Tóm tắt Luận án Nghiên cứu phương pháp mô hình hóa mặt cong tham số từ mặt lưới

i 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG 
LÊ THỊ THU NGA 
NGHIÊN CỨU PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA 
MẶT CONG THAM SỐ TỪ MẶT LƢỚI 
Chuyên ngành: Khoa học máy tính 
Mã số: 62.48.01.01 
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT 
Đà Nẵng - Năm 2018 
ii 
Công trình được hoàn thành tại 
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG 
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: 
1. GS.TS. Nguyễn Thanh Thủy 
2. PGS.TS. Nguyễn Tấn Khôi 
Phản biện 1:______________________________________________ 
Phản biện 2: ______________________________________________ 
Phản biện 3: ______________________________________________ 
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Đại học 
Đà Nẵng họp tại: Đại học Đà Nẵng. 
Vào hồi ..... giờ ......... ngày .......... tháng  năm . 
Có thể tìm hiểu luận án tại: 
- Thư viện Quốc gia 
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng 
1 
MỞ ĐẦU 
 Mô hình hình học trong không gian 3D đóng vai trò quan trọng 
trong mô phỏng, thiết kế và tái tạo bề mặt các đối tượng vật lý trên máy 
tính. Ngày nay, mô hình 3D được sử dụng rộng rãi trong đồ họa máy 
tính, hoạt hình, trò chơi 3D, hỗ trợ thiết kế, tái tạo ngược, thực tại ảo và 
dùng để mô tả bề mặt của các đối tượng trong nhiều lĩnh vực như: vật 
lý, địa chất, y học, hóa học Những ứng dụng thực tiễn đòi hỏi các mô 
hình 3D cần được xây dựng, hiển thị, xử lý nhanh chóng, chính xác và 
hiệu quả. 
 Phần lớn các đối tượng được biểu diễn trên máy tính thông qua mô 
hình lưới đa giác. Mô hình này cho phép xử lý nhanh, trực quan và hiệu 
quả khi hiển thị, tô bóng bề mặt của đối tượng. Tuy nhiên, lưới đa giác 
cũng có những hạn chế như: không có khả năng phân biệt các phần thấy, 
khuất của đối tượng; không thể hiện được độ cong rõ rệt; khó có thể xác 
định chính xác vị trí của một điểm trên bề mặt đối tượng; không có khả 
năng kiểm tra va chạm giữa các đối tượng và khó khăn trong việc tính 
toán các đặc tính vật lý 
 Trong khi đó, mô hình mặt cong tham số không chỉ cho phép biểu 
diễn bề mặt mềm mượt với độ liên tục cao, ổn định, mềm dẻo và điều 
chỉnh bề mặt cục bộ thông qua các đỉnh điều khiển; mà còn cung cấp 
các phép toán, giải thuật chi tiết để xác định vị trí của điểm bất kỳ trên 
bề mặt chính xác và hiệu quả. Nhờ đó, bên cạnh việc hỗ trợ xây dựng 
mô hình 3D, tô trát, tạo bóng và biểu diễn bề mặt của đối tượng trên 
máy tính trông thực hơn, mặt cong tham số còn có vai trò đắc lực cho 
các ứng dụng có khả năng tương tác với bề mặt đối tượng như: mô hình 
hóa hình dạng của đối tượng ảo, phát hiện va chạm, biến dạng bề mặt, 
tính toán phản lực trong công nghệ VR; tái tạo lại bề mặt trong RE; ánh 
xạ mẫu nền, kỹ xảo hoạt hình trong CG; mô phỏng bề mặt địa hình, xác 
định độ cao, nếp đứt gãy trong GIS; xác định khối lượng, diện tích bề 
mặt, thể tích, trọng tâm trong việc tính toán các đặc tính vật lý; tính toán 
sức căng, độ truyền nhiệt trong phương pháp phần tử hữu hạn, 
2 
 Trong các ứng dụng mô hình hóa, người ta cần khai thác thế mạnh 
của cả hai mô hình trên. Do đó, để có thể chuyển đổi qua lại giữa hai mô 
hình này nhằm biểu diễn, tương tác trên bề mặt của đối tượng là mối 
quan tâm khoa học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong các ngành 
công nghiệp tiềm năng. Mục tiêu của luận án nhằm xây dựng mô hình 
tái tạo mặt cong tham số bậc thấp từ lưới tam giác mô phỏng bề mặt của 
đối tượng 3D ban đầu. Kết quả phục vụ cho việc tính toán chi tiết, chính 
xác và hỗ trợ khả năng tương tác của đối tượng tượng được mô phỏng 
trên máy tính. Từ đó cho phép ánh xạ mẫu nền, phân tích sớm và dễ 
dàng xác định các đặc tính vật lý của bề mặt, hỗ trợ trong lập trình gia 
công, mô phỏng, phát hiện va chạm, tạo các biến dạng,... Đây cũng là 
nhu cầu cấp thiết mang tính thực tiễn và có nhiều ứng dụng, đặc biệt là 
trong lĩnh vực thiết kế và tạo mẫu mã sản phẩm, công nghệ thực tại ảo 
và công nghệ tái tạo ngược. 
