Cơ học kết cấu 1 - Chương 5: Tính hệ siêu tĩnh theo phương pháp lự

CHƯƠNG 5 
TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC 
5.1. KHÁI NIỆM VỀ HỆ SIÊU TĨNH 
5.1.1. Định nghĩa 
Trong các chương trước ta đã làm quen với hệ tĩnh định, là hệ chỉ cần dùng các 
phương trình cân bằng tĩnh học là đủ để xác định hết các phản lực và nội lực của hệ. Trong 
thực tế ta thường gặp những hệ mà nếu chỉ sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học thì 
chưa đủ để xác định hết các thành phần phản lực và nội lực. Để tính các hệ đó, cần bổ sung 
thêm phương trình thường là các phương trình biến dạng, những hệ như vậy gọi là hệ siêu 
tĩnh. 
Hệ được gọi là siêu tĩnh nếu trong toàn hệ hoặc trong một vài phần của hệ ta không 
thể chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học để xác định được tất cả các phản lực và 
nội lực. 
Về mặt cấu tạo hình học, hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình và thừa liên kết. Số liên kết 
thừa là đặc trưng của hệ siêu tĩnh, song ở đây liên kết thừa là những liên kết không cần 
thiết cho sự cấu tạo hình học của hệ nhưng vẫn cần cho sự làm việc của công trình. 
Ví dụ dầm và khung trên hình 5.1a, b 
là hệ tĩnh định. Các hệ dầm, khung, dàn, 
vòm trên hình 5.1c,d,g,h là hệ siêu tĩnh vì 
từ ba phương trình cân bằng tĩnh học ta 
chưa thể xác định được hết các phản lực. 
Hình 5.1 
a) b) 
c)
d) 
g)
h) 
Hệ siêu tĩnh được sử dụng rộng rãi 
trong các công trình thực tế như cầu giao 
thông, nhà dân dụng và công nghiệp, các 
đập ngăn, cống, cầu máng, trạm thuỷ điện 
v..v... 
5.1.2. Đặc điểm của hệ siêu tĩnh 
Đối chiếu với hệ tĩnh định thì hệ siêu tĩnh có các đặc điểm sau: 
1. Chuyển vị, biến dạng và nội lực trong hệ siêu tĩnh nói chung nhỏ hơn trong hệ tĩnh 
định có cùng kích thước và tải trọng. 
Kết quả tính độ võng ở giữa nhịp, mô men uốn lớn nhất trong dầm tĩnh định một nhịp 
và dầm siêu tĩnh một nhịp hai đầu ngàm ghi trong bảng 5.1 cho ta thấy chuyển vị và nội 
lực trong dầm siêu tĩnh nhỏ hơn trong dầm tĩnh định khá nhiều. 
123 
 Bảng 5-1 
Dầm 
 q 
EJ l 
q 
EJ 
l 
Độ võng ở giữa nhịp 
 EJ384
q5Y
4
max
l= 
EJ384
qY
4
max
l= 
Giá trị mô men uốn lớn nhất Tại giữa nhịp 8
qM
2l= Tại ngàm 
12
qM
2l= 
Vì vậy dùng hệ siêu tĩnh sẽ tiết kiệm vật liệu hơn so với hệ tĩnh định tương ứng. Đây 
cũng là ưu điểm chính của hệ siêu tĩnh. 
2. Trong hệ siêu tĩnh phát sinh các nội lực do sự thay đổi mhiệt độ, sự chuyển vị các 
gối tựa, sự chế tạo và lắp ráp không chính xác gây ra (những nguyên nhân này không gây 
ra nội lực trong hệ tĩnh định). 
Để thấy rõ tính chất này, ta xét một vài ví dụ: 
• So sánh dầm đơn trên hình 5.2a với dầm siêu tĩnh một nhịp trên hình 5.2b cùng chịu 
sự thay đổi nhiệt độ không đều, ở trên là t1, ở dưới là t2 với t2 > t1 ta thấy: 
Dưới tác dụng của nhiệt độ dầm 
có khuynh hướng bị uốn cong, nhưng 
trong dầm tĩnh định các liên kết 
không ngăn cản biến dạng của dầm 
nên không phát sinh phản lực và nội 
lực, ngược lại trong dầm siêu tĩnh, 
các liên kết (ngàm) cản trở không cho 
phép dầm biến dạng tự do, do đó phát 
sinh phản lực và nội lực. 
c)a)
t2 
t1 
Δ
• Khi liên kết có chuyển vị cưỡng bức (bị lún) dầm tĩnh định cho trên hình 5.2c bị 
nghiêng đi, các liên kết không ngăn cản và cho phép chuyển vị tự do nên không phát sinh 
nội lực. Ngược lại, khi gối phải của dầm siêu tĩnh trên hình 5.2d bị lún, gối tựa giữa không 
cho phép dầm chuyển vị tự do như trường hợp trên, dầm bị uốn cong theo đường đứt nét, 
do đó trong dầm sẽ phát sinh nội lực. 
• Khi chế tạo, lắp ráp không chính xác (hình 5.3). 
Giả sử chiều dài của thanh CD trong hệ siêu tĩnh bị 
ngắn so với chiều dài thiết kế một đoạn bằng Δ. Sau khi 
lắp ráp, thanh CD bị dãn ra đồng thời dầm AB cũng bị 
uốn cong, do đó trong hệ tồn tại các nội lực ban đầu. 
