Cơ học kết cấu 1 - Chương 3: Thanh chịu kéo - Nén đúng tâm

Chương 3: Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm
1 Giới Thiệu
2 Khái Niệm
3 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
5 Biến Dạng
6 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng
7 Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu
8 Ứng Suất Cho Phép-Hệ SốAn Tồn
9 Tính Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm
10 Bài Tốn Siêu Tĩnh
Giới Thiệu1
zN
yQ
xM
zM
yM
y
x
z
xQ
Khái Niệm2
z
x
y
P
q
* Thanh chỉ chịu tác dụng của lực tập trung hay lực
phân bố cĩ phương trùng với trục thanh
zN
y
x
z
P
* Một thanh chịu kéo-nén đúng tâm khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại
duy nhất một thành phần nội lực: zN
zN
y
x
z
P
* Qui ước dấu của nội lực: lực dọc dương khi hướng ra mặt cắt (kéo)
* Tồn tại duy nhất một thành phần nội
lực: lực dọc zN
Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang3
* Biểu đồ nội lực:
P qa P
q
3a
a
A
B
C
3P
l l
d
3qa
4qa
6qa
9qa
Nz
4.1 Giả thiết về biến dạng của thanh:
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4
L y
x
L ∆L
q
- Giả thiết mặt cắt ngang phẳng
=> Bỏ qua ứng suất tiếp trên
các mặt.
=> Biến dạng dài như nhau
trên các lớp dọc: ez=const
=> Trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại ứng suất pháp dọc trục : z
- Giả thiết về các thớ dọc
NzF
x
y
z
szdF
- Giả thiết về vật liệu: vật liệu liên tục, đồng nhất, đẳng hướng
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4
4.2 Biểu thức tính ứng suất:
zz E + Theo định luật Hooke:
zz E 
z
z
FdFdFN z
F
z
F
zz  
szx
y
z
F
N z
z 
- F: diện tích mặt cắt ngang
- Nz : lực dọc tại mặt cắt cóđđiểm tính ứng suất
+ Quan hệ giữa ứng suất và nội lực:
z const Vì trên toàn mặt cắt
z const Nên trên toàn mặt cắt
* Biểu thức tính ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo-
nén đúng tâm:
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4
F
N z
z 
- F: diện tích mặt cắt ngang
- Nz : lực dọc tại mặt cắt có điểm tính ứng suất
* Ví dụ: tính ứng suất tại một mặt cắt:
4
2
2
)1(
d
qa
z 

- Ứng suất phát sinh trên mặt cắt tại
B thuộc đoạn BC:
4
2
4
2
)2(
d
qa
z 

- Ứng suất phát sinh trên mặt cắt tại
B thuộc đoạn AB:
4
2
7
2
)3(
d
qa
z 

- Ứng suất phát sinh trên mặt cắt tại
C:
P qa P
q
3a
a
A
B
C
l l
2d
d
P
Nz
qa2
qa
qa4
qa7
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4
* Ví dụ: tính ứng suất phát sinh trong các thanh của hệ dàn
2)( /714,10
7
752 cmkN
F
P
F
N
ABAB
ABAB
z 
- Ứng suất phát sinh trong thanh AB
; 
; a
; 
0 0cos30 cos 60 0AB ACX N N 
030
060
PABN
ACN
A
EF
2E F
A
B
C
a a
P
030
060
0 0sin 30 sin 60 0AB ACY N N P 
1
2AB
N P 
3
2AC
N P 
  2cm
KN12 
KN150P 
4 22.10 /E kN cm 
ma 2 
27cmF 
( ) 2
3 3.150
2 2 9,279 /
2.7
AC AC
z
AC AC
P
N kN cm
F F

- Ứng suất phát sinh trong thanh AC
- Tách nút tại A:
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4
* Hiện tượng tập trung ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4
* Hệ số tập trung ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4
* Hệ số tập trung ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4
* Hệ số tập trung ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4
* Hệ số tập trung ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4
* Hệ số tập trung ứng suất
* Biến dạng dài dọc trục:
Biến Dạng5 sz sz
ez1đv
EF
N
E
zz
z 

