Cơ học kết cấu 1 - Chương 6: Uốn phẳng thanh thẳng

Chương 6: Uốn Phẳng Thanh Thẳng
1 Các Khái Niệm
2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy
5 Biến Dạng Của Thanh Chịu Uốn
6 Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
Uoán phaúng
1 Các Khái Niệm
z
y
x
Mi
Pi q
p2 Mi
Pi q
zy
x
p
a
Pi q Mi
1 Các Khái Niệm
Uốn không gian (uốn xiên)
zy
x
p2
z
y
x
M P
M
zy
M
 yQ
 xM
zy
Pl
 yQ
 xM 
P
l
Uốn thuần túy Uốn ngang phẳng
1 Các Khái Niệm
2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
y
x
z
yQ
xM
C
y
x
z
xQ
yM
C
* Uốn trong mặt phẳng (yz) tồn tại nội lực: ,y xQ M
* Uốn trong mặt phẳng (xz) tồn tại nội lực: ,x yQ M
2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
P qa 
22M qa q
a 4a
A C
P qa 22M qa q
a 4 a
A B C
BY
CY
B
qa 
11
4
qa
5
4
qa 
225
32
qa
2qa 
23qa 
I
xM
yQ 
* Biểu đồ nội lực
3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy
3.1 Các giả thiết
x
y
z
Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng
Giả thiết về các thớ dọc const
y
M
z
x
0 
0
0
x y
z
 

3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy
M M
Phía vaät lieäu bò co laïi
Phía vaät lieäu bò giaõn ra Lôùp trung hoøa
M M
Phía vaät lieäu bò giaõn ra
Phía vaät lieäu bò co laïi
Lôùp trung hoøa
Ñöôøng trung hoøa
y
z
x
M
Phía chòu keùo
Phía chòu neùn
Lôùp trung hoøa
Ñöôøng trung hoøa
3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang
y
x
z
Mx
z dz y
x
z
z
y
M
z
Ñöôøng trung hoøa.
x
r
Lôùp trung hoøa.
r
dj
m m
y

dz
o o
m m
y

n n
o o
 . (7.1)
.z
y d dmm oo y
oo d
r j r j

r j r
3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy
y . (7.1)
.z
y d dmm oo y
oo d
r j r j

r j r
Theo ñònh luaät Hooke: z zE  
Quan heä giöõa öùng suaát vaø löïc doïc:
z zF
N dF 
(7.2)yE
r
F
yE dF
r
 F
E ydF
r
E
r
 xS 0 (7 3)0 .xS 
x
Quan heä giöõa öùng suaát vaø moâmen uoán:
y zF
M xdF F
E yxdF
r
 F
E yxdF
r
E
r
 xyJ 0 0 (7.4)xyJ 
x zF
M ydF 2F
E y dF
r
 2F
E y dF
r
E
r
 (7.5)xJ
3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang
x
z
x
M y
J
 (7.6)
3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang
- Mx : Moâmen uoán tại mặt cắt coù ñiểm tính ứng suất
- Jx : Moâmen quaùn tính chính trung taâm cuûa mặt cắt coù ñiểm
tính ứng suất
- y : khoaûng caùch töø ñieåm tính öùng suaát ñeán ñöôøng trung hoøa
=> ÖÙng suaát phaân boá ñeàu theo beà roäng maët caét vaø thay ñoåi tuyeán tính
theo chieàu cao cuûa maët caét.
z
x
y
F Mx
ydF
* Söï phaân boá öùng suaát treân maët caét ñoái xöùng
y
x
z h
n
maxy
k
maxy
min
max
min
max
x
z
x
M y
J
 
max max
kx
x
M y
J
 
min max
nx
x
M y
J
 
 max min x
x
M
W
  
max
x
x
JW
y
3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang
: Moâmen choáng uoán cuûa mặt cắt
max max
kx
x
M y
J
 
min max
nx
x
M y
J
 
 max min  
max
ky
max
ny
max
min
x
y
Phía chòu neùn
Phía chòu keùo
* Söï phaân boá öùng suaát treân maët caét khoâng ñoái xöùng
3.3. Ñieàu kieän beàn öùng suaát phaùp
Vaät lieäu doøn
 
 
max max
min max
x k
k
x
x n
n
x
M
y
J
M
y
J
 
 
(7.7)
Vaät lieäu deõo
(7.8) max maxxz max
x
M
y
J
  
3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy
max
ky
max
ny
max
min
x
y
Phía chòu neùn
Phía chòu keùo
3.4 Daïng hôïp lyù cuûa tieát dieän
Vaät lieäu doøn
max max
min max
x k
x
x n
x
M
y
J
M
y
J