Hình 5.2
d)b)
Δ
A B
C 
D 
Δ 
t1 
t2 
Hình 5.3 
124 
Khi thiết kế kết cấu siêu tĩnh ta cần đặc biệt lưu ý đến những nguyên nhân gây ra nội 
lực kể trên. Đôi khi có thể sử dụng tính chất này để tạo sẵn trong hệ những nội lực và biến 
dạng ban đầu ngược chiều với nội lực và biến dạng do tải trọng gây ra. Biện pháp này làm 
cho sự phân phối nội lực trong các cấu kiện của công trình được hợp lý hơn và do đó tiết 
kiệm được vật liệu. 
3. Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vật liệu, kích thước và hình dạng của tiết diện 
trong các thanh. 
Sau này ta sẽ thấy, để tính hệ siêu tĩnh ta phải dựa vào điều kiện biến dạng mà biến 
dạng lại phụ thuộc các độ cứng EJ, EF... nên nội lực trong hệ siêu tĩnh cũng phụ thuộc EJ, 
EF của các thanh. 
Ba đặc điểm trên sẽ thấy rõ hơn trong quá trình tính hệ siêu tĩnh sau này. 
5.1.3. Bậc siêu tĩnh 
Với những giả thiết được chấp nhận trong cơ học kết cấu, ta có thể đưa ra khái niệm 
về bậc siêu tĩnh như sau: 
Bậc siêu tĩnh của hệ siêu tĩnh bằng số lượng liên kết thừa đã qui đổi ra liên kết thanh 
ngoài số liên kết cần thiết đủ để cho hệ bất biến hình. 
Có thể tính bậc siêu tĩnh (ký hiệu là n) theo ba cách sau: 
1. Theo định nghĩa 
Ta có thể dùng các công thức (1-2), (1-3), liên hệ giữa số lượng các miếng cứng và số 
lượng các liên kết đã nghiên cứu trong chương 1 để suy ra công thức xác định bậc siêu tĩnh 
n của hệ: 
 n = (T + 2K + 3H) - 3 (D - 1) Hệ bất kỳ không nối đất 
 n = T + 2K + 3H + C - 3D Hệ nối đất 
Trong đó: 
 D - số các miếng cứng tĩnh định (miếng cứng có chu vi hở). 
 T, K, H - số liên kết thanh, liên kết khớp, liên 
kết hàn dùng để nối D miếng cứng (đã qui đổi ra 
liên kết đơn giản) . 
Trái đất
a)
b)
A B C D 
Hình 5.4 
 C - số liên kết tựa nối với đất được qui ra liên 
kết thanh. 
2. Loại bỏ dần liên kết 
Theo cách này ta sẽ loại bỏ dần các liên kết trong 
hệ siêu tĩnh để đưa hệ siêu tĩnh đã cho về hệ tĩnh định 
(bất biến hình đủ liên kết). Số liên kết bị loại bỏ (đã qui 
đổi ra liên kết thanh) là bậc siêu tĩnh cần tìm. 
125 
Ví dụ 5-1: Xác định bậc siêu tĩnh của các hệ trên hình 5.4. 
Khung siêu tĩnh trên hình 5.4a nếu bỏ 3 trong 4 ngàm hệ sẽ trở thành tĩnh định. Do đó 
n = 3.3 = 9, hệ siêu tĩnh bậc 9. 
Dầm siêu tĩnh tên hình 5.4b nếu bỏ các liên kết ở A, B, C sẽ có dầm công sôn quen 
thuộc nên n = 1.2 +1 + 1 = 4. Nếu bỏ liên kết ở B và D ta có dầm đơn giản có đầu thừa nên 
n = 1 + 1.3 = 4 dầm siêu tĩnh bậc 4. 
3. Theo công thức đơn giản 
Trước khi thiết lập công thức ta hãy 
khảo sát một ví dụ sau: 
 Xét một khung có chu vi hở 
(hình 5.5a). Khung này là tĩnh định, vì khi 
thực hiện mặt cắt như trên hình vẽ ta chỉ 
cần sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh 
học là có thể xác định nội lực tại một tiết 
diện bất kỳ nào đó thuộc hệ. 
Nếu đặt thêm vào chu vi hở đó một liên kết loại một (liên kết thanh), hệ sẽ thừa một 
liên kết (hình 5.5b). Vậy hệ này có bậc siêu tĩnh bằng một (n = 1). 
Nếu đặt thêm vào chu vi hở đó một liên kết loại hai ( liên kết khớp ) hệ sẽ thừa hai 
liên kết tương đương loại một (hình 5.5c). Vậy hệ này có bậc siêu tĩnh bằng hai (n = 2). 
Nếu đặt thêm vào chu vi hở đó một mối hàn (liên kết loại ba) hệ sẽ thừa ba liên kết 
tương đương loại một (hình 5.5d). Vậy hệ này có bậc siêu tĩnh bằng ba (n = 3). 
Qua ví dụ trên ta có: Một chu vi kín có bậc siêu tĩnh bằng ba, nếu thêm vào chu vi kín 
đó một khớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh giảm xuống một đơn vị. Bởi vậy, với hệ siêu tĩnh có 
V chu vi kín và K khớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh n của hệ được xác định theo công thức: 
 n = 3V - K (5-1) 
Chú thích: Khi sử dụng công thức (5-1) cần quan niệm trái đất là miếng cứng hở. Ví 
dụ, khi xét hệ trên hình 5.4a thì số chu vi kín trong trường hợp này bằng 3 chứ không phải 
bằng 4 vì phải quan niệm trái đất là miếng cứng hở như trên hình vẽ. Bậc siêu tĩnh của hệ 
này bằng n = 3.3 - 0 = 9. 
Ví dụ 5-2: Xác định bậc siêu tĩnh của khung trên hình 5.6. 