 Với mục đích tái tạo mặt cong tham số bậc thấp xấp xỉ với các điểm 
dữ liệu của lưới tam giác mô phỏng bề mặt đối tượng 3D, luận án đề 
xuất hướng nghiên cứu sử dụng lược đồ tái hợp mảnh nhằm xây dựng 
lưới điều khiển để giảm bậc của mặt cong tham số cần tái tạo, đồng thời 
áp dụng phương pháp xấp xỉ hình học cục bộ nhằm tránh giải các hệ 
phương trình tuyến tính. 
 Các đóng góp chính của luận án về mặt khoa học: 
- Đề xuất giải pháp sử dụng lược đồ tái hợp mảnh nhằm đơn giản lưới 
tam giác ban đầu và sử dụng lưới thô kết quả như là lưới điều khiển 
của mặt cong cần tái tạo. Do đó, mặt cong tham số tái tạo được có 
bậc thấp hơn so với các phương pháp trước đó là sử dụng trực tiếp 
lưới ban đầu như lưới điều khiển; 
- Đề xuất giải pháp xây dựng các vector nút trên miền tham số tam 
giác của mặt cong, từ đó áp dụng để dựng các mặt cong tái tạo; 
- Đề xuất phương pháp xấp xỉ hình học cục bộ để dịch chuyển mặt 
cong tham số hội tụ dần về lưới tam giác ban đầu, tránh việc giải hệ 
phương trình phức tạp. Chứng minh được tính hội tụ của giải thuật 
xấp xỉ hình học đề xuất; 
3 
- Đề xuất mô hình tái tạo mặt cong tham số có bậc thấp từ lưới tam 
giác dựa trên lược đồ tái hợp mảnh và phương pháp xấp xỉ hình học, 
đồng thời mô phỏng thực nghiệm để thấy được tính khả thi của mô 
hình đề xuất. 
 Kết quả đạt được của luận án là tái tạo các mặt cong tham số có bậc 
thấp từ lưới tam giác mô phỏng bề mặt của đối tượng thực, cụ thể là các 
mặt cong tham số Bézier tam giác, B-patch và B-spline tam giác. Hầu 
hết các mô hình hiện tại thường được biểu diễn là lưới tam giác, nhờ 
tính đa hình dạng và mềm dẻo của nó. Mặt khác, các mặt cong thường 
dùng trong thiết kế hình học là các mặt cong tham số bậc thấp. Do đó, 
kết quả nghiên cứu này có ý nghĩa thực tiễn và có thể được ứng dụng 
trong nhiều lĩnh vực như: hỗ trợ thiết kế, tạo mẫu mã sản phẩm, tái tạo 
ngược và thực tại ảo; phân tích phần tử hữu hạn, tính toán chính xác các 
đặc tính vật lý của bề mặt; ứng dụng trong nén dữ liệu 3D; trao đổi dữ 
liệu 3D trên môi trường mạng không dây băng thông hẹp và trên các 
thiết bị di động. 
CHƢƠNG 1 
SƠ LƢỢC VỀ TÁI TẠO MẶT CONG 
 Chương này trình bày tổng quan về các mô hình biểu diễn bề mặt 
của đối tượng 3D, các phương pháp tái tạo mặt cong, phân tích và so 
sánh các nghiên cứu liên quan đến tái tạo mặt cong trơn mềm từ mô 
hình lưới; từ đó đề xuất hướng nghiên cứu của luận án. 
1.1. Các mô hình biểu diễn bề mặt đối tƣợng 
 Các mô hình hình học trong không gian 3D không những được sử 
dụng rộng rãi trong đồ họa máy tính, mà còn đóng vai trò quan trọng 
trong công nghiệp và khoa học với nhiều mục đích khác nhau. 
Về cơ bản, các mô hình hình học 3D, dùng để biểu diễn bề mặt của 
đối tượng trên máy tính, có thể chia thành ba loại chính: 
- Mô hình lưới; 
- Mô hình phân mảnh; 
- Mô hình mặt cong tham số. 
4 
1.2. Chuyển đổi giữa các mô hình 
 Mô hình lưới và mô hình tham số đều có những ưu và nhược điểm 
nhất định, có nhiều ứng dụng thực tiễn và có mối liên hệ mật thiết lẫn 
nhau. Trong quá trình sử dụng, để tận dụng thế mạnh của cả hai mô hình 
này, việc chuyển đổi qua lại giữa hai dạng biểu diễn cho cùng một đối 
tượng 3D là nhu cầu thiết thực và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc 
chuyến đổi cho phép biểu diễn đối tượng trên nhiều nền tảng khác nhau, 
phục vụ cho nhu cầu mô phỏng, tính toán, khả năng tương tác của đối 
tượng, phân tích các đặc tính vật lý của bề mặt, hỗ trợ lập trình gia công, 
phát hiện va chạm, tạo biến dạng,... 
