Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 07: Phương pháp đồ thị để giải bài toán tối ưu hóa có 2 tham biến

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 
Khoa Công nghệ Cơ khí 
CHƯƠNG 07: 
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI BÀI 
TOÁN TỐI ƯU HÓA CÓ 2 THAM BIẾN 
Thời lượng: 3 tiết 
2 
Đặt vấn đề 
Trong rất nhiều bài toán thiết kế, kỹ thuật phức tạp, số lượng các 
hàm ràng buộc (bất đẳng thức) là rất lớn, tuy nhiên hàm mục tiêu 
và các ràng buộc chỉ có 2 tham biến. Với những bài toán này, nhiều 
khi áp dụng phương pháp đồ thị sẽ đem lại hiệu quả tốt, đồng thời 
đưa ra một lời giải trực quan và dễ hiểu. Hơn nữa, trong 1 số 
trường hợp khi lời giải cần tìm phải là số nguyên, thì phương pháp 
đồ thị trong trường hợp này lại giúp tìm ra kết quả dễ dàng mà 
không cần sử dụng những kỹ thuật phức tạp khác. 
3 bước Cơ bản của phương pháp này là: 
- Vẽ đồ thị các hàm ràng buộc 
- Xác định miền lời giải hợp lệ (vùng diện tích được giới hạn bởi 
các đường cong ràng buộc) 
- Vẽ các đường cong đồng mức của hàm mục tiêu để xác định cực 
trị ở trong miền hợp lệ 
Chú ý: Đi theo hướng của Gradient đến điểm cực trị nhưng phải 
trong khuôn khổ miền hợp lệ 
3 
Phương pháp đồ thị 
Cực đại hóa hàm số sau: 1 2 1 2, 400 600 maxf x x x x 
Với các ràng buộc: 1 2 1 21 2 1 216; 1; 1; 0; 0
28 14 14 24
x x x x
x x x x 
Bước 1: Kẻ hệ trục tọa độ x1x2 
Nhìn vào các ràng buộc để dự đoán một cách tương đối về 
khoảng giá trị của các tham biến. Ví dụ ở đây ta có thể lấy 
[0;25]. 
Trong nhiều trường hợp khoảng giá trị trên các trục chỉ có thể 
xác định sau khi vẽ các đồ thị. 
Bước 2: Vẽ các đường ràng buộc bất đẳng thức 
Xét ràng buộc đầu tiên, ta bỏ dấu bất đẳng thức ≤ để vẽ đồ thị 
đường: 1 2 16 0x x 
4 
Bước 3: Phân định miền bất đằng 
thức: Dựa vào tọa độ của 1 điểm 
thuận tiện không nằm trên đường 
cong ràng buộc thuộc 1 trong 2 
miền. Từ đó xác định được dấu 
của 2 miền 2 phía đường cong. 
Không hợp lệ 
Hợp lệ 
5 
Bước 4: Vẽ các đường cong ràng buộc còn lại và xác định miền 
hợp lệ: Làm tương tự bước 3 cho các đường cong ràng buộc 
còn lại 
A
B J H
C
F
G
 1 22 1
28 14
x x
g 
 1 23 1
14 24
x x
g 
 5 2 0g x 
 4 1 0g x 
 1 1 2 16g x x 
D
E
Miền 
ABCDE 
hợp lệ 
6 
Bước 5: Vẽ các đường đồng mức của hàm mục tiêu 
 1 23 1
14 24
x x
g 
 1 1 2 16g x x 
 1 22 1
28 14
x x
g 
Tính Gradient của hàm số để biết 
hướng độ dốc khiến hàm số 
tăng. Trên hình các mũi tên đều 
song song với véc tơ , 
chúng sẽ vuông góc với các 
đường đồng mức của hàm f. Ta 
vẽ hàng loạt đường thẳng song 
song nhau và vuông góc với véc 
tơ Gradient vì đường đồng mức 
của f là các đường thẳng (hàm f 
bậc 1 với 2 biến). 
Để hàm f đạt giá trị ngày càng 
lớn thì đường đồng mức cần đi 
theo hướng mũi tên của 
Gradient, nhưng cần phải có một 
đường đồng mức xa nhất mà vẫn 
“chạm” vào miền hợp lệ. Trên 
hình ta thấy là điểm D. 
400 2
600 3
f
 
x
A
C
D
E
B
7 
Bước 6: Tìm tọa độ điểm D là điểm mà ta nhận thấy hàm f đạt 
cực đại mà vẫn thỏa mãn miền hợp lệ. 
Dễ dàng nhận thấy D là giao điểm của 2 đường cong ràng buộc 
g1 và g2. Tọa độ giao điểm này chính là nghiệm của hệ phương 
trình: 
 1 1 21
2
1 2
2
4
, 400 4 600 12 8800
11
2 14
16
8
2
x x
fx
x
x
x
x x
   
