Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương I: Những khái niệm cơ bản

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 
Khoa Công nghệ Cơ khí 
CHƯƠNG I: 
NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 
Thời lượng: 6 tiết (2 buổi) 
2 
Các tình huống tối ưu hóa trong thiết kế Cơ khí 
31 dm minV S 
h
a
a
3 
Các tình huống tối ưu hóa trong thiết kế Cơ khí 
Cho dầm với mặt cắt hình tròn đặc với đường kính d, được 
làm từ vật liệu có khối lượng riêng ρ. Chiều dài dầm là L. 
Tìm đường kính d để khối lượng dầm là tối thiểu, biết tần số 
dao động riêng thứ nhất của nó không được vượt quá giá trị 
f 
4 
Các tình huống tối ưu hóa trong thiết kế Cơ khí 
Tìm d, D, N để lò xo nhẹ nhất 
mà vẫn đảm bảo các điều 
kiện: 
- Về độ cứng 
- Về độ bền 
- Về tần số dao động 
5 Phân dạng các vấn đề tối ưu hóa 
Tối ưu hóa 
Không ràng 
 buộc 
Có ràng 
buộc 
Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa 
1
2
n
x
x
x
 
 
 
XTìm 
Để hàm f(X) nhỏ nhất 
1
2
n
x
x
x
 
 
 
XTìm 
Để hàm f(X) nhỏ nhất 
và phải thỏa mãn các 
điều kiện ràng buộc 
6 
Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa 
7 
Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa 
- Thường là: 
• Kích thước của các kết cấu (dài, góc) 
• Các thuộc tính vật liệu (khối lượng, nhiệt độ, ) 
- Giá trị của các tham biến thường nằm trong 1 khoảng giới hạn 
- Tham biến có thể là một số thực, rời rạc, số nhị phân, số 
nguyên 
8 
Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa 
- Thường là: 
• Khối lượng của một vật hay chi tiết, cụm vật, v.v 
• Ứng suất, độ bền 
• Chuyển vị, độ cứng 
• Giá thành, chi phí 
• Hiệu suất, công suất, năng suất 
9 
Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa 
Thường là các điều kiện liên quan đến: 
- ngưỡng giới hạn của một hiện tượng vật l{ nào đó 
- ngưỡng giới hạn của yêu cầu kỹ thuật về kích thước, khối 
lượng, ứng suất, biến dạng, tần số dao động, năng suất, độ 
nhám bề mặt, sai số, v.v 
10 
Tính lồi lõm (Convexity) 
Tập hợp lồi 
Tập hợp không lồi 
11 
Tính lồi lõm (Convexity) 
12 
Tính lồi lõm (Convexity) 
Khái niệm lồi – lõm quan trọng để 
xác định hàm số chỉ có 1 giá trị cực 
tiểu. Một hàm lồi sẽ có 1 cực tiểu 
toàn cục. Nếu hàm không lồi thì cực 
trị có thể chỉ là địa phương. 
Cực trị địa 
phương 
Cực trị toàn cục 
Hàm số có nhiều hơn 1 cực đại và 
cực tiểu gọi là hàm đa phương thức 
(Multimodal function) 
13 
Cực tiểu toàn 
cục chặt chẽ 
Không có cực tiểu 
toàn cục chặt chẽ 
Cực tiểu toàn cục 
không chặt chẽ 
Cực tiểu cục bộ chặt chẽ 
(toàn cục) 
Cực tiểu cục 
bộ chặt chẽ 
Cực tiểu cục bộ 
không chặt chẽ 
Cực tiểu cục 
bộ chặt chẽ 
14 
Tính lồi lõm (Convexity) 
Các kỹ sư không chỉ 
quan tâm đến cực trị 
toàn cục (Global 
Optimum) mà còn cần 
quan tâm đến các cực 
trị địa phương và các 
cực trị trong điều kiện 
ràng buộc. Vì không 
phải lúc nào cũng có 
thể sử dụng thiết kế 
theo cực trị toàn cục 
do bị các ràng buộc kỹ 
thuật khác từ chối. 
15 
Tính lồi lõm (Convexity) 
Nếu f(x) là hàm lồi thì –f(x) sẽ là hàm lõm 
Chính vì vậy ta có: min maxf x f x 
16 
Đạo hàm (độ dốc) của hàm số f(x) 
Tiếp tuyến Phương của độ dốc thể hiện sự 
thay đổi giá trị của hàm số một 
cách lớn nhất. Độ dốc cung cấp 
thông tin cần thiết về phương 
hướng tìm kiếm cực trị (cực đại 
hoặc cực tiểu) địa phương của 
hàm số. 
Trong hầu hết các bài toán tối ưu, 
khi mà hàm số f(x) là phi tuyến thì 
đạo hàm (độ dốc) thường được 
tính bằng phương pháp số. 
Đối với hàm 1 biến số thì tiếp 
tuyến tại mọi điểm của đồ thị và 
độ dốc của nó là như nhau. 
17 
Phương pháp số để tính đạo hàm 
18 
Phân định cực đại hay cực tiểu 
Cực đại Cực tiểu 
 0f x 
 0f x 
 0f x 
Điểm uốn 
 0f x 
19 
Độ dốc của hàm nhiều biến 
 1 2, , , , nf x x x x x
1
2
n
f
x
f
xf
f
x
 