1.3. Tái tạo mặt cong 
 Tái tạo mặt cong trơn mềm từ mô hình lưới 3D được ứng dụng 
nhiều trong khoa học, công nghệ, giải trí, và có nhiều nghiên cứu 
trong những năm gần đây. Hầu hết, các nghiên cứu về tái tạo mặt cong 
trơn thường tập trung vào nội suy hoặc xấp xỉ các mặt cong tham số 
hoặc mặt cong giới hạn phân mảnh về lưới đa giác gồm các điểm dữ liệu 
3D ban đầu. Vì vậy, các mặt cong kết quả thu được thường là mặt cong 
phân mảnh hoặc mặt cong trên miền tham số tứ giác như Bézier, B-
Spline, NURBS, 
1.4. Các nghiên cứu liên quan 
 Dựa vào phương pháp tái tạo mặt cong, các nghiên cứu liên quan 
đến tái tạo mặt cong trơn mềm từ lưới 3D có thể chia làm ba nhóm sau: 
- Tái tạo mặt cong bằng phương pháp nội suy; 
- Tái tạo mặt cong bằng phương pháp xấp xỉ; 
- Tái tạo mặt cong bằng phương pháp hình học. 
 Hạn chế của phương pháp nội suy là phải giải các hệ phương trình 
tuyến tính để nội suy các điểm tính toán, điều này dẫn đến phức tạp và 
chi phí lớn. Mặt khác, mặt cong tái tạo được xuất hiện những phần mấp 
mô ngoài ý muốn ở những mặt đa thức bậc cao. Với phương pháp xấp 
5 
xỉ, mặt cong tái tạo được tiệm cận theo hình dáng của lưới dữ liệu, chất 
lượng bề mặt tốt hơn so với mặt cong nội suy. 
 Đa số các nghiên cứu dừng lại ở việc xây dựng mặt cong trơn từ 
lưới tứ giác. Trong khi đó, các bề mặt của đối tượng trong thực tế lại có 
dạng hình học bất kỳ. Hướng tiếp cận phổ biến hiện nay là biến đổi mặt 
lưới tam giác thành các mặt lưới tứ giác và tái tạo các mặt cong từ các 
lưới tứ giác này. 
 Vì quá trình tái tạo phải đảm bảo chất lượng bề mặt, tối ưu bộ nhớ 
và thời gian tái tạo ngắn nhằm phục vụ cho các bước mô phỏng sau này; 
do đó, sử dụng phương pháp hình học để tái tạo mặt cong tham số từ 
lưới tam giác và giảm bậc của mặt cong tái tạo được là tiếp cận mà luận 
án nhắm tới. 
1.5. Hƣớng nghiên cứu đề xuất 
 Trên cơ sở tìm hiểu, tổng hợp, phân tích các kiến thức và các nghiên 
cứu liên quan; tận dụng các ưu điểm của mô hình lưới tam giác, mặt 
cong trên miền tham số tam giác, cũng như lợi ích của tái hợp mảnh 
nhằm giảm bậc của mặt cong tham số được tái tạo; các phương pháp 
chuyển đổi một lưới đa giác sang mặt cong trơn, luận án đề xuất giải 
pháp nhằm mô hình hóa mặt cong tham số bậc thấp từ lưới tam giác dựa 
trên lược đồ tái hợp mảnh và phương pháp xấp xỉ hình học cục bộ. 
 Bằng cách sử dụng lược đồ tái hợp mảnh để đơn giản lưới ban đầu, 
từ đó dùng các điểm của lưới thô này như các đỉnh điều khiển của mặt 
cong tham số, nhờ vậy mà mặt cong tham số tái tạo sẽ có bậc giảm hơn 
so với việc sử dụng lưới gốc ban đầu như lưới điều khiển. Kết quả, mặt 
cong tham số thu được trơn mượt, tránh hiện tượng nhấp nhô ngoài ý 
muốn của các mặt cong tham số bậc cao. 
 Bên cạnh đó, mô hình đề xuất sử dụng phương pháp xấp xỉ hình học 
cục bộ để dịch chuyển mặt cong tham số hội tụ dần về các điểm dữ liệu 
của lưới tam giác ban đầu thông qua một số bước lặp, điều chỉnh việc 
xấp xỉ mặt cong một cách trực quan và chính xác cho đến khi mặt cong 
đi qua hầu hết các điểm dữ liệu ban đầu. 
6 
1.6. Kết luận chƣơng 1 
 Trên cơ sở tìm hiểu về ưu điểm của các mô hình hình học 3D và 
phương pháp hình học, luận án đã đề xuất hướng nghiên cứu nhằm tái 
táo mặt cong tham số bậc thấp dựa trên lược đồ tái hợp mảnh và phương 
pháp xấp xỉ hình học cục bộ. 
 Trong các chương 2 và 3, luận án đi sâu vào trình bày và xử lý các 
đối tượng liên quan đến hướng nghiên cứu, cụ thể như: phân mảnh và 
tái hợp mảnh trên lưới tam giác, mặt cong trên miền tham số tam giác; 
từ đó đề xuất phương pháp tạo lưới điều khiển dựa trên tái hợp mảnh, 
đưa ra các giải thuật dựng mặt cong trên miền tham số tam giác; làm cơ 
sở cho việc xây dựng mô hình tái tạo mặt cong tham số từ lưới tam giác 
được đề xuất trong chương 4. 
