Bài giảng Cơ sở Lý thuyết Truyền tin - Chương 5: Mã hóa nguồn - Hà Quốc Trung

Cơ sở Lý thuyết Truyền tin-2004
Hà Quốc Trung1
1Khoa Công nghệ thông tin
Đại học Bách khoa Hà nội
Chương 5: Mã hóa nguồn 0. 1/ 64
Chương 5: Mã hóa nguồn
1 Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ
2 Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc
3 Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục
4 Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục
Chương 5: Mã hóa nguồn 0. 2/ 64
Khái niệm chung
Là phép biến đổi đầu tiên cho nguồn tin nguyên thủy
Đầu vào của phép biến đổi này có thể là: nguồn tin rời rạc
hoặc nguồn tin liên tục
Trong cả hai trường hợp mục đích chính của phép mã hóa
nguồn là biểu diễn thông tin với tài nguyên tối thiểu
Các vấn đề cần nghiên cứu
Mã hóa nguồn rời rạc
Mã hóa nguồn liên tục
Nén dữ liệu
Chương 5: Mã hóa nguồn 1. Một số khái niệm chung 3/ 64
1.2.Mã hóa nguồn
Nguồn thông tin tạo ra các đầu ra một cách ngẫu nhiên
Nguồn rời rạc: tạo ra một chuỗi các ký hiệu ngẫu nhiên
Nguồn không nhớ: các ký hiệu xuất hiện một cách độc lập
với nhau
Nguồn có nhớ: các ký hiện xuất hiện phụ thuộc vào các ký
hiệu đã xuất hiện trước đo
Nguồn dừng các mối liên hệ thống kê giữa các thời điểm
không phụ thuộc vào thời gian
Với nguồn rời rạc, vấn đề cơ bản là thay đổi bảng chữ cái
và phân bố xác suất để giảm bớt số lượng ký hiệu cần
dùng
Nguồn liên tục tạo ra một tín hiệu, một thể hiện của một
quá trình ngẫu nhiên
Nguồn liên tục có thể được biến thành một chuỗi các biến
ngẫu nhiên (liên tục) bằng phép lấy mẫu
Lượng tử hóa cho phép biến đổi các biến ngẫu nhiên này
thành các biến ngẫu nhiên rời rạc, với sai số nhất định
Các kỹ thuật mã hóa nguồn tương tự
Chương 5: Mã hóa nguồn 1. Một số khái niệm chung 4/ 64
2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ
1 Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ
Mô hình toán học nguồn thông tin
Mã hóa với từ mã có độ dài cố định
Mã hóa với từ mã có độ dài thay đổi
2 Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc
3 Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục
4 Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 5/ 64
Mô hình toán học nguồn rời rạc
Với nguồn rời rạc cần quan tâm
Entropy của nguồn tin nguyên thủy
Entropy của nguồn sau khi mã hóa
Hiệu quả của phép mã hóa
Giới hạn của hiệu quả mã hóa
Xét một nguồn rời rạc không nhớ, sau một thời gian ts tạo ra
ký hiệu xi trong L ký hiệu với các xác suất xuất hiện là P(i)
Để cho đơn giản, chỉ xét trường hợp mã hiệu nhị phân. Khi
đó: lượng tin=lượng bít= số ký hiệu nhị phân
Với mã hiệu có cơ số lớn hơn 2, có thể mở rộng các kết quả
thu được.
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 6/ 64
2.2.Mã hóa với từ mã có độ dài cố định
Nguyên tắc: Mã hóa một ký hiệu nguồn thành một chuỗi ký
hiệu mã có độ dài xác định R
Để đảm bảo phép mã hóa là 1-1, một ký hiệu nguồn tương
ứng với 1 chuỗi ký hiệu nhị phân. Số lượng chuỗi nhị phân
phải lớn hơn số ký hiệu nguồn
2R ≥ L hay R ≥ log2 L
Nếu L là lũy thừa của 2 thì giá trị nhỏ nhất của R là log2 L
Nếu L không là lũy thừa của 2, giá trị đó là blog2 Lc+ 1
Như vậy
R ≥ H(X )
. Hiệu suất của phép mã hóa H(X )R ≤ 1
Tốc độ lập tin đầu ra sẽ lớn hơn tốc độ lập tin đầu vào
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 7/ 64
Tăng hiệu quả mã hóa
Hiệu quả mã hóa đạt giá trị cực đại khi
L là lũy thừa của 2
Nguồn tin ban đầu đẳng xác suất
Nếu nguồn tin ban đầu đẳng xác suất, nhưng L không là
lũy thừa của 2, số lượng ký hiệu nhỏ nhất sẽ là
bH(X )c+ 1. Hiệu quả của nguồn là
H(X )
bH(X )c+ 1 ≥
H(X )
H(X ) + 1
Để tăng hiệu quả, cần tăng lượng tin cho mỗi lần mã hóa:
mã hóa cùng một lúc J ký hiệu. Hiệu quả mã hóa
JH(X )
bJH(X )c+ 1 ≥
JH(X )
JH(X ) + 1
Biểu thức trên tiến tới 1 khi J tiến tới vô cùng
Kết quả này chỉ đúng cho nguồn đẳng xác suất.
Phép mã hóa không có sai số, mỗi chuỗi ký hiệu nguồn
luôn luôn tương ứng với 1 từ mã duy nhất.
