Dao động của dầm cơ tính biến thiên hai chiều có lỗ rỗng vi mô chịu lực di động

KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
10 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 
DAO ĐỘNG CỦA DẦM CƠ TÍNH BIẾN THIÊN HAI CHIỀU 
CÓ LỖ RỖNG VI MÔ CHỊU LỰC DI ĐỘNG 
TS. LÊ THỊ HÀ 
Trường Đại học Giao thông vận tải 
Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu dao động của dầm 
cơ tính biến thiên hai chiều (2D-FGM) có lỗ rỗng vi 
mô chịu lực di động bằng lý thuyết dầm bậc cao. 
Tính chất vật liệu được giả thiết thay đổi theo chiều 
cao và chiều dài dầm bằng quy luật hàm số lũy 
thừa. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, 
phương trình chuyển động cho dầm được thiết lập 
dưới dạng rời rạc, từ đó tính toán các tham số dao 
động của dầm. Công thức phần tử hữu hạn thiết lập 
trong bài báo được so sánh và kiểm chứng với kết 
quả đã công bố. Ngoài ra, ảnh hưởng của các tham 
số lỗ rỗng, tham số phân bổ vật liệu đến đặc tính 
dao động của dầm được nghiên cứu và thảo luận 
chi tiết trong bài báo. 
Từ khóa: dầm có cơ tính biến thiên hai chiều, lý 
thuyết biến dạng trượt bậc cao, dao động tự do, 
phương pháp phần tử hữu hạn. 
Abstract: This paper studies the vibration of a bi-
directional functionally graded (FG) porous beams 
under of a moving load, based on a high-order 
shear deformation theory. The material properties of 
a bidirectional FG porous beam are assumed vary in 
both axial and thickness directions according to a 
power law. The finite element method is used to 
discretize the model and to compute the vibration 
characteristics of the beams. The accuracy of the 
derived formulation is confirmed by comparing the 
obtained results with the published data. A 
parametric study in carry out to show the effects of 
the porous parameter, material distribution on the 
vibration of the beams are examined and discussed. 
Keywords: A bidirectional functionally graded 
material, a high-order shear deformation theory, 
porous, free vibration, finite element method. 
1. Đặt vấn đề 
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là vật liệu 
composite được tạo thành từ hai vật liệu thành phần 
với tỷ lệ thể tích thay đổi theo một hay nhiều hướng 
không gian nào đó. Kết cấu dầm được làm từ FGM 
đơn hướng, tức là các tính chất vật liệu chỉ thay đổi 
theo một hướng không gian, chiều cao hoặc chiều 
dài của dầm. Trong thực tế, kết cấu FGM đơn 
hướng không tối ưu khi chịu tác động đồng thời của 
các tải trọng cơ, nhiệt theo các hướng khác nhau. 
Việc phát triển các vật liệu có cơ tính biến đổi theo 
nhiều hướng khác nhau là nhu cầu thực tế và có ý 
nghĩa khoa học. Nghiên cứu ứng xử cơ học của 
dầm có cơ tính biến thiên hai chiều (2D-FGM) đã 
được một số tác giả quan tâm trong thời gian gần 
đây. 
Sử dụng các đa thức để xấp xỉ trường chuyển 
vị, Simsek [1] nghiên cứu dao động cưỡng bức của 
dầm 2D-FGM chịu tải trọng di động với tính chất vật 
liệu biến thiên theo quy luật hàm số mũ. Tác giả chỉ 
ra rằng sự phân bố ứng suất trong dầm 2D-FGM 
khác xa so với dầm 1D-FGM hay dầm thuần nhất. 
Sử dụng phương pháp Ritz, Simsek [2] thu nhận 
được lực tới hạn cho dầm Timoshenko 2D-FGM có 
cơ tính biến đổi theo quy luật hàm số lũy thừa. 
Phương pháp giải tích cũng được Pydah và Sabale 
[3] sử dụng trong phân tích uốn của dầm FGM tròn 
với các tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật hàm 
số mũ theo hướng tiếp tuyến và quy luật hàm số lũy 
thừa theo hướng bán kính của dầm. Karamanli [4] 
kết hợp lý thuyết biến dạng trượt tựa 3D với 
phương pháp thủy động lực học các hạt trơn đối 
xứng, để nghiên cứu ứng xử uốn của dầm sandwich 