- Biến dạng dài dọc trục của một đơn vị chiều dài:
dzz- Biến dạng dài dọc trục củavi phân chiều dài dz:
L
z
L
z dzEF
NdzL - Biến dạng dài dọc trục của cả chiều dài L: 
+ Nz: lực dọc trên mặt cắt ngang
+ F: diện tích mặt cắt ngang
+ E: Mơđun đàn hồi của vật liệu
- Các trường hợp đặc biệt:
EF
LN
L z 
Trên chiều dài L: constEF
N z 
Biến Dạng5
 zN
 P
3a
a
A
B
C
P
P
P
P3
 
i i
z
EF
LN
L 
Trên từng đoạn chiều dài Li: constEF
N z 
3qa 
4qa 6qa 
9qa zN
3P
P
q
3a
a
A
B
C
P qa 
 
i ii
Nz
FE
S
L i
constEF Trên từng đoạn chiều dài Li: 
* Ví dụ: Tính biến dạng dài dọc trục của cột AC:
 2
2
22
2
1
5,22
4
2
3745,0
4
25,0
dE
qa
dE
aqaqa
dE
aqaqa
EF
S
L
i i
N
AC
z
 
P qa P
q
3a
a
A
B
C
l l
2d
d
P
Nz
qa2
qa
qa4
qa7
Biến Dạng5
 
n
i i
N
L
z
L
z EF
S
dz
EF
NdzL z
1
* Biến dạng dài dọc trục của cả chiều dài L: 
* Ví dụ: Tính biến dạng dài dọc trục của hai thanh AB,AC:
; 
; a
; 
EF
2E F
A
B
C
a a
P
030
060
1
2AB
N P 3
2AC
N P 
  2cm
KN12 
KN150P 
4 22.10 /E kN cm 
ma 2 
27cmF 
Biến Dạng5
 
n
i i
N
L
z
L
z EF
S
dz
EF
NdzL z
1
* Biến dạng dài dọc trục của cả chiều dài L: 
4
1 4.
2 2.150.2002 3 0,275
EF 3EF 3.2.10 .6,3
B AB
AB
aP
N L PaL cm
EF
* Biến dạng dài dọc trục của thanh AB:
* Biến dạng dài dọc trục của thanh AC:
4
3 .2 3 3.150.2002 0, 206
E.2F .2 2EF 2.2.10 .6,3
C AC
AC
P aN L PaL cm
E F
* Biến dạng ngang:
Biến Dạng5
e’
1đv e
s s
E
' zz

 
5,00 
m hệ số Poisson.
Vật liệu m Vật liệu m
Thép 0,25 - 0,3 Đá 0,2 - 0,34
Gang 0,23 - 0,27 Bê tông 0,16 - 0,18
Đồng 0,31 - 0,34 Cao su 0,47
Nhôm 0,32 - 0,36 Đất sét 0,2 - 0,4
Thuỷ tinh 0,25
* Biết ứng suất trên mặt cắt ngang, tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng:
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng6
Z
u
uv
u
v
1
u
Z Z
1
1
1
0cos.FF0U zzuu  
0sin.FF0V zzuuv  
 cos.FF uz Ta lại có: 
2cos
sin 2
2
u Z
Z
uv
  

 
z max
2
z
min
max

 
u uv
090 
090045045 0
u
uv
045
045
z
z5,0
z5,0 
z z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
z z
2
z
2
z
2
z
2
z2
z
2
z
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng6
2cos
sin 2
2
u Z
Z
uv
  

 
u uv
090 
090045045 0
u
uv
045
045
z
z5,0
z5,0 
z z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
z z
2
z
2
z
2
z
2
z2
z
2
z
7 Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu
* Kéo-nén vật liệu dẽo:
L0
L0
h0
b0
d0
d0
h0
O l 
P
A
B
C
D
E
tlP
bP
0
b
b b
PP
F
 
0
ch
ch ch
PP
F
 
0
tl
tl tl
PP
F
 
chP
O /z l L 
0/z P F 
A
B
C
D
E
tl
ch
b
7 Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu
* Kéo-nén vật liệu dịn:
n
bP
k
bP
P P
l l O O
0
n
n n b
b b
PP
F
 