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 8/ 64
Tăng hiệu quả bằng mã hóa có sai số
Trong trường hợp nguồn không đẳng xác suất, để có thể
tiệm cận với hiệu quả tối đa (1), cần chấp nhận một sai số
nào đó
Xét LJ chuỗi ký hiệu nguồn có độ dài J, mã hóa bằng chuỗi
các ký hiệu nhị phân có độ dài R,2R < LJ
Như vậy còn LJ − 2R tổ hợp ký hiệu nguồn không có từ mã
tương ứng
Sử dụng 2R − 1 từ mã mã hóa 2− 1 chuỗi ký hiệu nguồn
Các chuỗi ký hiệu nguồn còn lại (chọn các chuỗi có xác
suất nhỏ nhất), được mã hóa bằng 1 từ mã chung
Nếu nguồn phát một chuỗi các ký hiệu trùng với các chuỗi
ký hiệu có xác suất thấp, sẽ có sai số. Gọi xác suất sai số
là Pe
Liên quan giữa Pe,R, J?
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 9/ 64
Định lý mã hóa nguồn 01
Theorem
Cho U là một nguồn tin có Entropy hữu hạn. Mã hóa các
khối J ký hiệu của nguồn thành các từ mã N ký hiệu nhị
phân.  là một số dương bất kỳ
Xác suất sai số có thể nhỏ tùy ý nếu
R = NJ ≥ H(U) + 
Ngược lại, nếu
R = NJ ≤ H(U)− 
thì sai số sẽ tiến tới 1 khi J tiến tới vô hạn
Tốc độ lập tin của đầu ra luôn luôn lớn hơn của đầu vào
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 10/ 64
Chứng minh định lý
Chứng minh.
Phần thuận
Coi tập hợp các chuỗi ký hiệu nguồn mà
| I(uJ)J − H(U)| ≥ 
là các chuỗi ký hiệu nguồn ánh xạ vào cùng một từ mã.
Cần chứng minh
1 Xác suất xuất hiện của các từ mã nói trên có thể bé tùy ý
khi L lớn tùy ý (hiển nhiên, limJ→∞ I(uJ )J = H(U) )
2 Các chuỗi ký hiệu còn lại có thể được mã hóa chính xác
(1-1) với R = NJ ≥ H(X ) + 
Phần đảo: Chứng minh xác suất sai số tiến đến 1 (?)
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 11/ 64
Chứng minh định lý
Chứng minh.
Phần thuận
Coi tập hợp các chuỗi ký hiệu nguồn mà
| I(uJ)J − H(U)| ≥ 
là các chuỗi ký hiệu nguồn ánh xạ vào cùng một từ mã.
Cần chứng minh
1 Xác suất xuất hiện của các từ mã nói trên có thể bé tùy ý
khi L lớn tùy ý (hiển nhiên, limJ→∞ I(uJ )J = H(U) )
2 Các chuỗi ký hiệu còn lại có thể được mã hóa chính xác
(1-1) với R = NJ ≥ H(X ) + 
Phần đảo: Chứng minh xác suất sai số tiến đến 1 (?)
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 11/ 64
Chứng minh định lý
Chứng minh.
Phần thuận
Coi tập hợp các chuỗi ký hiệu nguồn mà
| I(uJ)J − H(U)| ≥ 
là các chuỗi ký hiệu nguồn ánh xạ vào cùng một từ mã.
Cần chứng minh
1 Xác suất xuất hiện của các từ mã nói trên có thể bé tùy ý
khi L lớn tùy ý (hiển nhiên, limJ→∞ I(uJ )J = H(U) )
2 Các chuỗi ký hiệu còn lại có thể được mã hóa chính xác
(1-1) với R = NJ ≥ H(X ) + 
Phần đảo: Chứng minh xác suất sai số tiến đến 1 (?)
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 11/ 64
Chứng minh định lý
Chứng minh.
Phần thuận
Coi tập hợp các chuỗi ký hiệu nguồn mà
| I(uJ)J − H(U)| ≥ 
là các chuỗi ký hiệu nguồn ánh xạ vào cùng một từ mã.
Cần chứng minh
1 Xác suất xuất hiện của các từ mã nói trên có thể bé tùy ý
khi L lớn tùy ý (hiển nhiên, limJ→∞ I(uJ )J = H(U) )
2 Các chuỗi ký hiệu còn lại có thể được mã hóa chính xác
(1-1) với R = NJ ≥ H(X ) + 
Phần đảo: Chứng minh xác suất sai số tiến đến 1 (?)
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 11/ 64
Chứng minh định lý
Chứng minh.
Phần thuận
Coi tập hợp các chuỗi ký hiệu nguồn mà
| I(uJ)J − H(U)| ≥ 
là các chuỗi ký hiệu nguồn ánh xạ vào cùng một từ mã.
Cần chứng minh
1 Xác suất xuất hiện của các từ mã nói trên có thể bé tùy ý
khi L lớn tùy ý (hiển nhiên, limJ→∞ I(uJ )J = H(U) )
2 Các chuỗi ký hiệu còn lại có thể được mã hóa chính xác
(1-1) với R = NJ ≥ H(X ) + 
Phần đảo: Chứng minh xác suất sai số tiến đến 1 (?)
