Bài toán tối ưu kết cấu dàn phẳng sử dụng phân tích trực tiếp có xét đến điều kiện ràng buộc về tần số dao động riêng

2462(6) 6.2020
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ
Đặt vấn đề 
Kết cấu dàn là một trong những loại kết cấu được sử 
dụng phổ biến hiện nay nhờ khả năng vượt nhịp lớn, hình 
thức đẹp và phong phú, phát huy tối đa khả năng của vật 
liệu nên khối lượng nhẹ Việc thiết kế dàn thép hiện nay 
thường được áp dụng theo cách tiếp cận gián tiếp với 2 bước 
thiết kế nhằm có thể xét đến các tính chất phi tuyến hình 
học của kết cấu và phi đàn hồi của vật liệu. Ở bước đầu tiên, 
nội lực của các thanh dàn được xác định dựa trên phân tích 
tuyến tính đàn hồi. Từ các nội lực đã được tính toán này, 
trong bước thứ hai các thanh dàn sẽ được thiết kế riêng lẻ 
bằng việc áp dụng các công thức có xét đến các ứng xử phi 
tuyến của kết cấu được cung cấp trong các tiêu chuẩn hiện 
hành như AISC LRFD [1], Eurocode [2]... Phương pháp 
thiết kế truyền thống này có nhiều ưu điểm như thiết kế 
rất nhanh, đơn giản và kết quả có độ chính xác chấp nhận 
được. Tuy nhiên, việc tiếp cận gián tiếp như trên khiến cho 
các ứng xử của toàn bộ kết cấu không được mô tả một cách 
chính xác. Ngoài ra, tính tương thích của các phần tử riêng 
lẻ đối với toàn hệ thống cũng không được đảm bảo. Để khắc 
phục các nhược điểm này, gần đây các phương pháp phân 
tích trực tiếp được nhiều nhà khoa học chú ý nghiên cứu, 
mở ra hướng đi mới trong thiết kế kết cấu dàn thép nói riêng 
và công trình xây dựng nói chung. Ưu điểm của phân tích 
trực tiếp là tính toán được khả năng chịu tải của toàn bộ 
công trình cũng như các ứng xử phi tuyến của công trình 
trong các giai đoạn đàn hồi và ngoài đàn hồi [3-6].
Để phát huy hiệu quả công tác thiết kế, thiết kế tối ưu 
cũng được quan tâm nghiên cứu và áp dụng rộng rãi trong 
kết cấu dàn thép. Ưu điểm của thiết kế tối ưu là nó cho 
phép đưa ra các giải pháp thiết kế có chi phí về xây dựng 
thấp hơn rất nhiều so với các phương pháp thiết kế thông 
thường mà các yêu cầu về thiết kế đối với công trình vẫn 
được đảm bảo. Tùy thuộc vào mục đích của nhà thiết kế mà 
bài toán tối ưu thanh dàn có thể chia ra làm 3 loại cơ bản là 
tối ưu tiết diện (sizing optimization), tối ưu hình học (shape 
optimization) hay tối ưu vật liệu (topology optimization). 
Trong bài toán tối ưu tiết diện, tiết diện của các thanh dàn 
là các biến thiết kế và được lựa chọn sao cho tổng giá thành 
xây dựng hoặc tổng khối lượng của cả hệ được tối thiểu hóa 
mà vẫn đảm bảo các điều kiện về thiết kế. Bài toán tối ưu 
kết cấu dàn sẽ trở nên phức tạp với độ phi tuyến cao khi các 
ứng xử phi tuyến tính, phi đàn hồi của công trình được xét 
đến. Trong trường hợp này, các thuật toán meta hơ-rít-tíc 
thường được sử dụng để giải bài toán tối ưu [7-9]. Một số 
thuật toán meta hơ-rít-tíc hiệu quả cao trong việc giải quyết 
các bài toán tối ưu tiết diện của dàn thép là: tiến hóa vi 
phân (Differential Evolution - DE), tối ưu bầy đàn (Particle 
Swarm Optimization - PSO), giải thuật di truyền (Genetic 
Algorithm - GA), thuật toán bầy ong (Bee)...
