Xử lý tín hiệu nâng cao - Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trên miền Z

Xử lý tín hiệu nâng cao
-Advanced signal processing-
Chương 3
Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc 
trên miền Z
Phép biến đổi Z

Phép biển đổi Z hai phía
∑
+∞
−∞=
−
==
n
nznxnxZTzX )()]([)(
 Z là một biến phức
 miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z: tập hợp các giá 
trị của Z để cho X(z) hội tụ.
Miền hội tụ

Ví dụ: xét tính hội tụ của dãy anu(n) với a ≠ 0.
az
z
z
a
zazX
n
nn
−
=





== ∑∑
∞∞
−)(
 Hội tụ khi |a/z| |a|
00
Miền hội tụ
r=a
Mặt phẳng Z
Re[z]
Điểm cực, điểm không

Điểm cực (pole): là điểm mà tại đó X(z)=∞

Điểm không (zero): là điểm mà tại đó X(z)=0
Như vậy nếu ta biểu diễn X(z) dưới dạng phân số thì:
 các điểm cực là nghiệm của đa thức mẫu số
 các điểm không là nghiệm của đa thức tử số.
Điểm cực, điểm không

Biến đổi Z dạng hữu tỉ
 Rất hữu ích để phân tích hệ LTI RRTG
 Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất nào 
đó  chỉ cần quan tâm trên vị trí của các điểm 
zero-pole 
Điểm cực, điểm không

 Các cách biểu diễn biến đổi Z dạng hữu tỉ:
 Dạng mũ âm:
 Dạng mũ dương:
M
k
1 M k
0 1 M k 0
N1 N
k0 1 N
k
k 0
b zb b z ... b zN(z)X(z)
D(z) a a z ... a z
a z
−
− −
=
− −
−
=
+ + +
= = =
+ + +
∑
∑
M M 11 Mb bz z ...−+ + +
 Dạng zero & pole:
N M0 0 0
N N 1 N10
0 0
b b bN(z)X(z) z
aaD(z) a
z z ...
a a
−
−
= =
+ + +
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
M
k
1 2 MN M N M k 1
N
1 2 N
k
k 1
z z
z z z z ... z z
X(z) Gz Gz
z p z p ... z p
z p
− − =
=
−
− − −
= =
− − −
−
∏
∏
0
0
bG
a
= Độ gợi (gain)
Điểm cực, điểm không

Trong matlab ta sử dụng hàm:
 tf2zp để tìm các điểm cực, điểm không, 
 zplane để biễn diễn kết quả trên mặt phẳng z
Hàm tf2zp

[Z,P,K] = TF2ZP(NUM,DEN) tìm các điểm 
cực, điểm không và độ gợn:
(z z1)(z z2)...(z zn)H(s) K (z p1)(z p2)...(z pn)
− − −
=
− − −
 num và den: là các hệ số của H(z) 
 z: là vector chứa các điểm không
 p: là vector chứa các điểm cực 
 k: là độ gợn
Điểm cực, điểm không

Trong matlab ta sử dụng hàm:
 tf2zp để tìm các điểm cực, điểm không, 
 zplane để biễn diễn kết quả trên mặt phẳng z

Ví dụ
a= [1,2,3];
1.5
b=[4,5,6];
[z,p,k]=tf2zp(b,a)
zplane(b,a)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
I
m
a
g
i
n
a
r
y
P
a
r
t
Hàm zp2tf

[NUM,DEN] = ZP2TF(Z,P,K) hình thành hàm 
truyền đạt
 num và den: là các hệ số của H(z) 
 z: là vector chứa các điểm không
 p: là vector chứa các điểm cực 
 k: là độ gợn
( )
( )
NUM s
H(s)
DEN s
=
Điểm cực, điểm không