CHƢƠNG 2 
XÂY DỰNG LƢỚI ĐIỀU KHIỂN MẶT CONG THAM SỐ 
 DÙNG TÁI HỢP MẢNH 
 Nhằm tái tạo mặt cong tham số bậc thấp từ lưới tam giác, chương 
này trình bày về lược đồ phân mảnh lưới, so sánh các lược đồ để xác 
định lược đồ phân mảnh phù hợp với hướng tiếp cận. Từ đó xác định 
lược đồ tái hợp mảnh trên lưới tam giác và đề xuất phương pháp tạo 
lưới điều khiển của mặt cong tham số tái tạo dựa trên lược đồ tái hợp 
mảnh. 
2.1. Phân mảnh trên lƣới tam giác 
 Phân mảnh lưới cho phép biểu diễn bề mặt của đối tượng thực có 
hình dạng bất kỳ với nhiều mức phân giải khác nhau. Sự xuất hiện của 
lưới phân mảnh trong lĩnh vực mô phỏng bề mặt đã tạo một bước đột 
phá mới trong công nghệ làm phim, trò chơi 3D, Đối với những ứng 
dụng chỉ yêu cầu biểu diễn bề mặt mềm mịn thì lưới phân mảnh là lựa 
chọn phù hợp để thay thế cho mặt cong tham số. 
 Nhận thấy phân mảnh Loop có các ưu điểm vượt trội. Đây là phân 
mảnh xấp xỉ nên lưới tam giác thu được sau phân mảnh sẽ có xu hướng 
7 
co lại so với các lưới ở những bước phân mảnh trước đó. Điều này cũng 
có nghĩa là nếu áp dụng tái hợp mảnh cho một lưới tam giác thì lưới thu 
được sau mỗi bước tái hợp mảnh sẽ có xu hướng phồng lên và trở thành 
bao lồi của lưới tam giác này. Đây cũng chính là phát hiện quan trọng để 
chọn tái hợp phân mảnh Loop trong hướng tiếp cận của luận án, nhằm 
sử dụng lưới sau khi được tái hợp mảnh làm lưới điều khiển của mặt 
cong tham số tái tạo. 
 Phân mảnh Loop là một lược đồ phân mảnh chèn đỉnh xấp xỉ dựa 
trên cơ sở mặt cong spline trên miền tham số tam giác. Phân mảnh này 
cho phép làm mịn lưới tam giác bất kỳ và sinh ra mặt cong giới hạn 
spline liên lục C2 trên miền lưới đều, loại trừ tại vị trí của các đỉnh đặc 
biệt đạt liên tục C1. Trong phân mảnh Loop, sau bước phân mảnh thứ i, 
các đỉnh của lưới tam giác Mi được chia thành hai loại: 
- Điểm đỉnh: là các đỉnh cũ được hiệu chỉnh lại vị trí; 
- Điểm cạnh: là các đỉnh mới được chèn thêm vào cạnh. 
 Khi đó, vị trí của điểm đỉnh pi + 1 sau mỗi bước áp dụng phân mảnh 
Loop được xác định như sau: 
1
1
l
i i i
j
j
p p p 
 
(2.1) 
 Vị trí các điểm cạnh 
1
1
ip , 
1
2
ip 
1
k
ip sau mỗi bước phân mảnh 
Loop được xác định như sau: 
1
1 1
3 3 1 1
8 8 8 8
i i i i i
j j j jp p p p p
(2.2) 
 với j=1..l và l là số bậc tương ứng của đỉnh pi. 
2.2. Tái hợp mảnh trên lƣới tam giác 
 Tái hợp mảnh cho phép chuyển một lưới mịn thành lưới thô hơn, ít 
dữ liệu hơn nhưng vẫn không mất đi dạng hình học và cấu trúc hình học 
của lưới, đồng thời có thể phục hồi lại hoàn toàn bằng cách sử dụng 
lược đồ phân mảnh. Điều này cho phép tiết kiệm không gian lưu trữ, 
giảm băng thông, phù hợp cho các ứng dụng đồ họa trên thiết bị di động 
và biểu diễn đa mức phụ thuộc vào điểm quan sát. 
8 
 Đặc biệt, với phân mảnh xấp xỉ Loop, nếu áp dụng tái hợp mảnh, 
lưới thu được sẽ có số điểm dữ liệu giảm và có xu hướng phồng lên so 
với lưới trước khi tái hợp mảnh. Do đó, lưới sau tái hợp mảnh phù hợp 
cho việc mô hình hóa mặt cong tham số khi sử dụng lưới này như lưới 
điều khiển, như bao lồi của mặt cong, tránh làm việc trên đa thức bậc 
cao, giảm mấp mô ngoài mong muốn của mặt cong tham số thu được. 
 Gọi  là trọng số của đỉnh pi + 1 và  là trọng số của các đỉnh lân 
cận, ta có công thức để xác định pi như sau: 
1 1
1
. .
l
i i i
j
j
p p p 
   (2.3) 
 với 
à
5 1
38 3
8
v
l
  
(2.4) 
2.3. Sử dụng tái hợp mảnh tạo lƣới điều khiển của mặt cong 
 Để tái tạo mặt cong tham số bậc thấp từ lưới tam giác, hướng tiếp 
cận của luận án dựa trên tái hợp mảnh và sử dụng lược đồ lưới tái hợp 
mảnh để tạo lưới điều khiển của mặt cong. Các mặt cong trên miền tham 
số tam giác cần tái tạo cụ thể là Bézier tam giác, B-patch và B-spline 
tam giác. Do đó, yêu cầu lưới tam giác ban đầ ...  mô hình đề xuất và sẽ 
được tiếp tục làm rõ trong chương này. 