0
k
k k b
b b
PP
F
 
D
D
* Ứng suất cho phép:
8 Ứng Suất Cho Phép-Hệ SốAn Tồn
  0
n

 
+ ứng suất nguy hiểm0
+ hệ số an tồnn
* Vật liệu dịn: 0 b  
* Vật liệu dẻo: 0 0( )ch tl    
   ;
k n
b b
k nn n
 
  
  ch
n

 
* Điều kiện bền:
* Điều kiện cứng:
+ Vật liệu dẻo:  max
max
z
z
N
F
  
9 Tính Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm
+ Vật liệu dịn:
 
 
max
min
k
n
 
 
 L L 
3P
P
A
B
C
Pll
m3
m1
P3
P5
zN
Ví dụ: Cho cột chịu lực như hình vẽ. Cột cĩ mặt cắt ngang hình trịn đường
kính d.
+ Xác định đường kính cột theo điều kiện bền
+ Tính biến dạng dài dọc trục của cột
  2 4 2150 , 9 / , 2.10 /P kN kN cm E kN cm 
+ Theo điều kiện bền
 max
max
z
z
N
F
  
   2
5 20 20.150 10,3
.9
4
P Pd cm
d

  
+ Biến dạng dài dọc trục của cột
32
2
41
3 .1 5 .3 18.150.10 1,62
10,32.10 .
4
zN
i i
S P PL mm
EF EF

Ví dụ: Cho cột chịu lực như hình vẽ.
+ Xác định các diện tích mặt cắt ngangcột theo điều kiện bền
+ Tính biến dạng dài dọc trục của cột
  2 4 215 / , 1 , 8 / , 2.10 /q kN m a m kN cm E kN cm 
* Theo điều kiện bền  max
max
z
z
N
F
  
   
2
1
1
4 4 4.15.1 7,5
8
qa qaF cm
F


* Biến dạng dài dọc trục của cột
 2
1 1 2
0,5 4 3 0,5 2
zN
i i
S qa qa a qa qa a
L mm
EF EF EF 

P qa P
q
3a
a
A
B
C
2P
l l
1F
2F
2qa
qa
4qa Nz
qa
+ Xét đoạn AB
   
2
2
2
2 2 2.15.1 3,75
8
qa qaF cm
F


+ Xét đoạn BC
Ví dụ: Thanh AB tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại A và được giữ
bởi thanh BC như hình vẽ. Thanh BC cĩ diện tích mặt cắt ngang F, làm
bằng vật liệu cĩ E,
+ Xác định các diện tích mặt cắt ngang F để thanh BC bền
+ Tính biến dạng dài dọc trục của thanh BC
  2 4 212 / , 2 , 8 / , 2 .10 /q kN m a m kN cm E kN cm 
2a
a
A B
C 060
,E F
q
2 a
A B
060
q
AX
AY N
 
* Xét cân bằng thanh AB: 00 .2 . sin 60 .2 0 2 / 3Am q a a N a N qa 
* Theo điều kiện bền  
 
22 / 3 2 2.12.2 3,464
3 3.8
qa qaF cm
F


* Biến dạng dài dọc trục của BC
2 3
4
. 2 2 4.12.2 .10. 0,922
3.2.10 .3, 473 3
BCN L qa aL mm
EF EF
Ví dụ: Cho hệ dàn như hình vẽ
+ Xác định các diện tích mặt cắt ngang F để các thanh bền
+ Tính biến dạng dài dọc trục của các thanh
  2 4 225 , 2 , 8 / , 2 .10 /P kN a m kN cm E kN cm 
* Theo điều kiện bền
   
