Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 2: Tối ưu hàm một biến số

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 
Khoa Công nghệ Cơ khí 
CHƯƠNG 02: 
TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN SỐ 
Thời lượng: 3 tiết 
2 
Cực trị địa phương (tương đối) và toàn cục 
3 
Điều kiện cần của cực trị địa phương 
Nếu hàm số f(x) được xác định trên đoạn [a,b] và có cực trị địa 
phương tại x=x* (a<x*<b) và nếu đạo hàm f’(x) tồn tại dưới dạng 
một số hữu hạn tại x=x* thì f’(x*) = 0 
Đạo hàm f’(x*) không tồn tại khi mà: 
0 0
lim lim
h h
f x h f x f x h f x
m m
h h 
Độ dốc m- 
Độ dốc m+ 
Tại điểm đầu (x=a) và cuối 
đoạn (x=b) giới hạn trên 
chỉ tồn tại với h<0 hoặc 
h>0, nên đạo hàm là 
không xác định tại các 
điểm đầu và cuối đoạn. 
4 
Điều kiện đủ của cực trị địa phương 
 1 0n nf x f x f x f x 
n là số chẵn n là số lẻ 
Điểm uốn 
(Inflection Point) 
 0nf x 0nf x 
Cực tiểu Cực đại 
Điểm dừng 
5 
Điểm dừng (Stationary point) 
Điểm dừng, f’(x)=0 
6 
Bài tập ví dụ 1 
Cho hàm đa thức 1 biến số. Yêu cầu: 
1. Tìm tọa độ các điểm dừng (Stationary point). 
2. Xác định trong số các điểm dừng, đâu là cực tiểu, đâu là cực đại và đâu là 
điểm uốn 
3. Vẽ đồ thị hàm số 
1) Tính Đạo hàm f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 để tìm các điểm dừng: 
 4 3 2 2 2 260 180 120 60 3 2 60 1 2f x x x x x x x x x x 
1
2
3
0
0 1
2
x
f x x
x
2) Tính Đạo hàm bậc hai f”(x), xét giá trị và dấu của f”(x*) của các điểm 
dừng vừa tìm được 
7 
4 3 2
3 2 2
60 3 2
60 4 9 4 60 4 9 4
f x x x x
f x x x x x x x
2
2
2
1
1
60 1 4 1 9 1 4 60 0
x
f x
     
2 là số chẵn và f”(x2*)<0 
 x2* là cực đại địa phương 
 2 12f x 
3
2
3
2
2
60 2 4 2 9 2 4 240 0
x
f x
     
2 là số chẵn và f”(x3*)>0 
 x3* là cực tiểu địa phương 
 3 11f x 
1
2
1
0
3
60 0 4 0 9 0 4 0
x
f x
     
Do f”(x1*)=0 
 Phải tính tiếp f”’(x) 
3 2
2 2
60 4 9 4
60 12 18 4 120 6 9 2
f x x x x
f x x x x x
1
2
1
0
4
120 6 0 9 0 2 240 0
x
f x
   
3 là số lẻ và f”’(x1*)≠0 
 x1* là điểm yên 
 1 5f x 
8 
https://rechneronline.de/function-graphs/ 
Vẽ đồ thị hàm số 
9 
Các phương pháp số để tìm cực trị hàm 1 biến 
Các phương pháp dựa trên độ 
dốc. Tức là dựa trên việc giải 
phương trình f’(x)=0 
Việc tính đạo hàm f’(x) cũng 
được tính bằng phương pháp 
số gần đúng 
10 
NHƯ VẬY 
11 
THỐNG NHẤT VỀ CÁCH TÍNH GẦN ĐÚNG 
ĐẠO HÀM BẬC 1 VÀ 2 
2
0.001 0.001
;
0.002
0.002 2 0.002
0.002
f x f x
f x
f x f x f x
f x
Thống nhất công thức tính gần đúng đạo hàm bậc 1 và bậc 2 
trong các phương pháp như sau khi giải các bài tập trên lớp 
cũng như bài tập về nhà: 
12 
Phương pháp chia đôi đoạn (Bisection) 
 f x 
Vùng tìm kiếm 1 
Vùng tìm kiếm 2 
Vùng tìm kiếm 3 
Vùng tìm kiếm 4 
Vùng tìm kiếm 5 
13 
Phương pháp chia đôi đoạn (Bisection) 
14 
Bài tập ví dụ 2 
Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [a, b] bằng pp chia 
đôi đoạn với 5 vòng lặp 
    0.2 0.85 1.25 2 ; , 3,4x xf x e e x a b 
  
