Bài giảng Cơ sở Lý thuyết Truyền tin - Chương 7: Lý thuyết tín hiệu - Hà Quốc Trung

Chương 7: Lý thuyết tín hiệu
1 Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin
2 Không gian tín hiệu
3 Biểu diễn các tín hiệu điều chế số
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 0. 1/ 73
1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống
truyền tin
1 Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin
Khái niệm
Biểu diễn thông thấp tín hiệu băng hẹp
Biểu diễn tín hiệu miền tần số
Các bước biểu diễn tín hiệu bằng tín hiệu thông thấp
Loại bỏ các tần số âm trong phổ
Chuyển về miền thời gian
Dịch tần số
Biểu diễn tần số
Biểu diễn năng lượng
Ghi nhớ
Biểu diễn thông thấp hệ thống tuyến tính băng hẹp
Hệ thống tuyến tính
Định nghĩa hệ thống tuyến tính băng hẹp
Đáp ứng thông thấp của hệ thống băng hẹp
Biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng băng hẹp bằng các
quá trình ngẫu nhiên thông thấp tương đương
2 Không gian tín hiệu
3 Biểu diễn các tín hiệu điều chế số
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 2/ 73
Khái niệm-01
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 3/ 73
Khái niệm-02
Thông tin được truyền đi được điều chế sử dụng sóng
mang có tần số xác định fc .
Kết quả thu được là một tín hiệu có giải tần dao động xung
quanh tần số của sóng mang. Thông thường, giải tần có
dạng fc −∆f , fc +∆f hoặc fc + (−)∆f , fc trong trường hợp
điều chế đơn biên.
Tín hiệu thu được có dải tần nhỏ hơn nhiều so với tần số
tuyệt đối. Tín hiệu như vậy gọi là tín hiệu băng hẹp.
Trước khi điều chế và sau khi giải điều chế, tín hiệu biểu
diễn trực tiếp thông tin cần chuyển đi, có giải tần xấp xỉ tần
số lớn nhất. Tín hiệu như vậy gọi là tín hiệu thông thấp.
Chất lượng truyền tin của hệ thống truyền tin được đánh
giá bởi chất lượng truyền tín hiệu thông thấp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 4/ 73
Khái niệm-02
Thông tin được truyền đi được điều chế sử dụng sóng
mang có tần số xác định fc .
Kết quả thu được là một tín hiệu có giải tần dao động xung
quanh tần số của sóng mang. Thông thường, giải tần có
dạng fc −∆f , fc +∆f hoặc fc + (−)∆f , fc trong trường hợp
điều chế đơn biên.
Tín hiệu thu được có dải tần nhỏ hơn nhiều so với tần số
tuyệt đối. Tín hiệu như vậy gọi là tín hiệu băng hẹp.
Trước khi điều chế và sau khi giải điều chế, tín hiệu biểu
diễn trực tiếp thông tin cần chuyển đi, có giải tần xấp xỉ tần
số lớn nhất. Tín hiệu như vậy gọi là tín hiệu thông thấp.
Chất lượng truyền tin của hệ thống truyền tin được đánh
giá bởi chất lượng truyền tín hiệu thông thấp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 4/ 73
Khái niệm-02
Thông tin được truyền đi được điều chế sử dụng sóng
mang có tần số xác định fc .
Kết quả thu được là một tín hiệu có giải tần dao động xung
quanh tần số của sóng mang. Thông thường, giải tần có
dạng fc −∆f , fc +∆f hoặc fc + (−)∆f , fc trong trường hợp
điều chế đơn biên.
Tín hiệu thu được có dải tần nhỏ hơn nhiều so với tần số
tuyệt đối. Tín hiệu như vậy gọi là tín hiệu băng hẹp.
Trước khi điều chế và sau khi giải điều chế, tín hiệu biểu
diễn trực tiếp thông tin cần chuyển đi, có giải tần xấp xỉ tần
số lớn nhất. Tín hiệu như vậy gọi là tín hiệu thông thấp.
Chất lượng truyền tin của hệ thống truyền tin được đánh
giá bởi chất lượng truyền tín hiệu thông thấp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 4/ 73
Khái niệm-02
Thông tin được truyền đi được điều chế sử dụng sóng
mang có tần số xác định fc .
Kết quả thu được là một tín hiệu có giải tần dao động xung
quanh tần số của sóng mang. Thông thường, giải tần có
dạng fc −∆f , fc +∆f hoặc fc + (−)∆f , fc trong trường hợp
điều chế đơn biên.
Tín hiệu thu được có dải tần nhỏ hơn nhiều so với tần số
tuyệt đối. Tín hiệu như vậy gọi là tín hiệu băng hẹp.
Trước khi điều chế và sau khi giải điều chế, tín hiệu biểu
diễn trực tiếp thông tin cần chuyển đi, có giải tần xấp xỉ tần
số lớn nhất. Tín hiệu như vậy gọi là tín hiệu thông thấp.
