Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 06: Tối ưu hàm nhiều biến số với ràng buộc tổng quát: Phương pháp cổ điển

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 
Khoa Công nghệ Cơ khí 
CHƯƠNG 06: 
TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 
 VỚI RÀNG BUỘC TỔNG QUÁT: 
PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN 
Thời lượng: 3 tiết 
2 
Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát 
 f xTìm cực trị (Optimum) của hàm nhiều biến sau: 
Với m điều kiện ràng buộc bất đẳng thức: 
Với:  1 2
T
nx x x x
 0
1,2, ,
jg
j m
x
Với p điều kiện ràng buộc đẳng thức: 0
1,2, ,
lh
l p
x
3 
Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker 
   
1 1
1 2 1 2 1 2
, ,
; ;
pm
j j l l
j l
TT T
n m p
L f g h
x x x
 
     
 x λ η x x x
x λ η
1 1
, , 0; 1.. 1
0; 1.. 2
0; 1.. 3
0 min
; 1.. 4
0 max
0; 1.. 5
pm
j l
j j
j li i i i
j j
j
j
j
l
g hL f
i n
x x x x
g j m
g j m
f
j m
f
h l p
 



    
    
 x λ η x x x
x
x
x
x
x
4 
Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (Tiếp) 
11 1
22 2; ;
pn m
x
x
x



x λ η
Giải hệ 
(1)÷(5) với 
(n+m+p) ẩn, 
ta có: 
Kiểm tra J1 véctơ Gradient của hàm bất đẳng thức ràng buộc g 
tại điểm cực trị và p véc tơ Gradient của hàm đẳng thức ràng 
buộc h tại điểm cực trị x*, phải là không phụ thuộc tuyến tính 
với nhau. Nếu vậy thì x*, λ*, η* sẽ là điểm cực trị. 
 1 0
j
j
g
j J 
 
x 
1..
lh
l p
 
x
và KHÔNG PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 
Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính 
5 
Cho M = J1+p véc tơ: 
1
1 2 1 2
1 1 1 1
1 2 1 2, , , , , , ,
pJ J J J
J pg g g h h h
      
v v v v v v
x x x x x x
Với:  1 2
T
nx x x x
Xây dựng ma trận A:  
1 1 1 11 2 1 2
x M
1 ;
J J J J p
N
M J p N n
A v v v v v v
Trường hợp 1: Khi M > N Các véc tơ sẽ luôn phụ thuộc tuyến tính 
Trường hợp 2: Khi M = N Ta tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc 
tuyến tính, ngược lại thì không phụ thuộc tuyến tính. 
Trường hợp 3: Khi M < N, Ta tính rank(A). Nếu rank(A)=M tức là bằng 
số lượng véc tơ thì hệ độc lập tuyến tính. Nếu khác rank(A)≠M thì hệ 
phụ thuộc tuyến tính. 
6 
Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính 
 
1 2
1 1 1
1 2
2 2 2
2
1 2
1 2
1 1 1
1 2
2 2 2
x
1 2
; ; ;
M
M
M
M
N N N
M
M
N M
M
N N N
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
1v v v
A
Xác định M véc tơ v sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ 
thuộc tuyến tính 
Đưa về 
dạng bậc 
thang 
Xác định 
hạng 
Rank(A) 
7 
 
1 2
1 1 1
1 2
2 2 2
x
1 2
M
M
N M
M
N N N
a a a
a a a
a a a
A
1) Nếu Rank(A)=M Các véc tơ v là độc lập tuyến tính 
2) Nếu Rank(A)<M Các véc tơ v là phụ thuộc tuyến tính 
Do Rank(A)≤N, nên nếu N < M thì Rank(A)<M, có nghĩa là nếu 
N<M thì các véc tơ v sẽ luôn phụ thuộc tuyến tính 
Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính 
8 
Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính 
Xác định 3 véc tơ v sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc 
tuyến tính 
1 2 3
2 4 6
6 3 9
; ; ;
2 2 4
2 0 1
v v v
 
Gaussian 
Elimination
4 62 4 6 2
96 3 9 0 9
2 2 4 0 0 3
2 0 1 0 0 0
  
A
4
3
N
M
Rank(A)=3=M 
Kết luận: 3 véctơ v là độc lập tuyến tính 
9 
Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát 
Tìm cực trị hàm sau: 2 21 2 3 1 2 1 3, , 2 30 16 min/ maxf x x x x x x x 
Với 2 ràng buộc bđt: 1 2 3 36 3 0; 0x x x x 
3
2
1
n
m
p
Với 1 ràng buộc đt: 1 2 35 3 4 20 0x x x 
2 2
1 2 1 3 1 1 2 3 2 3
1 1 2 3
, , 2 30 16 6 3
5 3 4 20
L x x x x x x x x
x x x
 

x λ η
     1 2 3 1 2 1; ;
T T T
x x x    x λ η
10 
1 1 1
1
2 1 1
2
1 2 1
3
1 1 2 3
2 3
1 2 3
3
1
2
1 2 3
2 30 5 0 1
4 6 3 0 2
16 3 4 0 3
6 3 0 4
0 5
6 3 0 6
0 7
0 8
0 9
5 3 4 20 0 10
L
x
x
L
x
x
L
x
x x x
x
x x x
x
x x x
 