4.1.3. Phương pháp xấp xỉ hình học 
Gọi M0, Mi và Si là các lưới và mặt cong tham số thu được sau khi 
thực hiện xong bước 4 trong mô hình đề xuất ở Hình 4.1,  là dung sai. 
Phương pháp xấp xỉ hình học cục bộ đề xuất được biểu diễn trên sơ đồ 
trong Hình 4.3. 
Hình 4.3. Phương pháp xấp xỉ hình học 
16 
Trong quá trình xấp xỉ hình học, một chuỗi các lưới tam giác M* 
được tạo ra và các lưới này được được thô hóa thành lưới Mi. Tương 
ứng, một chuỗi các mặt cong tham số lần lượt cũng được sinh ra. Các 
mặt cong này có xu hướng hội tụ dần về lưới ban đầu. Quá trình dịch 
chuyển dừng khi lỗi trung bình 
i
avg bé hơn dung sai . Cuối cùng, mặt 
cong tham số tái tạo được sẽ xấp xỉ với các điểm dữ liệu ban đầu với lỗi 
trung bình nhỏ nhất. 
4.1.4. Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ hình học 
 Dựa trên phương pháp xấp xỉ hình học đề xuất, phần này phân tích 
sự hội tụ của mặt cong tham số tái tạo được so với các điểm dữ liệu ban 
đầu theo phương pháp xấp xỉ hình học đề xuất. 
4.2. Tái tạo mặt cong Bézier tam giác 
 Dựa trên mô hình đề xuất, mục này đưa ra giải thuật xấp xỉ hình học 
để tái tạo Bézier tam giác bậc thấp cùng với một số kết quả thực nghiệm 
để thấy được tính khả thi của phương pháp đề xuất. 
4.3. Tái tạo mặt cong B-patch 
 Dựa trên mô hình đề xuất, mục này đưa ra giải thuật xấp xỉ hình học 
để tái tạo B-patch bậc thấp cùng với một số kết quả thực nghiệm để thấy 
được tính khả thi của phương pháp đề xuất. 
4.4. Tái tạo mặt cong B-spline tam giác 
 Dựa trên mô hình đề xuất, mục này đưa ra giải thuật xấp xỉ hình học 
để tái tạo B-spline tam giác bậc thấp cùng với một số kết quả thực 
nghiệm để thấy được tính khả thi của phương pháp đề xuất. 
4.5. Đánh giá chung kết quả thực nghiệm tái tạo mặt cong 
 Thông tin chi tiết về lưới ban đầu dùng để thử nghiệm và tương ứng 
là các dạng mặt cong tham số Bézier tam giác, B-patch và B-spline tam 
giác tái tạo được dựa trên mô hình đề xuất được thể hiện trong Bảng 4.5. 
17 
Bảng 4.5. Các mô hình thực nghiệm 
và mặt cong trên miền tham số tam giác tái tạo được 
Hình 4.15. Tái tạo các mặt cong tham số Bézier tam giác, B-patch và B-spline 
tam giác: (a) lưới gốc, (b,c,d) các mặt cong đạt được 
so với lưới gốc sau k = 1,5,7 bước dịch chuyển. 
18 
 Hình 4.15 minh họa các lưới ban đầu và các mặt cong trên miền 
tham số đạt được so với lưới gốc sau k = 1,5,7 bước dịch chuyển trong 
giải thuật xấp xỉ hình học. Nhận thấy sau bước dịch chuyển đầu liên k = 
1, độ chênh giữa mặt cong tham số thu được và lưới gốc còn khá lớn, 
đặc biệt là phần biên của mặt cong và đường biên của lưới gốc. Tuy 
nhiên sau k = 5,7 bước dịch chuyển, phần biên của mặt cong được dịch 
dần về các biên 
của lưới gốc. Đồng thời các phần còn lại của mặt cong như được “dãn 
ra” và dịch dần về các điểm dữ liệu của lưới ban đầu. Sự chênh lệch của 
mặt cong thu được so với lưới gốc cũng giảm ở bước dịch chuyển k = 
5,7. Bằng cách áp dụng i = 2 lần tái hợp mảnh, các mặt cong trên miền 
tham số tam giác thu được sau quá trình tái tạo có bậc thấp hơn nhiều so 
với việc sử dụng lưới ban đầu như lưới điều khiển. Thời gian tái tạo rất 
ngắn, mặc dù phải xác định các Spline đơn hình để tính tọa độ của mỗi 
điểm trên mặt cong, nhưng chỉ mất khoảng 1 phút để tái tạo B-spline 
tam giác. 
Bảng 4.6 Các thông số về độ lệch và độ hội tụ 
 Bảng 4.6 thể hiện chi tiết các thông số về độ lệch và độ hội tụ đạt 
được trong quá trình tái tạo thông qua k=10 bước dịch chuyển đầu tiên. 