Coi đất là một miếng cứng hở đi qua A, C, D. Ta thấy hệ 
có 4 chu vi kín (V = 4), số khớp đơn giản là 5 (K = 5) đó là 3 
khớp đơn tại A, B, C và 1 khớp phức tạp được qui đổi thành 
2 khớp đơn giản tại E. Vậy n = 3.4 - 5 = 7. Hệ siêu tĩnh bậc 7. 
Hình 5.5 
P P
a) b) 
P P
P P
c) 
P P
d) 
E 
A B 
C 
D
Hình 5.6 
126 
5.1.4. Các phương pháp tính hệ siêu tĩnh 
So với các hệ tĩnh định đã biết, việc tính toán các hệ siêu tĩnh thường phức tạp và khối 
lượng tính toán lớn. Có nhiều phương pháp tính hệ siêu tĩnh, trong đó có hai phương pháp 
cơ bản là phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. 
1. Phương pháp lực (được đề cập trong Chương này), là phương pháp tổng quát áp 
dụng cho kết cấu dạng thanh bất kỳ với các nguyên nhân khác nhau. Hệ có bậc siêu tĩnh 
càng cao việc tính toán càng phức tạp. 
2. Phương pháp chuyển vị (được đề cập trong Chương 6), thường dùng để tính cho hệ 
dầm, khung. Việc tính toán khá thuận tiện và có khả năng tự động hoá cao. 
Nhược điểm của hai phương pháp này là phải giải hệ phương trình nhiều ẩn số. Để 
khắc phục nhược điểm này các phương pháp giải đúng dần dựa trên cơ sở của phương 
pháp chuyển vị đã ra đời. Một trong các phương pháp đó là phương pháp phân phối mô 
men (được đề cập trong Chương 7). 
Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện tử, 
phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng rộng rãi và rất hiệu quả đối với các bài toán cơ 
học môi trường liên tục nói chung và cơ học vật rắn biến dạng nói riêng. Ta sẽ nghiên cứu 
phương pháp này trong môn học phương pháp số. 
5.2. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC TÍNH HỆ SIÊU TĨNH 
5.2.1. Nội dung cơ bản của phương pháp 
Từ định nghĩa ta thấy không thể tính phản lực, nội lực trực tiếp trên hệ siêu tĩnh đã 
cho mà phải tính thông qua một hệ khác cho phép dễ dàng xác định phản lực, nội lực. Hệ 
mới này suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bớt các liên kết thừa gọi là hệ cơ bản. 
Để bảo đảm cho hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh đã cho ta cần phải bổ sung thêm các 
điều kiện phụ. Đó là nội dung tóm tắt của phương pháp lực. 
Hệ cơ bản của phương pháp lực là một hệ bất biến hình suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho 
bằng cách loại bỏ tất cả hay một số liên kết thừa. 
Nếu loại bỏ tất cả các liên kết thừa thì hệ cơ bản là tĩnh định, còn nếu chỉ loại bỏ một 
số liên kết thừa thì hệ cơ bản là siêu tĩnh có bậc thấp hơn. 
Điều quan trọng là hệ cơ bản phải bất biến hình và cho phép ta xác định được nội lực 
một cách dễ dàng. Bởi vậy trong đa số trường hợp, ta thường dùng hệ cơ bản tĩnh định. 
Đối với hệ siêu tĩnh trên hình 5.7a, có thể chọn hệ cơ bản theo nhiều cách khác nhau. 
Ví dụ trên hình 5.7b,c,d,e cho ta ba cách chọn hệ cơ bản tĩnh định từ một hệ siêu tĩnh đã 
cho trên hình 5.7a. 
Để thiết lập các điều kiện phụ ta hãy so sánh sự khác nhau giữa hệ siêu tĩnh đã cho 
(hình 5.7a) với hệ cơ bản (giả sử dùng hệ cơ bản hình 5.7b). Ta nhận thấy: 
♦Tại vị trí loại bỏ liên kết trong hệ siêu tĩnh có các phản lực XB, YB còn trong hệ cơ 
bản (hình 5.8) thì không có các thành phần lực này. 
127 
 a) 
P 
XB 
YB 
B 
A 
b) 
P 
B 
A 
B 
A 
d)
P
B 
A A 
B 
P 
e) 
P
c)
 Hình 5.7
♦ Trong hệ siêu tĩnh, chuyển vị theo phương của các liên kết bị loại bỏ đều bằng 
không, còn trong hệ cơ bản các chuyển vị này có thể tồn tại. 
Như vậy, muốn cho hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh 
đã cho, ta cần: 
P
X1 
X2 
B 
A 
♦ Trong hệ cơ bản, đặt các lực X1, X2,..., Xn tương ứng với 
vị trí và phương của các liên kết bị loại bỏ. Những lực này chưa 
biết và giữ vai trò ẩn số (hình 5.8). Vì các ẩn số là lực (lực tập 
trung hoặc mô men tập trung) nên phương pháp này mang tên là 
phương pháp lực. 
Hình 5.8 
♦ Thiết lập điều kiện bổ sung là buộc chuyển vị trong hệ cơ bản tương ứng với vị trí 
và phương của các liên kết bị loại bỏ phải bằng với các chuyển vị thực tương ứng trong hệ 
siêu tĩnh (thường các chuyển vị này bằng không). Nói khác đi, chuyển vị trong hệ cơ bản 
tương ứng với vị trí và phương của ẩn số X1, X2,...,Xn do các lực X1, X2,...,Xn và do các 
nguyên nhân bên ngoài (tải trọng P, sự thay đổi nhiệt độ t, sự chế tạo lắp ráp không chính 
xác và chuyển vị gối tựa Δ) gây ra phải bằng không. 