Chất lượng truyền tin của hệ thống truyền tin được đánh
giá bởi chất lượng truyền tín hiệu thông thấp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 4/ 73
Khái niệm-02
Thông tin được truyền đi được điều chế sử dụng sóng
mang có tần số xác định fc .
Kết quả thu được là một tín hiệu có giải tần dao động xung
quanh tần số của sóng mang. Thông thường, giải tần có
dạng fc −∆f , fc +∆f hoặc fc + (−)∆f , fc trong trường hợp
điều chế đơn biên.
Tín hiệu thu được có dải tần nhỏ hơn nhiều so với tần số
tuyệt đối. Tín hiệu như vậy gọi là tín hiệu băng hẹp.
Trước khi điều chế và sau khi giải điều chế, tín hiệu biểu
diễn trực tiếp thông tin cần chuyển đi, có giải tần xấp xỉ tần
số lớn nhất. Tín hiệu như vậy gọi là tín hiệu thông thấp.
Chất lượng truyền tin của hệ thống truyền tin được đánh
giá bởi chất lượng truyền tín hiệu thông thấp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 4/ 73
Khái niệm-02
Cần biếu diễn tín hiệu, hệ thống, quá trình ngẫu nhiên
dừng dải hẹp bằng các tín hiệu thông thấp tương đương.
Thuận tiện cho việc tính toán độ đo chất lượng của các hệ
thống thông tin có nhiều thành phần.
Cụ thể:
Tín hiệu băng hẹp.
Hệ thống tuyến tính dùng cho tín hiệu băng hẹp.
Đáp ứng của hệ thống tuyến tính băng hẹp.
Quá trình ngẫu nhiên băng hẹp bằng tín hiệu thông thấp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 5/ 73
Tần số của tín hiệu thông thấp và băng hẹp
Biểu diễn tín hiệu trong miền tần số
S(f ) =
∫ ∞
−∞
s(t)e−2jpiftdt
Tín hiệu dải cơ sở (tín hiệu thông thấp): các thành phần
tần số dao động xung quanh tần số 0
S(f ) 6= 0, |f | ≤ fmax
Tín hiệu dải (băng) hẹp: các thành phần tần số dao động
xung quanh một tần số cơ bản nào đó
S(f ) 6= 0, |f − fC| ≤ B Tín hiệu băng hẹp có hai băng tần
âm và dương.
Tín hiệu thông thấp chỉ có một miền tần số liên tục
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 6/ 73
Tần số của tín hiệu thông thấp và băng hẹp
Biểu diễn tín hiệu trong miền tần số
S(f ) =
∫ ∞
−∞
s(t)e−2jpiftdt
Tín hiệu dải cơ sở (tín hiệu thông thấp): các thành phần
tần số dao động xung quanh tần số 0
S(f ) 6= 0, |f | ≤ fmax
Tín hiệu dải (băng) hẹp: các thành phần tần số dao động
xung quanh một tần số cơ bản nào đó
S(f ) 6= 0, |f − fC| ≤ B Tín hiệu băng hẹp có hai băng tần
âm và dương.
Tín hiệu thông thấp chỉ có một miền tần số liên tục
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 6/ 73
Tần số của tín hiệu thông thấp và băng hẹp
Biểu diễn tín hiệu trong miền tần số
S(f ) =
∫ ∞
−∞
s(t)e−2jpiftdt
Tín hiệu dải cơ sở (tín hiệu thông thấp): các thành phần
tần số dao động xung quanh tần số 0
S(f ) 6= 0, |f | ≤ fmax
Tín hiệu dải (băng) hẹp: các thành phần tần số dao động
xung quanh một tần số cơ bản nào đó
S(f ) 6= 0, |f − fC| ≤ B Tín hiệu băng hẹp có hai băng tần
âm và dương.
Tín hiệu thông thấp chỉ có một miền tần số liên tục
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 6/ 73
Tần số của tín hiệu thông thấp và băng hẹp
Biểu diễn tín hiệu trong miền tần số
S(f ) =
∫ ∞
−∞
s(t)e−2jpiftdt
Tín hiệu dải cơ sở (tín hiệu thông thấp): các thành phần
tần số dao động xung quanh tần số 0
S(f ) 6= 0, |f | ≤ fmax
Tín hiệu dải (băng) hẹp: các thành phần tần số dao động
xung quanh một tần số cơ bản nào đó
S(f ) 6= 0, |f − fC| ≤ B Tín hiệu băng hẹp có hai băng tần
âm và dương.