Các điều kiện ràng buộc trong bài toán tối ưu tiết diện 
dàn thép thường được giới hạn là các điều kiện chuyển vị 
và cường độ theo các tổ hợp tải trọng được quy định trong 
các tiêu chuẩn. Bên cạnh đó, để cải thiện hiệu suất làm việc 
của cấu trúc và ngăn chặn các hiện tượng cộng hưởng, các 
Bài toán tối ưu kết cấu dàn phẳng sử dụng phân tích trực tiếp
có xét đến điều kiện ràng buộc về tần số dao động riêng
Hà Mạnh Hùng1*, Trương Việt Hùng2
1Khoa Xây dựng dân dụng và công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng
2Khoa Công trình, Trường Đại học Thủy lợi
Ngày nhận bài 17/2/2020; ngày chuyển phản biện 21/2/2020; ngày nhận phản biện 27/3/2020; ngày chấp nhận đăng 10/4/2020
Tóm tắt:
Trong bài báo này, các tác giả trình bày cách thiết lập và giải quyết bài toán tối ưu dàn thép chịu các tổ hợp tải trọng 
khác nhau có xét đến điều kiện ràng buộc về tần số dao động riêng. Phân tích trực tiếp được sử dụng để xét đến các 
ứng xử phi tuyến tính, phi đàn hồi của kết cấu. Hàm mục tiêu của bài toán tối ưu là tổng giá thành của công trình 
được đơn giản hóa như hàm tổng khối lượng. Các điều kiện ràng buộc của bài toán tối ưu gồm các yêu cầu về cường 
độ, sử dụng và tần số dao động riêng. Thuật toán tiến hóa vi phân được sử dụng để giải bài toán tối ưu đề ra. Dàn 
thép phẳng 10 thanh được xem xét để minh họa cho nghiên cứu này.
Từ khóa: dàn thép, phân tích trực tiếp, tiến hóa vi phân, tối ưu.
Chỉ số phân loại: 2.1
*Tác giả liên hệ: Email: hunghm@nuce.edu.vn
2562(6) 6.2020
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ 
ràng buộc động rất cần được xét đến trong các bài toán tối 
ưu [10]. Để thực hiện điều này, các điều kiện ràng buộc 
về tần số dao động riêng của kết cấu được xét đến. Một số 
nghiên cứu nổi bật về bài toán tối ưu dàn thép có điều kiện 
ràng buộc là tần số dao động riêng có thể kể đến như P.H. 
Anh [11], Kaveh và Zolghadr [12], Farshchin và cs [13] 
Tuy số lượng các nghiên cứu về tối ưu dàn thép chịu điều 
kiện ràng buộc là các tổ hợp tải trọng hoặc là tần số dao 
động riêng của kết cấu khá nhiều, nhưng theo hiểu biết của 
tác giả chưa có một nghiên cứu nào xét đến các điều kiện 
ràng buộc nêu trên một cách đồng thời. Điều này khiến cho 
các nghiên cứu tối ưu về kết cấu dàn có khoảng trống cần 
được bổ khuyết. 
Trong nghiên cứu này, các tác giả trình bày bài toán tối 
ưu dàn thép có điều kiện ràng buộc, gồm cả điều kiện ràng 
buộc về chuyển vị và cường độ dưới các tổ hợp tải trọng 
khác nhau và điều kiện ràng buộc về tần số dao động riêng 
của kết cấu. Hàm mục tiêu của bài toán tối ưu được đơn giản 
hóa như hàm tổng khối lượng. Các điều kiện ràng buộc về 
cường độ và sử dụng được xác định dựa vào phân tích trực 
tiếp cho phép xét đến các tính chất phi tuyến hình học của 
kết cấu và phi tuyến vật liệu. Thuật toán tiến hóa vi phân 
được sử dụng để giải bài toán tối ưu đề ra. Dàn thép phẳng 
10 thanh được xem xét để minh họa cho nghiên cứu này. 
Thiết lập bài toán tối ưu dàn thép
Tổng khối lượng của kết cấu được chọn là hàm mục tiêu 
của bài toán và được tối thiểu hóa theo phương trình (1).