Trên hình 5.8, với nguyên nhân tải trọng ta có hai chuyển vị ngang và đứng tại B là: 
 0)P,X,X(X 211 =Δ
 0)P,X,X(X 212 =Δ
Nếu hệ có bậc siêu tĩnh là n và hệ cơ bản tĩnh định thì ta có n điều kiện: 
 với k = 1, 2,... n. (5-2) 0),t,P,X,...X,X(X n21k =Δ Δ
Các điều kiện (5-2) được gọi là các phương trình cơ bản của phương pháp lực. 
Với hệ có n bậc siêu tĩnh ta thiết lập được n phương trình cơ bản đủ để xác định n ẩn 
số X1, X2,... Xn . Sau khi tìm được các lực X1, X2,... Xn ta xem chúng như các ngoại lực tác 
dụng trên hệ cơ bản (hình 5.8). Lúc này các lực tác dụng trên hệ cơ bản đều đã biết, ta dễ 
dàng tìm được nội lực và biến dạng trong hệ cơ bản, đó chính là nội lực và biến dạng trong 
hệ siêu tĩnh đã cho, vì các lực Xi đã thỏa mãn hệ phương trình cơ bản tức là đã thỏa mãn 
điều kiện làm việc như nhau giữa hệ cơ bản với hệ siêu tĩnh đã cho. 
128 
Chú ý: 
1. Khi chọn hệ cơ bản cho hệ siêu tĩnh chịu các chuyển vị cưỡng bức Δ tại các gối tựa. 
Để vế phải của phương trình cơ bản luôn bằng không như trường hợp tải trọng và nhiệt độ 
tác dụng ta cắt các liên kết có chuyển vị cưỡng bức mà không loại bỏ nó. 
Thật vậy, giả sử xét hệ siêu 
tĩnh cho trên hình 5.9a nếu chọn 
hệ cơ bản bằng cách loại bỏ liên 
kết tại A có chuyển vị cưỡng 
bức (Hình 5.9b) thì điều kiện 
biến dạng theo phương của ẩn 
số X1 sẽ khác không: Hình 5.9
a)A 
Δ X1 
b)
X1 
X1 
m 
n 
c) 
A 
a 
 = - a ),X(X 11 ΔΔ
Nếu chọn hệ cơ bản bằng cách cắt liên kết có chuyển vị thì điều kiện biến dạng vẫn 
bằng không (Hình 5.9c) bởi vì lúc này chuyển vị tương ứng với cặp ẩn số X1 là chuyển vị 
tương đối, tuy gối A có chuyển vị cưỡng bức nhưng chuyển vị tương đối giữa hai điểm cắt 
m và n vẫn bằng không. 
 = 0 ),X(X 11 ΔΔ
2. Khi chọn hệ cơ bản cho hệ dàn siêu tĩnh hoặc hệ siêu tĩnh có các thanh hai đầu 
khớp với độ cứng hữu hạn (EF ≠ ∞) và tải trọng không tác dụng trên thanh, ta quy định chỉ 
được phép cắt và thay thế bằng các cặp lực XK ngược chiều nhau mà không được phép loại 
bỏ. 
 Hình 5.10
a) P 
A B 
EJ 
EF ≠ ∞ 
X1
b) P
A B
EJ 
X1
m n 
X1 
c) P
A B 
X1
Với hệ trên hình 5.10a: nếu chọn hệ cơ bản bằng cách loại bỏ thanh căng AB 
(Hình 5.10b) thì phương trình cơ bản biểu thị chuyển vị tương đối giữa A và B theo 
phương AB, chuyển vị này khác không vì trong thanh AB có biến dạng dọc trục; nếu chọn 
hệ cơ bản bằng cách cắt thanh AB (Hình 5.10c) thì chuyển vị tương đối giữa hai điểm m và 
n bằng không và phương trình cơ bản luôn bằng không. 
5.2.2. Hệ phương trình chính tắc 
1. Thành lập hệ phương trình chính tắc 
Trong giáo trình này ta chỉ nghiên cứu những hệ có thể áp dụng được nguyên lý cộng 
tác dụng, với những hệ này ta có thể biểu thị phương trình cơ bản thứ k của hệ (5-2) dưới 
dạng: 
129 
 =)z,,t,P,X,...X,X(X n21k ΔΔ +Δ++Δ++Δ+Δ nkkk2k1k XXXXXXXX ...... 
+ ΔΔ+Δ+Δ kktkP XXX = 0 
Để cho gọn, ta bỏ bớt các chỉ số X: 
 Δk1 + Δk2 + ... + Δkk + ... + Δkn + ΔkP + Δkt + ΔkΔ = 0 
Trong đó: 
 Δkm - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực XK do lực Xm gây ra trong 
hệ cơ bản; 
 ΔkP, Δkt, ΔkΔ - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực XK do riêng tải 
trọng, tha ...  không được cắt qua một đường thẳng. 
- Không được có quá ba trục song song với nhau 
- Nếu có ba trục cắt nhau tại một điểm thì ba trục còn lại không được song song với 
nhau. 
Nếu các điều kiện trên không được bảo đảm thì mặc dù các phương trình (8-5), (8-6) 
thỏa mãn nhưng vật thể vẫn không nằm trong trạng thái cân bằng. 
Ngoài hai nhóm phương trình cân bằng tĩnh học thường dùng nêu trên còn có thể có 
nhiều nhóm phương trình cân bằng khác. Cần chú ý đến việc chọn trục chiếu hoặc trục lấy 
mô men, cũng như thứ tự phương trình sao cho mỗi phương trình có ít ẩn phản lực nhất. 