 
 
 
 
,
2
1 3,4 0.2686 0.18478 3.5 0.047057348 3.144776 1
2 3.5,4 0.047057348 0.18478 3.75 0.067212957 3.147233919 0.5
3 3.5,3.75 0.047057348 0.067212957 3.625 0.009707888 3.142434525 0.25
4 3.5,3.625 0.04
a b
SVL a b f a f b m f m f m b a
 
 
7057348 0.009707888 3.5625 0.018761715 3.142718393 0.125
3.5625,3.6255 0.018761715 0.009707888 3.59375 0.004549358 3.142354042 0.0625
6 0.004549358 0.009707888 3.609375 0.002573567 3.142338591 0.031253.59375,3.625
 0.001 0.001
0.002
f x f x
f x
15 
Sử dụng trang web online vẽ đồ thị 
https://rechneronline.de/function-graphs/ 
1 
2 
3 
4 
16 
Sử dụng trang web online vẽ đồ thị 
1 
2 
17 
1 
2 3 
4 
5 
18 
19 
Vì do khoảng x như nhau, còn khoảng y khác nhau, nên giá trị 
biên bên trái của y ta lấy giá trị nhỏ nhất của 2 đồ thị, giá trị biên 
bên phải của y ta lấy giá trị lớn nhất của 2 đồ thị 
20 
0.047 
0.2686 
0.18478
0.067213
0.0097
0.01876 
Đồ thị minh họa các vòng lặp 
21 
Phương pháp Newton–Raphson 
 y f x 
 1
i
i i
i
f x
x x
f x
Xuất phát từ 1 điểm x0 
đầu tiên, kẻ đường thẳng 
đứng cắt với đường cong 
y tại 1 điểm. Dựng tiếp 
tuyến với y tại điểm đó. 
Đường tiếp tuyến sẽ cắt 
trục hoành tại điểm x1. 
Với điểm x1 ta lại làm như 
ở bước x0 lúc đầu. Cứ 
như vậy đến khi nào cách 
biệt giữa xi+1 và xi nhỏ 
hơn một sai số cho phép. 
22 
Phương pháp Newton–Raphson 
23 
Bài tập ví dụ 3 
Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) bằng pp Newton Raphson với x0: 
     0.2 0.8 05 1.25 2 ; 15; , 5,15
x xf x e e x x a b 
2
0.001 0.001
;
0.002
0.002 2 0.002
0.002
f x f x
f x
f x f x f x
f x
 1 1
15 18.08553 4.01711 10.49787 70.42769 4.50212
10.49787 6.16248 1.63272 6.72352 19.81805 3.77436
6.72352 1.83243 0.7711 4.34713 5.74397 2.37639
4.34713 0
1
.
2
35466 0.50181 3.64036 3.
3
27204 0.74 0
i i i i i i iSVL x f x f x x f x x x 
676
3.64036 0.01673 0.45769 3.6038 3.14264 0.03656
3.6038 3.1758E-5 0.45597 3.60373 3.14233 6.96493E-
5
6 5
 1
i
i i
i
f x
x x
f x
24 
1x2x
18.08553
6.16248
3x
1.83243
4x
0.35466
Đồ thị minh họa các vòng lặp 
25 Các trường hợp pp Newton–Raphson 
khó hội tụ 
 f x 
 f x 
 f x 
f x 
26 
Phương pháp cát tuyến (Secant Method) 
a
0x b 
 y f x f a 
 f c 
 f b 
x 1
x c 2x
x 
0x a 
b
1x c 
2x
 f a 
 f c 
 f b 
 y f x 
Nếu 
0
1
0
x b
f a f c
x c
  
Nếu 
0
1
0
x a
f a f c
x c
  
0 0 1
0
0 1
k
k
k
f b b a
c b
f b f a
f x x x
x x
f x f x
  
  
Công thức: 
27 
Bài tập ví dụ 4 
Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) bằng pp Secant với [a,b]: 
    0.2 0.85 1.25 2 ; , 2,6x xf x e e x a b 
 0 0 1
0.71007 1.31189 3.40472 0.089882 6 6 1.31189 3.40472
a b f a f b c f c x f x x 
1) Bước 1: Xác định điểm x0 
2) Bước 2: Các vòng lặp 
 1
1.31189 4.61087
3.40472 0.08988 3.1513 2.59528
3.57113 0.01484 3.14257 0.16641
3.5983 0.00248 3.14234 0.02717
3.60283 0.00041 3.14233 0.00452
3.60358 6.91421E-05 3.14233 0.0007
0 6 6
1
2
3
4
55
k k k k kk x f x f x x x 
0 0 1
0
0 1
k
k
k
f b b a
c b
f b f a
f x x x
x x
f x f x
  