Tín hiệu thông thấp chỉ có một miền tần số liên tục
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 6/ 73
Các bước biểu diễn tín hiệu bằng tín hiệu thông thấp
tương đương
Loại bỏ thành phần có tần số âm của tín hiệu băng hẹp
(tìm đường bao phức). Tín hiệu trung gian sẽ có dạng (3)
Dịch hệ tọa độ theo trục tần số.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 7/ 73
Các bước biểu diễn tín hiệu bằng tín hiệu thông thấp
tương đương
Loại bỏ thành phần có tần số âm của tín hiệu băng hẹp
(tìm đường bao phức). Tín hiệu trung gian sẽ có dạng (3)
Dịch hệ tọa độ theo trục tần số.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 7/ 73
Bài toán
Giả thuyết
Cho tín hiệu băng hẹp. Biểu diễn tín hiệu này bằng các tín hiệu
thông thấp:
Định nghĩa các tín hiệu thông thấp từ tín hiệu băng hẹp.
Biểu diễn tín hiệu băng hẹp bằng các tín hiệu nói trên.
Biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu băng hẹp theo các
đặc trưng của tín hiệu thông thấp tương đương.
Giải pháp
Loại bỏ các tần số âm trong phổ tần số.
Dịch phổ tần số.
Biến đổi về miền thời gian.
Tính toán các đặc trưng khác của tín hiệu băng hẹp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 8/ 73
Bài toán
Giả thuyết
Cho tín hiệu băng hẹp. Biểu diễn tín hiệu này bằng các tín hiệu
thông thấp:
Định nghĩa các tín hiệu thông thấp từ tín hiệu băng hẹp.
Biểu diễn tín hiệu băng hẹp bằng các tín hiệu nói trên.
Biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu băng hẹp theo các
đặc trưng của tín hiệu thông thấp tương đương.
Giải pháp
Loại bỏ các tần số âm trong phổ tần số.
Dịch phổ tần số.
Biến đổi về miền thời gian.
Tính toán các đặc trưng khác của tín hiệu băng hẹp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 8/ 73
Bài toán
Giả thuyết
Cho tín hiệu băng hẹp. Biểu diễn tín hiệu này bằng các tín hiệu
thông thấp:
Định nghĩa các tín hiệu thông thấp từ tín hiệu băng hẹp.
Biểu diễn tín hiệu băng hẹp bằng các tín hiệu nói trên.
Biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu băng hẹp theo các
đặc trưng của tín hiệu thông thấp tương đương.
Giải pháp
Loại bỏ các tần số âm trong phổ tần số.
Dịch phổ tần số.
Biến đổi về miền thời gian.
Tính toán các đặc trưng khác của tín hiệu băng hẹp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 8/ 73
Bài toán
Giả thuyết
Cho tín hiệu băng hẹp. Biểu diễn tín hiệu này bằng các tín hiệu
thông thấp:
Định nghĩa các tín hiệu thông thấp từ tín hiệu băng hẹp.
Biểu diễn tín hiệu băng hẹp bằng các tín hiệu nói trên.
Biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu băng hẹp theo các
đặc trưng của tín hiệu thông thấp tương đương.
Giải pháp
Loại bỏ các tần số âm trong phổ tần số.
Dịch phổ tần số.
Biến đổi về miền thời gian.
Tính toán các đặc trưng khác của tín hiệu băng hẹp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 8/ 73
Bài toán
Giả thuyết
Cho tín hiệu băng hẹp. Biểu diễn tín hiệu này bằng các tín hiệu
thông thấp:
Định nghĩa các tín hiệu thông thấp từ tín hiệu băng hẹp.
Biểu diễn tín hiệu băng hẹp bằng các tín hiệu nói trên.
Biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu băng hẹp theo các
đặc trưng của tín hiệu thông thấp tương đương.
Giải pháp
Loại bỏ các tần số âm trong phổ tần số.
Dịch phổ tần số.
Biến đổi về miền thời gian.
Tính toán các đặc trưng khác của tín hiệu băng hẹp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 8/ 73
Bài toán
Giả thuyết
Cho tín hiệu băng hẹp. Biểu diễn tín hiệu này bằng các tín hiệu
thông thấp:
Định nghĩa các tín hiệu thông thấp từ tín hiệu băng hẹp.
Biểu diễn tín hiệu băng hẹp bằng các tín hiệu nói trên.
Biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu băng hẹp theo các
đặc trưng của tín hiệu thông thấp tương đương.
Giải pháp
Loại bỏ các tần số âm trong phổ tần số.
Dịch phổ tần số.
Biến đổi về miền thời gian.
Tính toán các đặc trưng khác của tín hiệu băng hẹp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 8/ 73
Bài toán
Giả thuyết
Cho tín hiệu băng hẹp. Biểu diễn tín hiệu này bằng các tín hiệu
thông thấp:
Định nghĩa các tín hiệu thông thấp từ tín hiệu băng hẹp.
Biểu diễn tín hiệu băng hẹp bằng các tín hiệu nói trên.
Biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu băng hẹp theo các
đặc trưng của tín hiệu thông thấp tương đương.
Giải pháp
Loại bỏ các tần số âm trong phổ tần số.
Dịch phổ tần số.
Biến đổi về miền thời gian.
Tính toán các đặc trưng khác của tín hiệu băng hẹp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 8/ 73
Bài toán
Giả thuyết
Cho tín hiệu băng hẹp. Biểu diễn tín hiệu này bằng các tín hiệu
thông thấp:
Định nghĩa các tín hiệu thông thấp từ tín hiệu băng hẹp.
Biểu diễn tín hiệu băng hẹp bằng các tín hiệu nói trên.
Biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu băng hẹp theo các
đặc trưng của tín hiệu thông thấp tương đương.
Giải pháp
Loại bỏ các tần số âm trong phổ tần số.
Dịch phổ tần số.
Biến đổi về miền thời gian.
Tính toán các đặc trưng khác của tín hiệu băng hẹp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 8/ 73
Bài toán
Giả thuyết
Cho tín hiệu băng hẹp. Biểu diễn tín hiệu này bằng các tín hiệu
thông thấp:
Định nghĩa các tín hiệu thông thấp từ tín hiệu băng hẹp.
Biểu diễn tín hiệu băng hẹp bằng các tín hiệu nói trên.
Biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu băng hẹp theo các
đặc trưng của tín hiệu thông thấp tương đương.
Giải pháp
Loại bỏ các tần số âm trong phổ tần số.
Dịch phổ tần số.
Biến đổi về miền thời gian.
Tính toán các đặc trưng khác của tín hiệu băng hẹp.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 8/ 73
Loại bỏ các tần số âm
Dùng hàm bước nhảy đơn vị U(f ) để loại bỏ thành phần
tần số âm:
S+(f ) = 2U(f )S(f )
U(f ) =
{
1 nếu f ≥ 0
0, nếu f < 0
u(t) = 1
2
(δ(t) + j
piT )
S+(f ) gọi là gọi là bao đóng trước (pre-envelope) của tín
hiệu băng hẹp s(t).
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 9/ 73
Loại bỏ các tần số âm
Dùng hàm bước nhảy đơn vị U(f ) để loại bỏ thành phần
tần số âm:
S+(f ) = 2U(f )S(f )
U(f ) =
{
1 nếu f ≥ 0
0, nếu f < 0
u(t) = 1
2
(δ(t) + j
piT )
S+(f ) gọi là gọi là bao đóng trước (pre-envelope) của tín
hiệu băng hẹp s(t).
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 9/ 73
Biểu diễn trong miền thời gian
Áp dụng biến đổi Fourier:
s+(t) = F−1(S+(f )) = F−1(S(f )) ∗ F−1(2u(f ))
∗ là phép toán chập giữa hai tín hiệu
x(t) ∗ y(t) =
∞∫
−∞
x(t)y(t − τ)dτ
Như vậy
s+(t) = s(t) ∗ (δ(t) + j
piT ) = s(t) + js(t) ∗
1
pit
Đặt:
sˆ(t) = s(t) ∗ 1tpi =
1
pi
∞∫
−∞
s(t)
t − τ dτ
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 10/ 73
Biểu diễn trong miền thời gian
Áp dụng biến đổi Fourier:
s+(t) = F−1(S+(f )) = F−1(S(f )) ∗ F−1(2u(f ))
∗ là phép toán chập giữa hai tín hiệu
x(t) ∗ y(t) =
∞∫
−∞
x(t)y(t − τ)dτ
Như vậy
s+(t) = s(t) ∗ (δ(t) + j
piT ) = s(t) + js(t) ∗
1
pit
Đặt:
sˆ(t) = s(t) ∗ 1tpi =
1
pi
∞∫
−∞
s(t)
t − τ dτ
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền t ... g gian vectơ
v ′ = Avhay v ′ = λv
Thuật toán xác định tập hợp các vector trực chuẩn từ tập
hợp các vector
1 Chọn một vector đầu tiên, chuẩn hóa độ dài
u1 =
v1
||v1||
2 Chọn một vector thứ hai và tính vector trực chuẩn thứ 2
u′2 = v2 − (v2.u1).u1 sau đó
u2 =
u′2
||u′2||
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 32/ 73
2.1.Không gian vector (Tiếp)
3 Tiếp tục chọn vectơ thứ 3 u′3 = v3 − (v3.u1).u1 − (v3.u2).u2
rồi chuẩn hóa
u3 =
u′3
||u′3||
4 Quá trình tiếp tục như vậy cho đến khi kết thúc (thu được
vecto 0, không còn vecto nào để chọn), thu được n1 vectơ
trực chuẩn
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 33/ 73
2.2.Không gian tín hiệu
