Phân tích thực nghiệm và mô hình số ứng xử cơ học của dầm gỗ liên hợp hiện đại

4560(1) 1.2018
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ 
Giới thiệu chung
Trên thế giới, dầm gỗ liên hợp hiện đại (Glued Laminated 
Timber - GLT hay Glulam) đang được ứng dụng rộng rãi 
trong lĩnh vực xây dựng công trình. Loại kết cấu này là một 
trong những giải pháp sử dụng vật liệu xanh, có tính hiệu 
quả cao nhờ những ưu điểm về khả năng chịu lực vượt trội 
so với gỗ thịt, có kích thước lớn và khả năng vượt nhịp lớn, 
tính ổn định cao, lại thân thiện với môi trường.
Dầm gỗ liên hợp GLT được chế tạo từ nhiều phiến dầm 
có kích thước nhỏ, được liên kết đối đầu với nhau bằng liên 
kết mộng răng lược (finger-joint), tạo ra các phiến dầm dài 
hơn, các phiến dầm này lại được dán với nhau bằng keo để 
tạo ra dầm GLT mong muốn. Chiều dài dầm GLT có thể 
đạt tới 60 m, chiều cao đạt 2,5 m và chiều rộng bằng 1/10 
chiều cao. 
Hiện nay, có rất nhiều dự án nghiên cứu về loại kết cấu 
này để mở rộng khả năng ứng dụng của nó [1-11]. Tiêu 
chuẩn hiện hành của châu Âu EN 338 [12] mới chỉ phân 
loại dầm liên hợp từ các loại gỗ mềm (softwood). Do đó, 
các dữ liệu thiết kế cần được bổ sung đối với dầm liên hợp 
từ gỗ cứng (hardwood). 
Trong nghiên cứu này, các dầm liên hợp từ gỗ dẻ gai, 
một loại gỗ cứng được thí nghiệm kiểm tra sức kháng uốn 
theo tiêu chuẩn EN 408 [13]. Song song với nghiên cứu 
thực nghiệm, việc nghiên cứu mô hình số bằng phương 
pháp phần tử hữu hạn cũng được chúng tôi thực hiện nhằm 
xây dựng một mô hình hoàn thiện, có khả năng dự báo ứng 
xử cơ học của dầm liên hợp (sức kháng uốn và dạng phá 
Phân tích thực nghiệm và mô hình số ứng xử 
cơ học của dầm gỗ liên hợp hiện đại
Trần Văn Đăng1* , Trần Đồng2
1Khoa Công trình, Trường Đại học Thủy lợi
2Khoa Cầu đường, Trường Đại học Xây dựng
Ngày nhận bài 11/9/2017; ngày chuyển phản biện 18/9/2017; ngày nhận phản biện 26/10/2017; ngày chấp nhận đăng 31/10/2017
Tóm tắt:
Dầm gỗ liên hợp hiện đại là một trong các giải pháp kết cấu sử dụng vật liệu xanh. Trong bài báo này, nhóm tác giả 
giới thiệu các kết quả nghiên cứu thực nghiệm mới nhất về dầm liên hợp 2 phiến và 3 phiến, chế tạo từ gỗ dẻ gai, 
được thực hiện tại Viện LERMAB, Pháp. Bên cạnh việc phân tích ứng xử cơ học thực nghiệm của loại kết cấu này, 
các tác giả còn thực hiện nghiên cứu về mô hình số phần tử hữu hạn nhằm mô tả ứng xử cơ học của dầm liên hợp. 
Mô hình số được đưa ra giúp dự báo chính xác về chỉ số sức kháng uốn và dạng phá hoại của dầm. 
Từ khóa: Dầm gỗ liên hợp, gỗ dẻ gai, mộng răng lược, phương pháp phần tử hữu hạn, tiêu chuẩn châu Âu.
Chỉ số phân loại: 2.5
*Tác giả liên hệ: Email: tranvandang@tlu.edu.vn
Experimental analysis 
and numerical behavior of innovative 
glued laminated timber beams
Van Dang Tran1*, Dong Tran2
1Civil Engineering Faculty, Water Resources University
2Faculty of Bridge and Road Engineering, National University of Civil 
Engineering
Received 11 September 2017; accepted 31 October 2017
Abstract:
The innovative glued laminated timber beam is one of 
the structural solutions using green materials. In this 
paper, we present the latest experimental results on two-
layer and three-layer glued laminated timber beams 
made of beech wood. The experiments were realized at 
the LERMAB Institute, France. Experimental analysis 
of the mechanical behavior of beams was also presented. 