2
max
25 1,56
2 2 2.8z
P PF cm
F
 

* Biến dạng dài dọc trục của AB
3
4
. 4 25.4.2.10. 1,84
2 3 2.2.10 .1,57 3
AB AB
AB
N L P aL mm
EF EF
0 0cos30 cos 60 0AB ACX N N 
030
060
PABN
ACN
A
EF
2E F
A
B
C
a a
P
030
060
0 0sin 30 sin 60 0AB ACY N N P 
1
2AB
N P 
3
2AC
N P 
* Tách nút tại A:
10 Bài Tốn Siêu Tĩnh
P
400mm 200mm 200mm
3 2
2
300
2.10 /
7
L mm
E kN cm
F cm
A
B
C
D
E
F
3 2
2
400
2,5.10 /
9
L mm
E kN cm
F cm
P qa P
q
3a
a
A
B
C
l l
2d
d
Hệ siêu tĩnh: là hệ cĩ số ẩn số nhiều hơn số phương
trình thiết lập được
Cách giải hệ siêu tĩnh: ngồi các phương trình cân bằng tĩnh học, ta thiết
lập thêm các phương trình tương thích biến dạng
0ACL 
2AF CEL L 
Ví dụ: Cho cột chịu lực và cĩ liên kết như hình vẽ
+ Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong cột
+ Xác định kích thước mặt cắt ngang theo điều kiện bền
PP
3m
1,5m
A
B
C
l l
2d
d
PP
3m
1,5m
A
B
C
l l
2d
d
CN
+ Tính chuyển vị của mặt cắt tại B
  242 /10.2;/8;75 cmkNEcmkNkNP 
 CN
zN
CN
 P
zN
P2
PP
3m
1,5m
A
B
C
l l
2d
d
PP
3m
1,5m
A
B
C
l l
2d
d
CN
+ Phương trình tương thích biến dạng: 0 PACNACAC LLL C
 CN
zN
CN
 P
zN
P2
PN
dE
P
dE
N
dE
N
C
CC
3
20
4
2
3.2
4
2
3.
4
5,1.
222 
3/2P
zN
3/4P
PP
3m
1,5m
A
B
C
l l
2d
d
+ Theo điều kiện bền:    
4
3
2
2max d
P
F
N z
z
3/2P
zN
3/4P
  cm
Pd 82,2
83
75.8
3
8
  
Chọn: cmd 3 
+ Chuyển vị của mặt cắt tại A:
m
dE
ABPL
m
dE
ABPL
BC
AB
4
242
4
242
10.3,5
3.10.2
75.8
4
.3/2
10.3,5
6.10.2
75.16
4
2
.3/4
Ví dụ: Kết cấu gồm một thanh thép đường kính d1=6cm, được lồng trong một
ống nhơm cĩ đường kính trong d2=10cm, đường kính ngồi d3=16cm chịu
nén dọc trục bởi lực P=150kN thơng qua một tấm cứng như hình vẽ.
+ Kiểm tra bền cho kết cấu.
+ Tính chuyển vị của đĩa B
 
  242
24
hom
2
hom
/10.2;/10
/10.7,0;/5,1
cmkNEcmkN
cmkNEcmkN
thepthep
nn


Nhôm
Thép
P
1d
2d
3d
A
B
m5,0
Nhôm
Thép
P
1d
2d
3d
A
B
m5,0
tNnN
tNnN nN
B
+ Gọi Nt, Nn lần lượt là ứng lực phát
sinh trong trục thép và ống nhơm
+ Xét cân bằng tấm cứng B
 1nt NNP 
+ Phương trình tương thích biến dạng:
nt LL 25,05,0
nn
n
tt
t
FE
N
FE
N
Từ (1) và (2) ta cĩ: 151/91;151/60 PNPN nt 
+ Kiểm tra bền cho kết cấu.
Đối với trục thép:   222 /10/1,2
4
6.151
150.60 cmkNcmkN thept  

Đối với ống nhơm:
  2hom2
22
/5,1/73,0
1016
4
151
150.91 cmkNcmkN nn 
 

+ Tính chuyển vị của đĩa B
m
FE
NL
tt
t
thep
3
2
4
10.96,7
4
6..10.2
5,0.150.605,0. 
Ví dụ: Thanh AC tuyệt đối cứng liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình
vẽ. Các thanh giằng BE và CD làm cùng vật liệu cĩ mơđun đàn hồi E và cĩ
diên tích mặt cắt ngang lần lượt là 2F và F.
+ Tính ứng lực trong hai thanh CD và BE.
+ Xác định diện tích mặt cắt ngang của hai thanh CD và BE để hai
thanh cùng bền
mkNq /15 
kNP 30 
A
m1 m1 m2
m1
m1
B
C
DE
FE 2, FE,
  242 /10.2;/8 cmkNEcmkN 
+ Tính chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực P.
mkNq /15 
kNP 30 
A
m1 m1 m2
B
C
1N
2N
AX
AY
+ Xét cân bằng thanh AC
 1602
04.3.2.152.1.300
21
21
 