19 
Nhận thấy rằng các độ lệch lớn nhất max và độ lệch trung bình avg tỉ lệ 
nghịch với số bước dịch chuyển k. Trong khi đó, độ hội tụ N lại tỉ lệ 
thuận với k. Điều này cho thấy sau vài bước dịch chuyển, mặt cong 
tham số thu được hội tụ dần về các điểm dữ liệu lưới ban đầu. 
Hình 4.16: Ảnh hưởng của bước dịch chuyển k 
 đối với độ chính xác của mặt cong tái tạo theo độ lệch lớn nhất max. 
Hình 4.17: Ảnh hưởng của bước dịch chuyển k đối với độ chính xác của mặt 
cong tái tạo theo độ hội tụ avg 
20 
 Các hình Hình 4.16, 4.17 và 4.18 cho thấy sự hội tụ của mặt cong 
tham số trong quá trình xấp xỉ hình học. Độ lệch lớn nhất max và độ lệch 
trung bình avg của cả ba mô hình phụ thuộc mạnh mẽ vào số bước dịch 
chuyển k. Các giá trị này giảm mạnh trong trong năm bước dịch chuyển 
đầu tiên (Hình 4.16 và 4.17 ), sau đó ổn định dần ở các bước dịch 
chuyển còn lại và nằm trong khoảng 0.002 đến 0.004 (đối với max) và 
0.001 đến 0.003 (đối với avg). Điều này cho thấy các mặt cong tham số 
đạt được nhanh chóng hội tụ về các điểm dữ liệu chỉ sau vài bước dịch 
chuyển. Trong khi đó, các đồ thị trong Hình 4.18 cho thấy số bước lặp k 
càng tăng thì độ hội tụ N càng cao. Độ hội tụ N tăng mạnh trong ba 
bước dịch chuyển đầu, sau đó ổn định và dần chạm ngưỡng 92% (đối 
với mặt cong B-spline tam giác), 94% (đối với mặt cong B-patch) và 
98% (đối với mặt cong Bézier tam giác). 
Hình 4.18: Ảnh hưởng của bước dịch chuyển k đối với độ chính xác của mặt 
cong tái tạo theo độ lệch trung bình N 
 Mặt cong Bézier tam giác cho kết quả tốt hơn so với hai dạng mặt 
cong còn lại, với độ lệch thấp hơn và độ hội tụ cao hơn. Điều này có thể 
giải thích là do miền tham số của Bézer tam giác chỉ đơn thuần là một 
tam giác miền, không có các vector nút tại các điểm góc. Trong khi đó 
B-patch và B-spline tam giác, bên cạnh miền tham số tam giác còn có 
21 
các vector nút tại các đỉnh. Do đó, ngoài vị trí của các đỉnh điều khiển 
thì cấu hình các vector nút cũng ảnh hưởng phần nào đến kết quả của 
mặt cong tái tạo. 
4.6. Kết luận chƣơng 4 
 Trong chương này, dựa trên lược đồ tái hợp mảnh lưới và phương 
pháp xấp xỉ hình học cục bộ, luận án đã đề xuất mô hình tái tạo mặt 
cong tham số bậc thấp từ lưới đa giác. Ba giai đoạn của mô hình đề xuất 
bao gồm: tạo lưới điều kiển, dựng mặt cong và xấp xỉ hình học. Hai giai 
đoạn đầu được trình bày lần lượt trong chương 2 và chương 3 của luận 
án. Giai đoạn xấp xỉ hình học được trình bày chi tiết trong chương này, 
đồng thời độ hội tụ của phương pháp đề xuất được chứng minh. 
 Kết quả thực nghiệm trên các mô hình mặt cong tham số Bézier tam 
giác, B-patch và B-spline tam giác cũng cho thấy, sau một số bước tái 
hợp mảnh và xấp xỉ hình học, các mặt cong tham số thu được có bậc 
giảm ít nhất một nửa và kích thước lưới điều khiển giảm chỉ còn một 
phần tư so với các phương pháp dùng lưới ban đầu làm lưới điều khiển. 
Mặt cong tham số tái tạo được đi qua hầu hết các điểm dữ liệu của lưới 
ban đầu. 
KẾT LUẬN 
1. Các nội dung đã thực hiện đƣợc 
 Thông qua tìm hiểu và nghiên cứu các vấn đề liên quan đến tái tạo 
mặt cong tham số từ mặt lưới, luận án đã thực hiện được một số kết quả 
như sau: 
- Phân tích và so sánh các các mô hình hình học 3D; cụ thể như mô 
hình lưới, mô hình phân mảnh và mô hình tham số; để thấy được 
các ưu, nhược điểm của từng mô hình. Từ đó chọn ra mô hình 
lưới tam giác, lược đồ phân mảnh Loop và mô hình mặt cong 
tham số trên miền tam giác để giải quyết vấn đề đặt ra; 
- Tìm hiểu, đánh giá các nghiên cứu liên quan đến lĩnh vực tái tạo 
mặt cong để thấy được ưu điểm của phương pháp hình học. Từ đó 
22 
đề xuất sử dụng phương pháp xấp xỉ hình học cục bộ để dịch 
chuyển mặt cong tham số dần về lưới tam giác nhằm tránh giải 
các hệ phương trình tuyến tính; 
- Dựa trên lược đồ tái hợp mảnh Loop và phương pháp xấp xỉ hình 
học cục bộ, luận án đề xuất mô hình tái tạo mặt cong tham số bậc 
thấp (cụ thể là các mặt cong Bézier tam giác, B-patch và B-spline 
tam giác) từ lưới tam giác; 
- Triển khai thực nghiệm mô hình đề xuất trên ngôn ngữ C++, thư 
viện đồ họa OpenGL, ngôn ngữ VRML, từ đó đánh giá kết quả 
tái tạo. Ba dạng mặt cong tham số trên miền tam giác là Bézier 
tam giác, B-patch và B-spline tam giác cũng đã được triển khai 
thử nghiệm và cho kết quả khả quan. 