 
 
max
max
k
k
n
n
y
y

a

Vaät lieäu deõo
    1k n  a Maët caét khoâng ñoái xöùng
    1k n  a Maët caét ñoái xöùng
3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy
max
ky
max
ny
max
min
x
y
Phía chòu neùn
Phía chòu keùo
3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy
3.5 Ứng suất trên phân tốc thuộc dầm chịu uốn thuần túy
z
z z
z z
M M
3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy
3.5 Ứng suất trên phân tốc thuộc dầm chịu uốn thuần túy
u uv
090 
090045045 a
x
0,5 x
0,5 x 
0
u
uv
x x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
045
x x
2
x
2
x2
x
2
x
2
x
2
x
045
  212 . ; 6 /M kN m kN cm 
M
zyA B
b
2b
2b
b
Ví dụ 1: Dầm AB mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chịu lực và
có kích thước như hình vẽ.
* Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm.
* Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền.
* Nếu bố trí mặt cắt ngang như hình bên, xác định kích thước
mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền.
M
 xM
 yQ
M
zyA B
b
2b
x
Theo ñieàu kieän beàn
  maxmax xz
x
M
W
  
Trong ñoù
 3 4 3
max
2 2 2; ; ;
12 3 3x x max x
b b
M M J b y b W b 
 3
3
2
M
b
  
33
3 3.12.100 6,69
2 2.6
Mb cm

2b
bBoá trí maët caét ngang nhö hình 2
 3 4 32 ; ;
12 6 2 3x max x
b b b b bJ y b W 
 3
3M
b
 
 
33
3 3.1200 8, 43
6
Mb cm

b
2b
x
6,69b cm 
2b
b 8,43b cm 
  215 . ; 6 /M kN m kN cm 
Ví dụ 2: Dầm AB mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chịu lực và
có kích thước như hình vẽ.
* Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm.
* Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền.
M
zyA B
3b bb
2b
4b
M
 xM 
 yQ
M
zyA B
- Biểu đồ nội lực phát
sinh trong dầm.
1x
M
 xM 
 yQ
2
2 2
1
2 2 2
1
3 .30 2 .12 11
30 12 3
ic i
i
c
i
i
y F
b b b by b
b bF


Xaùc ñònh troïng taâm cuûa maët caét
M
zyA B
3b bb
2b
4b
y
x
 3 32 22 2 45 . 6 3 . 411 113 .30 2 .12 54
12 3 12 3x
b b b b
J b b b b b b b 
1x
3b bb
2b
4b
y
x
max
11
3
k
maxy y b maxxM M 
Theo ñieàu kieän beàn
  max maxmax xz
x
M
y
J
  
Trong ñoù
 4
11
54 3
M b
b
 
 
33
11 11.1500 2,57
3.54. 3.54.6
Mb cm

Chọn 2,6b cm 
Ví dụ 3: Dầm AC mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chịu lực và
có kích thước như hình vẽ.
* Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm.
* Xác định tải trọng cho phép (M) theo điều kiện bền.
3M
zyA B
M
C
b
1 2 b
8b
6b
   2 23 ; 2,5 / ; 6 /k nb cm kN cm kN cm  
3M
zyA B
M
C
2M
M
 xM
- Biểu đồ nội lực phát
sinh trong dầm.
b12b
8b
6b
y
1x
x
Xaùc ñònh troïng taâm cuûa maët caét
2
1
2
1
6 .8 .12 6,5 .6 .11 4,9
8 .12 6 .11
ic i
i
c
i
i
y F
b b b b b by b
b b b bF