Xét tập hợp tín hiệu phức trên khoảng thời gian [a,b]
Tích vô hướng của hai tín hiệu được định nghĩa
〈x1 (t) , x2 (t)〉 =
b∫
a
x1(t)x
∗
2(t)dt
2 tín hiệu trực giao nếu tích = 0
Chuẩn của tín hiệu được định nghĩa là
‖x (t)‖ =
√√√√√ b∫
a
|x(t)|2dt
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 34/ 73
2.2.Không gian tín hiệu (Tiếp)
M tín hiệu là độc lập tuyến tính nếu không có tín hiệu nào
biểu diễn được bằng tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu còn
lại. Tín hiệu gọi là trực chuẩn nếu tích các cặp 2 tín hiệu
bằng 0, chiều dài bằng 1
Bất đẳng thức tam giác
||x(t) + y(t)|| ≤ ||x(t)||+ ||y(t)||
Bất đẳng thức Cauchy∣∣∣∣∣∣
b∫
a
x1(t)x
∗
2(t)dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
|x1 (t)|2 dt
∣∣∣∣∣∣
1/2 ∣∣∣∣∣∣
b∫
a
|x2 (t)|2 dt
∣∣∣∣∣∣
1/2
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 35/ 73
2.3.Khai triển trực giao tín hiệu
Xét s(t) là tín hiệu thực, có năng lượng hữu hạn
Cs =
+∞∫
−∞
[s(t)]2dt
Xét tập hợp N hàm trực chuẩn fn(t),1 ≤ n ≤ N
+∞∫
−∞
fn(t)fm(t)dt =
{
0(m 6= n)
1(m = n)
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 36/ 73
2.3.Khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp)
Ước lượng s(t) theo tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu trên
_s(t) =
K∑
k=1
sk fk(t)
với sai số là
e (t) = s (t)− sˆ (t)
Cần tính các hệ số để tác động của sai số là cực tiểu
(năng lượng cực tiểu)
Ce =
+∞∫
−∞
[
s(t)− _s(t)
]2
dt =
+∞∫
−∞
[
s(t)−
K∑
k=1
sk fk(t)
]2
dt
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 37/ 73
2.3.Khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp)
Cực tiểu đạt được khi
+∞∫
−∞
[
s(t)−
K∑
k=1
sk fk(t)
]
fn(t)dt = 0
hay
sn =
∞∫
−∞
s(t)fn(t)dt
Đây chính là hình chiếu của s(t) trên trục fn(t), còn sˆ(t) là
hình chiếu của s(t) trên không gian N chiều
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 38/ 73
2.3.Khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp)
Năng lượng của sai số
Cmin =
∞∫
−∞
e(t)s(t)dt =
∞∫
−∞
[s(t)]2 dt−
∞∫
−∞
K∑
k=1
sk fk(t)s(t)dt = Cs −
K∑
k=1
s2k
Nếu giá trị này bằng 0
Cs =
K∑
k=1
s2k =
∞∫
−∞
[s(t)]2 dt
Khai triển trực giao s(t)
s(t) =
K∑
k=1
sk fk(t)
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 39/ 73
2.3.Khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp)
Nếu một tín hiệu có năng lượng hữu hạn đều biểu diễn
được như vậy, thì họ fn(t) gọi là hệ kín
Ví dụ: khai triển bằng chuỗi Fourier, tín hiệu định nghĩa
trên 0, T
s (t) =
∞∑
k=0
(
ak cos k
2pi
T t + bk sin k
2pi
T t
)
Trong đó
ak =
1√
T
T∫
0
s(t) cos k 2piT tdt , bk =
1√
T
T∫
0
s(t) sin k 2piT tdt
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 40/ 73
2.4.Xây dựng hệ thống trực chuẩn (Gram-Schmit)
Cho một tập M tín hiệu. Xây dựng tập các tín hiệu trực
chuẩn từ tập tín hiệu trên
Thuật toán
1 Chọn một vector, chuẩn hóa f1(t) = s1(t)√C1
2 Chọn vectơ thứ 2, loại bỏ hình chiếu của vectơ thư nhất
f ′2(t) = s2(t)− c12f1(t), thu được vector trực giao với f1(t),
rồi chuẩn hóa f2(t) = f
′
2 (t)√
C2
3 Lặp lại quá trình cho đến khi kết thúc
fk(t) =
f ′k(t)√
Ck
f ′k(t) = sk(t)−
k−1∑
i=1
cik fi(t)
cik =
∞∫
−∞
sk(t)fi(t)dt
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 41/ 73
2.5.Quan hệ giữa các tín hiệu
Biểu diễn thông thấp của tín hiệu m chiều
sm(t) = Re
[
slm(t)ej2pifc t
]
Năng lượng của tín hiệu
Cm =
∞∫
−∞
s2m(t)dt =
1
2
∞∫
−∞
|slm(t)|2 dt
Tương quan chuẩn hóa giữa hai tín hiệu
1√
CmCk
∞∫
−∞
sm(t)sk(t)dt = Re
 12√CmCk
∞∫
−∞
slm(t)s∗lk(t)dt

Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 42/ 73