 
 
  
 
  
x
20 
Tiếp tuyến và độ dốc của hàm 2 biến 
 3 1 2 1 2, sinx f x x x x 
Giao tuyến giữa các mặt phẳng song song với mặt phẳng x1x2 với bề mặt hàm số 
sẽ tạo ra các đường đồng mức, mà ở đó giá trị của hàm số tại mọi điểm trên 
những đường này đều bằng nhau. 
21 
Tiếp tuyến và độ dốc của hàm 2 biến 
 3 1 2 1 2, sinx f x x x x 
Chiều của mũi tên là chiều mà giá trị hàm f tăng 
22 
Tiếp tuyến và độ dốc của hàm 2 biến 
Độ dốc vuông góc với các tiếp 
tuyến với các đường đồng mức 
của hàm số. Hay nói cách khác: 
Độ dốc chính là véctơ Pháp tuyến 
với đường cong 
23 
Ma trận Jacobian 
Xét m hàm số n biến: 1 1 2 2 1 2 1 2, , , , , , , , , , , ,n n m nf x x x f x x x f x x x
Độ dốc của những hàm này có thể được đặt trong 1 ma trận 
Jacobian: 
 
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
x
1 2
n
n
m n
m m m
n
f f f
x x x
f f f
x x x
f f f
x x x
   
   
   
    
   
    
J
Đối với các bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, có thể 
việc di chuyển theo hướng độ dốc sẽ dẫn đến việc di 
chuyển vào vùng không hợp lệ (infeasible region). 
Trong trường hợp như vậy, người ta có thể di chuyển 
theo một số hướng tìm kiếm khác, và khi đó ta sẽ cần 
biết tốc độ thay đổi giá trị của hàm số theo những 
hướng đó. 
Đạo hàm định hướng (The directional derivative) sẽ 
cung cấp thông tin về vận tốc thay đổi giá trị tức thời 
của hàm số theo một hướng nhất định. 
Nếu u là một véc tơ đơn vị, thì đạo hàm định hướng của hàm f(x) 
theo hướng của u được tính bởi công thức: 
T
f  x u
24 
Ý nghĩa của đạo hàm định hướng 
MAX 
e
 f x
u 
T
f  x u
Rào cản ràng buộc 
25 
Ma trận Hessian 
Xét hàm số n biến: 1 2, , , nf f x x x x
Ma trận Hessian được định nghĩa:  
2 2 2
2
1 1 2 1
2 2 2
2
2 1 2 2
2 2 2
2
1 2
n
n
n n n
f f f
x x x x x
f f f
x x x x x
f f f
x x x x x
   