3 3
2 2 48 . 12 6 . 116 4,9 .8 .12 6,5 4,9 .6 .11 433,7
12 12x
b b b b
J b b b b b b b b b
Moâ men quaùn tính chính trung taâm cuûa maët caét ngang
Theo ñieàu kieän beàn
 
 
max
max max
max
min max
x k
k
x
x n
n
x
M
y
J
M
y
J
 
 
Trong ñoù:
max
max
max
2
7,1
4,9
x
k
n
M M
y b
y b
Choïn 2061 .M kN cm 
 
 
4
4
2 7,1
433,7
2 4,9
433,7
k
n
M b
b
M b
b


 
 
3 3
3 3
433,7 433,7.3 .2,5 2061,6 .
2.7,1 2.7,1
433,7 433,7.3 .6 7169,32 .
2.4,9 2.4,9
k
n
b
M kN cm
b
M kN cm


Caùch 2: so saùnh
 
 
max
max
7,1 2,5
4,9 6
k
k
n
n
y b
y b


 => Thanh bò phaù huûy do keùo
Theo ñieàu kieän beàn
 maxmax maxx k k
x
M
y
J
  
Choïn 2061 .M kN cm 
 4
2 7,1
433,7 k
M b
b
 
 3 3433,7 433,7.3 .2,5 2061,6 .
2.7,1 2.7,1
kbM kN cm

x
y
M
z
Lôùp trung hoøa.
Ñöôøng trung hoøa.
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
x
y
z
Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng không còn đúng nữa
Giả thiết về các thớ dọc
0 
0
0
x y
z
 

4.1 Các giả thiết
4.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
x
z
x
M y
J
 
4.3 Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang
Ax
y
dz
z
y CF
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
Ax
y
dz
z
y CF
dz
zy
yz
( )p
z( )t
z
cb
( ) ( ) . . 0
C C
t p
z z yz c
F F
dF dF dz b   
. . 0
C C
x x x
yz c
x xF F
M M dMydF ydF dz b
J J

4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
. . 0
C C
x x x
yz c
x xF F
M M dMydF ydF dz b
J J

. . 0
C
x
yz c
xF
dM ydF dz b
J
 
c
y x
yz
x c
Q S
J b
 
1
C
x
yz
x c F
dM ydF
dz J b
 
- Qy : Löïc caét tại mặt cắt coù ñiểm tính ứng suất
- Jx : Moâmen quaùn tính chính trung taâm cuûa
mặt cắt coù ñiểm tính ứng suất
- bc : beà roäng maët caét taïi ñiểm tính ứng suất
- : Moâmen tónh cuûa dieän tích bò caét laáy ñoái
vôùi truïc trung hoøa.
c
xS
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
2
2
3
6
4
y
yz
Q h y
bh

 max
0 / 2
0 0
yz
yz
khi y h
khi y


yC
cy
x
y
Cb
CF
A
max
min
max
* Söï phaân boá öùng suaát tieáp treân maët caét
4.4 Kiểm tra bền cho dầm chịu uốn ngang phẳng
* Ñieàu kieän beàn öùng suaát phaùp
Vaät lieäu doøn
 
 
max max
min max
x k
k
x
x n
n
x
M
y
J
M
y
J
 
 
Vaät lieäu deõo
* Điều kiện bền ứng suất tiếp
 max maxmax
x
z
x
M
y
J
  
 
/2
max
max
.
.
F
y x
yz C
x
Q S
J b
  
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng
A
B
C
D
z
z
zy
z z xM
yQ
z
z z
zy
z z
zy
E
3.5 Ứng suất trên phân tốc thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
zy
u
uv
v
1
a
u
1
a
u
yz
zy
yz
zz
yz
zyz
B B
cos 2 sin 2
2 2
sin 2 cos 2
2
z z
u yz
z
uv yz
 
 a  a

 a  a
3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
* Ứng suaát phaùp cực trị
2
0 sin 2 2 cos 2 0 2 yzu z yz
z
d tg
d