 
  




 
 
 
 
 
 
Giải hệ 
PT tìm 
6 ẩn 
Hệ PT (4) và (5) sẽ 
tương đương với 4 
trường hợp con như 
sau: 
11 1) Trường hợp 1: 
1 1 1
2 1 1
1 2 1
1
2
1 2 3
3
1
2
1 2 3
1
2
1
1
2
3
2 30 5 0
4 6 3 0
16 3 4 0
0
0
6 3 0
0
0
0
5 3 4 20
0
0
4
3
1
0
5
x
x
x x x
x
x x x
x
x
x
 
 
  






Đây là điểm dừng 
 f = - 123 
12 2) Trường hợp 2: 
1 1 1
2 1 1
1 2 1
1
3
1 2 3
3
1
2
1 2 3
1
2
3
1
2
1
2 30 5 0
4 6 3 0
16 3 4 0
0
0
6 3 0
0
0
0
5 3 4 20 0
220
5
335
59
165
59
0
0
64
0
59
9
x
x
x
x x x
x
x x x
x
x
x
 
 
  






Đây là điểm dừng, có 
khả năng là cực đại 
địa phương 
 f = - 7225/59 
13 3) Trường hợp 3: 
1 1 1
2 1 1
1 2 1
1 2 3
2
1 2 3
3
1
2
1
1
2 3
1
1
2
2
3
2 30 5 0
4 6 3 0
16 3 4 0
6 3 0
0
6 3 0
0
0
0
5 3 4 20 0
1695
947
1641
947
3847
947
1280
4748
94
0
947
7
0
x
x
x x x
x x x
x
x x x
x
x
x
 
 
  






Đây là điểm dừng, có 
khả năng là cực đại 
địa phương 
 f = - 103681/947 
14 4) Trường hợp 4: 
1 1 1
2 1 1
1 2 1
1 2 3
3
1 2 3
3
1
2
1 2
1
1
3
1
2
3
2
2650
1089
769
2 30 5 0
4 6 3 0
16 3 4 0
6 3 0
0
6 3 0
0
0
0 44
5 3 4 20
40
11
20
33
0
20
1
4
1
0 90 8
089
x
x
x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
 
 
  





Đây là điểm dừng, có 
khả năng là cực đại 
địa phương 
 f = - 103600/1089 
15 
Tính Gradient của các hàm ràng buộc gj và hl: 
1 2
1 1
1 2
1 2
2 2
1 2
3 3
1
1
1
1
2
1
3
1 0
6 ; 0 ;
3 1
5
3
4
g g
x x
g g
g g
x x
g g
x x
h
x
h
h
h
h
x
  
  
          
  
 
 
     
 
x x x x
x x
16 
 1 2 1
1 0 5
6 ; 0 ; 3
3 1 4
g g h 
      
x x x x x x
1) Trường hợp 1: Do λ1 = 0 và λ2 = 0 nên 
  1
5
3
4
A h 
  
x x
Trường hợp này không xét 2 
grandient của g vì các λ của 
chúng = 0. Grandient của h 
đứng 1 mình nên không phụ 
thuộc tuyến tính với ai. 
2) Trường hợp 2: Do λ1 = 0 nên 
  2 1
0 5
0 3
1 4
A g h 
   
x x
Có 2 định thức 
thành phần khác 0 
nên 2 véctơ này 
không phụ thuộc 
tuyến tính. Đây là 
cực trị 
17 3) Trường hợp 3: Do λ2 = 0 
  1 1
1 5
6 3
3 4
A g h 
   
x x
Cả 3 định thức 
thành phần khác 0 
nên 2 véc tơ này 
không phụ thuộc 
tuyến tính. Đây là 
cực trị. 
4) Trường hợp 4: 
  
