Cơ học kết cấu 1 - Chương 5: Thanh chịu xoắn, chịu cắt

Chương 5: Thanh Chịu Xoắn – Chịu Cắt
1 Giới Thiệu
2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
5 Ứng Suất Trượt Thuần Túy
6 Điều Kiện Bền, Điều Kiện Cứng
7 Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi
4 Biến Dạng
8 Hệ Siêu Tĩnh
9 Thanh Chịu Cắt
* Thanh chỉ chịu tác dụng của ngẫu lực tập trung hay ngẫu lực phân bố
quay quanh trục thanh.
* Một thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại
duy nhất một thành phần nội lực: zM
1 Giới Thiệu
1z
y
x
z
M
1z
y
x
z
M
z
y
x
zM
* Qui ước dấu của: zM
1z
y
x
z
M
1z
y
x
z
M
z
y
x
zM
2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
* Tồn tại duy nhất zM
0 zM
* Biểu đồ nội lực:
M
2a
4M
A B C
a
M
3M 
 zM
* Mặt cắt ngang phẳng, thanh không có
biến dạng dài dọc trục, bán kính mặt cắt
ngang vẫn thẳng và có chiều dài không đổi
0x y z   
3.1 Các giả thiết về biến dạng:
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
yx
z
yx
z
M
* Góc vuông thay đổi nên tồn tại ứng suất
tiếp trên mặt cắt và vuông góc với bán kính.
ZM 
O
R
Z
Hình 5.2

* Vì biến dạng bé nên:
'BB dtg
AB dz
  
3.2 Biểu thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn:
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
 d 
A B
'B
O
dz
* Theo định luật Hooke:
G  
zz E 


G: mô đun trượt của vật liệu
(1)dG
dz
 
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
ZM 
O
R
Z
Hình 5.2

* Quan hệ giữa ứng suất và nội lực:
2
2 (2)
z
F F
F
dM dF G dF
dz
d dG dF G J
dz dz 
 
* Từ (1) và (2) ta có:
zM
J 
 
- : mô men xoắn tại mặt cắt
có điểm tính ứng suất
zM
- : mô men quán tính cực của
mặt cắt có điểm tính ứng suất
J 
- : khoảng cách từ điểm tính
ứng suất đến tâm mặt cắt
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
* Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt:
Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt:
4 3
max , J 0,1 , W 0, 2W
zM d d 
 
max 2 W
z zM Md
J 
 
: mô men chống xoắn của mặt cắtW 
ZM
max
max
d
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
* Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt:
Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt:
 4 4max
J
, J 0,1 , W
W / 2
zM D d
D
 
max 2 W
z zM MD
J 
 
: mô men chống xoắn của mặt cắtW 
ZM max
max
d
D
* Từ (2) ta có:
4 Biến Dạng
 d 
A B
'B
O
dz
zMd dz
GJ 
=> Góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau chiều dài L:
z
L
M dz
GJ 
* Các trường hợp đặc biệt
+ Khi trên suốt chiều dài=constzM
GJ 
l
A B
l
M
M
zM
zM l
GJ 
4 Biến Dạng
+ Khi trên từng đoạn chiều dài=constzM
GJ 
il
1
n
z
i i
M l
GJ 

M
2a
4M
A B C
a
M
3M 
 zM
+ Khi trên từng đoạn chiều dài=constGJ il maM A 3 
2a
6MA B C
m
ma
3ma
3ma 
a
zM
 1
z
n
M
i i
S
GJ 

5 Ứng Suất Trượt Thuần Túy
a b
cd




M
M



a b
cd


1
u
1



u
uv
v


u
sin 2
cos 2
u
uv
  
  
uuv
 090045045 
090 0
u
uv

 



minu  
045
M
M
Vật liệu dòn
maxu  
minu  maxu  
maxu  
maxu  
t t
M
M
Vật liệu dẽo M
M
Vật liệu có thớ
6 Điều Kiện Bền, Điều Kiện Cứng
6.1 Điều kiện bền
 max max
max
zM
W 
  
6.1 Điều kiện cứng
 max
max
zM
GJ 
  
7 Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi
2
.
z
L
MU dz
G J 
M2a
4M
A B C
a
d
M
3M
 zM
Ví dụ 1: Truïc AC maët caét ngang khoâng ñoåi hình troøn ñöôøng kính d, lieân keát,
chòu löïc vaø coù kích thöôùc nhö hình vẽ. Truïc laøm baèng vaät lieäu coù moâñun tröôït
G vaø öùng suaát tieáp cho pheùp . Xaùc ñònh d theo ñieàu kieän beàn vaø tính goùc
xooay cuûa maët caét taïi C. Cho:
 
 3 2 212 . ; 0,25 ; 1,5.10 / ; 3,5 /M kN m a m G kN cm kN cm 
Theo điều kiện bền
 max max
max
zM
W 
  