A study of the finite element model was performed in 
parallel and succeeded in describing the mechanical 
behavior of the glued laminated timber beams. The 
numerical model could can predict precisely the bending 
resistance and the failure mode of beams.
Keywords: Beech, European standard, finger-joint, finite 
element method, glued laminated timber beam. 
Classification number: 2.5
4660(1) 1.2018
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ
hoại của dầm). Trên cơ sở mô hình số được xây dựng, có 
thể xác định các chỉ số thiết kế của dầm mà không cần thực 
hiện các thí nghiệm tốn kém, mất thời gian, hỗ trợ đắc lực 
cho công tác thiết kế liên quan đến dầm gỗ liên hợp hiện đại.
Nội dung nghiên cứu
Nghiên cứu thực nghiệm
Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm:
Để đánh giá khả năng làm việc của dầm liên hợp, thí 
nghiệm uốn 4 điểm theo tiêu chuẩn châu Âu EN 408 [13] đã 
được thực hiện (hình 1). 
Nghiên cứu thực nghiệm được thực hiện tại Viện 
LERMAB, Pháp vào tháng 4/2017. Các dầm liên hợp 2 
phiến và 3 phiến từ gỗ dẻ gai, có liên kết mộng răng lược 
được chế tạo tại xưởng theo tiêu chuẩn về kích thước dầm 
EN 14080 [14] và tiêu chuẩn về các thông số sản xuất EN 
385 [15]. Vị trí của mộng liên kết răng lược được thiết kế 
tại giữa nhịp, nhằm tạo ra trường hợp chịu tải bất lợi nhất 
cho dầm (hình 2). Mỗi kiểu dầm được chế tạo với số lượng 
là 10 dầm.
Kết quả thí nghiệm thu được là một đường cong “Lực 
- chuyển vị giữa nhịp” của dầm (F-W) (hình 3). Từ đó cho 
phép xác định được mô đun đàn hồi MOE và sức kháng uốn 
MOR của dầm lần lượt theo công thức (1) và (2).
(1) 
(2) 
Hình 4. Đường cong thực nghiệm lực - chuyển vị giữa nhịp của dầm: (A) Dầm 2 phiến; (B) Dầm 
3 phiến. 
giả thiết làm việc đàn hồi tuyến tính trong giai đoạn đầu cho đến khi bị phá hoại (hình 
7). 
)
5
6
2(2
43
12
123
32
Gbh
a
FF
ww
bh
aaL
MOE
2
max3
bh
aF
MOR 
F (N) 
W (mm) 
W1 W2 
F1 = 10%*Fmax 
F2 = 40%*Fmax 
Fmax 
F (N) 
W (mm) 
F (N) 
W (mm) 
(A) (B) 
 (1)
(1) 
(2) 
Hình 4. Đường cong thực nghiệm lực - chuyển vị giữa nhịp của dầm: (A) Dầm 2 phiến; (B) Dầm 
3 phiến. 
giả thiết làm việc đàn hồi tuyến tính trong giai đoạn đầu cho đến khi bị phá hoại (hình 
7). 
)
5
6
2(2
43
12
123
32
Gbh
a
FF
ww
bh
aaL
MOE
2
max3
bh
aF
MOR 
F (N) 
W (mm) 
W1 W2 
F1 = 10%*Fmax 
F2 = 40%*Fmax 
Fmax 
F (N) 
W (mm) 
F (N) 
W (mm) 
(A) (B) 
 (2)
Phân tích thực nghiệm ứng xử cơ học của dầm gỗ liên 
hợp:
Hình 4 thể hiện đường cong thực nghiệm “Lực - chuyển 
vị giữa nhịp” của dầm liên hợp 2 phiến và 3 phiến. Kết quả 
cho thấy, trong giai đoạn đầu chịu tải, dầm liên hợp tuân 
theo quy luật đàn hồi tuyến tính. Thềm đàn dẻo không xuất 
hiện đối với dầm 2 phiến và chỉ xuất hiện rất ít ở dầm 3 
phiến. Khi đạt tới trạng thái chịu lực tới hạn, dầm bị phá 
hoại đột ngột. Điều đó được giải thích là do liên kết mộng 
răng lược được bố trí ở vị trí giữa dầm, nằm trong vùng chịu 
nén lớn nhất, do đó ứng xử tổng thể của dầm liên hợp được 
quyết định bởi ứng xử cục bộ của mộng răng lược (ứng xử 
cơ học đặc trưng của mộng răng lược là phá hoại giòn, đột 
ngột).