Kết luận: Cực đại của hàm f = 8800 với x1*=4, x2*=12 
8 
Phương pháp đồ thị 
Khi hàm ràng buộc song song với hàm mục tiêu, chúng ta sẽ có 
tình huống nhiều lời giải. 
Cực tiểu hóa hàm số sau: 1 2 1 2, 0.5 minf x x x x 
Với các ràng buộc: 1 2 1 2 1 22 3 12;2 8; 0; 0x x x x x x 
Do hàm mục tiêu f song song với 
ràng buộc g2=2x1+x2-8 nên ta thấy lời 
giải có thể là cả đoạn thằng BC do 
đường đồng mức của hàm f sẽ trùng 
với đoạn BC giúp f đạt giá trị nhỏ 
nhất có thể khi xét tới các ràng buộc. 
9 
Phương pháp đồ thị 
Khi ta bỏ sót các ràng buộc hoặc phát biểu sai bài toán tối ưu 
Cực tiểu hóa hàm số sau: 1 2 1 2, 2 minf x x x x 
Với các ràng buộc: 1 2 1 2 1 22 0; 2 3 6; 0; 0x x x x x x 
Do miền hợp lệ mở rộng đến 
vô cùng bên phải, nên không 
có lời giải tối ưu hữu hạn. 
Cần xem lại phát biểu bài 
toán tối ưu. 
10 
Phương pháp đồ thị 
Khi các ràng buộc mâu thuẫn nhau khiến cho miền lời giải rỗng 
Cực tiểu hóa hàm số sau: 1 2 1 2, 2 minf x x x x 
Với các ràng buộc:  1 2 1 2 1 23 2 6; 2 3 12; , 0;5x x x x x x 
Miền hợp lệ phải là giao của 2 
miền OAG và HDEF. Và 2 miền 
này hoàn toàn không có 1 
khoảng chung nên giao của nó 
là 1 tập rỗng. Như vậy bản thân 
các ràng buộc đã mâu thuẫn 
nhau nên không tồn tại vùng 
tìm kiếm hợp lệ. Bài toán vô 
nghiệm Xem lại đề bài 
H
11 Phương pháp đồ thị 
Cực tiểu hóa hàm số sau: 51 2 1 2, 2.4608 10 minf x x x x 
Với các ràng buộc: 
3 9 37
1 26 7
1 2
1 2
207 1010
248 10 0;10 0; 0; 0
2 4 5 5
x x
x x
x x
 