   
33
3
3 3
0,2 0,2.
3.12.100 17,26
0,2.3,5
M Md
d
cm


 Chọn 17,3d cm 
Góc xoay của mặt cắt tại C
42
4 4 3 4
1
.2 3 . . 12.0,25.10 0,0022
.0,1 .0,1 1,5.10 .0,1.17,3
zM
AC
i i
S M a M a M a rad
GJ G d G d 

Ví dụ 2: Truïc baäc AC maët caét ngang hình troøn ñöôøng kính 2d, d lieân keát, chòu
löïc vaø coù kích thöôùc nhö hình vẽ. Truïc laøm baèng vaät lieäu coù moâñun tröôït G
vaø öùng suaát tieáp cho pheùp . Xaùc ñònh m theo ñieàu kieän beàn vaø tính goùc
xooay cuûa maët caét taïi C. Cho:
 
 3 2 212 ; 0,3 ; 1,8.10 / ; 3 /d cm a m G kN cm kN cm 
2aA
B C
a
2d
m M ma 7M ma 
d
ma 
 zM
3ma
4ma
+ Ứng suất tiếp lớn nhất trong hai đoạn
AB và BC
max 3
max 3
4
0,2 2
3
0, 2
AB
BC
ma
d
ma
d


+ Theo điều kiện bền
 max max
max
zM
W 
  
   
3 3
3
0,2 .3 0, 2.12 .3 11,52 . /
0, 2 3 3.30
dma m kN m m
d a

 
Chọn 11,5 . /m kN m m 
Góc xoay của mặt cắt tại C
2
44
1
2 2
4 3 4
0,5 3 2 4 .
.0,1 .0,1 2
15 15.11,5.30 0,01
.0,4 1,8.10 .0,4.12
zM
AC
i i
S ma ma a ma a
GJ G d G d
ma rad
G d

8 Hệ Siêu Tĩnh
B
a
d1 d2 d3
A
M
2aA
B C
a
2d
m
M ma 
d
Hệ siêu tĩnh: là hệ thừa liên kết
Cách giải hệ siêu tĩnh: ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học, ta
thiết lập thêm các phương trình tương thích biến dạng
Ví dụ 3: Truïc baäc AC maët caét ngang hình troøn ñöôøng kính 2d, d bò ngaøm hai
ñaàu taïi A, C vaø chòu löïc nhö hình vẽ. Truïc laøm baèng theùp coù moâñun tröôït G
vaø öùng suaát tieáp cho pheùp . Xaùc ñònh ñöôøng kính truïc(d) theo ñieàu kieän
beàn vaø tính goùc xooay cuûa maët caét taïi B. Cho:
2aA
B C
a
2d
M
d
 
 
3 2
2
12 . ; 0,3 ; 1,8.10 / ;
3,2 /
M kN m a m G kN cm
kN cm
2aA
B C
a
2d
M
d
CM
 CMzM
M
zM
M
 zM 
/ 33M
32
33
M
Phương trình tương thích biến dạng
 0CM MAC AC AC 
 4 44
.2 . . 0
.0,1 .0,1 2 .0,1 2
1
33
C C
C
M a M a M a
G d G d G d
M M
Theo điều kiện bền
 max max
max
zM
W 
  
   
333
32
2 2.12.10033 6,1
3,3. 3,3.3,20,2 2
M
Md cm
d


 Chọn 6,2d cm 
Góc xoay của mặt cắt tại B
4 4 3 4
2 2 2.12.100.3033 0,0088
.0,1 .3,3 1,8.10 .3,3.6,1BC
M a Ma rad
G d G d
Ví dụ 4: Một trục composite chiều dài l=0,5m được làm từ hai vật liệu gồm trục
đồng lồng trong ống thép như hình vẽ. Biết rằng tính chất của thép và đồng là:
Xác định trị số ngẫu lực lớn nhất mà trục này truyền được
 2 23600 / , 5 /d dG kN cm kN cm  
2 28000 / , 8,2 /t tG kN cm kN cm 
60
Truïc ñoàng
OÁng theùp
75
Gọi lần lượt là ứng lực phát sinh trong trục thép và ống đồng,t dM M
Phương trình cân bằng (1)t dM M M 
Phương trình tương thích biến dạng . . (2)
t d
t d
t d
M l M l
G J G J 
4 4
4 4 4
4
4 4 4
8000.0,1. 75 60 205
2693600.0,1.60 8000.0,1 75 60
3600.0,1.60 64
2693600.0,1.60 8000.0,1 75 60
t
d t
d
d t
t
t
d t
d
d
d t
G J
M M M M
G J G J
G J
M M M M
G J G J
Từ (1) và (2) =>
 
 
 
 
4 4
max 4 4
3
max 3
205
269 269.0, 2.(75 60 ).
0, 2(75 60 )
205.6060
269.0, 2.60 .64
64269
0,2.60
t
t
d
d
t
t t
d
d
d
MM
W M
MMM
W
  