NN
NNmA
A
m2
B
C
DE
m2
BEL 
CDL 
+ Phương trình tương thích biến dạng
 22
2
1.22.2
21
12
NN
FE
N
EF
NLL BECD
Từ (1) và (2) kNNkNN 30,15 12 
+ Điều kiện bền
   
2
2
max
875,1
8
15
/815
cmF
cmkN
FF
N z
 
+ Chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực P: mLBEP 44 10.875,12.2.10.2
1.30
2
1
2
1 
mkNq /15 
kNP 30 
A
m1 m1 m2
B
C
1N
2N
AX
AY
Ví dụ: Cho cột bêtơng –cốt thép chiều cao h=3m cĩ mặt cắt ngang hình vuơng cạnh
b=0,6m. Cột được gia cường bằng bốn thanh thép, mỗi thanh cĩ đường kính
d=28mm và được nén bởi lực P như hình vẽ. Xem ứng xủa của vật liệu là đàn hồi.
Tính lực P lớn nhất mà cột cĩ thể chịu được nếu ứng suất cho phép khi nén trong
thép và bêtơng lần lượt là . Mơđun đàn hồi của thép và
bêtơng lần lượt là . Khi tính bỏ qua trọng lượng của cột.
    MPaMPa CS 8,70 
GPaEGPaE CS 25,200 
0,6m
0,6m
3m
P
AA
AA
O
B P
sP
cP
3m
O
cPsP
B
+ Xét cân bằng đĩa cứng B
)1(cs PPP 
+ Phương trình tương thích biến dạng
. .s c
c s
s s c c
P h P hL L
E F E F
 (2)
+ Từ (1) và (2) ta cĩ ;s s c cs c
s s c c s s c c
E F E FP P P P
E F E F E F E F
+ Ứng suất phát sinh trong thép và bêtơng
;s s c cs c
s s s c c c s s c c
P E P P E P
F E F E F F E F E F
  
+ Tải giớ hạn mà thép và bêtơng cĩ thể chịu được
   . ; .c ss c s c s c
s c
E EP F F P F F
E E
 
+ Diện tích của thép và bêtơng
+ Ta cĩ tỉ số
+ Tải giớ hạn mà thép và bêtơng cĩ thể chịu được
2
2 2
2 2 2
4 .28 2463
4
600 2463 357537
s
c s
dF mm
F b F mm
200 8
25
s
c
E
E
 
  
1. 2463 357537 70 3,3
8
. 357537 8.2463 8 3,0
c
s c s
s
s
c s c
c
EP F F MN
E
EP F F MN
E


Ví dụ: Cho thanh thẳng, mặt cắt ngang khơng đổi cĩ diện tích và
mang tải trọng P=160kN như hình vẽ. Xác định ứng suất trên tất cả các mặt của
phân tố quay một gĩc .
21600mmF 
030
Hình 3.8
P P 
+ Ứng suất trên mặt cắt ngang z
P
F
 
+ Ứng suất phát sinh trên mặt cắt của phân tố quay 030
2 2 2 0 2
2
160cos cos .cos 30 0,075 /
1600
1 1 160sin 2 sin 2 0,5. .sin 60 0,043 /
2 2 1600
u z
uv z
P kN mm
F
P kN mm
F
  
  
2968mmF 
030 
+ Ứng suất trên mặt cắt ngang z
P
F
 
+ Ứng suất phát sinh trên mặt cắt 1-1 tạo với phương đứng một gĩc 030
P 1
1
P 
Ví dụ: Cho thanh thẳng, mặt cắt ngang khơng đổi cĩ diện tích gồm
hai đoạn được dán với nhau bằng keo tại mặt cắt 1-1. mặt cắt 1-1 tạo với phương
đứng một gĩc . Hệ mang tải trọng P=16kN như hình vẽ. Biết rằng keo dán
cĩ độ bền chịu kéo và độ bền chịu cắt . Kiểm tra
bền cho mối nối này
  213780 /kN m   26890 /kN m 
 
 
2 2 2 0 2 2
3 2 3 2
16cos cos .cos 30 0,0123 / 0,0137 /
968
1 1 16sin 2 sin 2 0,5. .sin 60 7,157.10 / 6,89.10 /
2 2 968
u z
uv z
P kN mm kN mm
F
P kN mm kN mm
F
  
   
=> Vậy mối nối khơng đảm bảo điều kiện cắt