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 11/ 64
Chứng minh phần thuận
Gọi tập hợp các ký hiệu còn lại là T . Với mỗi uJ ∈ T có
I(uJ)
J − H(U) ≤ 
H(U)−  ≤ I(uJ)J ≤ H(U) + 
2−J(H(U)−) ≥ P(uJ) ≥ 2−J(H(U)+)
Chú ý
1 ≥ P(T ) ≥ MTmin(P(uJ)) ≥ MT2−J(H(U)+)
Có
MT ≤ 2J(H(U)+)
Vậy nếu chọn chuỗi nhị phân có độ dài tối thiểu là
Nmin = log2 2J(H(U)+) = J(H(U) + )
sẽ có ánh xạ 1-1 giữa T và tập các từ mã N ký hiệu nhị
phân Phép ánh xạ chung sẽ có sai số nhỏ tùy ý
Pe = | I(uJ)J − H(U)| ≥ Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 12/ 64
Chứng minh phần đảo
Chọn N ≤ J(H(U)− 2). Xét một phép mã hóa bất kỳ
P(T ) + P(T ) + Pe = 1
Trong đó
P(T ) là xác suất để mỗi một chuỗi ký hiệu trong T có một
từ mã
P(T ) là xác suất để một chuỗi ký hiệu ngoài T có một từ mã
Xác suất lỗi (tồn tại chuỗi ký hiệu không có từ mã)
Tổng cộng có 2N từ mã, mỗi từ mã sẽ tương ứng với một từ
trong T có xác suất nhỏ hơn 2−J(H(U)−), vậy xác suất để
một từ trong T có một từ mã là
P(T ) = 2−J(H(U)−)2N ≤ 2−J(H(U)−)2−J(H(U)−2) = 2−J
Chú ý P(T ) tiến tới 0 khi j tiến tới vô cùng. Vậy Pe tiến tới 1
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 13/ 64
Ý nghĩa định lý
Phép mã hóa với từ mã có độ dài không đổi nói chung bảo
toàn độ bất định của nguồn
H(U) là số ký hiệu nhị phân nhỏ nhất có thể sử dụng để
biểu diễn nguồn tin nguyên thủy một cách chính xác
Trong trường hợp tổng quát, số ký hiệu nhỏ nhất đó có thể
đạt được khi mã hóa một khối có chiều dài vô tận các ký
hiệu nguồn
Định lý có thể mở rộng cho mã hiệu cơ số lớn hơn 2.
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 14/ 64
2.3.Mã hóa với từ mã có độ dài thay đổi
Mục tiêu: mã hóa ký hiệu với số lượng ký hiệu nhị phân tối
thiểu
Xét truờng hợp nguồn có phân bố xác suất không đều
Các ký hiệu nguồn có xác suất xuất hiện lớn cần được mã
hóa với các từ mã có độ dài nhỏ và ngược lại. Số ký hiệu
trung bình cho mỗi ký hiệu của nguồn:
R =
L∑
1
nkP(uk)
sẽ có giá trị tối ưu
Mã hiệu sử dụng trong trường hợp này cần có tính prefix
(giải mã được) được thể hiện bằng bất đẳng thức Kraft
(McMillan)
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 15/ 64
2.3.Mã hóa với từ mã có độ dài thay đổi
Theorem
Điều kiện cần và đủ để tồn tại một mã hiệu nhị phân có tính
prefix với các từ mã có độ dài n1 ≤ n2 ≤ . . . ≤ nL là
L∑
k=1
2−nk ≤ 1
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 16/ 64
Chứng minh phần thuận
Xây dựng một cây mã nhị phân có 2n,n = nL nút cuối
Chọn một nút bậc n1. Đường dẫn tới nút đó lấy làm từ mã.
Toàn bộ cây con trên nút đó coi là đã sử dụng (gồm 2n−n1
nút cuối)
Tiếp tục chọn một nút ở mức n2. Loại bỏ toàn bộ cây con
của nút đó (gồm 2n−n1 nút cuối).
Nếu vẫn còn nút cuối chưa sử dụng, còn có thể chọn được
một nút ở mức bất kỳ
Khi chọn nút nj số lượng các nút đã sử dụng là
L∑
k=1
2n−nk = 2n
L∑
k=1
2−nk ≤ 2n
Vậy luôn luôn có thể chọn được một nút cho đến khi
nj > n = nL. Các từ mã tương ứng sẽ tạo ra một mã hiệu
có tính prefix.
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 17/ 64
Chứng minh phần đảo
Biểu diễn mã hiệu prefix bằng cây nhị phân.