 
7
6
1
1 2
10
248 10
2
g
x x 
 3 9 31 27
2
207 10
10
4 5 5
x x
g
  
 
Miền hợp lệ là miền màu vàng. 
Hàm mục tiêu có xu hướng tăng 
giá trị theo hướng chỉ của véctơ 
Gradient. Chính vì vậy điểm A là 
điểm mà đường đồng mức của 
hàm f có thể đạt được giá trị nhỏ 
nhất. Vậy ta cần tìm tọa độ của A, 
nó là giao của 2 đường cong g1, 
g2. 
A
1
2
0.1558137545
0.0411872369
x
x
1579.227756f 
12 Phương pháp đồ thị 
Cực tiểu hóa hàm số sau: 
2 2
1 2 1 2, 1.5 1.5 minf x x x x 
Với các ràng buộc: 1 2 1 22; 0; 0x x x x 
A
Miền 
hợp lệ 
Miền hợp lệ là tam giác OBC. Các 
vòng tròn là đường đồng mức 
của hàm mục tiêu f. 
Các véctơ Gradient túa ra từ 
điểm tâm (1.5;1.5) có nghĩa là giá 
trị của hàm f sẽ tăng theo chiều 
của các mũi tên Gradient đó. 
Như vậy ta thấy giá trị nhỏ nhất 
(gần tâm nhất) có thể mà vẫn 
thuộc miền hợp lệ chính là tiếp 
điểm A của đường đồng mức 
mầu đỏ với cạnh BC. Cũng như 
điểm xa tâm nhất thuộc miền 
hợp lệ chính là gốc tọa độ O, đó 
cũng chính là tọa độ giá trị lớn 
nhất của hàm f (vòng tròn xanh) 
C
B
13 
Tìm k để 2 đường cong 1 2, , 0f x x k và 1 2, , 0g x x k 
tiếp xúc với nhau tại 1 điểm và tìm tọa độ giao điểm đó 
Ý tưởng nằm ở chỗ: Tìm k để sao cho hệ phương trình sau có 
nghiệm duy nhất: 
1 2
1 2
, , 0 1
, , 0 2
f x x k
g x x k
Cách 1: 
Đưa hệ phương trình về phương trình đại số rồi đặt điều kiện để nó 
chỉ có 1 nghiệm duy nhất. 
Ví dụ nếu là phương trình bậc 2 thì Δ=0, thì đó có thêm 1 phương 
trình (3), kết hợp với (1) và (2) ta sẽ có hệ 3 phương trình với 3 ẩn là 
x1, x2, k. 
14 
Tìm k để 2 đường cong 1 2, , 0f x x k và 1 2, , 0g x x k 
tiếp xúc với nhau tại 1 điểm và tìm tọa độ giao điểm đó 
1) Trước hết ta có 2 phương trình sau: 
1 2
1 2
, , 0 1
, , 0 2
f x x k
g x x k
2) Tính đạo hàm riêng theo 1 trong 2 biến x1 (hoặc x2) của 2 
phương trình đường cong, ví dụ theo biến x1: 
2
1 2 1 2
1 1
2
1 2 1 2
1 1
1 2 1 2
, , 0 , ,
, , 0 , ,
, , , , 3
dxdf
x x k h x x k
dx dx
dxdg
x x k l x x k
dx dx
h x x k l x x k
3) Giải hệ phương trình (1),(2),(3) để tìm x1, x2, k 
Cách 2: 
15 
2 2 2 2
2
1 2 1 1
1 2
1 2
1 1 1
2
1 2 1 2
1 1
1 2
1 2 2 1
1 1 1
2
1 2 1 2 1 2
1 1
1 2 1
1
1
2
3
4 n m n
dg x dg x dx dx
g x
dx dx dx dx
df x dg xd
f x g x
dx dx dx
dxd
f x g x f x g x
dx dx
df x dg xd
f x g x g x f x
dx dx dx
dxd
f x g x f x g x f x g x
dx dx
d
x x n x
dx
  
  
   
    
  
1 1 2
2 1 2
1
m n m dxx x m x
dx
    
16 
Cách 3: 
Tìm k để 2 đường cong 1 2, , 0f x x k và 1 2, , 0g x x k 
tiếp xúc với nhau tại 1 điểm và tìm tọa độ giao điểm đó 
Ý tưởng nằm ở chỗ: Khi 2 đường cong f và g tiếp xúc với nhau tại 1 
điểm (a,b) thì 2 véctơ pháp tuyến (Gradient) của 2 đường cong này 
sẽ song song (hoặc trùng) nhau. Do đó ta có hệ phương trình sau: 
1 2
1 2
1 2
1 2
, , 0 1
, , 0 2
/ / 3
f x x k
g x x k
f x f x
f g
g x g x
   
   
    
x x
Giải hệ phương trình (1),(2),(3) để tìm x1, x2, k 
17 Phương pháp đồ thị 
Tìm tọa độ điểm cực tiểu A: Tìm k để đường đồng mức (x1-
1.5)2+(x2-1.5)
2=k tiếp xúc với đường thẳng x1+x2-2=0, tức là hệ 
có 1 nghiệm duy nhất. 
2 2
21 2
2 2
1 2
1
2
1
min
2
1.5 1.5
4 8 5 2 0
2 0
11
4 2 1 0
12
1 1
21
x x k
x x k
x x
x
k k
x
x
f
x
Có 1 nghiệm 
duy nhất 
Tìm tọa độ điểm cực đại O là (0;0). Khi đó fmax=4.5 
Cách 1: 
18 Cách 2: 
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
, , 1.5 1.5 1
, , 2 0 2
f x x k x x k
g x x k x x
1) Trước hết ta có 2 phương trình sau: 
2) Tính đạo hàm riêng theo biến x1 của 2 phương trình đường cong: 
2 2 2 1
1 2
1 1 1 1 2
2 2
1 1 1
1
2
3 2
2 3 2 3 0
2 3
1 0 1
3 2
1 3
2 3
dx dx dx xdf
x x
dx dx dx dx x
dx dxdg
dx dx dx
x
x
3) Giải hệ phương trình (1),(2),(3) để tìm x1, x2, k 
1
2
1
1
0.5
x
x
k
19 Phương pháp đồ thị 
Cực trị hóa hàm số sau: 2 21 2 1 2 1 2, 3 min&maxf x x x x x x 
Với ràng buộc: 2 21 2 6 0x x 
Chiều hàm f tăng 
Chiều hàm f tăng 
B
AC
D
- Điểm A, B là 2 điểm giá trị 
nhỏ nhất có thể 
- Điểm C, D là 2 điểm giá trị 
lớn nhất có thể 
- O là điểm yên ngựa 
Phải đi tìm được tọa 
độ những điểm này 
20 Phương pháp đồ thị 
Tìm tọa độ điểm A, B, C, D bằng cách Tìm k để đường đồng 
mức (x1)
2+(x2)
2-3x1x2=k tiếp xúc với đường cong (x1)
2+(x2)
2-6=0, 
tức là hệ có 1 nghiệm duy nhất. 
2 2
1 2 1 2
1 22 2
1 2
2
1 1
2
1 1
1 1 1 1
1 2 1 2
3 1
2 3
36 0 2
2
2 2 3 10 0 15
3
2
2 2 3 2 0 3
3
2 2
10 2
3 3&
2 2
3 3
x x x x k k
x x
x x
k
x x k
k
x x k
k k
x x x x
k k
x x x x
  