2.5.Quan hệ giữa các tín hiệu (Tiếp)
Hàm tương quan phức
ρkm =
1
2
√
CmCk
∞∫
−∞
s∗lm(t)slk(t)dt
Re(ρkm) =
1√
CmCk
∞∫
−∞
sm(t)sk(t)dt
Và
Re(ρkm) =
sm.sk
‖sm‖ . ‖sk‖ =
sm.sk√
CkCm
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 43/ 73
2.5.Quan hệ giữa các tín hiệu (Tiếp)
Khoảng cách Euclit giữa các tín hiệu:
d (e)km = ‖sm − sk‖ = {
∞∫
−∞
[sm(t)− sk(t)]2 dt}1/2 =
=
√
Cm + Ck − 2
√
CmCkRe(ρkm)
Nếu các tín hiệu có cùng chuẩn thì
d (e)km =
√
2C [1− Re(ρkm)]
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 44/ 73
2.6.Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu
Cho 4 tín hiệu
Xác định tập các tín hiệu trực chuẩn của tín hiệu
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 45/ 73
2.6.Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp)
Năng lượng của s1(t) là 2, vậy f1(t) = 1/
√
2s1(t)
Tích của f1(t) và s2(t) là
∫∞
−∞ f1(t)s2(t) = 0, do đó
f ′2(t) = f2(t). Năng lượng của f2(t) là 2, vậy
f2(t) = 1/
√
2s2(t)
Có thể thấy ngay s3(t)f2(t) = 0, s3(t)f1(t) =
√
2. Vậy
f ′3(t) = s3(t)−
√
2s1(t) =
{ −1, nếu 2 ≤ t ≤ 3
0, nếu không
Năng lượng của f ′3(t) = 1, vậy f3(t) = f ′3(t)
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 46/ 73
2.6.Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp)
Tích f1(t) và s4(t) là −
√
2, 2 và 4 là 0, 3 và 4 là -1
f ′4(t) = s4(t) +
√
2f1(t)− f3(t) = 0
Vậy s(4) phụ thuộc tuyến tính vào các tín hiệu còn lại, nên
f4(t) = 0
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 47/ 73
2.6.Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp)
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 48/ 73
2.6.Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp)
Các tín hiệu ban đầu có thể khai triển tuyến tính theo các
tín hiệu trực chuẩn vừa nhận được
s1(t) =
√
2f1(t)
s2(t) =
√
2f2(t)
s3(t) =
√
2f1(t) + f3(t)
s4(t) = −
√
2f1(t) + f3(t)
Biểu diễn trong hệ tọa độ 3 chiều, 3 tín hiệu sẽ có các tọa
độ tương ứng là (
√
2,0,0), (0,
√
2,0), (
√
2,0,1), (−√2,0,1)
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 49/ 73
3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số
1 Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin
2 Không gian tín hiệu
3 Biểu diễn các tín hiệu điều chế số
Điều chế không nhớ
Điều chế có nhớ
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 50/ 73
Khái niệm
Điều chế tín hiệu số:
Chuyển đổi các thông tin số thành dạng tín hiệu phù hợp
với kênh truyền tin.
Biểu diễn m bít a1,a2, ...am bằng 2m đơn vị tín hiệu tất định,
có năng lượng hữu hạn. Gọi tốc độ bít là R (bít/s)
Điều chế có nhớ:đơn vị tín hiệu tại một thời điểm phụ thuộc
vào giá trị thông tin tại các thời điểm trước đó. Ví dụ NRZI.
Điều chế không nhớ đơn vị tín hiệu tại một thời điểm không
phụ thuộc vào giá trị thông tin tại các thời điểm trước đó. Ví
dụ: PAM(DSB, SSB), PSK, QAM,OMS (FSK) ...
Điều chế phi tuyến CFM, CPM, ...
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 51/ 73
3.1.Điều chế không nhớ
PAM
PSK
QAM
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 52/ 73
PAM (Pulse Amplitude Modulation)
Mỗi đơn vị tín hiệu có dạng
sm(t) = Re
[
Amg(t)ej2pifc t
]
= Amg(t)cos2pifc t
m = 1,2, . . .M = 2k
Biên độ của các đơn vị tín hiệu nhận các giá trị rời rạc:
Am = (2m − 1−M)d
Khoảng cách giữa các mức sẽ là 2d .Tín hiệu g(t) biểu
diễn dạng của tín hiệu, có ảnh hưởng trực tiếp tới phổ tần
số của tín hiệu điều chế. Tốc độ bít là R bít/s. Tốc độ ký
hiệu là R/k ký hiệu/s. Tốc độ chuyển mức là R/k lần /s.