     
   
      
   
      
H
1. Ma trận Hessian là một ma trận đối xứng 
2. Ma trận Hessian phải dương tại điểm cực tiểu của hàm số 
3. Ma trận Hessian phải âm tại điểm cực đại của hàm số 
26 
Bài tập ví dụ 1 
Cho hàm 3 biến số: 2 2 21 2 3 1 1 2 2 3 2 3, , 2 3 4 5f f x x x x x x x x x x x
Yêu cầu: 
1. Tìm Gradient và ma trận Hessian của hàm số 
2. Tìm đạo hàm định hướng của hàm f tại điểm (1,1,1) theo 
hướng của véctơ d=[1,2,3]T 
Gradient: 
Hessian: 
Véctơ đơn vị của d: 
tại điểm (1,1,1) 
Đạo hàm định hướng: 
27 
Xấp xỉ tuyến tính và bậc 2 
Dãy Taylor được dùng để xấp xỉ hóa hàm số n biến: 
1
2
T Tf f f f      0 0 0 0x x Δx x x Δx Δx H x Δx
 0 0x x Δx Δx x xVới: 
Xấp xỉ tuyến tính (The Linear Approximation): 
  
T
f l f f   0 0 0x x x x x x
Xấp xỉ bậc hai (The Quadratic Approximation): 
      
1
2
T T
f q f f      0 0 0 0 0 0x x x x x x x x H x x x
Để tính toán cần tính 
sẵn các véctơ và ma 
trận sau đây: 
 
f
f f
 
0
0
0
0
x x
x
x x
H x H x
Chú {, dĩ nhiên là 
f(x)≈l(x)≈q(x) khi x≈x0 
28 
Ý nghĩa của việc xấp xỉ 
  
   
1
2
T T
l
q
f f f      0 0 0 0 0 0
x
x
x x x x x x x H x x x
0 0x 
29 
Bài tập ví dụ 2 
Hãy xây dựng xấp xỉ tuyến tính và xấp xỉ bậc 2 của 
hàm số sau tại điểm (2,1) và kiểm tra lại giá trị của 
hàm số, giá trị của các xấp xỉ tại điểm lân cận của 
nó là (1.9,1.1) 
 12
2
3
x
f x
x
 x
Dựa theo quy trình 
tính, ta có: 
   
 
1 2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2 3
2 2
2 1 ;
2
1
1
1
1
5
3
1
0
0 1
2 1 41
T T
x x
x
x
f
x
f f
x
x
x
x
x x
   
0
0
0
0
0
x x
x x
x
x x
H x H x
30 
Bài tập ví dụ 2 (tiếp) 
Xấp xỉ tuyến tính và xấp xỉ bậc 2 sau khi rút gọn có dạng: 
2
1 2 2 1 22 2 7 2x x x x x 
1.9,1.1
1.9,
1.572727
11.1
1.9,1.
.6
1 1.57
f
l
q
Xấp xỉ bậc 2 chính xác 
hơn xấp xỉ tuyến tính 
31 
     
      
 
0.1
1 1 5 1 1 0.1 5 0.1 1.6
0.1
0 1 0.11 1
1.6 0.1 0.1
1 4 0.12 2
0.11
1.6 0.1 0.5
0.12
1
1.6 0.01 0.05 1.57
2
T
T
l f f
q l
    
       
   
  
0 0 0
0 0 0
x x x x x
x x x x H x x x
 
 
 
2
1
2
2
2
2
1
2 3
2 2
2 1 1.9 2 0.1
1.1 1 0.11.9 1.1
1
1
1
5
3
1
0
0 1
2 1 41
T
T
f
x
f f
x
x
x
x
x x
   