  
Có 1 nghiệm duy nhất 
Có 1 nghiệm 
duy nhất 
Cách 1: 
21 Phương pháp đồ thị 
2
10 4 2
33 3
152
2 4 2
3 3
k k
k
kk k
Thỏa mãn 
điều kiện 
3 15k 
Thế 2 giá trị k vào 1 trong 2 hệ phương trình, ta thu được 4 lời 
giải, đó chính là tọa độ 4 điểm cần tìm: 
Tọa độ A: 
1
min
2
3
3
3
A
A
x
f
x
Tọa độ B: 
1
min
2
3
3
3
B
B
x
f
x
Tọa độ C: 
1
max
2
3
15
3
C
C
x
f
x
Tọa độ D: 
1
max
2
3
15
3
D
D
x
f
x
22 Cách 2: 1) Trước hết ta có 2 phương trình sau: 
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
, , 3 0 1
, , 6 0 2
f x x k x x x x k
g x x k x x
2) Tính đạo hàm riêng theo biến x1 của 2 phương trình đường cong: 
2 2 2 2 1
1 2 2 1
1 1 1 1 2 1
2 2 1
1 2
1 1 1 2
2 1 1
2 1 2
3 2
2 2 3 0
2 3
2 2 0
3 2
3
2 3
dx dx dx x xdf
x x x x
dx dx dx dx x x
dx dx xdg
x x
dx dx dx x
x x x
x x x
3) Giải hệ phương trình (1),(2),(3) để tìm x1, x2, k. Cũng có 4 lời giải: 
1
min
2
3
3
3
A
A
x
f
x
1
max
2
3
15
3
C
C
x
f
x
1
min
2
3
3
3
B
B
x
f
x
1
max
2
3
15
3
D
D
x
f
x
23 Cách 3: 1) Trước hết ta có 2 phương trình sau: 
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
, , 3 0 1
, , 6 0 2
f x x k x x x x k
g x x k x x
2) Tính Gradient của các đường cong: 
 1 2 1
1 2 2
2 3 2
;
3 2 2
x x x
f g
x x x
  