Khoảng thời gian Tb = 1/R gọi là thời gian của 1 bít,
khoảng thời gian T = k/R gọi là khoảng thời gian của ký
hiệu.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 53/ 73
PAM (Pulse Amplitude Modulation) (Tiếp)
Năng lượng của tín hiệu điều chế
Cm =
∫ T
0
s2m(t)dt = 1/2A2m
∫ T
0
g2(t)dt = 1/2A2mCg
Các tín hiệu nằm trong không gian một chiều, với cơ sở và
tọa độ tương ứng là:
sm(t) = smf (t)
f (t) =
√
2
Cg
g(t)cos2pifc t
sm = Am
√
1
2
Cg
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 54/ 73
PAM (Pulse Amplitude Modulation) (Tiếp)
Khoảng cách giữa hai tín hiệu bất kỳ sm và sn
demn =
√
(sm − sn)2 =
√
1
2
Cg |Am − An| = d
√
2Cg |m − n|
Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tín hiệu
dmin = d
√
2Cg
Trên thực tế, phương pháp điều biên như vậy đòi hỏi giải
thông gấp 2 lần giải thông của tín hiệu thông thấp g(t)
(DSB). Để có thể loại bỏ một nửa giải thông, có thể sử
dụng phương pháp điều chế đơn biên (SSB)dựa trên biến
đổi Hilbert của g(t):
sm(t) = Re
[
Am(g(t)± gˆ(t))ej2pifc t
]
= Amg(t)cos2pifc t
ˆg(t) = g(t) ∗ 1
pit
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 55/ 73
PAM (Pulse Amplitude Modulation) (Tiếp)
Khi truyền không điều chế, tín hiệu được gọi là tín hiệu giải
cơ sở:
s(t) = Amg(t)
Khi M = 2, hai đơn vị tín hiệu giống nhau và đảo cực, gọi
là hai tín hiệu đối nhau: s1(t) = −s2(t)
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 56/ 73
Ví dụ về tín hiệu PAM dải cơ sở và băng hẹp
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 57/ 73
Tín hiệu điều pha (PSK)
Tín hiệu điều pha được biểu diễn bởi công thức:
sm(t) = Re
[
g(t)ej2pi(m−1)/Mej2pifc t
]
,m = 1,2 . . . ,M ,0 ≤ t ≤ T
= g(t)cos
[
2pifc t +
2pi
M (m − 1)
]
= g(t)cos2piM (m − 1)cos2pifc t − g(t)sin
2pi
M (m − 1)sin2pifc t
θm = 2pi(m− 1) là các góc pha có thể được sử dụng để mã
hóa.
Các đơn vị tín hiệu có năng lượng bằng nhau:
C =
∫ T
0
s2m(t)dt =
1
2
∫ T
0
g2(t)dt = 1
2
Cg
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 58/ 73
Tín hiệu điều pha (PSK) (Tiếp)
Các tín hiệu có thể được phân tích thành tổ hợp tuyến tính
của 2 tín hiệu cơ sở:
sm(t) = s1f1(t) + s2f2(t)
f1(t) =
√
2
Cg
g(t)cos2pifc t
f2(t) =
√
2
Cg
g(t)sin2pifc t
Các hệ số có giá trị là
sm1 =
√
Cg
2
cos2piM (m − 1), sm2 =
√
Cg
2
sin2piM (m − 1)
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 59/ 73
Tín hiệu điều pha (PSK) (Tiếp)
Khoảng cách giữa hai đơn vị tín hiệu bất kỳ:
demn =
√
(sm − sn)2 =
√
Cg
[
1− cos2piM (m − n)
]
Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai đơn vị tín hiệu:
demin =
√
Cg
[
1− cos2piM
]
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 60/ 73
Điều chế QAM(Quadrature Amplitude Modulation)
Tín hiệu QAM được biểu diễn bởi công thức:
sm(t) = Re
[
(Amc + jAms)g(t)ej2pifc t
]
m = 1,2 . . . ,M ,0 ≤ t ≤ T
= Amcg(t)cos[2pifc t − Amsg(t)sin[2pifc t =
Vmejθmg(t)ej2pifc t = Vmg(t)cos(2pifc t + θm)
trong đó Amc ,Ams là các biên độ mang thông tin của các
đơn vị tín hiệu, Vm =
√
A2mc + A2ms, θm = arctanAmsAmc
Có thể coi tín hiệu QAM như tổ hợp của hai tín hiệu PAM
(M1 = 2m bít) và PSK (M2 = 2n bít). Khi đó tín hiệu QAM
sẽ truyền m + n bít đồng thời.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 61/ 73
Điều chế QAM(Quadrature Amplitude Modulation)
(Tiếp)
Các tín hiệu có thể được phân tích thành tổ hợp tuyến tính
của 2 tín hiệu cơ sở:
sm(t) = s1f1(t) + s2f2(t)
f1(t) =
√
2
Cg
g(t)cos(2pifc t)
f2(t) =
√
2
Cg
g(t)sin2pifc t
Các hệ số có giá trị là
sm1 = Amc
√
Cg
2
, sm2 = Ams
√
Cg
2
sin2piM (m − 1)
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 62/ 73
Điều chế QAM(Quadrature Amplitude Modulation)
(Tiếp)
Khoảng cách giữa hai đơn vị tín hiệu bất kỳ:
demn =
√
1
2
Cg
[
(Amc − Anc)2 + (Ams − Ans)2
]
Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai đơn vị tín hiệu giống như
trong trường hợp PAM:
demin =
√
2Cg
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 63/ 73
Điều chế QAM(Quadrature Amplitude Modulation)
(Tiếp)
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 64/ 73
Điều chế không nhớ khác
Trên đây là các phương pháp điều chế trong không gian 2
chiều.