Ví dụ 8-1: Xác định các phản lực của hệ cho trên hình 8.4 
Dùng các phương trình cân bằng với các thứ tự sau đây: 
 ΣY = -P + R4 = 0 → R4 = P 
 ΣMcd = P.4 -R6.12 = 0 → R6 = 
3
P 
 ΣX = R3 - R6 = 0 → R3 = R6 = 
3
P 
 ΣMbc = P.3 - R5.12 = 0 → R5 = 
4
P 
 ΣMcg = R1.4 - R6.3 = 0 → R1 = 
4
P 
 ΣZ = R1 + R5 - R2 = 0 → R2 = 
2
P 
8.3.2. Xác định nội lực 
Để xác định nội lực tại một tiết diện trong hệ không gian vẫn áp dụng nguyên lý mặt 
cắt. Nguyên tắc chung là dùng mặt cắt đi qua tiết diện cần tìm nội lực và chia kết cấu ra hai 
phần riêng biệt. Thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh đối với một phần kết cấu đã được 
tách ra, ta xác định được các nội lực cần tìm. Xét cân bằng một bộ phận trong không gian, 
ta lập được sáu phương trình cân bằng tĩnh, nên số nội lực chưa biết không được quá sáu. 
Vì vậy, trừ trường hợp đặc biệt, thông thường đối với khung, mặt cắt không được đi qua 
hai tiết diện, đối với dàn không được cắt quá sáu thanh. Riêng đối với dàn, nếu tách xét cân 
bằng phần dàn chỉ có một mắt (phương pháp tách mắt) thì với hệ lực đồng quy cân bằng 
chỉ lập được ba phương trình; Do đó thông thường tách mắt dàn không quá ba thanh. 
Tương tự đối với dàn phẳng, ta cũng có những nhận xét thường dùng từ phương pháp tách 
mắt đối với dàn không gian như sau: 
- Nếu tại mắt có ba thanh qui tụ và không có tải trọng tác dụng thì lực dọc trong cả ba 
thanh đều bằng không. 
3 
a 
b 
Hình 8.4
e 
h 
f 
g 
d 
c 
4 
12 
1 2 
3 
4 
5 
6 
P 
229 
- Nếu tại mặt cắt có n thanh qui tụ, trong đó có (n - 1) thanh 
nằm trong cùng một mặt phẳng thì lực dọc trong thanh còn lại 
bằng không khi tại mắt không có tải trọng tác dụng hoặc tải 
trọng nằm trong mặt phẳng của (n - 1) thanh kể trên. 
1 
Hình 8.5 
4m 
P 
3 
2 
4 
6 
5 
3m 
α 
Ví dụ 8-2: Xác định nội lực trong các thanh dàn trên hình 8.5. 
Sử dụng phương pháp tách mắt cùng các nhận xét và theo 
thứ tự sau: 
 Tách mắt 2, được: N23 = 0; 
 Tách mắt 3, được: N31 = N35 = N36 = 0 
 Tách mắt 1, được: N14 = N16 = 0; N12 = - P 
 Tách mắt 6, được: N24 = αsin
P ; N25 = - Pcotgα 
 Tách mắt 5, được: N54 = 0 
Ví dụ 8-3: Vẽ biểu đồ mô men uốn và xoắn của khung cho trên hình 8.6a. 
Hình 8.6
q=20kN/m 
A 
a) 
8m 
4m 4m 
P=50kN 
B 
C 
D 
b) 
400 480 
560 
160 
160 
M uốn 
c) 
M xoắn 
160 
560 
Thanh CD có mô men uốn trong mặt phẳng YOZ do q gây nên. Thanh CB có mô men 
uốn trong mặt phẳng XOZ do q gây nên. Thanh AB có mô men uốn trong mặt phẳng XOZ 
do q và trong mặt phẳng XOY do P. Biểu đồ mô men uốn của khung vẽ được trên 
hình 8.6b. 
Lực phân bố còn gây nên mô men xoắn trong các thanh BC, AB và biểu đồ vẽ được 
trên hình 8.6c. 
8.3.3. Tính dàn không gian bằng cách phân tích thành những dàn phẳng 
Nếu dàn không gian gồm nhiều dàn phẳng bất biến hình ghép lại thì ta có thể phân 
tích thành các dàn phẳng để tính riêng. Cơ sở lý luận của việc phân tích này là: Trong dàn 
không gian, nếu tải trọng chỉ tác dụng trong mặt phẳng của từng dàn phẳng bất biến hình 
riêng biệt mà cân bằng với nhau, hoặc cân bằng với các phản lực tựa của hệ thuộc trong 
mặt phẳng ấy, thì lực dọc chỉ phát sinh trong những thanh thuộc dàn phẳng đó, còn các 
thanh khác của dàn không gian không nằm trong mặt phẳng ấy sẽ có lực dọc bằng không. 
230 
 1 
2 
3 
4 
5 
6 
P1 
7 
8 
9 
10 
11 
12
P2 2 
P2 
2 
P2 
b) 
 a) 
Chẳng hạn xét dàn không gian cho trên hình 8.7a, ta nhận thấy chỉ có các thanh trong 
hai dàn thẳng đứng có nội lực khác không và được xác định bằng cách tính riêng từng dàn 
như trên hình 8.7b. 
Kết quả tính dàn trong ví dụ 8-2. cho thấy lực dọc chỉ 
sinh ra trong các thanh của dàn phẳng bất biến hình 1-2-4-5 
và kết quả hoàn toàn giống với kết quả khi tính riêng dàn 
phẳng ấy. 
Trường hợp tại mắt biên nối giữa các dàn phẳng có hệ 
lực tác dụng một cách bất kỳ thì ta có thể phân tích thành các 
thành phần nằm trong từng dàn phẳng một để sau đó sẽ tính 
cho từng dàn riêng biệt. Ví dụ lực P bất kỳ tại mắt 1 của dàn 
cho trên hình 8.8. được phân tích thành các lực P1, P2, P3. 