1 2 1
1 0 5
6 0 3
3 1 4
det 33 0
A g g h
A
    
x x x
3 véctơ trên không phụ thuộc tuyến tính nên trường hợp 4 
cũng là cực trị địa phương. 
Điểm dừng ở trường hợp 1 là điểm cực tiểu với giá trị nhỏ 
nhất. 3 trường hợp còn lại là cực đại địa phương. Trường 
hợp 4 là điểm cực đại toàn cục. 
18 Bài toán tối ưu hóa các hàm lồi 
Nếu hàm mục tiêu f(x) cùng các hàm ràng buộc gj(x), hl(x) là 
những hàm số lồi thì bài toán gọi là các bài toán tối ưu hàm 
lồi (convex programming problem) 
 Khi đó nếu các λj ≥ 0 thì các hàm Lagrange L cũng sẽ là 
những hàm lồi 
 Khi đó thì tại các điểm dừng x* cũng sẽ chính là điểm cực 
tiểu tuyệt đối (toàn cục) 
 Điều kiện KKT sẽ trở thành điều kiện cần và đủ để tìm min 
toàn cục 
 Nếu bài toán tối ưu là tìm cực tiểu các hàm lồi, thì sẽ 
không có điểm dừng cũng như các cực đại địa phương. 
Tuy nhiên những bài toán kỹ thuật thực tế rất khó xác 
định được các hàm số là lồi hay không. 
19 
Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát 
Tìm cực trị hàm sau: 21 2 3 1 2 3, , 6 2 4 minf x x x x x x 
Với 2 ràng buộc bđt: 1 2 3 22 2 0; 0x x x x 
3
2
1
n
m
p
Với 1 ràng buộc đt: 21 2 32 4 0x x x 
2
1 2 3 1 1 2 3 2 2
2
1 1 2 3
, , 6 2 4 2 2
2 4
L x x x x x x x
x x x
 

x λ η
     1 2 3 1 2 1; ;
T T T
x x x    x λ η
20 
1 1
1
1 2 1
2
3 1 1 3
3
1 1 2 3
2 2
1 2 3
2
1
2
2
1 2 3
6 2 2 0 1
2 2 4 0 2
8 2 0 3
2 2 0 4
0 5
2 2 0 6
0 7
0 8
0 9
2 4 0 10
L
x
L
x
L
x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
 
  
 




 
 
 
 
 
 
Giải hệ 
PT tìm 
6 ẩn 
Hệ PT (4) và (5) sẽ 
tương đương với 4 
trường hợp con như ví 
dụ trước. 
21 1) Trường hợp 1: 
1 1
1 2 1
3 1 1 3
1
2
1 2 3
2
1
2
2
1 2 3
6 2 2 0 1
2 2 4 0 2
8 2 0
0
0
2 2 0
0
0
0
2 4 0
x x
x x x
x
x x x
 
  
 




Vô nghiệm 
22 2) Trường hợp 2: 
1 1
1 2 1
3 1 1 3
1
2
1 2 3
2
1
2
2
1 2 3
6 2 2 0 1
2 2 4 0 2
8 2 0
0
0
2 2 0
0
0
0
2 4 0
x x
x
x x x
x
x x x
 
  
 



Vô nghiệm 
23 3) Trường hợp 3: 
1 1
1 2 1
3 1 1 3
1 2 3
2
1 2 3
2
1
2
2
1
1
2
1
2
3
2
1
3
6 2 2 0 1
2 2 4 0 2
8 2 0
2 2 0
0
2 2 0
0
0
0
2 4
5
3
185
1536
55
15
4
3
0
36
5
16
0
x x
x x x
x x x
x
x x
x
x
x
x
 
  
 






Đây là điểm dừng 
 f = -25/96 
24 
1 1
1 2 1
3 1 1 3
1 2 3
2
1 2 3
2
1
2
2
1 2 3
6 2 2 0 1
2 2 4 0 2
8 2 0
2 2 0
0
2 2 0
0
0
0
2 4 0
x x
x x x
x
x x x
x
x x x
 
  
 


Vô nghiệm 
4) Trường hợp 4: 
25 
Tính Gradient của các hàm ràng buộc gj và hl: 
1 2
1 1
1 2
1 2
2 2
1 2
3 3
1
1
1
1 1
2
3
1
3
2 0
2 ; 1 ;
1 0
2 2
4 4
2 5
8
g g
x x
g g
g g
x x
g g
x x
h
x
h
h h
h
x
h
x
  
  
          
  
 
  
     
 
x x x x
x x
26 
Ta chỉ có 1 trường hợp có nghiệm với λ2=0 
  1 1
2 2
2 4
1 5
8
A g h 
   
x x
Có 3 định thức 
thành phần khác 0 
nên 2 véctơ này 
không phụ thuộc 
tuyến tính. Đây là 
cực trị 
Đây là điểm cực tiểu 
1
2
3
185
1536
55
1536
25
96
5
16
x
x
x
f
x
27 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng MATLAB 
 11 2 2
2
1 2
sin 0
2
x
x x e x
x x
digits(32); 
[x1,x2] = solve('sin(x1+x2) - exp(x1)*x2 = 0','x1^2 - x2 = 2')