  
28 
Đồ thị minh họa các vòng lặp 
0x
1x c 
2x
1.31189
0.08988 
29 
Hàm số đơn phương thức (Unimodal function) 
a bx a x
  b a b x
 
Cho hàm số f xác định trên khoảng [a,b]. Giả sử rằng trong 
khoảng giá trị này tồn tại một điểm cực tiểu địa phương duy 
nhất x*, mà tại đó hàm f nghịch biến khi x≤x* và đồng biến khi 
x≥x*. Hàm số f như vậy gọi là hàm đơn phương thức chặt chẽ. 
Có 3 trường hợp vị trí của x* trong khoảng [a,b]: 
- x* nằm giữa [a,b] 
- x* trùng với a 
- x* trùng với b 
(a) (b) (c) 
30 
a x b1x 2x 3x
x
Ta thấy hàm số f ở trên không liên tục tại các điểm x1, x2, x3 (3 
điểm gián đoạn của hàm) nhưng hàm vẫn là đơn phương thức 
chặt chẽ và có 1 điểm cực tiểu địa phương duy nhất x* 
31 
a
1x
 b
2x
x
Cho hàm số f xác định trên khoảng [a,b]. Giả sử rằng trong 
khoảng giá trị này tồn tại một điểm cực tiểu địa phương duy 
nhất x*, mà tại đó hàm f nghịch biến khi x≤x1* , không đổi trong 
khoảng [x1*, x2*] và đồng biến khi x≥x2*. Hàm số f như vậy gọi 
là hàm đơn phương thức không chặt chẽ, hay hàm đơn 
phương thức nói chung. 
32 
Hàm số đơn phương thức (Unimodal function) 
Nếu với mọi x thuộc [a,b] thoãn mãn điều kiện f’’(x) > 0 thì hàm 
số f(x) đơn phương thức trong khoảng [a,b] 
Ví dụ: xét hàm số sau trên các khoảng [-4,-3] và [0,1] 
    
3
23 1
6 0 4; 3 0;1
x
x
x
f x x x e
f x x e
f x x e x
  
 4; 3 
 0;1
33 
a x b
x
 
Mệnh đề 1.1: 
Giả sử hàm f(x) đơn phương thức trong khoảng [a,b] và ta có 
a≤α<γ<β≤b, thì: 
Nếu f(α)≤ f(β) thì x* thuộc [a,β] 
a x b
x
 
Mệnh đề 1.2: 
Nếu f(α)≥ f(β) thì x* thuộc [α,b] 
a x b
x
 
Mệnh đề 1.3: 
Nếu f(α)≥f(γ) và f(β)≥f(γ) thì x* 
thuộc [α,β] 
34 
Các phương pháp trực tiếp 
Một loạt các phương pháp dựa trên việc so sánh giá 
trị của hàm số f tại các điểm x1, x2, , xN. Những 
phương pháp này thường được gọi là các phương 
pháp tìm trực tiếp. Còn các điểm xi là các điểm thử. 
Tìm tìm điểm x+ xấp xỉ với điểm cực tiểu x* của hàm 
đơn phương thức trên đoạn [a,b]. Giả sử rằng số 
lượng điểm thử N cho trước và x+ là một trong số 
những điểm thử đó. 
35 
x
a bkx1kx 1kx 1x 2x Nx1Nx 
Tìm điểm x+ xấp xỉ với điểm cực tiểu x* của hàm đơn phương 
thức trên đoạn [a,b]. Giả sử ta chia đều đoạn thành N+1 
đoạn, suy ra số lượng điểm thử là N và xk
 là một trong số 
những điểm thử đó, thỏa mãn điều kiện f(xk)=minf(xi); i=1..N 
Phương pháp tìm kiếm bị động 
(EXHAUSTIVE SEARCH) 
Như vậy, phương pháp tìm kiếm bị động là 1 trong số các 
phương pháp trực tiếp, trong đó các điểm thử được xây 
dựng bằng cách chia đều đoạn khảo sát. 
36 
Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [0;1]: 
 3 xf x x x e 
37 
Phương pháp tìm kiếm tuần tự 
Giả sử để giải bài toán tối ưu hóa đã cho 
ta lần lượt tính giá trị của hàm f tại N 
điểm x1, x2, , xN. Trong đó việc xác định 
giá trị xk ta có thể sử dụng thông tin về 
giá trị hàm số trong tất cả các điểm 
trước đó là x1, x2, , xk-1 
Phương pháp tìm kiếm tuần tự 
(sequential search methods) 
38 
Nếu hàm số f đơn phương thức trong khoảng [a;b] thì nó sẽ 
đơn phương thức trong bất kz khoảng [c;d] nào nằm trong 
[a;b] 
x
a bc d
39 
Phương pháp chia đôi đoạn 
x
 0
a 0b 0 0
2
a b 
 0 0
0
2
a b
 