 a  a a
a 
 2 2max
min
1 4
2 z z yz
    
0 cos 2 2 sin 2 0 2
2
uv z
z yz
yz
d tg
d
 
 a  a a
a 
* Ứng suaát tiếp cực trị
2 2
max
min
1 4
2 z xy
   
3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
3 max
N  E
0
max 90a 1
D
3
0
max 45a 
1 max  
C 0
max 45a 
3 max  
3
1
0
max 45a 
B
3 max
k  A
0
max 0a 
3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
uuv
max
max
u
uv
pmina
max
a
p 
min
max 
max
a
max
a
a
3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng
4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng
q
cos 2 sin 2
2 2
sin 2 cos 2
2
z z
u yz
z
uv yz
 
 a  a

 a  a
Ví dụ 4: Dầm AC mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chịu lực và
có kích thước như hình vẽ.
* Xác định phản lực liên kết tại A, B.
* Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền
ứng suất pháp.
   2 2120 / ; 2 ; 6 / ; 2,5 /q kN m a m kN cm kN cm  
P qa 22M qa q
3a a
b
3bA B C
* Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm.
* Với b tìm được, kiểm tra bền cho dầm theo điều kiện bền ứng
suất tiếp.
* Phản lực liên kết tại A, B
2
2
3 130 .3 . 2 .3 .4 0
2 6
3 110 .3 .3 . 2 . 0
2 6
A B B
B A A
am q a qa Y a qa a Y qa
am Y a q a qa qa a Y qa


* Biểu đồ nội lực
P qa 22M qa q
3a a
A B C
AY BY
2qa
2qa
2121
72
qa
 xM 
11
6
qa qa
7
6
qa
 yQ
* Theo điều kiện bền ứng suất pháp
* Kiểm tra bền theo điều kiện bền ứng suất tiếp
  
x
x
z W
M
max
max 
  
6
3
72
121
2
2
bb
qa
  cm
qab 77,20
6.108
100.2.120.121
108
121
3
2
3
2

Chọn cmb 21 
  22223max /5,2/499,021.12
2.120.11
12
11
.
12
3
2
3
4
3.
6
11
cmkNcmkN
b
qa
bbb
bbbqa
yz 
=> Bền
Ví dụ 5: Dầm AC mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chịu lực và
có kích thước như hình vẽ.
* Xác định phản lực liên kết tại A, C.
* Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền
ứng suất pháp.
* Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm.
P qa 2M qa q
2a a
A B C
b
12b
8b
6b
  2780 / ; 1,8 ; 18 /q kN m a m kN cm 
* Phản lực liên kết tại A, C
* Biểu đồ nội lực
2
2
3 170 .3 . .2 .3 0
2 4
10 .2 .3 . . 0
2 4
A B B
B A A
am qa q a Y a qa a Y qa
am qa Y a q a qa a Y qa


P qa 2M qa q
2a a
A B C
AY BY
qa2qa
9 / 4qa/ 4qa
 yQ
21,5qa
2qa
 xM
* Mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang
Chọn cmb 1,7 
* Trọng tâm của mặt cắt
b
12b
8b
6b
x
y
1x
2
1
2
1
6 .8 .12 6,5 .6 .11 4,9
8 .12 6 .11
ic i
i
c
i
i
y F
b b b b b by b
b b b bF


* Theo điều kiện bền ứng suất pháp
3 3
2 2 48 . 12 6 . 116 4,9 .8 .12 6,5 4,9 .6 .11 433,7
12 12x
b b b b
J b b b b b b b b b
 max maxmax
x
x
M
y
J
  
2
maxmax 1,5 ; 12 4,9 7,1xM qa y b b b 
   
2 2 2 2
334
1,5 1,5 .7,1 1,5.780.1,8 .10 .7,1.7,1 7,012
433,7 433,7 433,7.18
qa qab b cm
b


Ví dụ 6: Dầm AC mặt cắt ngang hình chữ I24, liên kết, chịu lực
và có kích thước như hình vẽ.
* Xác định phản lực liên kết tại A, B.
* Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp.
* Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm.
Pq
l a
A B C
h
d
y
y
xx
40 ; 20 / ; 4 ; 1P kN q kN m l m a m   21600 /daN cm   21000 /daN cm 
4 324 ; 0,56 ; 3460 ; 289x xh cm d cm J cm W cm 
* Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp.
* Phản lực liên kết tại A, B
* Biểu đồ nội lực
 0 . . . 0 90
2
0 . . . . 0 30
2
A B B
B A A
lm q l Y l P l a Y kN
lm Y l q l P a Y kN