0
0
0
0
0
x
x x
x
x
x x
H x H x
 12
2
3
x
f x
x
 x
32 
Phép khử Gauss và phần tử cơ sở 
(Gaussian Elimination and Pivot Elements) 
0 
. 
. 
. 
0 
0 
. 
. 
. 
0 
0 
. 
0 0 
0 
0 
0 
. 
. 
. 
0 
0 
. 
. 
. 
0 
0 
. 
0 
0 
. 
. 
. 
0 
0 
. 
. 
. 
0 
0 
. 
. 
. 
0 
Sau i=1 Sau i=2 Sau i=3 Sau i=n-1 
Dạng bậc thang 
(Row Echelon Form) 
0 
. 
. 
. 
0 
0 
. 
. 
. 
0 
0 
. 
0 0 
0 
0 
Phần tử cơ sở ≠ 0 
(Pivot Elements) 
33 
Hạng (Rank) của ma trận 
Nếu B là một ma trận bậc thang thì hạng (rank) của B bằng số hàng 
khác 0 của nó 
Các phép biến đổi sơ cấp 
không làm thay đổi hạng của 
ma trận Ta sẽ đưa ma trận 
bất kz A về ma trận bậc thang 
B. Từ đó hạng của A cũng sẽ là 
hạng của B: rank(A)=rank(B) 
34 
1 1
2 2 1
3 3 1
4 4 1
2 2
1
23
5
4
3
8
2 5
1 0
3 32 5
3 2 5 0 1 0 8 11
3 3 0 1
2 4 7 1 3 32 4 7 1
5 2 6 3 4 43
5 2 6 3 0 3
3 34 3 1 2
4 3 1 2
17 17
0 2
3 3
2
1
R R
R R R
R R R
R R R
R R
A
   
 
3 3 2 3 3
4 4 2
4 2
3 25
17
3
5 2 52 5
0 1 01 0
3 3 3 33 3
11 3 11 311 3
0 1 0 10 1
8 8 8 88 8
4 43 125 5
0 3 0 0 10 0
3 3 52 2
17 3317 17 17 33
0 00 2 0 0
8 83 3 8 8
R R R R R
R R R
  
4 4 3
17
8
2 5
1 0
3 3
11 3
0 1
8 8
1
0 0 1
5
37
0 0 0
10
R R R
 
Tìm hạng của ma trận A: 
4 hàng khác 0 Rank(A) = 4 
35 
REDUCED ROW ECHELON FORM 
1 1
2 1 2
3 1 3
2 2
3 3
1
12
1
2
2
5
3 7 1
3 7 1 1 1
1 1 2 2 22 3 2 7 1 2 2 2
1 13 11
1 1 1 3 6 1 1 1 3 6 0 2
2 2 2
1 1 1 5 4 1 1 1 5 4
5 17 7
0 2
2 2 2
3 7
1 1
2 2
0 1 4 13
4 1
0 1
5
R R R R R
R R R
R R
R R
A
   
 
 3 2 3
3 3
2 3 2
1 3 1
1
5
416
1 3 7 1
1 1
2 2 2 2
11 0 1 4 13 11
7 7 16 48 48
0 0
5 5 5 5 5
3 7 1 3 7 1
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
0 1 4 13 11 0 1 0 1 1
0 0 1 3 3 0 0 1 3 3
R R R
R R
R R R
R R R
  
  
 
1 2 1
3
2
3 1 7
1 0
1 0 0 1 22 2 2
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1
0 0 1 3 3 0 0 1 3 3
R R R
  
36 
REDUCED ROW ECHELON FORM 
7 2 5 4 1
3 6 7 2 8
2 4 2 9 4
A
3711
1 0 0
4812
31 7
0 1 0
24 48
0 0 1 1 15
16
A
37 Giá trị riêng (Eigenvalues) và 
Véctơ riêng (Eigenvector) 
Cho ma trận vuông [A] kích thước (n x n). λ là giá trị riêng, và là 
véctơ riêng của ma trận [A], nếu thỏa mãn điều kiện sau: 
  
x1 x1x
1
n nn n
 A v v
Giá trị riêng λ là nghiệm của phương trình sau: 
      
x x x
det det 0; 2
n n n n n n

  
Δ A I
Trong đó:      
x x xn n n n n n

 
Δ A I
- Là ma trận đặc trưng 
(Characteristic Matrix) 
- Là phương trình đặc trưng 
(Characteristic Equation) 
Phương trình (2) có n nghiệm: λ1,λ2,, λn. Mỗi nghiệm λi có véctơ 
riêng . 
38 Giá trị riêng (Eigenvalues) và 
Véctơ riêng (Eigenvector) 
1
2
x1n
n