Hình 1. Sơ đồ bố trí thí nghiệm uốn 4 điểm theo tiêu 
chuẩn EN 408.
Hình 2. Kích thước dầm gỗ liên hợp được chế tạo (Type 
E: dầm 2 phiến; Type F: dầm 3 phiến).
Hình 4. Đường cong thực nghiệm Lực - chuyển vị giữa 
nhịp của dầm: (A) Dầm 2 phiến; (B) Dầm 3 phiến.
Hình 3. Dạng đường cong thực nghiệm Lực - chuyển vị 
giữa nhịp của dầm chịu uốn 4 điểm.
(1) 
(2) 
Hình 4. Đường cong thực nghiệm lực - chuyển vị giữa nhịp của dầm: (A) Dầm 2 phiến; (B) Dầm 
3 phiến. 
giả thiết làm việc đàn hồi tuyến tính trong giai đoạn đầu cho đến khi bị phá hoại (hình 
7). 
)
5
6
2(2
43
12
123
32
Gbh
a
FF
ww
bh
aaL
MOE
2
max3
bh
aF
MOR 
F (N) 
W (mm) 
W1 W2 
F1 = 10%*Fmax 
F2 = 40%*Fmax 
Fmax 
F (N) 
W (mm) 
F (N) 
W (mm) 
(A) (B) 
(1) 
(2) 
Hình 4. Đường cong thực nghiệm lực - chuyển vị giữa nhịp của dầm: (A) Dầm 2 phiến; (B) Dầm 
3 phiến. 
giả thiết làm việc đàn hồi tuyến tính trong giai đoạn đầu cho đến khi bị phá hoại (hình 
7). 
)
5
6
2(2
43
12
123
32
Gbh
a
FF
ww
bh
aaL
MOE
2
max3
bh
aF
MOR 
F (N) 
W (mm) 
W1 W2 
F1 = 10%*Fmax 
F2 = 40%*Fmax 
Fmax 
F (N) 
W (mm) 
F (N) 
W (mm) 
(A) (B) 
4760(1) 1.2018
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ 
Quan sát dạng phá hoại của dầm gỗ liên hợp, có thể thấy 
rằng, vết nứt phá hoại xuất hiện trước tiên tại vị trí mộng 
răng lược ở đáy dầm. Vết nứt phát triển đến mặt dán đầu tiên 
giữa 2 phiến dầm và tiếp tục phát triển dọc theo mặt dán, 
kéo theo việc phá hoại cục bộ trong dầm gỗ tại một số vị trí 
ở mặt dán (hình 5). Hiện tượng này giải thích sự tương đồng 
giữa ứng xử cơ học của keo dán và dầm liên hợp.
Sức kháng uốn của dầm liên hợp được tính toán và thể 
hiện trong bảng 1. Kết quả cho thấy, dầm liên hợp 3 phiến 
có sức kháng uốn lớn hơn đáng kể so với dầm 2 phiến. Ta 
có thể kết luận rằng, việc chế tạo dầm liên hợp từ nhiều 
phiến sẽ làm tăng sức chịu tải của dầm, do liên kết mộng 
răng lược được phân bố đều ở các vị trí khác nhau của dầm, 
giúp tránh tập trung ứng suất lớn tại vị trí răng lược, nơi yếu 
nhất của dầm. 
Nghiên cứu bằng mô hình phần tử hữu hạn
Lựa chọn mô hình vật liệu:
Gỗ là vật liệu tự nhiên, trong mô hình lý tưởng gỗ 
được xem là vật liệu đồng nhất, làm việc đa phương, theo 
3 phương chính: Phương dọc thớ L(z), phương ngang thớ 
gồm phương tiếp tuyến T và phương bán kính R (hình 6 A, 
B).
