bất định, 0q, q là chuẩn cỡ lp của biên độ sai lệch từ 0q tới q , trường hợp p=2 ta có 
siêu cầu (hypersphere) có tâm tại 0q , khi p= tập bất định Q có dạng hộp (box, 
hypercube) 
jjj
Q q q q q
 
 
 
 (1.4) 
Với ký hiệu: 
 jj jjq minq ; q max q
 
 
 
 (1.5) 
 Mô hình với thông số bất định cũng có thể mô tả dưới dạng hệ phương trình trạng 
thái và phương trình đầu ra: 
z A(q )z b( q )u ; q Qy c(q )z
 (1.6) 
Trong đó: 
- z là véc tơ biến trạng thái 1 2
T
n
z z ,z ..z 
- u là tín hiệu vào của đối tượng 
- y là tín hiệu ra của đối tượng 
- A q ; b q ; c q là các ma trận, véc tơ hệ số chứa thông số bất định 
Các ví dụ 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 dưới đây có đối tượng mô tả dưới dạng mô hình bất định 
(MHBĐ) có cấu trúc, được thông số hóa nhờ thông số bất định. Ở bước nhận dạng đối 
tượng, ta phải xác định được bậc của tử số và mẫu số của hàm truyền dạng (1.1) hay 
phương trình trạng thái (1.6) và tập bất định Q. Với mô hình bất định thông số dạng (1.1) 
9 
và (1.3) hoặc dạng (1.6) và (1.3) thực chất là tập mô hình. Ở một chế độ vận hành cụ thể, 
đối tượng có mô hình là một phần tử nào đó (không biết trước) của tập mô hình trên. 
 Xét một số ví dụ về mô hình bất định có cấu trúc và được thông số hoá (ta gọi là 
mô hình có thông số bất định) 
Ví dụ 1.1: 
 Một ổn áp xoay chiều với động cơ thừa hành có sơ đồ tối giản hình 1.2, mô hình 
thông số hoá trên hình 1.3. Đầu ra Y chính là điện áp ra Us của ổn áp. Đầu ra này phụ 
thuộc vào điện áp lưới UL và vị trí  của con chạy trên biến áp tự ngẫu: 
0
L
s
U
Y U
N
  
Ở đây, N0 là số vòng cuộn sơ cấp của biến áp tự ngẫu. Giả thiết bộ điều khiển là C(s), hàm 
truyền của động cơ thừa hành và hệ truyền động của ổn áp dạng: 
0
2
1 2
1
M
M
b
P (s)
U Ts T s

C(s) PM 
U0 
e 
 Hình 1.3: Mô hình thông số hóa của ổn áp xoay chiều 
UM Y=Us 
- 
0N
U L
 
 
U 
s
1
 
Bộ điều 
khiển 
Mô tơ 
U0 U 
Hình 1.2: Sơ đồ khối của ổn áp xoay chiều 
UM Us 
- 
 
Mạch đo 
U 
Biến áp tự 
ngẫu 
UL 
10 
trong đó  là tốc độ động cơ, UM là điện áp đặt vào động cơ. Trong điều kiện động cơ kéo 
con trượt của ổn áp có thế coi b0, T1, T2 là những hằng số xác định, ở bước tổng hợp hệ 
điều khiển các hằng số này coi như đã biết vì chúng được xác định ở bước nhận dạng. 
Thành lập hàm truyền từ UM tới điện áp đo U (được coi là mô hình của đối tượng) ta được: 
2
1 2
1M
U q
P(s, q)
U s( Ts T s )
Với: 0
0
Lb Uq
N

