Cơ học kết cấu 1 - Chương 4: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang

Chương 4: Đặc Trưng Hình Học Mặt Cắt Ngang
1 Giới Thiệu
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
3 Các Mômen Quán Tính
4 Công Thức Chuyển Trục Song Song
Giới Thiệu1
* Khả năng chịu lực của chi tiết không những phụ thuộc vào hình dáng,
kích thước mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc vào cách bố trí của mặt cắt
ngang.
x
y
P
x
y
P
2.1 Diện tích của hình phẳng
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
F
F dF 
2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng
- Đối với trục Ox: 
F
x ydFS
- Đối với trục Oy: 
F
y xdFS
x
y
x
y dF
O
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng
* Mômen tĩnh có thể âm, dương hoặc bằng không
0 yx SS
* Mômen tĩnh của hình phẳng đối với một trục nào đó bằng không, trục
đó được gọi là trục trung tâm. Giao điểm của hai trục trung tâm là trọng
tâm hình phẳng.
x
y
dF
dF
y
y
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng
* Gọi C là trọng tâm hình phẳng, các trục Cx0 và Cy0 là hai trục trung
tâm
0
0
0
0
0
0
F
y
F
x
dFxS
dFyS
Ta có
0
0
yyy
xxx
C
C
x
y
x
y dF
O
0y
0x
0x
0y
C
Cx
Cy
FF
C
F
C
F
x dFydFydFyyydFS 00
FySFyS CxCx .. 0 
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng
x
y
x
y dF
O
0y
0x
0x
0y
C
Cx
Cy
FxS
FyS
Cy
Cx
.
.
Nếu hình phẳng là hình phức tạp


n
i
iCy
n
i
iCx
FxS
FyS
i
i
1
1
.
.
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
2.3 Trọng tâm của hình phẳng




n
i
i
n
i
iC
x
C
n
i
i
n
i
iC
y
C
F
Fy
F
Sy
F
Fx
F
S
x
i
i
1
1
1
1
x
y
x
y dF
O
0y
0x
0x
0y
C
Cx
Cy
3.1 Mômen quán tínhcủa hình phẳng
3.2 Mômen quán tính cực của hình phẳng đối với tâm O
- Đối với trục Ox: 
F
x dFyJ
2
- Đối với trục Oy: 
F
y dFxJ
2
3 Các Mômen Quán Tính
x
y
x
y dF
O
F
dFJ 2 
Ta thấy: 222 yx yx JJJ 
3.3 Mômen quán tính ly tâm của hình
phẳng đối với hệ trục xOy
F
xy xydFJ
3 Các Mômen Quán Tính
x
y
x
y dF
O
* Mômen quán tính ly tâm có thể âm,
dương hoặc bằng không
* Nếu mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với
một hệ trục nào đó bằng không, hệ trục đó được gọi là
hệ trục quán tính chính
* Nếu hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt
được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.
x
y
dF dF
x x 
3.4 Mômen quán tính của một số hình thường gặp
3 Các Mômen Quán Tính
* Hình chữ nhật
x
y
y
dy
b
h
dF
12
32/
2/
22 bhbdyydFyJ
h
hF
x 
12
12
3
3
hbJ
bhJ
y
x
3.4 Mômen quán tính của một số hình thường gặp
3 Các Mômen Quán Tính
* Hình tròn
4
4
1,02
05,0
dJJ
dJJ
x
yx
x
y
d
* Hình tam giác
36
3bhJ x x
b
h C
* Biết:
4 Công Thức Chuyển Trục Song Song
x
y
x
y dF
O
0y
0x
0x
0y
A
Ax
Ay
00
, yx JJ
* Tìm: yx JJ ,
Với 00 //,// yyxx
Ta có
0
0
yyy
xxx
A
A
F
A
FF
A
F
A
F
x dFyydFydFydFyydFyJ 0
2
0
22
0
2 2
00
00
.2.
.2.
2
2
yAyAy
xAxAx
SxJFxJ
SyJFyJ
4 Công Thức Chuyển Trục Song Song
x
y
x
y dF
O
0y
0x
0x
0y
A
Ax
Ay
* Nếu A là trọng tâm mặt cắt, Ax0 và
Ay0 là hai trục trung tâm của mặt cắt
ngang
0
00
 yx SS
FxJJ
FyJJ
Ayy
Axx
.
.
2
2
0
0
Ta có
* Ví dụ 1: Tính mômen quán tính của hình chữ nhật đối với các trục x,y
612
2
3
2
12
2
43
43
bbbJ
bbbJ
c
c
y
x
Ta có
x
y
b2
b
x
y
b2
b
cx
cy
C
42
2
422
3
22.
2
3
82.
bbbJJ
bbbJJ
c
c
yy
xx
* Ví dụ 2: Tính mômen quán tính của hình tam giác đối với các trục x
36
3bhJ
cx
 Ta có
122
1.
3
32 bhbhhJJ
cxx
xb
h
b
h C
x
cx
3
3
36
12
cx
x
bhJ
bhJ
* Ví dụ 3: Tính mômen quán tính của hình tam giác đối với các trục x, y
12
4812
22
3
3
3
hbJ
bh
hb
J
y
x
x
b
h
y
x
b
2
h
y
2
h
* Ví dụ 4: Tính chính trung tâm của hình phẳng
b b  b b 
x
y
(1)
(2)
3
4
22 .
2
2
12 12x y
bb
bJ J
* Ví dụ 5: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng
900
40
30
450
450 30
y
x
 1 2 3
x x x xJ J J J 
1
2 3
3
4
23
30.900
12
76626
450.30 900 30 .450.30
12 2 2
x
x
x x
J
J cm
J J
1 2 3
3 3
4900.30 30.4502 45765
12 12y y y y
J J J J cm 
* Ví dụ 6: Xác định trọng tâm và tính các mômen quán tính chính trung
tâm của hình phẳng
b
b 7b
15b
b
b
7b
15b
1x
y
x
C
cy
2
1
2
1
0
3,5 .15 .7 3 .13 .6 89
15 .7 13 .6 18
i
C
C i
i
C
i
i
x
y F
b b b b b by b
b b b bF


Toạ độ trọng tâm của hình phẳng
3 32 2
1 2 4
3 3
1 2 4
15 . 7 13 . 689 893,5 .15 .7 3 .13 .6 118,917b
12 18 12 18
7 . 15 6 . 13
870,25
12 12
x x x
y y y
b b b b
J J J b b b b b b b b
b b b b
J J J b
* Ví dụ 7: Xác định trọng tâm và tính các mômen quán tính chính trung
tâm của hình phẳng
Toạ độ trọng tâm của hình phẳng
b
b
8b
7b
b
b
8b
7b
1x
x
(1)
(2)
cy
y
2
2 2
1
2 2 2
1
0
4 .8 8,5 .7 6,1
8 7
i
C
C i
i
C
i
i
x
y F
b b b by b
b bF


3 3
2 21 2 2 2 4
3 3
1 2 4
. 8 7 .
4 6,1 .8 8,5 6,1 .7 118,85b
12 12
8 . . 7
29,25
12 12
x x x
y y y
b b b b
J J J b b b b b b
b b b b
J J J b
* Ví dụ 8: Xác định trọng tâm và tính các mômen quán tính chính trung tâm
của hình phẳng
50cm
75cm
40cm70cm
50cm
75cm
40cm70cm x
y
3 3
4
23 3
4
75.70 12,5.204 2110416,667
12 12
70.75 40.12,5 100 12 40.12,5 1901041,667
12 36 3 2
x
y
J cm
J cm