Ứng xử cơ học của gỗ theo các phương là rất khác nhau. 
Khi chịu kéo theo phương dọc thớ, gỗ bị phá hoại giòn. 
Ngược lại, khi chịu nén đường cong ứng suất - biến dạng 
xuất hiện một thềm dẻo sau điểm giới hạn bền (hình 6C). 
Tuy nhiên, cường độ của gỗ khi chịu kéo dọc thớ lớn hơn 
đáng kể so với khi chịu nén theo các phương khác nhau.
Trong mô hình số, ứng xử cơ học của gỗ ở giai đoạn đàn 
hồi tuân theo định luật Hooke. Để mô tả giai đoạn đàn dẻo 
của gỗ khi chịu nén, chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn bậc 2 của 
Hill [16], còn tiêu chuẩn Hoffman [17] được sử dụng để mô 
tả phá hoại giòn của gỗ khi chịu kéo. 
Ứng xử cơ học của liên kết keo dán phụ thuộc vào các 
đặc tính của vật liệu keo sử dụng. Trong mô hình số, quy 
luật kéo - tách rời (traction - separation) [18] được áp dụng 
để mô tả sự làm việc của liên kết keo dán, theo đó kết cấu 
được giả thiết làm việc đàn hồi tuyến tính trong giai đoạn 
đầu cho đến khi bị phá hoại (hình 7).
Hình 5. Dạng phá hoại đặc trưng của dầm liên hợp: (A) Dầm 2 phiến; (B) Dầm 3 phiến.
Bảng 1. Kết quả sức kháng uốn MOR của dầm liên hợp.
Hình 6. (A) Phương dọc thớ và phương bán kính; (B) 
Phương trực giao T và R; (C) Đường cong ứng suất biến 
dạng của gỗ chịu kéo nén theo các phương khác nhau.
Dầm 2 phiến Dầm 3 phiến
Trung bình (Mpa) 52,42 59,36
Độ lệch chuẩn (Mpa) 8,16 6,4
Hệ số biến thiên (%) 16 11
Hình 9. So sánh đường cong Lực - chuyển vị của mô hình số và thực nghiệm: (A) Dầm 2 phiến; 
(B) Dầm 3 phiến. 
Độ tách rời 
Lực kéo 
Hình 7. Ứng xử cơ học đàn hồi tuyến tính của liên kết keo 
dán (traction-separation).
4860(1) 1.2018
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ
Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn:
Mô hình phần tử hữu hạn được xây dựng bằng phần 
mềm ABAQUS [18]. Trong đó, sử dụng loại phần tử tam 
giác gồm 3 nút, ở trạng thái ứng suất phẳng, với kích thước 
phần tử lớn nhất là 10 mm, tại các vị trí mặt liên kết keo, 
phần tử được làm mịn đến 1 mm (hình 8).
Kết quả của mô hình phần tử hữu hạn:
Hình 9 thể hiện đường cong “Lực - chuyển vị tại giữa 
dầm” của mô hình số, được so sánh với các đường cong 
thực nghiệm. Kết quả cho thấy, mô hình số có thể dự báo 
chính xác ứng xử cơ học của dầm liên hợp: Trong giai đoạn 
đầu chịu lực, dầm tuân theo quy luật đàn hồi tuyến tính, sau 
đó là trạng thái biến dạng dẻo trong khoảng thời gian rất 
ngắn rồi bị phá hoại đột ngột. 
Bảng 2 so sánh kết quả thực nghiệm và kết quả dự báo 
của mô hình số của lực lớn nhất và chuyển vị giữa dầm tại 
thời điểm dầm bị phá hoại. Kết quả cho thấy khả năng dự 
báo tốt của mô hình số, với độ sai số nhỏ, tối đa là 2,3% đối 
với kết quả lực lớn nhất và 7,7% đối với chuyển vị tại thời 
điểm bắt đầu phá hoại.