( )
1 1
idd
i ij
i j
Min W y Lρ
= =
 
=  
 
∑ ∑Y
 (1)
trong đó ρ là khối lượng riêng của vật liệu; ( )1 2, ,..., dy y y=Y 
là vec tơ biến thiết kế, cũng chính là diện tích tiết diện của 
các thanh dàn; d là số lượng biến thiết kế; id là số thanh dàn 
trong nhóm phần tử thanh thứ i; ijL là chiều dài của thanh 
dàn thứ j trong nhóm phần tử thứ i. Trong bài toán thiết kế 
có biến là biến liên tục thì biến thiết kế ( )1,..,iy i d= được 
chọn trong khoảng giá trị cho trước ,lowb upbi iy y  . Trong bài 
toán thiết kế có biến là biến rời rạc thì iy được chọn từ một 
tập hợp các giá trị rời rạc cho trước.
Đối với tổ hợp trạng thái giới hạn cường độ, bằng việc sử 
dụng phân tích trực tiếp cho phép tính toán khả năng chịu tải 
của cả công trình, điều kiện ràng buộc được thể hiện bằng 
công thức (2).
1 0str kk
k
RC
S
= − ≤ 
(2)
trong đó 
kR là khả năng chịu tải của kết cấu đối với tổ hợp 
tải trọng thứ k và 
kS là hiệu ứng do tổ hợp tải trọng cường 
độ thứ k gây ra.
Optimisation of planar trusses 
using direct design considering 
frequency constraints
Manh Hung Ha1*, Viet Hung Truong2
1Faculty of Building and Industrial Construction, 
National University of Civil Engineering
2Faculty of Civil Engineering, Thuyloi University
Received 17 Febuary 2020; accepted 10 April 2020
Abstract:
In this paper, the authors presented the method to 
establish and solve the optimisation of steel trusses 
subjected to several load combinations and frequency 
constraints. A direct design was employed to account for 
the non-geometric non-linear behaviour of the structure. 
The objective function of the optimisation problem 
was the total cost of the structure which was simplified 
as a function of total weight. The constraints of the 
optimisation included the strength and serviceability 
conditions, and structural frequency requirements. The 
differential evolution algorithm was applied to solve the 
proposed optimisation problem. A 10-bar planar truss 
was studied to illustrate this work. 
Keywords: differential evolution, direct design, 
optimisation, steel truss.
Classification number: 2.1
2662(6) 6.2020
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ
Đối với tổ hợp trạng thái giới hạn sử dụng, điều kiện về 
chuyển vị sẽ được xem xét thông qua công thức (3).
,
,
,
1 0
j ldisp
j l u
j l
C
∆
= − ≤
∆
, 1,...,j nn= (3)
trong đó nn là số nút dàn được xét điều kiện chuyển vị, ,j l∆ 
và 
,
u
j l∆ là chuyển vị và giới hạn chuyển vị của nút thứ j 
tương ứng với tổ hợp trạng thái giới hạn sử dụng thứ l.
Điều kiện ràng buộc về tần số dao động riêng của kết cấu 
được thể hiện như (4). 
,
,
1 0j mfrem u
j m
f
C
f
= − ≤ , 1,...,j nm= (4)
trong đó nm là số tần số dao động riêng được xét đến, ,j mf 
và ,
u
j mf là tần số dao động riêng thứ j của kết cấu và giá trị 
cho phép của nó.
Đối với bài toán tối ưu có điều kiện ràng buộc ở trên, để 
áp dụng các thuật toán meta hơ-rít-tíc chúng ta cần sử dụng 
các kỹ thuật để xử lý các điều kiện ràng buộc. Trong nghiên 
cứu này, phương pháp hàm phạt được sử dụng do kỹ thuật 
này khá đơn giản và hiệu quả tốt cho hầu hết các loại ràng 
buộc khác nhau. Khi đó, hàm mục tiêu của bài toán được 
viết lại như sau: 
( ) ( )1 2 3
1 1
1
idd
uncstr str disp fre i ij
i j
W y Lα β α β α β ρ
= =
 
= + + + ×  
 
∑ ∑Y
(5)
trong đó:
 ( )( )
( )
( )
1
2 ,
1
3 ,
1
max ,0
max ,0
max ,0
str
k
nn
disp
j l
j
nm
fre
j m
j
C
C
C
β
β
β
=
=
=
 
=  
 
 
=  
 
∑
∑ ∑
∑ ∑
(6)
với strα , dispα và freα là các tham số phạt tương ứng với các 
điều kiện ràng buộc về cường độ, chuyển vị và tần số dao 
động riêng. Công thức (5) cho thấy rằng, nếu một thiết kế 
mà vi phạm điều kiện ràng buộc thì hàm mục tiêu tương ứng 
sẽ được cộng thêm một giá trị gọi là giá trị phạt tương ứng 
cho vi phạm đó. Do quá trình tối ưu là tối thiểu hóa hàm 
mục tiêu, các thiết kế vi phạm điều kiện ràng buộc sẽ dần 
dần bị loại bỏ.