 Các mặt cong tham số bậc thấp tái tạo được là các mặt cong Bézier 
tam giác, B-patch và B-spline tam giác cho phép hiệu chỉnh cục bộ hình 
dáng bề mặt thông qua việc điều chỉnh các đỉnh điều khiển. Đặc biệt, 
mặt cong B-spline tam giác cho phép biểu diễn bề mặt đối tượng 3D có 
hình dạng bất kỳ và tự động liên tục giữa các mảnh cong của mặt cong 
này mà không cần kết nối. 
2. Đánh giá các kết quả đạt đƣợc 
 Dựa trên lược đồ tái hợp mảnh cùng với phương pháp xấp xỉ hình 
học cục bộ, luận án đã đề xuất mô hình mới cho phép tái tạo mặt cong 
trên miền tham số tam giác có bậc thấp. Mô hình đề xuất có một số ưu 
điểm sau: 
- Tái tạo mặt cong tham số trên miền tam giác có bậc thấp theo 
hướng tiếp cận tái hợp mảnh và dựa trên phương pháp xấp xỉ hình 
học. Do đó khắc phục được các nhược điểm của các phương pháp 
tái tạo truyền thống là phải giải các hệ phương trình tuyến tính và 
xấp xỉ bình phương tối thiểu; 
- Bằng cách áp dụng lược đồ tái hợp mảnh lên lưới tam giác nên 
mặt cong được tái tạo có bậc thấp hơn nhiều so với việc sử dụng 
lưới ban đầu như lưới điều kiển. Mặt khác, trong quá trình dịch 
23 
chuyển hình học các đỉnh điều khiển cho phép mặt cong nhanh 
chóng xấp xỉ đến dữ liệu lưới ban đầu chỉ sau vài bước dịch 
chuyển; 
- Mặt cong tái tạo được là các mặt cong trên miền tham số tam 
giác, nên cho phép biểu diễn bề mặt của đối tượng thực một cách 
mềm dẻo và điều chỉnh cục bộ hình dáng mặt cong thông qua các 
điểm điều khiển. Đặc biệt, mặt cong B-spline tam giác bậc $n$ và 
liên tục Cn-1 tái tạo được cho phép biểu diễn bề mặt trơn mềm 
toàn cục với hình dáng bất kỳ. 
3. Những đóng góp mới của luận án và hƣớng nghiên cứu 
 Thông qua tìm hiểu các mô hình hình học mô tả bề mặt của đối 
tượng 3D và các nghiên cứu liên quan đến tái tạo mặt cong từ mô hình 
lưới, luận án có những đóng góp chính như sau: 
- Đề xuất giải thuật hiệu chỉnh lưới tam giác trên cơ sở đảo cạnh 
Delaunay và ý tưởng tạo lưới chất lượng của Rupper. Lưới sau 
khi hiệu chỉnh có chất lượng tốt hơn lưới ban đầu và thỏa điều 
kiện của lưới điều khiển mặt cong tham số tam giác; 
- Đề xuất cách xây dựng các vector nút trên miền tham số nhằm 
nâng cao kết quả tái tạo mặt cong; 
- Đề xuất mô hình tái tạo mặt cong tham số bậc thấp từ lưới tam 
giác dựa trên lược đồ tái hợp mảnh Loop và phương pháp xấp xỉ 
hình học cục bộ; 
- Chứng minh sự hội tụ của phương pháp đề xuất. 
Tuy nhiên kết qủa nghiên cứu vẫn còn một số tồn tại: 
- Các mặt cong Bézier tam giác và B-patch được tái tạo thực chất là 
các mảnh cong và hình dáng bề mặt có dạng tam giác. Do đó, để 
biểu diễn bề mặt có hình dạng bất kỳ thì các mảnh cong này cần 
phải được kết nối liên tục, đây cũng là một hướng nghiên cứu tiếp 
theo của luận án; 
24 
- Độ hội tụ khi tái tạo các mặt cong tham số B-patch và B-spline 
tam giác chưa cao, khoảng 92% (đối với B-spline tam giác), 95% 
(đối với B-patch). Điều này có thể giải thích là do kết quả của 
việc điều chỉnh đám mây nút trên miền tham số của dạng mặt 
cong này chưa hiệu quả rõ rệt. Đây cũng là một vấn đề mở và 
thách thức khi nghiên cứu về B-patch và B-spline tam giác. 