Khi quan sát dạng phá hoại của dầm liên hợp cho thấy, 
mô hình số có thể dự báo chính xác dạng phá hoại đặc trưng 
của dầm 2 phiến cũng như dầm 3 phiến (hình 10, 11). Đường 
phá hoại bắt đầu tại mặt keo dán của mộng răng lược, sau 
khi mộng bị tách ra hoàn toàn, đường phá hoại phát triển tại 
mặt dán của các phiến dầm, dọc theo chiều dài về phía đầu 
dầm. Kết quả của mô hình thể hiện ứng suất tập trung lớn 
nhất tại mặt keo dán cho thấy đường phá hoại thực tế của 
dầm liên hợp. Hơn nữa, dạng phá hoại của mô hình số cũng 
cho thấy mộng răng lược khi nằm ở vùng chịu nén hoặc nằm 
ngoài vùng chịu kéo lớn nhất (trường hợp dầm 3 phiến) sẽ 
ít bị ảnh hưởng, không gây nguy hiểm cho dầm. Do đó, khi 
chế tạo và thi công, cần tránh bố trí liên kết mộng nằm tại 
vùng chịu kéo lớn nhất.
Hình 8. Mô hình số phần tử hữu hạn: (A) Dầm 2 phiến; 
(B) Dầm 3 phiến.
Hình 9. So sánh đường cong Lực - chuyển vị của mô hình số và thực nghiệm: (A) Dầm 2 phiến; (B) Dầm 3 phiến.
Bảng 2. So sánh kết quả lực lớn nhất và chuyển vị tương 
ứng giữa thực nghiệm và mô hình số.
Thực nghiệm Mô hình số Sai số (%)
Dầm 2 phiến
Lực lớn nhất (N) 29622±4613 30384 2,3
Chuyển vị tại lúc phá hoại (mm) 19,5±4 21 7,7
Dầm 3 phiến
Lực lớn nhất (N) 74627±7878 74042 0,8
Chuyển vị tại lúc phá hoại (mm) 36,9±4,6 35,4 4
4960(1) 1.2018
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ 
Kết luận
Trong nghiên cứu này, dầm gỗ liên hợp 2 phiến và 3 
phiến được chế tạo từ gỗ dẻ gai, tại Viện LERMAB theo 
quy trình của châu Âu về thiết kế dầm gỗ liên hợp [14, 15] 
đã được thí nghiệm sức kháng uốn, gồm mô men uốn lớn 
nhất và mô đun đàn hồi, theo thí nghiệm uốn 4 điểm của 
tiêu chuẩn EN 408 [10]. Kết quả thực nghiệm cho thấy, khi 
mộng răng lược nằm tại vùng chịu kéo là nhược điểm lớn 
nhất của dầm liên hợp, gây nên phá hoại giòn, một loại phá 
hoại nguy hiểm của kết cấu. Vì vậy, việc chế tạo dầm liên 
hợp gồm càng nhiều phiến, càng tăng được khả năng chịu 
lực của dầm. Do mộng răng lược được bố trí ở nhiều vị trí 
khác nhau, tránh được lực tập trung toàn bộ mộng liên kết 
trong vùng chịu kéo, làm suy giảm sức kháng tổng thể của 
dầm. Kết quả nghiên cứu thực nghiệm đã chỉ ra 2 điểm cần 
giải quyết, nhằm tăng sức kháng tổng thể của dầm: i) Cần 
tối ưu hóa kích thước của mộng răng lược, tạo liên kiết vững 
chắc hơn; ii) Phát triển vật liệu keo, nâng cao hiệu quả liên 
kết cho gỗ dẻ gai.
Trong mô hình số đã được xây dựng, chúng tôi đưa ra 
mô hình phần tử hữu hạn, mô tả các thí nghiệm uốn 4 điểm 
của dầm 2 phiến và 3 phiến. Qua phân tích ở trên cho thấy, 
các mô hình này có thể dự báo chính xác ứng xử cơ học của 
dầm liên hợp, như việc dự báo lực kháng lớn nhất của dầm 
và chuyển vị của dầm tại thời điểm bắt đầu phá hoại với sai 
số nhỏ, tối đa lần lượt là 2,3% và 7,7%. Ngoài ra, mô hình 
số cũng có thể dự báo dạng phá hoại của dầm một cách trực 
quan và rất đặc trưng khi so sánh với dạng phá hoại thực tế 
của dầm. Việc xây dựng hoàn thiện các mô hình số giúp dự 
báo ứng xử cơ học của dầm gỗ liên hợp, hạn chế được số 
lượng lớn dầm cần chế tạo phục vụ thí nghiệm, hoặc khi cần 
dữ liệu thiết kế, bởi mô hình số này giúp dự báo nhanh các 
số liệu đầu vào cho thiết kế. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] D.O. Chans, J.E. Cimadevilla, E.M. Gutièrrez (2008), 
“Glued joints in hardwood timber”, International Journal of 
Adhesion & Adhesives, 28, pp.457-463.