Giá trị của các tham số phạt này không phụ thuộc vào bài 
toán tối ưu, tuy nhiên thường được lấy giá trị đủ lớn nhằm 
loại bỏ các thiết kế bị vi phạm và chỉ còn lại các thiết kế thỏa 
mãn tất cả các điều kiện ràng buộc. Trong nghiên cứu này, 
các tham số phạt được lấy bằng 10.000.
Thuật toán tối ưu tiến hóa vi phân
Thuật toán tiến hóa vi phân (DE) được Storn và Price 
phát minh [14] và được ứng dụng thành công trong khá 
nhiều dạng bài toán tối ưu khác nhau, trong đó có các bài 
toán tối ưu về dàn [3, 11, 15]. Nội dung chính của thuật toán 
DE có thể tóm tắt như sau.
Giả thiết rằng chúng ta cần tối thiểu hóa hàm mục tiêu 
(7):
{ } ,min ,max( ) : , , [ , ], 1, ,n i i i if R R x x x x i d→ = ∈ =x x  (7)
trong đó d là số lượng biến, x
i,min
 và x
i,max
 lần lượt là giá trị 
biên dưới và biên trên của biến x
i
. Để giải bài toán tối ưu này 
bằng thuật toán DE, đầu tiên một quần thể ban đầu gồm NP 
cá thể được tạo ra, x
k
(0), k = 1,..., NP, theo công thức (8):
, ,min ,max ,min(0) [0,1] ( ), 1, ,k i i i ix x rand x x i d= + × − = 
 (8)
trong đó, rand[0,1] là số thực chọn ngẫu nhiên trong khoảng 
từ 0 đến 1. Ở thế hệ thứ (t+1), tương ứng với cá thể thứ k 
trong quần thể, x
k
(t), một cá thể mới được tạo ra bằng phép 
đột biến như sau:
1 2 3
( ) ( ) (t)u x x xr r rt F t = + × −  (9)
trong đó, r1,r2,r3 là ba số tự nhiên được chọn ngẫu nhiên thỏa 
mãn điều kiện 1≤ r1 ≠ r2 ≠ r3 ≠ k ≤ NP; F là hệ số khuếch đại 
thường được chọn trong khoảng (0,1). Trong nghiên cứu 
này chọn F = 0,7. Trong công thức (9), nếu xảy ra trường 
hợp một biến số u
j
 của véc tơ u vượt ra ngoài khoảng giá trị 
của nó ,min ,max[ , ]i ix x thì uj nhận giá trị biên nó vi phạm. Từ 
cá thể u, một cá thể mới, v, được tạo ra bằng cách lai ghép 
với x
k
(t) theo nguyên tắc sau: 
,
khi ( [0,1] )
( ) khi ( [0,1] )
i
i
k i
u rand Cr
v
x t rand Cr
≤
=  > ,
khi ( [0,1] )
( ) khi ( [0,1] )
i
i
k i
u rand Cr
v
x t rand Cr
≤
=  > ,
i ,
i ,
i
i
k i t
 (10)
trong đó Cr là tham số lai ghép có giá trị trong khoảng (0,1). 
Thực hiện so sánh hàm mục tiêu của v và x
k
(t), cá thể nào 
có giá trị hàm mục tiêu nhỏ hơn sẽ là cá thể thứ k trong quần 
thể ở thế hệ thứ (t+1).