Mỗi một từ mã tương ứng với một nút
Không có từ mã nào nằm trong cây con của từ mã nào
Hai cây con của hai từ mã bất kỳ rời nhau
Tính số lượng các nút cuối thuộc về cây con của mỗi từ mã
2n−nj
Tính tống các nút thuộc về các cây con, có bất đẳng thức
Kraft
L∑
k=1
2n−nk ≤ 2n hay
L∑
k=1
2−nk ≤ 1
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 18/ 64
Định lý mã hóa nguồn 2
Theorem
Cho X là một nguồn rời rạc không nhớ. Có thể mã hóa nguồn X
bằng một mã hiệu nhị phân không đều, có tính prefix và có độ
dài trung bình R của các từ mã thỏa mãn điều kiện
H(X ) ≤ R < H(X ) + 1
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 19/ 64
Chứng minh cận dưới
Có
H(X )− R =
L∑
k=1
pk log2
1
pk
−
L∑
k=1
pknk =
L∑
k=1
pk log2
2−nk
pk
Sử dụng bất đẳng thức ln x ≤ x − 1 và bất đẳng thức Kraft
H(X )−R ≤ (log2 e)
L∑
k=1
pk(
2−nk
pk
−1)(log2 e)(
L∑
k=1
2−nk−1) ≤ 0
Dấu bằng xảy ra khi pk = 2−nk∀1 ≤ k ≤ L
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 20/ 64
Chứng minh cận trên
Cần tìm một mã hiệu sao cho R < H(X ) + 1
Chọn nk sao cho 2−nk ≤ pk < 2−nk+1. Có nk < 1− log2 pk .
Vậy
L∑
k=1
pknk ≤
L∑
k=1
pk(1− log2 pk) = 1+ H(X )
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 21/ 64
Mã hóa Shannon-Fano
Nguyên tắc: độ dài từ mã tỷ lệ nghịch với xác suất xuất hiện
Cách thức (Fano):
1 Chia các ký hiệu nguồn thành m nhóm (nếu mã nhị phân: 2
nhóm), xác suất xấp xỉ như nhau (làm thế nào để chia?)
2 Gán cho mỗi nhóm một ký hiệu 0 hoặc 1
3 Thực hiện 1 cho đến khi mỗi nhóm chỉ còn 1 ký hiệu
Cách thức (Shanon)
1 Sắp xếp các ký hiệu nguồn theo thứ tự giảm dần của xác
suất
2 Với mỗi ký hiệu
1 tính tổng các xác suất của các ký hiệu đứng trước
2 Biểu diễn tổng thu được theo hệ nhị phân, độ chính xác là
xác suất của ký hiệu
3 Từ mã tương ứng là chuỗi chữ số phần lẻ của biểu diễn trên
Kết quả: Bộ mã thu được có tính prefix
Có thể biểu diễn quá trình bằng một cây
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 22/ 64
Ví dụ (Shanon)
Lập mã cho nguồn có phân bố xác suất
Ký hiệu u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
Xác suất 0.34 0.23 0.19 0.1 0.07 0.06 0.01
Lập bảng
ui pi Pi Nhị phân ni Từ mã
u1 0.34 0 0.0 2 00
u2 0.23 0.34 0.01 3 010
u3 0.19 0.57 0.1001 3 100
u4 0.1 0.76 0.1100 4 1100
u5 0.07 0.86 0.11011 4 1101
u6 0.06 0.93 0.11101 5 11101
u7 0.01 0.99 0.1111110 7 1111110
Entropy của nguồn 2.3828
Số ký hiệu nhị phân trung bình 2.99
Hiệu quả của nguồn: 0.7969
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 23/ 64
Ví dụ (Fano)
ui pi Pi Nhị phân ni Từ mã
u1 0.34 0 0 - - - 00
u2 0.23 0 1 - - - 01
u3 0.19 1 0 - - - 10
u4 0.1 1 1 0 - - 110
u5 0.07 1 1 1 0 - 1110
u6 0.06 1 1 1 1 0 11110
u7 0.01 1 1 1 1 1 11111
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 24/ 64
Mã hóa Shannon-Fano
Có thể có nhiều mã hiệu thích hợp, phụ thuộc vào cách
chia nhóm và phụ thuộc vào các ký hiệu gán cho mỗi nhóm
Nếu tồn tại cách chia nhóm ở tất cả các mức (Fano) hoặc
biểu diễn nhị phân chính xác tuyệt đối, khi đó chúng ta sẽ
có mã thống kê tối ưu, R = H(X )
Nếu H(X ) < 1, các phép mã hóa sẽ không tối ưu. Giải
pháp: gộp các ký hiệu nguồn.