Ví dụ: Tìm dạng hữu tỉ và vẽ giản đồ zero-pole cho 
X(z):
 Zeros: Zk=0.8ej2pik/M , k=1..M 
 Poles: M pole tại 0 
1
M=8;
a=0.8;
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
8
Real Part
I
m
a
g
i
n
a
r
y
P
a
r
t
p=zeros(M,1);
z=zeros(M,1);
for k=1:M,
z(k,1)=a*exp((j*2*pi*k)/M);
end;
[num,den]=zp2tf(z,p,1);
disp(num);
disp(den);
zplane(z,p);
Một số hàm liên quan

 abs, angle: trả về các hàm thể hiện Mođun và Agumen của
một số phức

 real, imag: trả về các hàm thể hiện phần thực và phần ảo của
một số phức

 residuez: trả về các điểm cực và các hệ số tương ứng với
các điểm cực đó trong phân tích một hàm phân thức hữu tỷ ở
miền Z thành các thành phần là các hàm phân thức đơn giản,
ngược lại nếu đầu vào là danh sách các điểm cực và các hệ
số, hàm residuez sẽ trả về hàm phân thức hữu tỷ ở miền Z

 poly: xây dựng một đa thức từ danh sách các nghiệm của nó

 ztrans: trả về biến đổi Z của một hàm số được định nghĩa
theo công thức của một biểu tượng (symbol)
Một số hàm liên quan

 iztrans: hàm ngược lại của hàm ztrans

 zplane: thể hiện phân bố điểm cực và điểm không của một 
hàm phân thức hữu tỷ lên mặt phẳng Z

 freqz: trả về đáp ứng tần số của một hệ thống tại một số hữu 
hạn các điểm rời rạc trên vòng tròn đơn vị khi biết hàm truyền 
đạt của nó

 clock: trả về thời gian thực hiện tại

 etime: trả về thời gian tính bằng giây giữa 2 thời điểm
Ví dụ

Tìm biến đổi z của dãy bằng các cách:
 Tính dựa trên định nghĩa
 Kiểm tra lại bằng hàm ztrans trong Matlab.

Giải:
 Theo định nghĩa ta có:
( ) 2 ( )nx n u n=
( ) ( ).
2
n zX z x n z
z
∞
−
= =
−
∑
 X(z) trong Matlab bằng hàm ztrans
• Trước hết, định nghĩa biến n bằng câu lệnh syms:
% Tim bien doi z
syms n positive
x=2.^n;
ztrans(x)
n=−∞
Một số tính chất của biến đổi Z

Tính tuyến tính:
);()()]()([ 22112211 zXazXanxanxaZ +=+
21
: xx ROCROCROC ∩
Một số tính chất của biến đổi Z

Dịch mẫu – tính chất trễ:
0
0[ ( )] ( );nZ x n n z X z−− =
Tính chất của biến đổi Z

Dịch mẫu – tính chất trễ:
 Nếu:
Thì:
( ) ( ) ( )ZT x xx n X z , ROC X z : R z R− +←→ < <  
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
kZTy n x n k Y z z X z
ROC X z \ 0, k 0
−
= − ←→ =
 >   
( )ROC Y z : ROC X z \ , k 0    ∞ <   
Tính chất của biến đổi Z

Dịch tần số - Co giãn trong miền Z:
( ) ( ) ( ) x xZT ROC X z :x n X z , R z R− +< < ← →  
( ) ( ) ( )1 xn xZT ROC X z : a R z a Ra x n X a z ,− − +⇒ < <  ← →
Tính chất của biến đổi Z

Biến số đảo - Đảo thời gian:
 Ý nghĩa:
( ) ( ) ( )ZT x xx n X z , ROC X z : R z R− +←→ < <  
( ) ( ) ( )1 1ZT
x x
1 1
x n X z , ROC X z : z
R R
− −
+ −
 
− ←→ < < ⇒
• ROC[X(z)] là nghịch đảo của ROC[X(z-1)]
• Nếu z0 ∈ ROC[X(z)] thì 1/z0 ∈ ROC[X(z-1)]
Tính chất của biến đổi Z
 Phần thực:
( ) ( )
( ) ( )
ZT
* * *ZT
x n X z
x n X z
←→
←→