Lưu ý rằng, trong phương trình (9), cá thể 
1
( )xr t đang 
được chọn là ngẫu nhiên trong quần thể. Tương ứng với 
trường hợp này ta gọi là kỹ thuật ‘DE/rand/1’. Tuy nhiên, 
nếu 
1
( )xr t được chọn là cá thể tốt nhất trong quần thể thì ta 
có kỹ thuật ‘DE/best/1’. Đây là 2 kỹ thuật đột biến được 
sử dụng rộng rãi hiện nay. Điểm khác biệt giữa 2 kỹ thuật 
này là ở khả năng tìm kiếm tổng quát và tốc độ hội tụ của 
quá trình tối ưu. Cụ thể, kỹ thuật ‘DE/rand/1’ duy trì tốt sự 
đa dạng của quần thể và khả năng tìm kiếm toàn miền tốt 
hơn kỹ thuật ‘DE/best/1’. Tuy nhiên, khả năng tìm kiếm địa 
2762(6) 6.2020
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ 
phương và tốc độ hội tụ của kỹ thuật ‘DE/rand/1’ lại kém 
hơn ‘DE/best/1’.
Ví dụ minh họa
Dàn phẳng 10 thanh
Để minh họa cho bài toán tối ưu có xét đến điều kiện 
ràng buộc là tần số dao động riêng, trong phần này chúng ta 
sẽ xem xét một dàn phẳng 10 thanh như trong hình 1. Nhịp 
dàn là 9.144 (mm). Tải trọng tác dụng gồm tĩnh tải DL
, hoạt tải LL và tải trọng gió W được quy về thành các tải 
tập trung tại các nút dàn. Giá trị của DL , LL và W lần lượt 
là 400 (kN), 300 (kN) và 300 (kN). Vật liệu có cường độ 
chảy là 344,7yF MPa= và mô đun đàn hồi là 200E GPa= . 
Tải trọng khối tập trung, mass, dùng để tính tần số dao động 
riêng của kết cấu được giả thiết đặt tại nút dàn và có khối 
lượng là 454 (kg). Khối lượng riêng của vật liệu là 7.850 
(kg/m3).
Bài toán tối ưu có 10 biến thiết kế là tiết diện các 
thanh dàn được chọn trong khoảng giá trị [64,5; 22.580,6] 
(mm2). Điều kiện ràng buộc gồm: 2 điều kiện về cường 
độ tương ứng với tổ hợp tải trọng ( )1,6 1,2LLDL + và 
( )1,2 1,6 0,5LD W LL + + ; 1 điều kiện về chuyển vị tương 
ứng với tổ hợp ( )1,0 0,7 0,5LD W LL + + với giới hạn chuyển 
vị của các nút dàn theo phương ngang không vượt quá h/400 
= 22,86 (mm) với h là chiều cao của tầng; 3 điều kiện về 
tần số dao động riêng: 1 7f ≥ , 2 15f ≥ và ( )3 20f Hz≥ với 
1f , 2f và 3f là 3 tần số dao động riêng đầu tiên của kết cấu. 
Các tổ hợp tải trọng được xét đến trong bài toán dựa theo 
tiêu chuẩn AISC-LRFD của Mỹ [1]. Phần mềm phân tích 
phi tuyến PAAP sẽ được sử dụng để tính toán ứng xử phi 
tuyến của kết cấu nhằm đánh giá điều kiện ràng buộc. Chi 
tiết về phần mềm PAAP độc giả có thể tìm đọc trong các 
tài liệu [3, 4, 8, 9]. Các thông số áp dụng của thuật toán DE 
được lựa chọn như sau: số biến thiết kế (d) là 10, quy mô 
quần thể (NP) là 25, số thế hệ tối đa (MaxIteration) là 4.000, 
biên độ đột biến (F) bằng 0,7, xác suất lai ghép (Cr) bằng 
0,6. Lưu ý rằng, việc lựa chọn các tham số NP, F và Cr có 
ảnh hưởng đến kết quả của chương trình tối ưu. Ví dụ, nếu 
NP chọn lớn sẽ giúp quá trình tối ưu tránh bị tối ưu cục bộ 
tốt hơn nhưng lại hội tụ chậm hơn và tốn nhiều thời gian 
tính toán. Do vậy, tùy thuộc vào từng bài toán tối ưu khác 
nhau mà các giá trị này cần lựa chọn một cách thích hợp. 