Do coi b0, , N0 là hằng số nên q phụ thuộc vào điện áp lưới UL. Có thể coi điện áp lưới 
biến thiên quanh trị số trung bình UL0: 
0 0L L L L LU U U U U 
nên thông số q cũng biến thiên quanh trị số q0 một lượng q 
0 0q q q q q 
trong đó 0q ... orted by the national science foundation under grant No. 
DMC-84-20740 and CDR-85-00108, Technical Report, 1988 
[22] Figuroa J.L and J.A Romagloni (1994): “An algorithm for robust pole assigment via 
polynomial approach”, IEEE trans. on AC. Vol AC 39, pp.831-835. 
[23] G. Chesi; A Garulli; A. Tasi; A. Vicino (2005): “Polynomially parameter dependent 
Lyapunov function for robust stability of polytopic systems: an LMI approach”, 
IEEE transaction on automatic control 50(4-1), pp.365-370. 
[24] G. Chesi (2010): “LMI Techniques for optimization over survey polynomials in 
control: A survey”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.55, No.11, 
pp.2500-2510, 2010. 
99 
[25] Garloff. J (1993): “The Bernstein algorithm interval”, Computation Vol 2, N06, 
pp.154-168. 
[26] Goh K.C, Safonov M.G (1995): “Global optimization for the Biaffine matrix 
inequalitiy problem”, Jounal of Global optimization 7, pp.365-380, 1995. 
[27] Grimbele M. J (1994): “Robust Industrial control-optimal design approach for 
polynomial systems”, Printice Hall International (UK) limited. 
[28] H.Chapellat; Bhattacharyya (1989): “A generalization Kharitonov’s theorem of robust 
stability of interval plants”, IEEE trans. Autom. control Vol AC-34 No3, pp.306-311. 
[29] Hanpern ME, RL. Evans and RD. Hill (1995): “pole assigment with robust stability”, 
IEEE trans. on AC. Vol AC 40, pp.725-729. 
[30] I.Sekaj, V.Vesely (2002): “Robust output feedback controller design Via genetic 
algorithm”, IFAC Proceedings Vol.35, Issue 1, pp.413-418, 2002 
[ 31] I.Sekaj, M. Sramek (2005): “Robust controller design based on genetic algorithm and 
system simulation”, 44th IEEE conference 2005, Seville Spain, Dec.12-15, pp.6881-
6886, 2005. 
[32] J. Ackerman (1993): “Robust control systems with uncertain physical parameters” 
Spriger-Verlag London. 
[33] J.-B Lassere (2006), “A sum of squeres approximation of nonnegative polynomials”, 
SIAM Journal of otimization, Vol.16, pp 761-765, 2006. 
[34] J.-B Lassere (2001), “Global optimization with polynomials and the problems of 
moment”, SIAM J. Opt 11(3): 796-817, 2001. 
[35] J. Heller (2016): “Gprosolver: A matlab/C++ Toolbox for global polynomial 
optimization version 1.2” Optimization Methods and Software, 2016 - Taylor & 
Francis 
 [36] J. Kogan (1995): “robust stability and convexity” Springer-Verlag. 
[37] Kminsky R.D, Djaferris (1994): “A noval approach to the analysis and systhesis of the 
controller for parametically uncertain systems”, IEEE trans. on AC. Vol AC 39, 
pp.1524-1530. 
[38] L.H keel and S.P Bhattachayya (1994): “Robust parametric classical control design”, 
IEEE trans. on AC. Vol AC 40, N
0
 7, pp., July 1994. 
[39] Masakaza Kojima (2010), Tokyo intitute of technology: “SOS and SDP relaxation of 
polynomial optimization problems”, his lecture at National Cheng-Kung University, 
Tainan, november 2010. 
100 
[40] M.Bozorg (1997): “An Introduction to Polynomial Approach to Robust Control”, 
Taken from: M. Bozorg, “Robust Control: Structured Uncertainties in Linear 
Systems,” Ph.D. Thesis, Dept. of Mechanical and Mechatronic Engineering, The 
University of Sydney, Sydney, Australia. 
[41] M. Bozorg (2003): "Stability and control of linear systems with multilinear uncertainty 
structure", Scientia Iranica, vol. 10, no.1, Winter 2003, (Abstract), (PDF- Preliminary 
version). 
[42] M.Green, Limebeer (1995): “Linear robust control”, Printice Hall Int Edition. 
[43] M. Hypiusova, S. Kajan, (2010): “Comparision of Robust controller design 
methods”, International Cycbnetics and Information, Feb.10-12, 2010. 
[44] Neimark K. Y (1949): “Stability of linearized systems” Leningrad Aeronautical 
enginearing academy, Leningrad USSR. 
[45] Nguyen The Thang and Le Van Bang (1982): “Algorithm for parameter optimization 
problems of nonlinear discrete systems”, Proceeding of the fifth international 