2D-FGM với các giá trị khác nhau của tỷ số giữa 
chiều dài và chiều cao dầm. Phương pháp cầu 
phương vi phân cũng được Tang và cộng sự [5] 
dùng trong nghiên cứu dao động tự do phi tuyến 
của dầm 2D-FGM, cơ tính biến đổi theo chiều cao 
bằng quy luật hàm số lũy thừa, chiều dài bằng quy 
luật hàm số mũ. 
Trong nước, nghiên cứu cho dầm có cơ tính 
biến thiên hai chiều (2D-FGM) vẫn còn ít tác giả 
quan tâm. Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, 
Nguyễn Đình Kiên và cộng sự [6; 7] nghiên cứu 
tham số tần số, tham số độ võng cho dầm 2D- FGM 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 11 
chịu lực di động. Ảnh hưởng của tham số vật liệu, 
kích thước dầm tới tham số tần số được nghiên cứu 
chi tiết. Lê Thị Hà [8] phân tích động lực học cho 
dầm sandwich 3 lớp, lớp trên cùng được cấu tạo từ 
vật liệu 2D-FGM chịu lực điều hòa di động. 
Theo hiểu biết của tác giả, các công bố trong 
và ngoài nước mới nghiên cứu cho dầm có cơ tính 
biến thiên hai chiều hoàn hảo. Tuy nhiên, đối với 
dầm có cơ tính biến thiên một chiều có lỗ rỗng vi mô 
đã được Wattanasakulpong [9] nghiên cứu. Trong 
bài báo này, tác giả nghiên cứu dao động của dầm 
giản đơn chịu lực di động, dầm được làm từ vật liệu 
có cơ tính biến thiên hai chiều không hoàn hảo do 
có lỗ rỗng vi mô. Ảnh hưởng của tham số lỗ rỗng, 
tham số vật liệu đến tham số tần số của dầm được 
nghiên cứu chi tiết trong bài báo. 
2. Phương trình vi phân chuyển động cho dầm 
Hình 1 minh họa dầm giản đơn được làm từ 
vật liệu 2D-FGM có lỗ rỗng vi mô, có chiều dài L, 
chiều rộng b, chiều cao h, F là lực di động trên dầm. 
Dầm 2D-FGM được tạo từ hai vật liệu thành phần: 
gốm và kim loại, với tỷ lệ thể tích thay đổi theo chiều 
cao và chiều dài dầm bằng quy luật hàm số lũy 
thừa. Theo Karamanli [4], mặt đáy của dầm hoàn 
toàn là kim loại ( 0 x L , z=-h/2), góc trái của 
dầm (x=0, z=h/2) là gốm và góc bên phải của dầm 
(x=L, z=h/2) bao gồm cả gốm và kim loại. Như vậy, 
vật liệu của dầm thay đổi theo cả chiều cao và chiều 
dài dầm và được viết dưới dạng: 
L, h, b 
Hình 1. Mô hình dầm xốp có cơ tính biến thiên hai chiều (2D-FGM) 
1
( , ) 1 ; ( , ) ( , ) 1;
2 2
; 0
2 2
m n
c c m
x z
V x z V x z V x z
L h
h h
z x L
 (1) 
Từ công thức (1), Vc, Vm tương ứng là thể tích 
của vật liệu gốm và kim loại; m, n lần lượt là tham 
số vật liệu biến đổi theo chiều dài và chiều cao dầm. 
Do đó, tính chất hiệu dụng của dầm 2D-FGM có lỗ 
rỗng vi mô được viết theo Wattanasakulpong [9] 
như sau: 
1
( , ) ( ) 1 ( )
2 2 2
m n
p
c m m c m
Vx z
P x z P P P P P
L h
 (2) 
Trong công thức (2), ,c mP P tương ứng là 
tính chất hiệu dụng của vật liệu gốm và kim 
loại, Vp là tham số lỗ rỗng của vật liệu. Từ 
công thức (2), mô đun đàn hồi Young E(x,z), 
mật độ khối ρ (x,z) của dầm viết dưới dạng 
sau: 
1
( , ) ( ) 1 ( )
2 2 2
1
( , ) ( ) 1 ( )
2 2 2
m n
p
c m m c m
m n
p
c m m c m
Vx z
E x z E E E E E
L h
Vx z
x z
L h
 (3) 
Từ công thức (3), Ec, Em, ρc, ρm tương ứng là 
mô đun đàn hồi, mật độ khối của gốm và kim loại. 
Theo lý thuyết dầm bậc cao của Shi (1999), 
chuyển vị dọc trục u và chuyển vị ngang w tại 
điểm bất kỳ trên dầm biểu diễn dưới dạng như 
sau:
h/2 
-h/2 
z 
x 
E(x,z) 
0 
F 
x Ec 
Em Em 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
12 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 
3
0 0 0, 0
0
( , , ) ( , ) ,
( , , ) ( , ),
( )xu x z t u x t
w x z t w x t
z w z  
 (4) 
Với u0, w0 tương ứng là thành phần chuyển 
vị dọc trục và chuyển vị ngang tại một điểm trên 
mặt giữa dầm; = 4/3 h2; γ0 là góc trượt ngang. 
Theo lý thuyết biến dạng nhỏ, các thành phần 
biến dạng dọc trục và biến dạng trượt (xx, xz) có 
dạng:
 30, 0, 0, 0,
2
0 03
xx x x xx x
xz
u z w z
z
  