P1 chỉ gây ra các nội lực trong các thanh của dàn phẳng 
a-5-1-4-8-d. 
P2 gây ra nội lực trong các thanh của dàn phẳng a-5-1-2-6-b. 
P3 có phương trùng với giao tuyến của hai mặt dàn nên có thể tính trên sơ đồ của một 
trong hai dàn trên. Nội lực trong các thanh a-5 và 5-1 xuất hiện trong cả ba sơ đồ tính trên 
sẽ bằng tổng các kết quả riêng rẽ. 
8.4. XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH KHÔNG GIAN 
Nguyên tắc xác định chuyển vị trong hệ thanh không gian cũng giống như hệ phẳng, 
chỉ khác là công thức tính phức tạp hơn do phải xét đến cả sáu thành phần nội lực: Mx, My, 
Mz, Qx, Qy, Nz (Hình 8.9). 
Tương tự cách chứng minh trong hệ thanh phẳng, công thức tính chuyển vị trong hệ 
thanh không gian có độ cong nhỏ, do tải trọng tác dụng như sau: 
Hình 8.7
2 
P2 
3 
1 
6 
4 
5 
8 
9 
10
7 
12 
11 
2 
P2 
2 
P2 P1 
Hình 8.8 
5 
1 
P2 
3 
4 
a 
c 
b 
d 
2 
P1 P3 
7 
8 
6 
231 
ΔkP = ∑∫s
0 x
xPxk EJ
ds
MM +∑∫s
0 y
yPyk EJ
ds
MM +∑∫s
0 xoan
zPzk GJ
ds
MM + 
 + ∑∫s
0
Pk EF
ds
NN + ∑∫μs
0
xPxkx GF
ds
QQ + ∑∫μs
0
yPyky GF
ds
QQ (8-7) 
Trong đó: GJxoắn độ cứng của tiết diện khi chịu xoắn. Với tiết 
diện vuông có Jxoắn ≈ 0,1426a4; Với tiết diện chữ nhật hẹp (a > b) 
có: Jxoắn ≈ )b63,0a(
a
b3 − ; Với tiết diện tròn Jxoắn =
2
r4π ; Qx 
Hình 8.9 
x 
Qy 
Mx 
My Nz 
Mz 
y 
z Các tích phân trên có thể được tính bằng cách nhân biểu đồ 
Vêrêsaghin như trong hệ phẳng. Với dầm khung, tiết diện chủ yếu 
là uốn, thường bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc. 
Với hệ dàn, công thức tính chuyển vị vẫn như trước đây trong chương 4. 
Các định lý về công và chuyển vị đã rút ra trong hệ phẳng vẫn đúng cho hệ không 
gian. 
8.5. TÍNH HỆ KHÔNG GIAN SIÊU TĨNH 
Tính hệ không gian siêu tĩnh theo các phương pháp cơ bản - phương pháp lực và 
phương pháp chuyển vị, về nguyên tắc giống như khi tính hệ siêu tĩnh phẳng, nhưng phức 
tạp hơn do: 
- Số ẩn trong hệ không gian nhiều hơn. 
- Số nội lực trong các thanh nhiều hơn. 
8.5.1. Áp dụng nguyên lý chung của phương pháp lực 
Số ẩn của hệ bằng số liên kết “thừa” và được suy ra từ công thức (8-1). Để đơn giản ta 
thường áp dụng cách loại bỏ liên kết thừa để được hệ không gian tĩnh định, vừa đồng thời 
lập được hệ cơ bản. 
Hình 8.10 
a) b) Hệ cơ bản của hệ cho trên hình 8.10a, lập 
được bằng cách cắt qua bốn thanh ngang ta sẽ có 
bốn công sôn tĩnh định (Hình 8.10b). Tại mỗi tiết 
diện bị cắt xuất hiện sáu ẩn nội lực, như vậy số ẩn 
lực của toàn hệ là 6.4 = 24. 
Với hệ siêu tĩnh bậc n, tương tự trước đây, ta lập được hệ phương trình chính tắc: 
 δ11X1 + δ12X2 + ... + δ1kXk + ... + δ1nXn + Δ1P = 0 
 δ21X1 + δ22X2 + ... + δ2kXk + ... + δ2nXn + Δ2P = 0 
 ... 
 δn1X1 + δn2X2 + ... + δnkXk + ... + δnnXn + ΔnP = 0 
232 
Trong đó ý nghĩa của phương trình, của các hệ số và số hạng tự do vẫn như trong hệ 
phẳng. Hệ số và số hạng tự do được xác định theo công thức (8-7) 
δik = ∑∫s
0 x
xkxi EJ
ds
MM +∑∫s
0 y
ykyi EJ
ds
MM +∑∫s
0 xoan
zkzi GJ
ds
MM + 
 +∑∫s
0
ki EF
ds
NN + ∑∫μs
0
xkxix GF
ds
QQ + ∑∫μs
0
ykyiy GF
ds
QQ 
ΔiP = ∑∫s
0 x
o
xPxi EJ
ds
MM +∑∫s
0 y
o
yPyi EJ
ds
MM +∑∫s
0 xoan
o
zPzk GJ
ds
MM + 
 +∑∫s
0
o
Pi EF
ds
NN + ∑∫μs
0
o
xPxix GF
ds
QQ + ∑∫μs
0
o
yPyiy GF
ds
QQ 
Chúng còn có thể xác định qua cách nhân biểu đồ và bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, 
lực dọc. Với dàn siêu tĩnh: 
 δik = ∑
j j
jkjij
EF
lNN
 ΔiP = ∑
j j
j
o
Pjij
EF
lNN
Sau khi giải hệ phương trình chính tắc tìm được các ẩn lực, nội lực cuối cùng trong hệ 
siêu tĩnh được xác định theo nguyên lý cộng tác dụng: 
 S = 1S X1 + 2S X2 + ... + nS Xn + 
o
PS
Ví dụ 8-4: Vẽ biểu đồ mô men uốn và xoắn của khung siêu tĩnh trên hình 8.11b. Biết 
xoanGJ
EJ =1, Jx = Jy = J. 