 
Theo điều kiện bền
 
 
4 4 4 4 3
3 3 3
269.0,2.(75 60 ). 269.0,2.(75 60 ).8, 2.10 670 .
205.60 205.60
269.0,2.60 . 269.0, 2.60 .5.10 907,8 .
64 64
t
d
M kN mm
M kN mm


Chọn 670 .M kN mm 
9 Xoắn Tiết Diện Không Tròn
h
b
max
1
xo
z
max W
M
 
max1  
2
xoW bh 
3
xoJ bh 
9 Xoắn Tiết Diện Không Tròn
9 Thanh Chịu Cắt
P
Pa b
avg
s
P
F
 
a b
cd
P
a b
cd
sF
P
9.1 Ứng suất cắt trực tiếp
Ứng suất cắt trung bình phát sinh trên mặt cắt
s
P
F
 Lực cắtP
Diện tích bị cắtsF
9.2 Mối nối bulông, đinh tán
PP
P P
P
P
P 
 
avg
s
P
F
 
m
m
m m
Ứng suất cắt trung bình phát sinh trên mặt cắt của bu lông
s
P
F
 Lực cắtP
Diện tích bị cắtsF
PP
P P
 2avg s
P
F
 
P
/ 2P
/ 2P
/ 2P
 / 2P
Pm
m
n
n P
m m
n n
Ứng suất cắt trung bình phát sinh trên mặt cắt của bu lông
2 s
P
F
 Lực cắtP
Diện tích bị cắtsF
9.3 Mối nối then
Ứng suất cắt trung bình phát sinh trên mặt cắt của bu lông
/
s
P M r M
F bl rbl
 
Bề rộng thenb
Chiều dài thenl
M
P P
b
hBaùnh raêng
Then
Truïc
Truïc
Then
m m
Then
avg
s
P
F
 
P
P
b
Bán kính trụcr
9.4 Ứng suất dập
PP
bF
P
b
b
P
F
 
Hình 5.12
Khi hai vật ép lại với nhau, ứng suất dập phát sinh tại bề mặt tiếp xúc
b
b
P
F
 Lực nénP
Diện tích tiếp xúcbF
9.4 Ứng suất dập trong then
b
P
b
/ 2h
Ứng suất dập phát sinh tại bề mặt tiếp xúc của then
/ 2
( / 2)b b
P M r M
F h l rhl
 
Chiều cao thenh
Chiều dài thenl
Bán kính trụcr
9.4 Ứng suất dập trong bulông (đinh tán) và tấm nối
d
d
tP
ÖÙng suaát daäp treân taám
ÖÙng suaát daäp treân thaân ñinh taùn
bF
Ứng suất dập phát sinh trên thân đinh tán và tấm nối
b
b
P P
F td
 
Lực truyền qua chốtP
Chiều dày của tấmt
Đường kính đinh tánd
9.5 Ứng suất trên mặt cắt ngang của lò xo hình trụ bước ngắn
P P
h d 
D
P
d
2z
PDM 
Q P 
/ 2D
31332max
88
2
11
2
164
d
PDK
d
PD
D
d
d
PD
d
P
W
M
F
Q

Ví dụ: Xác định lực P cần thiết để đột một lỗ đường kính 20mm trên một tấm
thép có bề dày 25mm. Biết rằng giới hạn bền khi cắt của vật liệu làm tấm
bằng 2350 /MN m
25
20
P
+ Ứng suất cắt phát sinh trong tấm
s
P P
F t d

+ Để đột được lỗ
   
25. .20.350 549778,7
P P t d
t d
P N
  
+ Chọn 549,8P kN 
Ví dụ: Xác định đường kính của bulông trong mối nối móc chữ U. Móc cần
truyền một lực P=400kN. Biết rằng độ bền cắt của bulông là 300MPa
+ Bulông chịu cắt đôi nên ứng suất cắt phát sinh trong bulông
2
2
4
s
P P
dF

P P
+ Để bulông đảm bảo bền cắt
 
 
3
2
2 2 2.400.10 29,13
300
P Pd mm
d
 
  
Ví dụ: Để ghép hai tấm lại với nhau như hình vẽ người ta dùng bốn đinh tán
có đường kính giống nhau 20mm. Xác định giới hạn của lực P tác dụng vào
mối nối biết rằng giới hạn bền cắt của đinh tán bằng , ứng suất
dập giới hạn trong tấm bằng
29,6 /kN cm
+ Dựa vào độ bền cắt của đinh tán
229,6.4. 120,576
4s
P F kN 
+ Dựa vào độ bền dập của tấm
P
P P
P
160
12
12
212,4 /kN cm
12, 4.4.1, 2.2 119,04b bP F kN 
+ Chọn 12, 4.4.1, 2.2 119b bP F kN