Có thể thực hiện điều chế trong không gian nhiều chiều
bằng cách chia nhỏ không gian theo thời gian và tần số.
Trong trường hợp chia thành miền tần số, cần chú ý chia
dải tần cho phép thành các dải tần con thích hợp, tận dụng
tối đa băng thông, đồng thời tránh nhiễu xuyên kênh (cross
talk noise) giữa các dải tần con.
Ví dụ: điều chế đa chiều trực giao: phương pháp điều chế
khóa dịch tần số (Frequency Shift Keying-FSK).
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 65/ 73
Điều chế khóa dịch tần số (Frequency Shift
Keying-FSK)
Sử dụng M tín hiệu có cùng năng lượng, có tần số khác
nhau để mã hóa log2M bít.
sm(t) = R
[
slmej2pifc t
]
,m = 1,2 . . .M ,0 ≤ t ≤ T
=
√
2C
T cos [2pifc t + 2pim∆ft ]
Các tín hiệu thông thấp tương đương là:
slm(t) =
√
2C
T e
j2pim∆ft
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 66/ 73
Điều chế khóa dịch tần số (Frequency Shift
Keying-FSK) (Tiếp)
Hàm tương quan chéo
ρkm =
sinpiT (m − k)∆f
piT (m − k)∆f e
j2piT (m−k)∆f
Từ đó
R(ρkm) =
sin 2piT (m − k)∆f
2piT (m − k)∆f
Có thể thấy để đảm bảo điều kiện trực
giao,R(ρkm) = 0∀m 6= k . Do đó giá trị nhỏ nhất có thể của
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 67/ 73
Điều chế khóa dịch tần số (Frequency Shift
Keying-FSK) (Tiếp)
∆f để R(ρkm) = 0∀m 6= k là 1/2T . Khi ∆f = 1/2T , các
đơn vị tín hiệu có tọa độ là:
s1 =
[√
C,0, . . . ,0
]
s2 =
[
0,
√
C, . . . ,0
]
. . .
sN =
[
0,0, . . . ,
√
C
]
(1)
Khoảng cách giữa các tín hiệu là
dekm =
√
2C
Bằng cách sử dụng thêm các tín hiệu đối xứng, có thể tạo
ra một bộ 2M các đơn vị tín hiệu.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 68/ 73
Điều chế có nhớ
Các đơn vị tín hiệu tại các khoảng thời gian khác nhau phụ
thuộc lẫn nhau.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 69/ 73
Điều chế có nhớ (Tiếp)
Sự phụ thuộc này cho phép điều chỉnh dạng phổ tần số
của tín hiệu truyền đi.
Sự phụ thuộc này được thực hiện trước khi điều chế thực
sự tín hiệu thành băng hẹp bằng mã điều chế.
Ví dụ mã NRZ-I có mã điều chế là
bk = ak ⊕ bk−1
Quá trình mã hóa có thể được biểu diễn bằng sơ đồ trạng
thái hoặc Trellis.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 70/ 73
Ví dụ: NRZ-I
Sơ đồ trạng thái+trellis
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 71/ 73
Ví dụ: NRZ-I (Tiếp)
Sơ đồ trạng thái có thể được biểu diễn bằng hai ma trận
chuyển đổi tương ứng với hai đầu vào
T1 =
[
1 0
0 1
]
T2 =
[
0 1
1 0
]
Trong đó tij = 1 nếu ak làm chuyển từ trạng thái i sang j .
Một cách khác để mô tả quá trình mã hóa trước điều chế là
dùng chuỗi Markov và ma trận chuyển đổi.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 72/ 73
Tổng kết
Các phương pháp biểu diễn tín hiệu
Một số tín hiệu điều chế số cơ bản: không nhớ, có nhớ.
Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 73/ 73