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 25/ 64
Nguyên tắc mã hóa Huffman
Nguyên tắc:
Từ mã có xác suất xuất hiện nhỏ có chiều dài lớn
Hai từ mã có xác suất gần giống nhau mã hóa bằng hai từ
mã gần giống nhau (trọng số gần nhau)
Hai nhóm từ mã có chung một phần prefix có xác suất gần
nhau
Giải thuật
1 Liệt kê các ký hiệu theo thứ tự xác suất giảm dần
2 Chọn hai ký hiệu có xác suất nhỏ nhất, thay bằng một tin
mới. Mỗi ký hiệu được gán cho một nhãn 0 hoặc 1
3 Các tin còn lại và tin mới lại được ghi vào cột thứ 2 theo thứ
tự giảm dần
4 Bắt đầu từ bước 1 cho đến khi chỉ còn 2 ký hiệu
5 Các từ mã thu được bằng cách khai triển các nhãn tương
ứng với ký hiệu và các ký hiệu mới tạo thành từ ký hiệu đó
Chương 5: Mã hóa nguồn 2. Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ 26/ 64
2.3.Mã hóa với từ mã có độ dài thay đổi
Tìm code Huffman cho nguồn tin có 8 ký hiệu, cấu trúc thống
kê cho trong cột thứ 2
1 2 3 4 5 6 7
A0.25 A0.25 A0.25 A0.25 CD0.28 EFGH-B0.47 CD-A 0.53 (1)
B0.25 B0.25 B0.25 B0.25 A0.25 CD0.28 (1) EFGH-B 0.47 (0)
C0.14 C0.14 C0.14 EFGH0.22 B0.25(1) A0.25 (0)
D0.14 D0.14 D0.14 C0.14 (1) EFGH0.22 (0)
E0.055 GH0.11 GH0.11(1) D0.14 (0)
F0.055 E0.55 (1) EF0.11 (0)
G0.055 (1) F0.55 (0)
H0.0 ... óa cho nguồn dừng rời rạc 29/ 64
3.1.Entropy của nguồn dừng rời rạc
Xét nguồn có nhớ (các biến ngẫu nhiên tại các thời điểm
phụ thuộc thống kê)
Entropy của một khối các biến ngẫu nhiên liên tiếp được
tính theo công thức
H(X1X2 . . .Xk) =
k∑
i=1
H(Xi |X1X2 . . .Xi−1)
Có thể tính Entropy trung bình cho từng ký hiệu
Hk(X ) =
1
k H(X1X2 . . .Xk)
Cho k tiến tới vô cùng
∃? lim
k→∞
1
k H(X1X2 . . .Xk)
Chương 5: Mã hóa nguồn 3. Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc 30/ 64
3.1.Entropy của nguồn dừng rời rạc (Tiếp)
Mặt khác entropy của từng ký hiệu cũng có thể được định
nghĩa theo
∃? lim
k→∞
H(Xk |X1X2 . . .Xk−1)
Có thể chứng minh hai giới hạn này tồn tại và bằng nhau
với nguồn dừng (Xem [Proakis])
Chương 5: Mã hóa nguồn 3. Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc 31/ 64
3.2.Mã hóa Huffman cho nguồn rời rạc
Mã hóa từng khối J ký hiệu của nguồn dừng với mã
Huffman
Số lượng ký hiệu nhị phân tối thiểu phải sử dụng thỏa mãn
H(X1X2 . . .XJ) ≤
−→
R < H(X1X2 . . .XJ)
HJ(X ) ≤ R > HJ(X ) + 1J
Cho J tiến tới vô cùng
H(X ) ≤ R < H(X ) + 
 bé tùy ý
Vậy hiệu quả của mã hóa Huffman với nguồn dừng có nhớ
có thể tiệm cận 1
Chương 5: Mã hóa nguồn 3. Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc 32/ 64
Tuy nhiên .....
Cần biết hàm mật độ phân bố xác suất đồng thời của J ký
hiệu nguồn liên tiếp
Cần đánh giá các xác suất
Cần tính lại mã hiệu
Cần đồng bộ mã hiệu mã hóa và giải mã
Cần ....?
Độ phức tạp thuật toán lớn
Chương 5: Mã hóa nguồn 3. Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc 33/ 64
3.5.Mã hóa bằng từ điển nguồn Lempel-Ziv
Xét nguồn nhị phân
Chia đầu ra nguồn nhị phân này thành các câu có tối đa n
ký hiệu. Nguyên tắc chia dùng một từ điển như sau
Lập một bảng từ điển gồm 3 cột: vị trí, nội dung, từ mã
Xuất phát, từ điển rỗng, vị trí trong từ điển là 0000, cột nội
dung có giá trị rỗng
Nhận ký hiệu đầu tiên 1, coi đó là một câu, ghi vào cột nội
dung. Cột vị trí ghi giá trị 00001
Nhận ký hiệu 0, coi đó là một câu, ghi vào cột nội dung. Cột
vị trí ghi giá trị 00000
Nhận các bộ 2 ký hiệu tiếp theo. Cột vị trí tăng dần các giá
trị
Nếu là 00, từ mã bằng vị trí của 0 thêm 0 ở cuối
Nếu là 01, từ mã bằng vị trí của 0 thêm 1 ở cuối
Nếu là 10, từ mã bằng vị trí của 1 thêm 0 ở cuối
Nếu là 11, từ mã bằng vị trí của 1 thêm 1 ở cuối
Tiếp tục như vậy với các bộ 3,4 ... ký hiệu cho đến khi tràn
từ điển
Chương 5: Mã hóa nguồn 3. Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc 34/ 64
Ví dụ
Mã hóa dãy ký hiệu
10101101001001110101000011001110101100011011
Chia thành các câu
1,0,10,11,01,00,100,111,010, 1000, 011, 001, 110,101, 10001,
1011
Chương 5: Mã hóa nguồn 3. Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc 35/ 64
Xây dựng từ điển
1,0,10,11,01,00,100,111,010, 1000, 011, 001, 110,101, 10001, 1011
Vị trí trong từ điển Nội dung Từ mã
0001 1 00001
0010 0 00000
0011 10 00010
0100 11 00011
0101 01 00101
0110 00 00100
0111 100 00110
1000 111 01001
1001 010 01010
1010 1000 01110
1011 011 01011
1100 001 01101
1101 110 01000
1110 101 00111
1111 10001 10101
1011 11101
Chương 5: Mã hóa nguồn 3. Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc 36/ 64
Đánh giá
Quá trình giải mã: nhận được một từ mã, giải mã từ trái
qua phải để thu được câu cần tìm. Thông thường, từ điển
được xây dựng ở cả hai phía mã hóa và giải mã để làm
tăng tốc độ giải mã
Giới hạn về kích thước của từ điển
Trong ví dụ trên, mã hóa 44 bít dùng 16 từ mã 5 bít: không
hiệu quả
Nếu có 2n từ mã, mã hóa được 2n−1 câu, vậy chiều dài tối
đa của câu trong trường hợp xấu nhất là n-1 bít.