x 
a) P 
6m 
y 
z 
6m 
6m 
o 
b) P 
6P
Mx,p
M p
6 
c) 
X1=1
Mz,1 
Mx,1 
M1 
6 6 
Hình 8.11
6 
d) 
X2=1 
Mz,2 
My,2
M2 
6 
6 
My,2 
e) Mx=
Mp 
16
66P
P
Mz= 16
12P
16
18P
16
30P
233 
Hệ cơ bản và biểu đồ mô men do tải trọng vẽ trên hình 8.11b. Các biểu đồ mô men 
đơn vị vẽ trên hình 8.11c,d.Các hệ số và số hạng tự do xác định theo cách nhân biểu đồ: 
 δ11 = = 
EJ
360
GJ
6.6.6
EJ
1
.6.
3
2
.
2
6.6
EJ
1
.6.
3
2
.
2
6.6
xoanxx
=++ M1 M1
 δ22 = = 
EJ
360
GJ
6.6.6
EJ
1
.6.
3
2
.
2
6.6
EJ
1
.6.
3
2
.
2
6.6
xoanyy
=++ M2 M2
 δ12 = = 
EJ
216
GJ
6.6.6
xoan
= M1 M2 
 Δ1P = = 
EJ
P72
EJ
6
.
3
2
.
2
P.6.6 −=− ; 
 Δ2P = = 0; 
Hệ phương tình chính tắc: 
 360X1 + 216X2 - 72P = 0; 
 216X1 + 360X2 + 0 = 0; 
Từ đó tìm được: X1 = P
16
5 ; X2 = P
16
3− ; 
Áp dụng biểu thức (8-13) có biểu đồ mô men trên hệ siêu tĩnh (Hình 8.11e). Kiểm tra 
biểu đồ cuối cùng: 
 = 0
GJ
6
.6.
16
P12
EJ
6
.
3
2
.
2
6
.
16
P66
EJ
6
.
3
2
.
2
6
.
P30 
16 xoan
=+−
8.5.2. Tính khung siêu tĩnh phẳng chịu lực không gian 
Trong trường hợp khung siêu tĩnh phẳng (Hình 8.12), các ẩn lực trong mặt phẳng của 
hệ (X1, X2, X3) chỉ gây ra các chuyển vị trong mặt phẳng đó, mà không gây ra các chuyển 
vị theo phương các ẩn còn lại (theo X4, X5, X6). Hệ phương trình chính tắc luôn luôn tách 
thành hai nhóm độc lập: Nhóm thứ nhất gồm ba phương trình với ba ẩn lực nằm trong mặt 
phẳng của hệ (X1, X2, X3), và nhóm thứ hai gồm ba phương trình với ba ẩn lực còn lại (X4, 
X5, X6). Như vậy việc giải sáu phương trình sáu ẩn số là đơn giản đi rất nhiều. 
Mặt khác, nếu ta cũng phân tích tải trọng đã cho thành tải trọng tác dụng trong mặt 
phẳng của hệ (Png trong hình 8.12a) và tải trọng thẳng góc với hệ (Pđ trong hình 8.12b) thì 
M1 Mp o 
M2 Mp o 
M1 Mp 
a) 
Hình 8
Pngang
x 
.12
y 
z 
X1 X1 
X2 X2 
X3 
X3 
Pđứng X4
b) 
X4
X5
X6
X6
X5
234 
khối lượng tính số hạng tự do cũng giảm đi đáng kể. Tải trọng nằm trong mặt phẳng của hệ 
chỉ gây nên những ẩn lực trong mặt phẳng của hệ (X1, X2, X3), còn tải trọng vuông góc chỉ 
gây nên các ẩn còn lại (X4, X5, X6). 
Ví dụ 8-5: Vẽ biểu đồ mô men uốn của khung cho trên hình 8.13a, biết tiết diện của 
thanh hình tròn có 
G
E = 2,5; 
J
Jxoan = 2. 
Hệ cơ bản vẽ trên hình 8.13b. Từ tính chất đối xứng, khung siêu tĩnh chỉ có một ẩn lực 
X1 (mô men uốn tại tiết diện bị cắt). Biểu đồ do X1 và do tải trọng vẽ trên hình 8.13c,d. 
Phương trình chính tắc: δ11X1 + Δ1P = 0 
Hệ số δ11 và số hạng tự do Δ1P xác định được: 
 δ11 = = 
EJ
5,13
2.
J.2.G
1.3.1
EJ
1.3.1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + M1 M1
 Δ1P = = 
EJ
P75,15
2.
J.2.G
1
.3.
2
P3
EJ
1
.
2
3
.
2
P3 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− M1 Mp o 
Từ phương trình: 13,5X1 - 15,75P = 0, tìm được X1 = 1,167P. Biểu đồ mô men uốn 
cuối cùng vẽ trên hình 8.13e. 
Ví dụ 8-6: Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ dầm trực giao cho trên hình 8.14a. 