conference on analysis and optimization of the systems, Versailes (France) Dec.14-
17.Lecture note in control and information sciences. 44, pp.869-884, 1982. 
[46] NZ Shor (1987): “Class of globalminimum bound of polynomial functions”, 
Cycbernetics, pp.731-734, 1987. 
[47] Pablo A. Parrilo (2003): “Semidefinite programming relaxation for semialgebrate 
problems”, Math. Program., Ser.B 96 (2003), pp.293-320. 
[48] Petr Husek (2008): “System, Structure and Control”, chapters 5 pp. 111-128, © 2008 
In-teh www.in-teh.org Additional copies can be obtained from: publication@ars-
journal.com First published August 2008, Printed in Croatia. 
[ 49] Pierangelo Masarati (2015): “Giuseppte Quarante Robust stability of Aerolastic 
systems using -Method and Nyquyst criterion”, 8th Ankara international Aerospace 
conference Sept. 10-12, 2015 
[50] Polak E. Mayner D. Q (1976): “An algorithm for optimization problems with 
functional inequality constraints”, I.E.E.E trans.on automatic control, Vol. AC-21, 
N
o
2, pp.184-193, April 1976. 
[51] Polak E. (1979): “Algorithm for a class of computer aided degign problems” A review, 
Automatica, Vol.15, pp.531-538, 1979. 
[52] Polak E. Mayner D. Q ; Stimler P.M: “Control system design Via semi-infinite 
optimization”: A review Proceeding of I.E.E.E 72 No 12, pp.1777-1794, 1984. 
101 
[53] Poljak B.T and Kogan J. (1995): “Necessary and sufficient for robust stability of linear 
systems with multiaffine uncertainty structure” IEEE trans. on Aut. control AC-40 
pp.1255-1260, 1995. 
[54] RCL.F Oliveira, VIS leite.MC de Oliveira and PLD peres (2005): “An LMI 
characterization of polynomial parameter dependent Lyapunov function for robust 
stability”, Proceeding of the 44th IEEE conference, Serville Spain, 2005. 
[55] Rotstein, H.; Pena, R. Sanchez; Desages, A.; Romagnoli, J. (1991): “Robust 
Characteristic Polynomial Assignment”, Automatica (Journal of IFAC) Volume 27 
Issue 4, pp.711-715, July 1991. 
[56] R.K. Yedavalli (1989). Sufficient conditions for stability of interconnected dynamic 
systems. Journal of information and Decition Technologies, 15(2), pp.133-142, 1989. 
[57] R.K. Yedavalli (2014). Robust control of uncertain dynamic systems: Alinear state 
space approach. DOI 10.1007/978-1-4614-9132-3_2, © Springer science+Bussiness 
Media, LLC 2014. 
[58] Saleh S.J, BR.Barmish and I.R Peterson (1993): “Synthesis of robust controller with 
few degrees of freedom for systems with structured real parametric uncertainty”, 
Processding of 12
th
 IFAC world congress Sydney Australia Vol 1, pp.19-22, 1993. 
[59] S. Kajan, M. Hypiusova (2011): “Robust controller design using genetic algorithm”, 
ATP Jounal plus. No.1, Automatic control system ISSN 1336-5010, pp.18-21, 2011. 
[60] S. Kajan, M. Hypiusova (2013): “Genetic and Robust controller design methods for 
uncertain SISO system”, 21th Anual conference proceedings, Technical Computing 
Prague 2013, pp.135-144, 2013. 
[61] Svetoslav Savov, Ivan Popchev (2009): “Relaxed robust stability analysis”, Comptes 
rendus de l
’
Academie Bulgare de sciences, Tom 62 N
0
8-2009. 
[62] Siljak D.D and Stipanovics D.M (1999): “Robust D stability Via positivity”, 
Automatica Vol 35, N
0
8, pp.1477-1484, 1999. 
[63] Siljak D.D (1978). LagerRobust scale systems: Stability and structure. North Holland, 
1978. 
[64] Stoyan Kanev, Carsten Scherer, Michel Verhaegen, Bart De Schutter (2004): “Robust 
output-feedback controller design via local BMI optimization”, Automatica, Vol.40, 
No.7, pp. 1115-1127, 2004. 
[65] Th.E. Djaferis (1995): “Robust control design: A polynomial approach”, Kluwer 
academic Publishers. 
102 
[66] Teboulle M and Kogan (1994): “Applycation of optimization methode to robust 
stability of linear systems”, Journal of optimization theory and applycation Vol 81, 
pp. 169-192, 1994. 
[67] Tempo R (1990): “A dual result to Kharitonov’s theorem”, IEEE trans. Aut. Conntrol 
Vol AC-35, No.2, pp.195-198, 1990. 
[68] Tsypkin Y.Z and B.T Polyak (1991): “Frequency domain criteria for lp robust stability 