Khi nào có trường hợp xấu nhất?
Thông thường, khi độ dài các câu đủ lớn, các chuỗi ký hiệu
lặp lại nhiều, khi đó hiệu quả mã hóa sẽ lớn
Chương 5: Mã hóa nguồn 3. Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc 37/ 64
4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục
1 Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ
2 Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc
3 Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục
Khái niệm cơ bản
Hàm tốc độ tạo tin sai lệch
Lượng tử hóa vô hướng
Lượng tử hóa vector
4 Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 38/ 64
4.1.Khái niệm cơ bản
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 39/ 64
4.1.Khái niệm cơ bản
Nguồn tương tự: quá trình ngẫu nhiên liên tục
Trong các hệ thống truyền thông: nguồn tương tự được
biến thành nguồn tin rời rạc, xử lí rồi lại được biến đổi
thành nguồn liên tục
Rời rạc hóa nguồn liên tục
Lấy mẫu nguồn tương tự: biến đổi nguồn tương tự thành
một chuỗi các giá trị ngẫu nhiên liên tục tại các thời điểm
thời gian rời rạc
Lượng tử hóa nguồn tương tự: mã hóa các giá trị liên tục
bằng nguồn rời rạc
Tại đích, nguồn rời rạc được tổng hợp thành nguồn tương
tự
Tái tạo lại giá trị liên tục của chuỗi giá trị ban đầu từ các ký
hiệu của nguồn rời rạc
Kết nối các giá trị liên tục thành một tín hiệu ngẫu nhiên
đầu ra
Do quá trình lượng tử, đầu ra sai khác với đầu vào: Sai số
lượng tử
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 40/ 64
Định luật lấy mẫu
X (t) =
∞∑
n=−∞
X
( n
2W
) sin [2piW (t− n2W)]
2piW
(
t− n2W
)
φ(τ) =
∞∑
n=−∞
φ
( n
2W
) sin [2piW (τ− n2W)]
2piW
(
τ− n2W
)
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 41/ 64
Quá trình lượng tử hóa
Ví dụ : Biểu diễn một biến ngẫu nhiên liên tục theo phân
bố chuẩn Gaussian
Lượng tử hóa dùng 1 bít
Luợng tử hóa dùng 2 bít: cần tìm vị trí thích hợp cho bít thứ
hai để có sai số nhỏ nhất
Mục đích của một thiết bị lượng tử hóa là giảm tối thiểu sai
số này với một số bít/biến ngẫu nhiên nhỏ nhất (hoặc
ngược lại)
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 42/ 64
4.2.Hàm tốc độ tạo tin sai lệch
Là tốc độ bít nhỏ nhất đảm bảo một sai lệch xác định
Cho một nguồn tin với phân bố xác suất nguồn cho truớc,
các mẫu tín hiệu được lượng tử hóa với sai số d (x , x).
Sai số nhỏ đòi hỏi tốc độ truyền tin lớn và ngược lại
Hàm tốc độ tạo tin-sai lệch biểu diễn liên hệ giữa sai số và
tốc độ truyền tin
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 43/ 64
Định nghĩa
Xác định sai số
Nguồn sau khi lấy mẫu gồm nhiều mẫu
Với mỗi mẫu, ký hiệu sai lệch là d(xk , xk)
Sai lêch có thể được định nghĩa theo nhiều cách: phương
sai E[(X − X )2], sai lêch lớn nhất E(max(|X − X |))
Sai số trên tập các biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học cua
d
D = E[d(Xk ,Xk)] =
1
n
n∑
k=1
E [d(xk , xk)] = E [d(xk , xk)]
Hàm tốc độ tạo tin-sai lệch
RI(D) = min
p(x/x):E[d(X ,X)]≤D
I(X ,X )
Biểu diễn tốc độ lập tin lý thuyết nhỏ nhất để có sai số nhỏ
hơn D, lượng tin tối thiếu để biểu diễn nguồn với sai số D
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 44/ 64
Định lý mã hóa nguồn với sai số cho trước
Theorem
Tồn tại một phương pháp mã hóa nguồn, mã hóa các mẫu, với
tốc độ tạo tin tối thiểu là R(D) bit/ký hiệu, với sai số sát tùy ý với
D, với mọi D.