 Hầu hết các mặt cong thường dùng trong thiết kế hình học là các 
mặt cong tham số bậc thấp, do đó kết quả này có ý nghĩa thực tiễn và 
hứa hẹn trong nhiều lĩnh vực như: hỗ trợ thiết kế, GIS, tái tạo ngược và 
thực tại ảo,.. Ngoài ra, có thể ứng dụng trong nén dữ liệu 3D, trao đổi dữ 
liệu trên môi trường mạng không giây và trên các thiết bị di động. 
 Từ các hạn chế chưa thể khắc phục, hướng nghiên cứu tiếp theo của 
luận án dự kiến như sau: 
- Tìm giải pháp kết nối các mặt cong Bézier tam giác, các mặt cong 
B-patch để tạo một mặt cong trơn liên tục có hình dáng bất kỳ; 
- Tìm giải pháp tối ưu để hiệu chỉnh tự động các vector nút trên 
miền tham số của mặt cong B-patch và B-spline tam giác nhằm 
nâng cáo kết quả tái tạo, đặc biệt là các mặt cong có bậc n>2. 
- Mở rộng hướng nghiên cứu các mặt cong trên miền tham số tam 
giác như spline đơn hình, G-patch và đặc biệt là trên NURBS 
tam giác, một hướng nghiên cứu mở và không ít thách thức. 
- Mở rộng hướng nghiên cứu dùng phương pháp không lưới, sử 
dụng hàm RBF, để tái tạo bề mặt 3D từ tập điểm dữ liệu lớn. 
25 
CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 
[1]. Nga Le-Thi-Thu, Khoi Nguyen-Tan, Thuy Nguyen-Thanh. Reconstructing B-
patch surface from triangular mesh. EAI Endorsed Transactions on Industrial 
Networks and Intelligent Systems, ISSN 2410-0218, vol 4, pp1-9, 2018. 
[2]. Nga Le-Thi-Thu, Khoi Nguyen-Tan, Thuy Nguyen-Thanh. Reconstructing B-
patch Surfaces using Inverse Loop Subdivision Scheme, The 4th International 
Conference on Information System Design and Intelligent Applications, ISBN 
978-981-10-7511-7, vol 672, pp 645-654. Springer Singapore, 2018. 
[3]. Nguyễn Bùi Tân Vũ , Lê Thị Thu Nga, Nguyễn Tấn Khôi. Tái tạo mặt lưới 
tam giác đều từ tập điểm 3D, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ XX - Một số 
vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông tin và Truyền thông (@2017), ISBN 
978-604-67-1009-7, pp.319-324, 2017. 
[4]. Lê Thị Thu Nga, Nguyễn Tấn Khôi, Nguyễn Thanh Thủy. Sự hội tụ của 
phương pháp tái tạo mặt cong trên miền tham số tam giác dựa trên tái hợp 
mảnh và xấp xỉ hình học, Kỷ yếu Hội nghị Quốc gia lần thứ 10 về Nghiên cứu 
cơ bản và ứng dụng Công Nghệ thông tin (FAIR’10), ISBN 978-604-913-614-
6, pp.868-877, 2017. 
[5]. Nga Le-Thi-Thu, Khoi Nguyen-Tan, Thuy Nguyen-Thanh. Reconstruction of 
low degree B-spline surfaces with arbitrary topology using inverse subdivision 
scheme, Journal of Science and Technology: Issue on Information and 
Communications Technology - Danang University, ISSN 1859-1531, vol3, 
no1, pp.82-88, 2017. 
[6]. Nga Le-Thi-Thu, Khoi Nguyen-Tan, Thuy Nguyen-Thanh. Approximation of 
triangular B-spline surfaces by local geometric fitting algorithm, The 
NAFOSTED Conference on Information and Computer Science, ISBN 978-1-
5090-2098-0, pp.91-97, 2016. 
[7]. Lê Thị Thu Nga, Nguyễn Tấn Khôi, Nguyễn Thanh Thủy. Mô hình hóa mặt 
cong tham số bậc thấp từ lưới tam giác dựa trên phương pháp dịch chuyển 
hình học cục bộ, Kỷ yếu Hội nghị Quốc gia lần thứ 9 về Nghiên cứu cơ bản và 
ứng dụng Công Nghệ thông tin, ISBN 978-604-913-472-2, pp.308-315, 2016. 
[8]. Nga Le-Thi-Thu, Khoi Nguyen-Tan, Thuy Nguyen-Thanh. Reconstructing low 
degree triangular parametric surfaces based on inverse Loop subdivision, 
Proceedings of the International Conference on Nature of Computation and 
Communication, ISBN 978-3-319-15391-9, vol.144, pp.98-107, 2015. 
[9]. Nga Le-Thi-Thu, Khoi Nguyen-Tan, Thuy Nguyen-Thanh. Reconstruction of 
parametric surfaces using inverse Doo-Sabin subdivision scheme, Proceedings 
of the 2014 IEEE Fifth International Conference on Communications and 
Electronics, ISBN 978-1-4799-5049-2, pp.729-734, 2014. 
[10]. Lê Thị Thu Nga, Nguyễn Tấn Khôi, Nguyễn Thanh Thủy. Kết nối liên tục G1 
các mặt cong Bézier trong mô hình B-Rep, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ 
XVII – Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông tin và Truyền thông 
(@2014), số 1, pp.101-105, 2014.