Trong trường hợp nghiên cứu này, các giá trị của các tham 
số được lựa chọn dựa trên sự tham khảo tài liệu [3]. Điều 
kiện dừng lại của chương trình tối ưu là khi số thế hệ tối đa 
đạt đến giá trị cho trước, hoặc khi giá trị của hàm mục tiêu 
không thay đổi trong 1.000 thế hệ liên tục.
Hình 1. Dàn phẳng 10 thanh.
Kết quả tính toán và trao đổi 
Ba trường hợp bài toán tối ưu được xem xét là: (1) Tất 
cả các điều kiện ràng buộc được xét, (2) Các điều kiện ràng 
buộc về tần số không được xét đến và (3) Chỉ xét các điều 
kiện ràng buộc về tần số. Để xét đến yếu tố ngẫu nhiên của 
các giải thuật meta hơ-rít-tíc, chương trình tối ưu được chạy 
10 lần độc lập. Chỉ kết quả tối ưu tốt nhất được trình bày 
trong bảng 1. Dựa vào bảng 1 ta có thể thấy rằng, khi xét tất 
cả các điều kiện ràng buộc, giá trị tối ưu tìm được của dàn 
là 675,54 (kg), lớn hơn khá nhiều so với hai trường hợp còn 
lại. Điều này cho thấy rằng, bài toán tối ưu không chịu sự 
ảnh hưởng lớn của tất cả các điều kiện ràng buộc về cường 
độ, chuyển vị và tần số dao động riêng. Hay nói một cách 
khác, các điều kiện ràng buộc này đều đóng vai trò quan 
trọng trong bài toán tối ưu đang xét. Do đó, việc xét đến tất 
cả các điều kiện về cường độ, chuyển vị và tần số dao động 
riêng là cần thiết trong bài toán tối ưu kết cấu dàn.
Bảng 1. Kết quả tối ưu tốt nhất.
Phần tử Tất cả điều kiện ràng 
buộc được xét 
Không xét các điều kiện 
ràng buộc vể tần số 
Chỉ xét các điều kiện 
ràng buộc về tần số 
1 597,55 64,50 1.143,60
2 365,33 64,50 520,33
3 2.763,90 370,95 1.131,10
4 733,74 126,45 483,73
5 499,06 276,05 64,50
6 64,50 64,50 150,34
7 1.339,60 226,25 727,75
8 817,69 64,50 794,48
9 490,71 70,39 437,94
10 454,19 64,50 419,85
Khối lượng 
tối ưu của dàn 
(kg)
675,54 112,62 492,38
2862(6) 6.2020
Khoa học Kỹ thuật và Công nghệ
Hình 2 trình bày đường cong hội tụ của 3 bài toán tối 
ưu. Bài toán xét điều kiện ràng buộc về tần số có tốc độ tối 
ưu nhanh hơn 2 bài toán kia và dừng lại khi số vòng lặp của 
quá trình tối ưu khoảng hơn 1.000 lần. Bài toán xét tất cả 
các điều kiện ràng buộc hội tụ chậm nhất và dừng lại khi số 
vòng lặp trên 3.500. Điều này có nghĩa là, việc xét đến điều 
kiện ràng buộc bao gồm cả tần số dao động riêng, cường độ 
và chuyển vị khiến cho bài toán tối ưu trở nên phức tạp hơn 
rất nhiều so với việc chỉ xét tần số dao động riêng. Nói một 
cách khác, bài toán tối ưu được xem xét trong bài báo này 
có tính phức tạp cao hơn rất nhiều so với bài toán tối ưu chỉ 
xét tần số dao động riêng.
Hình 2. Đường cong hội tụ của bài toán tối ưu hệ dàn 10 thanh.
Kết luận
Nghiên cứu đã trình bày một dạng bài toán tối ưu mới 
cho dàn thép trong đó có xét đến các điều kiện ràng buộc về 
chuyển vị và cường độ dưới các tổ hợp tải trọng khác nhau 
và điều kiện ràng buộc về tần số dao động riêng của kết cấu. 
Hàm mục tiêu của bài toán tối ưu là hàm tổng khối lượng. 