L
- Là ma trận (của) véctơ riêng 
1 2
x
x1 x1 x1
n
n n
n n n
V v v v
- Là véc tơ (của) 
giá trị riêng 
Có nghĩa là chúng ta sẽ có n đẳng thức sau: 
 
 
1 1 1
x1 x1x
x1 x1x
n nn n
n n n
n nn n


 
 
A v v
A v v
39 Giá trị riêng (Eigenvalues) và 
Véctơ riêng (Eigenvector) 
Khi có λi ta làm như sau để tìm véctơ riêng : 
     
x1 x1 x1x x x
x x1
i i i i i
n n nn n n n n n
n n n
 
     
Δ
A v v A I v 0
Δ 0 Dùng phép khử Gauss để đưa về dạng bậc 
thang (Reduced Row Echelon Form) 
40 Giá trị riêng (Eigenvalues) và 
Véctơ riêng (Eigenvector) 
3x3
1 3 3
3 5 3
6 6 4
A
Tìm giá trị riêng và véctơ riêng 
của ma trận sau: 
1. Tính ma trận đặc trưng (Characteristic Matrix) 
     
3x3 3x3 3x3
1 3 3
3 5 3
6 6 4

 

  
Δ A I
2. Tính phương trình đặc trưng (Characteristic Equation) 
  
23
3x3
det 12 16 4 2 0   
Δ
3. Giải phương trình đặc trưng ta có 3 nghiệm λ, từ đó có véctơ giá trị 
riêng: 
 
3x1
4 2 2
T
 L
41 4.1. Tìm véctơ riêng của giá trị riêng λ1 = 4: 
   
1
1 2
3x143x3 3x3
3
3 3 3 0
3 9 3 0
6 6 0 0
R
R
R

  
A I 0
1
3x1
1
2
1
2
1
v
42 4.2. Tìm véctơ riêng và của giá trị riêng λ2 = λ3 = -2: 
   
1
2 2
3x123x3 3x3
3
3 3 3 0
3 3 3 0
6 6 6 0
R
R
R

  
A I 0
2 3
3x1 3x1
1 1
0 ; 1
1 0
v v
1 2
3x3
3x1 3x1 3x1
1 1 1
2
1 0 1
2
1 1 0
n
V v v v
- ma trận (của) véctơ riêng 
43 Ma trận Hessian xác định dương 
(Positive Definite Hessian Matrix) 
Ma trận Hessian sẽ là xác định dương nếu toàn bộ giá trị riêng của 
nó mang dấu + 
 3 2
2 1 0
1 2 1 det 6 10 4 0
0 1 2
2 0
0.585786438 0
3.414213562 0
Eiv

    

A I
Ma trận xác định dương 
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Ma trận đối xứng 
Chú {: Do ma trận Hessian là ma trận đối xứng nên các giá trị riêng 
λi của nó luôn là các số thực chứ không phải số phức. 
44 Ma trận Hessian xác định dương 
(Positive Definite Hessian Matrix) 
Ma trận Hessian sẽ là xác định dương nếu toàn bộ giá trị của các 
phần tử cơ sở (pivot) của nó đều dương 
Toàn bộ các phần tử cơ sở >0 
nên ma trận này xác định 
dương 
2 2 1
3 3 2
1
2
3
2
3
2 1 0
1 2 1
0 1 2
2 1 0
0 3 2
0 1 2
2 1 0
0 3 2
0 0 4
R R R
R R R
R
A R
R
  