 Dãy liên hợp phức:
( ) ( ) ( )* *ZT 1Re x n X z X z2  ←→ +    
: xROC ROC
 Phần ảo:
( ) ( ) ( )* *ZT 1Im x n X z X z2j  ←→ −    
Một số tính chất của biến đổi Z

Tích của hai dãy:
)/()(
2
1)]()([ 12121 C dvvvzXvXjnxnxZ = ∫
−
pi
21
: xx ROCROCROC ∩
Một số tính chất của biến đổi Z

Tích chập:
21
:
)()()](*)([ 2121
xx ROCROCROC
zXzXnxnxZ
∩
=
Ví dụ

Ví dụ:
 X1(z)=2+3z-1+4z-2
 X2(z)=3+4z-1+5z-2+6z-3
 Cần tính X3=X1X2
=> X3=6+17z-1+34z-2+43z-3+38z-4+24z-5

Ngoài ra chúng ta cũng có thể sử dụng phép 
nhân chập.
 x1(n)={2,3,4} và x2(n)={3,4,5,6}
Ví dụ

Ta sử dụng matlab để tính nhân chập:
x1=[2,3,4];
x2=[3,4,5,6];
x3=conv(x1,x2)
x3 =
6 17 34 43 38 24

Như vậy X3=6+17z-1+34z-2+43z-3+38z-4+24z-5
Biến đổi Z của một số dãy cơ bản
1||)(
1)(
11
1 znu
zn
ROCTransformSequence
z
>
∀
−
−
δ
||||)1(
||||)(
1||)1(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
bznub
aznua
znu
bz
n
az
n
z
<−−−
>
<−−−
−
−
−
−
−
−
Biến đổi Z của một số dãy cơ bản
||||)cos(1)(]cos[
||||)cos2(1
)sin()(]sin[
1
0
0
221
0
1
0
0
az
zwa
nunwa
az
zazwa
zwa
nunwa
ROCTransformSequence
n
n
>
−
>
+−
−
−−
−
||||)1()1(
||||)1()(
)cos2(1
21
1
21
1
221
0
bz
bz
bz
nunb
az
az
az
nuna
zazwa
n
n
<
−
−−−
>
−
+−
−
−
−
−
−−
Biến đổi Z ngược

Định nghĩa:
∫
−−
==
C
n dzzzXjzXZnx
11 )(
2
1)]([)(
pi
Các phương pháp

Tính trực tiếp tích phân sử dụng phương pháp 
thặng dư

Phương pháp triển khai thành lỹ thừa theo Z 
hoặc Z-1

Phương pháp triển khai thành tổng các phân 
thức tối giản 
Biến đổi Z ngược

Phương pháp thặng dư:
∑∫ =
−−
==
k
ZZ
n
c
n
pk
ZZXsdZZZXjnx ]|)([Re)(2
1)( 11
pi
 Zpk là các cực
 Res: thặng dư
Biến đổi Z ngược

X(z) cũng có thể biểu diễn:
11 2
1 1 1
1 2
( )( ) ... (1) (2) ...( ) 1 1 1
n
n
rr rB zX z k k z
A z p z p z p z
−
− − −
= = + + + + +
− − −

Trong Matlab sử dụng hàm:
 [r,p,k]=residuez(b,a) và 
 [b,a]=residuez(r,p,k)
residuez 

hàm [r p k] = residuez (b, a) để xác định các 
hệ số trong việc phân rã H(z). 
 b và a là các hệ số của H(z) 
 p: là vector chứa các điểm cực 
 k: là chứa hằng
residuez 

 Ví dụ:
b = [0 0 1 ] 
a = [ 1 -6 11 -6 ] 
[ r p k ] = residuez (b, a) 
 Ta thu được: 
• r = 0.5000, –1.0000, 0.5000 
• p = 3.0000, 2.0000, 1.0000 
• k = [ ] 
 Khi đó:
Ví dụ

Xét:
 Có thể biểu diễn:
143
)( 2 +−= zz
z
zX
21
1
21
1
43
0
43
)(
−−
−
−−
−
+−
+
=
+−
=
zz
z
zz
z
zX
 Sử dụng Matlab
b=[0,1];
a=[3,-4,1];
[r,p,k]=residuez(b,a)
r =
0.5000
-0.5000
p =
1.0000
0.3333
k =
[]
1
1
1 1
2 2( ) 11 1
3
X z
z z
−
−
⇒ = −
−
−
Ví dụ (tiếp)