  
 (5) 
Theo định luật Hooke, ứng suất dọc trục và ứng suất trượt của dầm có dạng: 
3
0, 0, 0, 0,
2
0 0
( , ). ( , )[ ( ) ]
( , )
( , ) 3
2(1 )
xx xx x x xx x
xz xz
E x z E x z u z w z
E x z
G x z z
   
   

 (6) 
Trong công thức (6), E(x.z) và G(x.z) 
tương ứng là mô đun đàn hồi và mô đun 
trượt; xx và xz lần lượt là ứng suất dọc trục 
và ứng suất trượt. Năng lượng biến dạng cho 
dầm nhận được từ các công thức (5), (6) có 
dạng:
2 2
11 0, 12 0, 0, 0, 22 0, 0, 34 0, 0,
2 2 2
0 44 0, 0, 0, 66 0, 44 0
2 ( ) ( ) 21
2 2 ( )
L
x x x xx x xx x x
x x xx x
A u A u w A w A u
U dx
A w A B
  
    
 (7) 
Trong công thức (7), A11, A12, A22, A34, A44, A66 và B44 tương ứng là các độ cứng của dầm và chúng 
được biểu diễn như sau: 
2 3 4 6
11 12 22 34 44 66
2 2 4
44
( , , , , , )( , ) ( , )(1, , , , , )
( , ) ( , )(1 6 9 )
A
A
A A A A A A x z E x z z z z z z dA
B x z G x z z z dA 
 (8) 
Từ trường chuyển vị (4), ta có thể viết biểu thức động năng của dầm dưới dạng: 
2 2 2 2 2
11 0 0 22 0 0, 66 0 12 0 0 0,
0 34 0 0 44 0 0 ,
( ) ( ) 2 ( )1
2 2 2 ( )
L
x x
o x
I u w I w I I u w
T dx
I u I w
  
   
 (9) 
Từ công thức (9) các thành phần I11, I12, I22, I34, I44, I66 tương ứng là các momen khối lượng được tính 
bởi công thức sau: 
2 3 4 6
11 12 22 34 44 66( , , , , , )( , ) ( , )(1, , , , , )
A
I I I I I I x z x z z z z z z dA (10) 
Thế năng của lực di động trên dầm được viết 
như sau: 
( ) ( )iV Fw x x vt (11) 
Từ công thức (11), δ(.) là hàm Dirac delta, thể 
hiện vị trí mà lực tác dụng lên dầm, v là vận tốc của 
lực di động, ti thời gian lực di động. 
 Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, chia dầm 
thành nhiều phần tử, mỗi phần tử có hai nút và mỗi 
nút có 4 chuyển vị, chiều dài của một phần tử là l, véc 
tơ chuyển vị nút d của một phần tử dầm có dạng: 
 , ,, , , , , , ,
T
i i i x i j j j x ju w w u w w  d (12) 
Trong công thức (12), 
, ,, , , , , , ,i i i x i j j j x ju w w u w w  lần lượt là các giá trị 
của 0 0 0, 0, , ,xu w w  ở nút i và nút j. Chỉ số trên “T” 
ký hiệu là chuyển vị của véc tơ hoặc ma trận. Các 
chuyển vị dọc trục, chuyển vị theo phương ngang 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 13 
và góc xoay của mỗi nút trong một phần tử dầm nội 
suy theo công thức: 
0 0 w 0u N . ; w N . ; N . u  d d d (13) 
Từ công thức (13), Nu, Nw, N tương ứng là các 
ma trận hàm dạng cho các chuyển vị dọc trục, theo 
phương ngang và góc xoay của mỗi nút. Trong bài 
báo này, sử dụng hàm Hermite cho Nw, sử dụng các 
hàm dạng tuyến tính cho Nu, N. Biểu thức năng 
lượng biến dạng đàn hồi từ công thức (7), viết dưới 
dạng công thức phần tử hữu hạn như: 
1
2
ne
TU d kd (14) 
Từ công thức (14), ký hiệu ne là tổng số phần 
tử của dầm; k là ma trận độ cứng của phần tử dầm 
và viết dưới dạng: 
k = k11 + k12 + k22 + k34 + k44 + k66 + ks (15) 
Trong công thức (15), các ma trận k11, k12, k22, 
k34, k44, k66, ks được tính theo công thức sau: 
11 , 11 , 12 , 12 , ,
0 0
22 , , 22 , , 34 , 34 ,
0 0
2
44 , 44 , , 66 , 66 , 44
0 0 0
; 2 ( ) ;
( ) ( ) ; 2 ;
2 ( ) ; ;
l l
T T
u x u x u x x w xx
l l
T T
x w xx x w xx u x x
l l l
T T T
x x w xx x x s
N A N dx N A N N dx
N N A N N dx N A N dx
N A N N dx N A N dx N B N dx