 
Ma trận đối xứng 
45 Ma trận Hessian xác định dương 
(Positive Definite Hessian Matrix) 
Ma trận Hessian sẽ là xác định dương nếu toàn bộ định thức của 
các ma trận thành phần tính từ điểm bên trái trên cùng lớn hơn 0 
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
1 11
11 12
2
21 22
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
11 12 13 14
21 22 23 24
4
31 32 33 34
41 42 43 44
0
0
0
0
A a
a a
A
a a
a a a
A a a a
a a a
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
46 Ma trận Hessian xác định dương 
(Positive Definite Hessian Matrix) 
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Ma trận đối xứng 
1
2
3
2 0
2 1
3 0
1 2
2 1 0
2 1 1 1 1 2
1 2 1 2 1 0 4 0
1 2 0 2 0 1
0 1 2
A
A
A
Toàn bộ các định thức thành phần >0 nên ma trận này xác định 
dương 
Cách này vất vả trong tính toán 
47 
Tính lồi lõm (Convexity) 
 1 2, , , , nf x x x x xHàm nhiều biến là hàm lồi nếu với mọi 
cặp điểm 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2;
T T
n nx x x x x x 
x x
và λ thuộc khoảng 0 1 thỏa mãn điều kiện sau: 
 2 1 2 11 1f f f    x x x x
 1
x
 2
x
 2 11x x  
 1f x
 2f x
 2 11f x x  
 2 11f x f x  
48 
Tính lồi lõm (Convexity) 
 1 2, , , , nf x x x x xHàm nhiều biến là hàm lõm nếu với mọi 
cặp điểm 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2;
T T
n nx x x x x x 
x x
và λ thuộc khoảng 0 1 thỏa mãn điều kiện sau: 
 2 1 2 11 1f f f    x x x x
 1
x
 2
x
 2 11x x  
 1f x
 2f x
 2 11f x x  
 2 11f x f x  
49 
Tính lồi lõm (Convexity) 
 1 2, , , , nf x x x x xHàm nhiều biến là hàm lồi nếu ma trận 
Hessian của nó [H] là bán xác định dương (positive semidefinite) 
Bất cứ một cực tiểu địa phương (Local minimum) nào của một 
hàm số lồi f(x) đều là cực tiểu toàn cục (Global minimum) 
50 
Tính lồi lõm (Convexity) 
Xác định tính lồi – lõm của các hàm số sau: 
a) 
 
2
2
16 0
d f
x
dx
  
H
 
2
2
0x
d f
e x
dx
  
H Hàm số lồi chặt chẽ 
b) Hàm số lõm chặt chẽ 
c)  
2 2
2
1 1 2 1
2 2
2
2 1 2
18 0
0 12
f f
x x x x
f f
x x x
  
     
   
H
Theo định nghĩa 2 của ma trận xác 
định dương, do -12<0, nên ma trận 
này không thể dương. Nếu x1 < 0 thì 
ma trận này xác định âm Hàm lõm 
51 
Tính lồi lõm (Convexity) 
d) 
 
2 1 2 3 2 3
3 1 3
2 2 2
2
1 1 2 1 3
2 2 2
2
2 1 2 2 3
2 2 2
2
3 1 3 2 3
3 1
4 2
1
8
8 6 1
6 6 0
1 0 10
8 6 18 6 1
3 3 3
0 0
2 4
3 79
0
4 8
R R R R R R
R R R
f f f
x x x x x
f f f
x x x x x
f f f
x x x x x
   
     
           
     
   
H
3
2 4
19
0 0
2
Đưa về dạng bậc thang 
bằng phép khử Gauss để 
xét dấu các pivot 
Các phần tử 
cơ sở đều 
dương do đó 
ma trận 
Hessian xác 
định dương 
Hàm f lồi trên toàn miền số thực của x1, x2, x3 
52 
Ôn tập về đạo hàm