[2] J. Ayarkwa, Y. Hirashima, Y. Sasaki (2000), “Effect of 
finger geometry and end pressure on the flexural properties 
of finger-jointed tropical african hardwoods”, Forest Products 
Journal, 50(11/12), pp.53-63.
[3] M. Frese, H.J. Blass (2006), “Characteristic bending 
strength of beech glulam”, Materials and Structures, 40, pp.3-13.
[4] S. Aicher, D. Ohnesorge (2011), “Shear strength of glued 
laminated timber made from European beech timber”, Eur. J. 
Wood Prod., 69, pp.143-154.
[5] M. Schmidt, A. Thonniben (2012), “Relevant wood 
characteristics for gluind beech and ash with regard to 
discoloration”, Eur. J. Wood Prod., 70, pp.319-325.
[6] C. Faye (2010), “Valorisation en usage structural des 
essences de bois français douglas et du sapin BMR”, Institut 
Technologique FCBA, 6, pp.256-259.
[7] CTBA (2007), “Bois lamellé-collés (BLC); bois massifs 
reconstitués (BMR)”, Assemblages Bois et dérivés Conception 
Hình 10. Dạng phá hoại của dầm 2 phiến: (A) Mô hình 
số; (B) Thực nghiệm.
Hình 11. Dạng phá hoại của dầm 3 phiến: (A) Mô hình 
số; (B) Thực nghiệm.
5060(1) 1.2018
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ
système, 1, pp.1-4.
[8] G. Dill-Langer, S. Aicher (2014), “Glulam Composed of 
Glued Laminated Veneer Lumber Made of Beech Wood: Superior 
Performance in Compression Loading”, Materials and Joints in 
Timber Structures - RILEM, 9, pp.603-613.
[9] V.D. Tran, M. Oudjene, P.J. Méausoone (2015), “FE 
analysis and geometrical optimization of timber beech finger-
joint under bending test”, International Journal of Adhesion and 
Adhesives, 52, pp.40-47.
[10] V.D. Tran, M. Oudjene, P.J. Méausoone (2015), 
“Experimental and numerical analyses of the structural response 
of adhesively reconstituted beech timber beams”, Composite 
Structures Journal, 119, pp.206-217.
[11] V.D. Tran, M. Oudjene, P.J. Méausoone (2016), “Utilizing 
the innovative glued timber in construction”, Hội thảo quốc gia: 
Hạ tầng giao thông với phát triển bền vững lần thứ 2, Trường Đại 
học Bách khoa Đà Nẵng.
[12] Norme (2009), NF EN 338: Bois de structure, Classes 
de résistance, Editée et diffusée par l’Association Française de 
Normalisation (AFNOR).
[13] Norme (2010), NF EN 408: Structure en bois, Bois 
de structure et bois lamellé-collé. Détermination de certaines 
propriétés physiques et mécanique, Editée et diffusée par 
l’Association Française de Normalisation (AFNOR).
[14] Norme (2012), EN 14080: Timber Structures- glued 
laminated timber and glued solid timber requirements, CEN-
BNBA-AFNOR.
[15] Norme (2002), NF EN 385: Aboutages à entures multiples 
dans les bois de construction, Exigences de performance et 
exigences minimales de fabrication, Editée et diffusée par 
l’Association Française de Normalisation (AFNOR).
[16] R. Hill (1948), A theory of yielding and plastic flow of 
anisotropic metals, London Proc.
[17] M. Oudjene, M. Khelifa (2009), “Finite element 
modelling of wooden structures at large deformation and brittle 
failure prediction”, Materials and Design, 30, pp.4081-4087.
[18] Dassault Systèmes Simulia Corp (2008), ABAQUS theory 
manual, Providence, Rhode Island, USA.