 0 0
0
2
a b
 
Nếu: 
 0 0
f f  
 thì 
 1 1 0 0 1 0
; ;x a b a x 
Nếu: 
 0 0
f f  
 thì 
 1 1 0 0 1 0
; ;x a b b x  
 1 1 1
b a 
40 
1) Bước 1: Cho sai số dừng vòng lặp là ε 
2) Bước 2: Chọn độ rộng khoảng chia đôi δ (≤ε/2) 
3) Bước 3: Tính 
; ;
2 2
k k k k
k k k k ka b a b
b a    
4) Bước 4: Tính k kf f  
 và 
Nếu: 
 k k
f f  
 thì 
1 1
1
1 1 1
; ;
;
k k k k
k k
k k k
a a b
x
b a

Nếu: 
 k k
f f  
 thì 
1 1
1
1 1 1
; ;
;
k k k k
k k
k k k
a b b
x
b a

5) Bước 5: Nếu 1k  thì dừng, còn không thì tiếp tục 
Phương pháp chia đôi đoạn 
41 
Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [0;1]: 
 3 xf x x x e 
ε=0.01; δ=0.001 
42 
Phương pháp Fibonacci 
Số Fibonacci: 
1 2n n nF F F n≥2 
Ví dụ 20 số đầu tiên của dãy Fibonacci: 
Phương pháp chia đôi đoạn đòi hỏi trong mỗi bước lặp k phải 
tính 2 giá trị mới của hàm số bởi vì các giá trị mà tìm được ở 
bước lặp trước tại các điểm α(k-1) và β(k-1) sẽ không được sử dụng 
tiếp tục nữa. Tuy nhiên, một trong số 2 điểm này lại là nghiệm 
x(k+1) và nó lại nằm giữa đoạn [a(k);b(k)]. Như vậy, từ nay sự rút 
gọn đoạn [a(k);b(k)] có thể được thực hiện bằng cách tính thêm 
giá trị hàm số tại một điểm mới. 
Phát hiện này sẽ đưa ta đến các phương pháp mới, đòi hỏi trong 
mỗi bước lặp (ngoại trừ bước đầu tiên) chỉ cần tính một giá trị 
mới của hàm số f. Và một trong số đó là phương pháp Fibonacci. 
43 Phương pháp Fibonacci 
1) Bước 1: Cho sai số dừng vòng lặp là ε 
2) Bước 2: Tính số bước lặp N dựa vào điều kiện FN+1 > (b0-a0)/ε 
3) Bước 3: Tính 
 1
1 1
; ;
k k k k k k k k kN k N k
N k N k
F F
b a a a
F F
  
4) Bước 4: Tính k kf f  
 và 
Nếu: 
 k k
f f  
 thì 
1 1
1
1
; ;
;
k k k k
k k
k k
a a b
x

 
Nếu: 
 k k
f f  
 thì 
1 1
1
1
; ;
;
k k k k
k k
k k
a b b
x

 
k=0..(N-2) 
44 
Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [0;1]: 
 3 xf x x x e 
ε=0.01 N=11 
 Có N-1 = 10 bước lặp 
45 
Phương pháp mặt cắt vàng 
1
1.6180 4
5
2
3
a b a
a b
46 
a b 
1 5 1 5
;
2 2
b a b b a a
b a a b
 
  
2
3 5
2
1 5
a b a
a b a

47 
1) Bước 1: Cho sai số dừng vòng lặp là ε 
2) Bước 2: Tính 
3) Bước 3: Tính k kf f  
 và 
Nếu: 
 k k
f f  
 thì 
1 1
1
1
; ;
;
k k k k
k k
k k
a a b
x

 
Nếu: 
 k k
f f  
 thì 
1 1
1
1
; ;
;
k k k k
k k
k k
a b b
x

 
Phương pháp mặt cắt vàng 
 2 2
; ;
3 5 1 5
k k k k k k k k k
b a a a  
48 
Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [0;1]: 
 3 xf x x x e 
ε=0.01