Khẳng định ý nghĩa thực tiễn của khái niệm hàm tốc độ tạo
tin-sai lệch
Giới hạn lý thuyết/thực tế của quá trình lượng tử hóa
Rất khó tính toán hàm tốc độ lập tin-sai số với các nguồn
có nhớ hoặc không phải Gaussian
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 45/ 64
Ví dụ về nguồn chuẩn gaussian, không nhớ, rời rạc
theo thời gian
Tốc độ lập tin tối thiểu là
Rg(D) =
{ 1
2 log2(σ
2
x/D) (0 ≤ D ≤ σ2x )
0 (D ≥ σ2x )
Như vậy nếu sai số cần thiết lớn hơn sai lệch của nguồn đã
cho, không cần truyền tin nữa
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 46/ 64
Hàm sai số-tốc độ lập tin
Biểu diễn sai số nhỏ nhất có thể có khi mã hóa một nguồn
tin tương tự
D(R) = min
p(x/x):R≤R
d(X ,X )
Có thể sử dụng một trong hai hàm để biểu diễn liên hệ
giữa sai số và tốc độ lập tin
Với nguồn Gaussian
Dg = 2−2Rσ2x
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 47/ 64
4.3.Lượng tử hóa vô hướng
Xét bài toán lượng tử hóa một biến ngẫu nhiên liên tục
(mẫu của một nguồn liên tục dừng không nhớ), biết hàm
mật độ phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên
Chia miền giá trị của X thành L khoảng
x0 = −∞ < x1 < x2 < x3 < . . . < xk < . . . < xL =∞
Mỗi một khoảng xk−1 < x < xk tương ứng với một mức tín
hiệu xk
Sai số tổng cộng sẽ là
D =
L∑
k=1
xk∫
xk−1
f (xk − x)p(x).dx
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 48/ 64
4.3.Lượng tử hóa vô hướng (Tiếp)
Cần tối thiểu hóa sai số. Lấy đạo hàm theo xk , xk
f (xk − xk) = f (xk+1 − xk)
Và
xk∫
xk−1
f ′ (xk − x)p(x).dx = 0
Để biểu diễn các mức tín hiệu, cần log2 L bít. xác suất của
mổi mức tín hiệu sẽ là pk =
xk∫
xk−1
p(x)dx
Entropy của nguồn
H(X ) = −
L∑
k=1
pk log2 pk
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 49/ 64
4.3.Lượng tử hóa vô hướng (Tiếp)
Để tối ưu hóa, sau đó nguồn cần được mã hóa bằng mã
hóa thống kê (Fano-Shannon-Huffman)
Có thể chọn các mức sao cho các ký hiệu đầu ra đẳng xác
suất: phân các miền giá trị đầu vào đẳng xác suất.
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 50/ 64
Ví dụ: nguồn có phân bố đều
Biên độ đầu vào dao động trong khoảng −A,A, sai số
f = |x − x |
Cần giải hệ
f (xk − xk) = f (xk+1 − xk)
và
xk∫
xk−1
f ′ (xk − x)p(x).dx = 0
Vậy cần chia đầu vào thành L khoảng đều nhau, trong mỗi
khoảng đó lấy giá trị điểm giữa làm mức tín hiệu
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 51/ 64
Ví dụ: nguồn có phân bố đều (Tiếp)
Sai số tối ưu là
D =
L∑
k=1
xk∫
xk−1
f (xk − x)p(x).dx = AL
Để có thể mã hóa tối ưu cần chọn L là lũy thừa của 2
Nếu cho trước D tốc độ mã hóa tối thiểu là log2 AD nếu
A
D là
lữy thừa của 2 hoặc1+ blog2 AD c nếu không
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 52/ 64
4.4.Lượng tử hóa vector
Trong lượng tử hóa vô hướng
miền giá trị của biến ngẫu nhiên đầu vào được chia thành
nhiều miền con
Tập giá trị trong miền con tương ứng với một mức tín hiệu
đầu ra, đảm bảo khoảng cách ngắn nhất tới biên (trung
tâm„ trọng tâm)
Chỉ dùng cho một biến ngẫu nhiên liên tục-> nguồn dừng,
không nhớ
Có thể tổng quát hóa khái niệm miền giá trị cho không gian
n chiều
Xét cùng lúc nhiều biến ngẫu nhiên, mỗi biến ngẫu nhiên
tương ứng với một chiều
Miền con trở thành một ô trong không gian n-chiều
Mức tín hiệu đầu ra là một tín hiệu rời rạc ngẫu nhiên nhiều
chiều, biểu diễn bằng trung tâm của ô.