Hệ dầm trực giao có thể đưa về sơ đồ tính đơn giản như trên hình 8.14b. Do đó hệ cơ 
bản lập được trên hình 8.14c, đều gồm các dầm đơn giản chịu các lực tác dụng trong mặt 
phẳng của từng dầm. Các biểu đồ đơn vị và biểu đồ do tải trọng vẽ trên hình 8.14e, f. 
Hình 8.13
a) 
x 
y 
z 
P J 
6m 
3m 3m 
3m 
J 
J 
X1 
b) 
2 P 2 P 
X1 Mx,1
1 
Mz,1 c) 
M1 
X1=1
1 
Mx,p 
Mp o 
d) 
P 
2 
P 
2 
Mz,p 
Mz,p
3P 
2 
3P
2 
3P
2 
P 
Mp 
e) 3P 
2 
Mz=0,333P 
0,333P
1,167P
3P
2 
Mz=0,333P
235 
Hệ phương trình chính tắc: 
 δ11X1 + δ12X2 + Δ1P = 0 
 δ21X1 + δ22X2 + Δ2P = 0 
Các hệ số và số hạng tự do: 
 δ11 = = EJ9
97
EJ2
1.
3
4.
3
2.
3
4.4.
2
1
3
4.
3
2.
3
4.2.
2
1
EJ5,0
2.
2
3.
3
2.
2
3.3.
2
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ; 
 δ22 = = 
EJ9
40 ; 
 δ12 = =
EJ27
42 ; 
 Δ1P = = 
EJ3
P46
EJ5,0
2
2.2
5
.P2.11.
3
2
.P2.2.
2
1 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− ; 
 Δ2P = = 0; 
 Hình 8.14
2m 
P 
A 
a) 
P 2m 
2m 
2m 
2m 
2m 
2m 
3m 3m 
B 
C D 
E F 
2J
0,5J 
0,5J 
P 
b) 
P 
P 
c) 
P 
X2 
X1 
M1 
d) 
X1=1
2J
0,5J
3
2
4
3
M2 
e) X2=1 
1 
2J
0,5J 
4 
3 
o Mp 
f) 
P P 
2P2P
M2 M2 
M1 M1 
M1 M2
M1 Mp o 
2M Mp o 
236 
Hệ phương trình chính tắc dạng số: 
Hình 8.15
Mp 
1,6483P 
0,5244P 
0,2988P 
0,246P 
0,5106P 0,5106P
9
97 X1 + 
27
42 X2 - 
3
46 P = 0 
27
42 X1 + 
9
40 X2 - 0 = 0 
Từ đó tìm được: X1 = 1,4984P, 
 X2 = -0,5244P. 
Biểu đồ mô men uốn cuối cùng vẽ trên hình 8.15. 
8.5.3. Tính hệ không gian siêu tĩnh theo phương pháp chuyển vị 
Tương tự như hệ phẳng, các ẩn số trong phương pháp chuyển vị là các chuyển vị góc 
xoay và chuyển vị thẳng của các nút khung. Mỗi nút khung không gian có thể có sáu 
chuyển vị: Ba chuyển vị góc xoay quanh ba trục tọa độ và ba chuyển vị thẳng hướng theo 
ba trục đó. 
Với các giả thiết như đã sử dụng trước đây, ta có số ẩn chuyển vị góc bằng ba lần số 
nút cứng trong hệ (vì mỗi nút cứng có ba ẩn góc xoay); còn số ẩn chuyển vị thẳng bằng số 
chuyển vị thẳng độc lập có trong hệ. Cũng giống như đối với hệ phẳng, để xác định số ẩn 
chuyển vị thẳng ta đưa hệ đã cho về hệ khớp bằng cách thay tất cả các nút cứng và liên kết 
ngàm bằng khớp rồi xét tính biến hình của hệ khớp đó. Số ẩn chuyển vị thẳng bằng số liên 
kết thanh chống đã thêm vào vừa đủ để cố định các nút của hệ khớp theo các phương. Hệ 
đã cho trên hình 8.16a có 12 ẩn chuyển vị góc và 4 ẩn chuyển vị thẳng. 
Hình 8.16
a) b) 
Hệ cơ bản là hệ các các nút đã hoàn toàn được cố định, lập được bằng cách đưa các 
liên kết ngàm chống xoay (theo ba trục) vào các nút cứng và đặt thêm các liên kết thanh 
chống ngăn chuyển vị thẳng của nút. Hệ cơ bản của khung đã cho được vẽ trên hình 8.16b. 
Trên hình 8.17. vẽ một số biểu đồ do tải trọng, do ẩn chuyển vị đơn vị tác dụng trên hệ 
cơ bản. Khi ẩn chuyển vị góc xoay tác dụng các thanh nối với nút đều biến dạng: Các 
thanh nằm trong mặt phẳng góc xoay bị uốn, còn các thanh khác vuông góc với mặt phẳng 
đó bị xoắn. Mô men xoắn do góc xoay đơn vị bằng: 
 Mz = iEJ
GJGJ xoanxoan =l ; i = l
EJ 
237 
Hệ phương trình chính tắc có dạng như trước đây: 
 ri1Z1 + ri2Z2 + ... + rinZn + RiP = 0 (i = 1, 2, ... n) 
Ý nghĩa phương trình, các hệ số và số hạng tự do vẫn như trong hệ phẳng. 
Giải hệ phương trình chính tắc tìm được các ẩn chuyển vị và mô men cuối cùng được 
xác định theo biểu thức cộng tác dụng: 
 MP = 11 Z M + 22 Z M + ... + nn Z M + 
o
PM 
l 
i1 
l1 
P h 
a) 
Pl1 
8 
Pl1
8 
i2 
2i1 
z =1
b)
Mz 
4i1
2i2
4i2
Hình 8.17
238