Các điều kiện ràng buộc về cường độ và sử dụng được xác 
định dựa vào phân tích trực tiếp cho phép xét đến các tính 
chất phi tuyến hình học của kết cấu và phi tuyến vật liệu. 
Thuật toán tiến hóa vi phân được sử dụng để giải bài toán 
tối ưu đề ra. Kết quả phân tích dàn thép phẳng 10 thanh cho 
thấy các điều kiện ràng buộc về cường độ, chuyển vị và tần 
số dao động riêng đều ảnh hưởng lớn đến kết quả tối ưu cho 
nên cần phải được xem xét. Bên cạnh đó, bài toán tối ưu có 
xét tất cả điều kiện ràng buộc về chuyển vị, cường độ và tần 
số dao động riêng có tính phức tạp cao hơn rất nhiều so với 
bài toán chỉ xét tần số dao động riêng. Điều này mở ra một 
lớp bài toán mới về tối ưu kết cấu dàn có tính phức tạp cao 
hơn và cũng thực tế hơn so với các bài toán tối ưu đã xét 
đến trước đó. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] AISC-LRFD (1999), “Manual of steel construction - load and 
resistance factor design”, Chicago (IL): American Institute of Steel 
Construction.
[2] EN 1993-1-1 Eurocode 3 (2005), “Design of steel structures 
- part 1-1: general rules and rules for building”, Brussels: European 
Committee for Standardization.
[3] T.V. Hung, S.E. Kim (2018), “Reliability-based design 
optimization of nonlinear inelastic trusses using improved differential 
evolution algorithm”, Advances in Engineering Software, 121, pp.59-
74.
[4] T.H. Tai, S.E. Kim (2011), “Nonlinear inelastic time-history 
analysis of truss structures”, Journal of Constructional Steel Research, 
67(12), pp.1966-1972.
[5] H. Shi, H. Salim, F. Wei (2015), “Geometric and material 
nonlinear static and dynamic analysis of space truss structures”, 
Mechanics Based Design of Structures and Machines: An International 
Journal, 43(1), pp.38-56.
[6] H. Saffari, N.M. Mirzai, I. Mansouri, M.H. Bagheripour 
(2013), “Efficient numerical method in second-order inelastic analysis 
of space trusses”, Journal of Computing in Civil Engineering, 27(2), 
pp.129-138.
[7] T.V. Hung, S.E. Kim (2017), “An efficient method for 
reliability-based design optimization of nonlinear inelastic steel space 
frames”, Struct. Multidisc. Optim., 56, pp.331-351.
[8] H.M. Hung, V.Q. Anh, T.V. Hung (2018), “Optimum design 
of stay cables of steel cable-stayed bridges using nonlinear inelastic 
analysis and genetic algorithm”, Structures, 16, pp.288-302.
[9] H.M. Hung, V.Q. Viet, T.V. Hung (2020), “Optimization of 
nonlinear inelastic steel frames considering panel zones”, Advances 
in Engineering Software, 142, pp.102771.
[10] R. Grandhi (1993), “Structural optimization with frequency 
constraints-a review”, AIAA J., 31(12), pp.2296-2303.
[11] P.H. Anh (2016), “Truss optimization with frequency 
constraints using enhanced differential evolution based on adaptive 
directional mutation and nearest neighbor comparison”, Advances in 
Engineering Software, 102, pp.142-154.
[12] A. Kaveh, A. Zolghadr (2014), “Democratic PSO for truss 
layout and size optimization with frequency constraints”, Computers 
& Structures, 130, pp.10-21.
[13] M. Farshchin, C.V. Camp, M. Maniat (2016), “Multi-class 
teaching–learning-based optimization for truss design with frequency 
constraints”, Engineering Structures, 106, pp.355-369.
[14] R. Storn, K. Price (1997), “Differential evolution - a simple 
and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces”, 
Journal of Global Optimization, 11(4), pp.341-359.
[15] X.Q. Lieu, D.T.T. Dieu, J.H. Lee (2018), “An adaptive hybrid 
evolutionary firefly algorithm for shape and size optimization of truss 
structures with frequency constraints”, Computers & Structures, 195, 
pp.99-112.