x x
3) Do 2 đường cong f và g tiếp xúc nhau nên tại điểm tiếp xúc thì 
Grad(f) // Grad(g): 
 1 2 1 2
1 2
2 3 3 2
3
2 2
x x x x
x x
4) Giải hệ phương trình (1),(2),(3) để tìm x1, x2, k. Cũng có 4 lời giải: 
1
min
2
3
3
3
A
A
x
f
x
1
max
2
3
15
3
C
C
x
f
x
1
min
2
3
3
3
B
B
x
f
x
1
max
2
3
15
3
D
D
x
f
x
24 
ax1 + bx2 = c
1 2
1 2 1
x x
ax bx c
c c
a b
1x
2x
1 2ax bx c 
c
a
c
b
25 
2 2
1 2
2 2
1
x x
A B
1x
2x
A
B
26 
27 
ax1
2 + bx2
2 + cx1+ dx2 + e = 0
2 2
2 21 2
1 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
4 4
4 4
c d
x x
x h x ka b
bc ad abe bc ad abe A B
a b ab
2 2 2 2
2 2
; ;
2 2
4 4
;
4 4
c d
h k
a b
bc ad abe bc ad abe
A B
a b ab
2 2
0; 0;
4
bc ad
a b e
ab
 Điều kiện: 
28 
2 2
2 21 2
2 2
1
x x
C A B
A B
1x
2x
A
B
C
29 
2 2
1 2
2 2
1
x h x k
A B
Đường tiệm cận: 
 2 1
B
x x h k
A
1x
2x
30 
2 2
2 1
2 2
1
x k x h
A B
Đường tiệm cận: 
 2 1
A
x x h k
B
2x
1x
31 
ax1
2 - bx2
2 + cx1+ dx2 + e = 0
2 2
2 21 2
1 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
4 4
4 4
c d
x x
x h x ka b
bc ad abe bc ad abe A B
a b ab
2 2 2 2
2 2
; ;
2 2
4 4
;
4 4
c d
h k
a b
bc ad abe bc ad abe
A B
a b ab
0; 0;a b Điều kiện: 
2 2 4 0bc ad abe Nếu: 
32 
ax1
2 - bx2
2 + cx1+ dx2 + e = 0
2 2 2 2
2 2
; ;
2 2
4 4
;
4 4
c d
h k
a b
ad abe bc ad abe bc
A B
ab a b
0; 0;a b Điều kiện: 
2 2 4 0bc ad abe Nếu: 
2 2
2 22 1
2 1
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
4 4
4 4
d c
x x
x k x hb a
ad abe bc ad abe bc A B
ab a b
33 
Ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức 
Tìm cực trị hàm số sau: 2 21 2 1 2, 2 5 min maxf x x x x 
Với các ràng buộc bất 
đẳng thức và đẳng thức 
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
10; 5 22; 3 2 2;
4 4; 2 4; 2 0
x x x x x x
x x x x x x
5 ràng buộc bất đẳng thức tạo ra 
miền lời giải hợp lệ ngũ giác màu 
vàng. Tuy nhiên còn có 1 ràng buộc 
đẳng thức đó là đường cong màu đỏ. 
Như vậy tập hợp miền lời giải hợp lệ 
là phần đường màu đỏ nhưng nằm 
bên trong hình ngũ giác màu vàng 
(đường ab). Phần bên ngoài hình ngũ 
giác và bên trong nhưng không thuộc 
đường cong màu đỏ đều không phải 
miền lời giải hợp lệ. Như vậy ta cần 
tìm trên phần đường cong ab điểm 
nào làm cho hàm f đạt giá trị nhỏ 
nhất và lớn nhất. 
b
a
c
34 
Dựa vào các véc tơ Gradient ta thấy 
được chiều tăng giá trị hàm f. 
Dựa vào các đường đồng mức kết 
hợp với các véc tơ Gradient ta biết 
được đường đồng mức nào có giá trị 
lớn hơn. Như vậy, dễ dàng ta thấy: 
1. Điểm b sẽ là điểm hợp lệ khiến 
cho f có giá trị nhỏ nhất. b sẽ là giao 
điểm của đường x1 + 5x2 – 22 = 0 và 
đường ràng buộc x2–sqrt(2x1) = 0. 
2. Điểm c sẽ là tiếp điểm của một 
trong số những đường đồng mức 
 –2x1
2 + 5x2
2 = k với đường ràng buộc 
x2–sqrt(2x1) = 0. Nó có giá trị lớn 
nhất 
b
a
c
Tìm tọa độ điểm cực tiểu b 
1 2 2
1 2 12 22
2
22 1 1 2
1 2
5 22
5 22 3.306623910 44 0
02 0 5.4668807
2
, 5.10476243 min
b
b
b b
x x
x x xx x
x
xx x x x
f x x
35 Tìm tọa độ điểm cực đại c 
1) Trước hết ta có 2 phương trình sau: 
2 2
1 2 1 2
1 2 2 1
, , 2 5 0 1
, , 2 0 2
f x x k x x k
h x x k x x
2) Tính Gradient của các đường cong: 
 1 1
2
1
4
2;
10
1
x
xf h
x
  
x x
3) Do 2 đường cong f và h tiếp xúc nhau nên tại điểm tiếp xúc thì 
Grad(f) // Grad(h): 
 11
2
1
24
3
10 1
xx
x
4) Giải hệ phương trình (1),(2),(3) để tìm x1, x2, k. Ta chỉ có 1 nghiệm: 
 1 1 2
2
2.5
, 12.5 max
5
c
c c
c
x
f x x
x
36 MATLAB để hỗ trợ vẽ đồ thị 
Cực tiểu hóa hàm số sau: 
2 2
1 2 1 2, 1.5 1.5 minf x x x x 
Với các ràng buộc: 1 2 1 22; 0; 0x x x x 
37 MATLAB để hỗ trợ vẽ đồ thị 
Chỉ dùng để vẽ các đường đồng mức và ràng buộc khi chúng là các hàm phi tuyến 
phức tạp. Sau đó in ra và tiếp tục vẽ và chú thích bằng tay thêm cho bài toán.