Từ biểu thức:
1
1
3
11
2
1
1
2
1
)(
−
−
−
−
−
=
zz
zX

Ta có:
)(
3
1
2
1)(
2
1)( nununx
n






−=
Ví dụ

Quay lại cách biểu diễn trước bằng hàm residuez
[b,a]=residuez(r,p,k)
Sử dụng Matlab
r=[0.5; -0.5]
p=[1;1/3]
k=[]
[b,a]=residuez(r,p,k)
Thu được:
1
2
1 2
10
3( ) 4 1 3 4 11
3 3
z
zX z
z zz z
−
− −
+
⇒ = =
− +
− +
b =
0 0.3333
a =
1.0000 -1.3333 0.3333
Bài tập 1

Cho 
Tìm biến đổi z ngược bằng hai cách:
 Khai triển thành phân thức tối giản
2
2( )
2 7 3
zX z
z z
+
=
− +
 Kiểm tra lại bằng hàm iztrans trong Matlab
% Tim bien doi z nguoc
syms z
f = (z+2)/(2*z^2-7*z+3);
iztrans(f)
Bài tập 2

Sử dụng lệnh residuez của Matlab, tính các điểm 
cực, thặng dư tại các điểm cực của 
ở bài BT1. Từ đó hãy viết dạng tổng các hàm phân 
thức đơn giản của X(z) và so sánh với kết quả ở bài 
2
2( )
2 7 3
zX z
z z
+
=
− +
BT1.
% Tinh thang du va diem cuc
b=[0 1 2];
a=[2 -7 3];
[r,p,k]=residuez(b,a)
% [b,a]=residuez(r,p,k;)
Bài tập

Cho hàm 
 Viết chương trình Matlab sử dụng lệnh residuez 
1 1 2
2( ) (1 2 )(1 )X z z z− −= − −
để tìm biến đổi z ngược của X(z).
• (gợi ý: sử dụng hàm poly để xây dựng đa thức từ danh 
sách các nghiệm).
Hàm truyền đạt

Là tỷ số biến đổi Z của tín hiệu vào và tín hiệu 
ra:
)(
)()(
zX
zY
zH =

H(z) là biến đổi Z của đáp ứng xung h(n)
)]([)( nhZzH =
Hàm truyền đạt (tiếp)

Phương trình sai phân

Biểu diễn H(z)
∑∑
==
−=−
M
r
r
N
k
k rnxbknya
00
)()(
∑
∑
=
−
=
−
== N
k
k
k
M
r
r
r
za
zb
zX
zY
zH
0
0
)(
)()(
Hàm truyền đạt (tiếp)

Hệ không đệ quy
0
0
)(
)()(
a
zb
zX
zY
zH
M
r
r
r∑
=
−
==

Trong trường hợp ao=1
∑
=
−
=
M
r
r
r zbzH
0
)(
Hàm truyền đạt (tiếp)

Biểu diễn bằng các điểm cực và điểm không 
)(
)(
)( 10
k
N
i
M
iMN
pz
zz
zbzH
−Π
−Π
=
=
=−
bo được gọi là hệ số chuẩn hóa 
1k
Bài tập

Cho hai hệ thống sau:
( ) 0,6 ( 1) 0,08 ( 2) 2 ( )y n y n y n x n= − − − +
( ) 0,7 ( 1) 0,1 ( 2) ( ) 0,5 ( 2)y n y n y n x n x n= − − − + − −
 a. Tính hàm truyền đạt H(z) của mỗi hệ thống.
 b. Sử dụng lệnh zplane để biểu diễn các điểm 
cực, điểm không của hàm truyền đạt và xét tính ổn 
định của từng hệ thống.
 c. Viết chương trình tìm đáp ứng xung của hệ 
thống. (gợi ý: sử dụng lệnh residuez)