of continuous linear systems” IEEE trans. On Automatic control Vol AC 36 pp.1464-
1469, 1991. 
[69] V. L. Kharitonov (1978): “Asymptotic stability of an equilibrium position of a family 
of systems of differential equation”, Differentialnye Uravniya Vol.11, pp.2086-2088. 
[70] Wang I, Yu.S (2001): “On robust stability of polynominal and robust strict positive 
realness of transfer function”, IEEE trans. on circuits and systems part 1, CAS 48, 
pp.127-128, 2001. 
 [71] Y. Kuroiwa (2011): “A necessary and sufficient condition of global positivity on shift 
realizable multivariate polynomial by LMI” Preprints of the 18th IFAC world 
congress Milalo (Italy) August 28-September 2-2011. 
[72] Yu.I Neimark (1998): “D partition and robust stability”, computational mathematics 
and modelling, Vol 9 N
0
 2, pp.160-166. 
[73] Yasuaki Oishi and Teodoro Alamo (2011): “Robust Semidefinite Programming 
Problems with General Nonlinear Parameter Dependence: Approaches Using the DC-
Representations”, Preprints of the 18th IFAC wold congress Milane (Italy) August 28-
September 2-2011. 
[74] Yeng C. Soh, Robin J. Evans (1989): “Characterization of robust controller”, 
Automation Vol 25 N
0
 1, pp. 115-117, 1989. 
[75] Yeng C. Soh, L Xie and Kfoo (1994): “Maximum perturbation bound for pertubed 
polynominals with roots in left sector”, IEEE trans on circuit and systems, Vol CAS 
41, pp.281-285, 1994. 
[76] Yuwensheng Wanglong, Jiergen Ackermann (2004): “Robust strictly positive real 
synthesis for polynomial families of arbitrary order”, Science of china Ser. F 
Information science Vol 47, N
0
 4, pp.475-489, 2004. 
[77] Z.E. Morari M (1989): “Robust process control”, Prentice Hall. 
[78] Zadel L.A and Desoer CA (1963): “Linear systems theory”, Macgrow Hill book 
Co.New York, 1963. 
[79] Zettler, M.; Garloff, J. (1998): “Robustness analysis of polynomials with polynomial 
parameter dependency using Bernstein expansion”, Automatic Control, IEEE 
Transactions on, Vol.43 Issue:3, pp. 425 – 431, Mar 1998. 
103 
Phụ lục 
Ảnh hƣởng của việc “rời rạc hóa” (discretization) 
 thông số bất định q Q và tần số  [0, ) 
Điều kiện ổn định của hệ tuyến tính hệ số không biến thiên theo thời gian có thông số 
bất định dẫn tới phải vẽ đặc tính tần ,j q hoặc 0 ,G j q với q Q và  [0, ) 
khi dùng tiêu chuẩn tần số, hoặc phải xét tính dương của g q với q Q khi dùng tiêu 
chuẩn đại số. Trên thực tế để kiểm tra các điều kiên ổn định nêu trên ta phải “băm” 
(discretization) tại mỗi một nhát băm ta chỉ xét được một điểm các biến q và  rồi chỉ xét 
được một số hữu hạn các điểm hq Q và h [0, ) như trong [10, 21, 40, 48, 50, 51, 52, 
65]. Việc rời rạc hoá này có thể bỏ sót những điểm nguy hiểm ở đó điều kiện ổn định 
không được thoả mãn, điều này sẽ gây nguy hiểm cho việc vận hành hệ thống. Vì vậy cần 
có biện pháp khắc phục ảnh hưởng của việc “băm” này. Khi xác định MuN ta không “băm” 
mà chia Q thành N
L
 tập nhỏ Qh, rồi xét mọi điểm q Q nên không bỏ sót điểm q Q nào. 
Dưới đây chúng ta xét một số trường hợp mà việc “băm” dễ bỏ sót những điểm nguy hiểm: 
Về nguyên tắc từ điều kiện ổn định ta có thể xây dựng miền ổn định trong không gian 
thông số từ đó có thể kiểm tra ,j q có ổn định trong miền Q không? Tuy vậy điều 
này chỉ thực hiện được trong trường hợp 1 hoặc 2 thông số và việc vẽ miền ổn định cũng 
rất phức tạp, hơn nữa trên thực tế khi vẽ miền ổn định trong không gian Q ta cũng phải 
“băm” Q và chỉ xét được một số hữu hạn điểm hq Q . Hình 3.PL vẽ miền ổn định trong 
không gian thông số (q1, q2) (Henrion [17]) của một đa thức s,q . Từ hình vẽ ta thấy 
miền ổn định khá phức tạp. Nếu Q là miền ABCD có điểm H thuộc miền không ổn định, 
104 
khi kiểm tra điều kiện ổn định bằng một phương pháp nghiên cứu ổn định nếu “băm” 
không trúng điểm H sẽ cho thông tin sai lầm về ổn định. 
Ví dụ PL1.1: 
Kiểm tra ổn định của đa thức đặc trưng sau: 
 3 23 2 1 0
3 2 210 22 85568483 7 448458869 0 5 3
s,q a s a s a s a
s qs ( . . q)s ( , q q )
 (PL1.1-1) 
Dùng tiêu chuẩn Routh dẫn tới các ràng buộc: 
1 3
2
2
2
3
10 0
5 7 144315167 2 551541131 0
0 5 3 0
1 2
g (q) a
g (q) . q . q
g (q) , q q
q
  