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 53/ 64
4.4.Lượng tử hóa vector
Xét n biến ngẫu nhiên
nhiều chiều đặc trưng cho
các mẫu của một nguồn
liên tục
Biểu diễn các biến ngẫu
nhiên này trong không gian
n chiều
Chia không gian n chiều
thành L ô Ck
Các tín hiệu đầu vào được
lượng tử hóa theo phép mã
hóa
X = Q(X )
Xk là giá trị đầu ra tương
ứng với tín hiệu đầu vào
trong Ck
Ví dụ: Lượn tử hóa vector
2 chiều
Không gian hai chiều chia
thành các ô có dạng hình
lục giác
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 54/ 64
Sai số của phép lượng tử hóa vector
D =
L∑
k=1
P(X ∈ Ck)E
[
d(X ,X k) |X ∈ Ck
]
=
L∑
k=1
P(X ∈ Ck)
∫
X∈Ck
d(X ,X k)p(X )dX
Để tối thiểu D
Dạng của các ô phụ thuộc vào hàm phân bố xác suất đồng
thời
Dạng của các ô cũng phụ thuộc vào hàm khoảng cách
Q(X ) = Xk ⇔ D(X ,X k) ≤ D(X ,X j), k 6= j ,1 ≤ j ≤ n
Các mức tín hiệu đầu ra tương ứng là trung tâm của các ô
Dk = E
[
d(X ,X k) |X ∈ Ck
]
=
∫
X∈Ck
d(X ,X k)p(X )dX
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 55/ 64
Sai số-tốc độ lập tin
Hàm sai số
d(X ,X ) = 1n
n∑
k=1
(xk − xk)2
Tốc độ lập tin
R = H(X )n
trong đó
H(X ) = −
L∑
i=1
p(X i) log 2p(X i)
Sai số-tốc độ lập tin
Dn(R) = min
Q(X )
E
[
d(X ,X )
]
Hàm sai số-tốc độ lập tin
D(R) = lim
n→∞Dn(R)
Chương 5: Mã hóa nguồn 4. Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục 56/ 64
5. Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục
1 Mã hóa nguồn rời rạc không nhớ
2 Mã hóa cho nguồn dừng rời rạc
3 Cơ sở lý thuyết mã hóa nguồn liên tục
4 Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục
Mã hóa tín hiệu miền thời gian
Mã hóa tín hiệu miền tần số
Mã hóa mô hình nguồn
Chương 5: Mã hóa nguồn 5. Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục 57/ 64
5.1.Mã hóa tín hiệu miền thời gian
Biểu diễn tín hiệu theo miền thời gian
Lấy mẫu tín hiệu theo tốc độ Nyquist, tần số fs
Các mẫu được lượng tử hóa
Chương 5: Mã hóa nguồn 5. Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục 58/ 64
Điều chế mã xung (Pulse Code Modulation )
Mỗi một mẫu tín hiệu được mã hóa bằng 2R mức tín hiệu.
Tốc độ thông tin của nguồn sau mã hóa là Rfs bps.
Giá trị tín hiệu đầu ra
xn = xn + qn
qn là nhiễu lượng tử (nhiễu cộng)
Trong trường hợp các mức đều, mật độ phân bố xác suất
đều, sai số lượng tử tối thiểu (xem ví dụ trên) : Bộ lượng tử
hóa đồng đều
Trong trường hợp mật độ phân bố xác suất không đều, cần
chọn các mức tương ứng : Bộ lượng tử hóa không đồng
đều
Trong thực tế, với các tín hiệu tiếng nói, thường sử dụng
các mức lượng tử theo loga
Chương 5: Mã hóa nguồn 5. Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục 59/ 64
Mã hóa mã xung vi sai
Nếu tốc độ lấy mẫu cao, các mẫu có liên hệ với nhau
Dự đoán giá trị các mẫu?
Liên hệ thông thường: hàm số liên tục, đạo hàm hữu hạn.
Giá trị mẫu sau sai khác với giá trị mẫu trước một khoảng
xác định
Không mã hóa giá trị tín hiệu, chỉ mã hóa sự sai khác so
với giá trị của mẫu trước đó
Xa hơn nữa, có thể mã hóa mẫu hiện tại dựa vào p mẫu
trước đó
Chương 5: Mã hóa nguồn 5. Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục 60/ 64
Ví dụ về DPCM
Chương 5: Mã hóa nguồn 5. Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục 61/ 64
PCM và DPCM thích nghi
PCM và DPCM thích hợp với các nguồn dừng (phân bố
thống kê của các biến ngẫu nhiên không thay đổi theo thời
gian)
Trong thực tế các nguồn tin ít khi dừng tuyệt đối
Phân bố thống kê của các nguồn tin thực tế thay đổi chậm
(nguồn gần dừng)
Có thể cái thiện PCM và DPCM cho phù hợp với các
nguồn tin đó: thay đổi các thông số của PCM hoặc DPCM
PCM: thay đổi biên độ (thay đổi khoảng cách giữa các mức)
DPCM: Thay đổi các thông số của bộ dự đoán
Chương 5: Mã hóa nguồn 5. Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục 62/ 64
5.2.Mã hóa tín hiệu miền tần số
Mã hóa băng con
Mã hóa hình ảnh và tiếng nói
Phân tích thông tin đầu vào theo tần số
Chia thành nhiều dải con
Mã hóa độc lập từng dải
Ví dụ: mã hóa tiếng nói
Phần tần số thấp chiếm nhiều năng lượng hơn phần tần số
cao
Phần tần số thấp được mã hóa bằng số bit ít hơn
Mã hóa biến đổi thích nghi
Các mẫu được chia thành nhiều khung
Các khung này được biến đổi sang miền tần số và truyền đi
(giống phương pháp trên)
Khi nhận được các khung này, biến đổi ngược lại
Tùy theo thông số của phổ, các phổ quan trọng được mã
hóa nhiều bít hơn
Phép biến đổi thường là phép biến đổi Fourier.
Chương 5: Mã hóa nguồn 5. Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục 63/ 64
5.3.Mã hóa mô hình nguồn
Mô hình hóa nguồn tin: sử dụng một số tham số (là các
phản ứng của nguồn tin với các tín hiệu đầu vào nhất định)
Mã hóa các tham số
Giải mã để thu được các tham số
Phục hồi tín hiệu ban đầu
Mô hình hay dùng là mô hình tuyến tính
Chương 5: Mã hóa nguồn 5. Các kỹ thuật mã hóa nguồn liên tục 64/ 64