Pq
l a
A B C
AY BY
40kN
50kN
30kN
 yQ
40 .kN m
22,5 .kN m
 xM
* Kiểm tra bền theo điều kiện bền ứng suất pháp
 
2
2 2 2max
max
40.10 13,84 / 1384 / 1600 /
289
x
x
M
kN cm daN cm daN cm
W
  
Bền
* Kiểm tra bền theo điều kiện bền ứng suất tiếp
 
/ 2
2 2 2max
max
. 50.163 4, 2062 / 420,62 / 1000 /
. 3460.0,56
F
y x
C
x
Q S
kN cm daN cm daN cm
J b
  
Bền
Ví dụ 7: Cho moät ñaäp ngaên nöôùc ñöôïc laøm baèng
caùc taám goã A choàng theo phöông ñöùng. Ñeå ñôõ
caùc taám goã naøy ngöôøi ta söû duïng caùc truï goã
thaúng ñöùng B, caùc truï naøy ñöôïc choân xuoáng
ñaát vaø laøm vieäc nhö caùc daàm coângxoân nhö
hình vẽ. Caùc truï thaúng ñöùng B coù maët caét
ngang hình vuoâng kích thöôùc bxb vaø coù
khoaûng caùch giöõa caùc coät laø s=0,8m. Möïc
nöôùc trong ñaäp coù chieàu cao h=2m. Xaùc ñònh
kích thöôùc maët caét ngang coät B neáu öùng suaát
uoán cho pheùp cuûa goã baèng   8MPa 
s
b
b
B
B A
b
AB
h
Nöôùc
s
h
* Mômen uốn lớn nhất tại chân cột:
* Theo điều kiện bền ứng suất pháp
max
3
0. .
2 3 6x
q h h h sM  
hsq  0
0
1 .
2
R q h 
1
3
h
h
 
3
max
max
3
1
6
1
6
x
z
x
h sM
W b

  
 
3 3
33 3
9,81.2 .0,8 0,1987
8.10
h sb m

Chọn 199b mm 
Ví dụ 7: Cho moät ñaäp ngaên nöôùc ñöôïc laøm baèng caùc taám goã A choàng theo
phöông ñöùng. Ñeå ñôõ caùc taám goã naøy ngöôøi ta söû duïng caùc truï goã thaúng ñöùng
B, caùc truï naøy ñöôïc choân xuoáng ñaát vaø laøm vieäc nhö caùc daàm coângxoân nhö
hình vẽ. Caùc truï thaúng ñöùng B coù maët caét ngang hình vuoâng kích thöôùc bxb
vaø coù khoaûng caùch giöõa caùc coät laø s=0,8m. Möïc nöôùc trong ñaäp coù chieàu
cao h=2m. Xaùc ñònh kích thöôùc maët caét ngang coät B neáu öùng suaát uoán cho
pheùp cuûa goã baèng   8MPa 
s
b
b
B
B A
b
AB
h
Ví dụ 8: Cho moät heä saøn nhö hình vẽ. Saøn mang taûi thieát keá bao goàm caû
trong löôïng baûn thaân saøn . Daàm ñôõ saøn coù maët caét ngang
hình chöõ nhaät kích thöôùc 54mm x 204mm vôùi nhòp daàm l=4000mm, khoaûng
caùch cuûa caùc daàm (tính töø truïc daàm) baèng s=406mm. Boû qua troïng löôïng
daàm, xaùc ñònh öùng suaát phaùp lôùn nhaát phaùp sinh trong daàm.
29600 /w N m 
406
406
51 204mm mm 
Daàm
Saøn
s
s
* Sơ đồ tải trọng và mô hình tính của dầm:
406
406
4000
q
29600 /w N m 
51 204mm mm 
51 204mm mm 
Daàm
Saøn
)a
)b
s
s
* Mômen uốn lớn nhất tại mặt cắt giữa dầm:
max
2 2 2. . 9,6.406.4 7795,2 .
8 8 8x
ql w s lM kN mm 
* Ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm:
max 2
2max
7795,2 0,022 /
51.204
6
x
z
x
M
kN mm
W