Ở đây g2(q), g3(q) chỉ là hàm của 1 thông số bất định q nên có thể xét tính dương trực tiếp 
trong không gian q (hình 1.PL và 2.PL) hay xác định trị cực tiểu non M2uN và M3uN. 
Đường g2(q) có tiếp tuyến với trục q tại điểm q=1,42, ở điểm tiếp tuyến giá trị của hàm 
g2(q)=0. Như vậy đa thức (PL1.1-1) không ổn định với q [1, 2] 
1,5 
g3(q) 
q 
1,5 1 2 
-0,5 
0 
2,85 0,15 
g3(q)>0, q [1, 2] 
5 
g2(q) 
q 
1,42 1 2 0 
0,91753 
0,407226 
Hình 1.PL: Biểu diễn hàm g3(q) Hình 2.PL: Biểu diễn hàm 
g2(q) 
g2(q)=0 khi q=1,42 
g2(q)>0, khiq 1,42 
1,75 
105 
Với các khoảng chia N ứng với các sai số cho phép khác nhau, giá trị của M2uN và M3uN 
được tính bằng thuật toán 1 như trong bảng sau: 
N 2 100 1000 10
4 
5.10
4
 6.10
4
 8.10
4
  
M2uN -3,5477 -0,0725 -82.10
-6 
-17.10
-6
 -12.10
-6
 -11.10
-6
 -11.10
-6
 0 
M3uN 0 1,47 1,497 1,4997 1,4999 1,5 1,5 1,5 
Từ bảng ta thấy M3uN=1,5>0, M2uN 0 và M2uN 0 khi N . Như vậy bằng khái niệm cực 
tiểu non, dùng thuật toán 1 ta cũng xác định được hàm g2(q) không thoả mãn tính dương 
nên s,q không ổn định với q [1, 2]. Bằng phương pháp tần số vẽ đặc tính tần trong 
mặt phẳng phức nếu không băm trúng điểm q=1.42 thì thấy họ đặc tính tần ,j q 
không chứa điểm zero và kết luận s,q ổn định. Thông tin này là sai lầm vì nếu “băm” 
trúng điểm q=1.42 thì sẽ thấy đặc tính tần trong mặt phẳng phức bao lấy điểm zero và (s, 
q) không ổn định. 
Thật vậy xét phương trình đặc trưng tại điểm q=1.42: 
 s,q =10s3+1,42s2+12,27887324s+1,7436 
dùng phương pháp đặc tính tần trong mặt phẳng phức ta có được: 
 ,j q =1,7436-1,422+j(-102+12,27887324) 
cả phần thực và phần ảo của ,j q tại điểm q=1.42 đều bằng 0 tại điểm 
=1.108100733 rad/s, có nghĩa là họ đặc tính tần ,j q ứng với q [1 2] và  [0 
 ) có chứa điểm zero. Điều này chứng tỏ s,q không ổn định với q [1 2]. 
Ví dụ PL1.2: 
Hình 4.3 vẽ miền ổn định trong không gian có 2 thông số (q1 và q2) của một đa thức 
 s,q xác định. Trong a) của hình 3.PL đa thức đặc trưng s,q [17] ổn định ở toàn 
bộ miền ABCD trừ điểm H, hoặc trong b) của hình 3.PL) đa thức đặc trưng s,q ổn 
106 
định ở khắp nơi thuộc miền ràng buộc của q1 và q2 trừ 2 khe hẹp (AB) và (CD). Tại những 
điểm q thuộc 2 khe hẹp này hệ không ổn định, với phương pháp xét ổn định phải “băm” có 
thể bỏ sót các khe hẹp này, nếu không “băm” trúng vào những điểm trong khe hẹp thì kết 
luận đa thức s,q ổn định bền vững với q Q. Kết luận này là sai vì thực tế có những 
điểm q nằm trong khe hẹp làm cho hệ không ổn định bền vững. 
1q 1
q 
q1 
q2 
2q 
2
q 
A B 
C 
D 
unstable 
2 4 6 0 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
q2 
q1 
Stable 
A B 
C D 
H 
b) 
a) 
Hình 3.PL: Miền ổn định trong không gian 2 thông số