  
     
k k
k k
k k k
 (16) 
Tương tự, biểu thức động năng của dầm theo công thức (9), viết dưới dạng công thức phần tử hữu hạn 
như sau: 
1
2
ne
TT d md (17) 
Trong công thức (17), m ma trận khối lượng, được viết: 
m = m11 + m12 + m22 + m34 + m44 + m66 (18) 
và 
11 11 12 12 ,
0 0
22 , 22 , 34 34
0 0
2
44 , 44 , 66 66
0 0
; 2 ;
; 2 ;
2 ; ;
l l
T T T
u w u w u w x
l l
T
T
w x y w x u
l l
T T
x y w x
N N I N N dx N I N N dx
N N I N N dx N I N dx
N I N N dx N I N dx

 
  
m m
m m
m m
 (19) 
Bỏ qua ảnh hưởng cản của vật liệu dầm, 
phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM có lỗ 
rỗng vi mô có thể viết dưới dạng ngôn ngữ phần tử 
hữu hạn như sau: 
ex MD KD F (20) 
Trong công thức (20), M, K tương ứng là ma 
trận khối lượng và ma trận độ cứng tổng thể của 
dầm 2D-FGM; D là vectơ chuyển vị nút tổng thể 
cho dầm 2D-FGM, Fex là véc tơ lực ngoài tổng 
thể. Áp dụng phương pháp tích phân trực tiếp 
Newmark để giải phương trình (20), ta được 
tham số độ võng cũng như tham số động lực học 
cho dầm. 
3. Kết quả số 
Cho dầm 2D-FGM với tỉ số giữa chiều dài và 
chiều cao dầm là L/h = 20, dầm làm từ hai vật liệu 
thành phần: Sắt oxit (Fe2O3) và sắt (Fe). Các tính 
chất vật liệu của dầm 2D-FGM sử dụng tính toán 
trong bài báo: Sắt oxit (Fe2O3): Ec=390 (GPa), 
ρc=3960 (kg/m3),  = 0,3. Sắt (Fe): Em= 210 (GPa), 
ρm = 7800 (kg/m3). Để thuận tiện cho việc thảo luận 
kết quả tính toán số, tham số độ võng, fD, cho dầm 
2D-FGM chuẩn hóa theo công thức: 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
14 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 
3
0( / 2, )max ; w
48
D st
st m
w L t FL
f
w E I
 (21) 
Trong đó, wst là độ võng tĩnh của dầm kim loại chịu tác dụng lực F tại giữa dầm. 
Bảng 1. Kết quả so sánh tham số tần số cơ bản với Wattanasakulpong [9] (Vp =0.2; m=0) 
L/h=5 L/h=10 L/h=20 
n Bài báo [9] Bài báo [9] Bài báo [9] 
0.2 1.9628 1.9205 1.1173 1.1092 0.5812 0.5797 
0.5 1.7799 1.7402 1.0049 0.9956 0.5212 0.5186 
1 1.5555 1.5210 0.8712 0.8606 0.4507 0.4465 
2 1.3047 1.2815 0.7299 0.7193 0.3775 0.3722 
5 1.0777 1.0933 0.6257 0.6229 0.3281 0.3241 
Để kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính 
toán và các công thức phần tử hữu hạn thiết lập 
được, bài báo so sánh tham số tần số của dầm với 
kết quả Wattanasakulpong [9]. Khi so sánh với kết 
quả của Wattanasakulpong [9], bài báo lấy số liệu 
và công thức tính xác định tham số tần số theo tài 
liệu [9]. Bảng 1 minh họa tham số tần số cơ bản 
của dầm FGM khi cho 5 giá trị tham số vật liệu biến 
đổi theo chiều cao dầm n, tham số lỗ rỗng của vật 
liệu Vp = 0.2; tham số vật liệu biến đổi theo chiều 
dọc m = 0, với ba trường hợp của tỉ số L/h. Nhìn 
vào bảng, ta thấy kết quả của bài báo tính tham số 
tần số cơ bản cho năm giá trị của tham số vật liệu 
phân bổ theo chiều cao dầm n, sát với kết quả đã 
công bố của Wattanasakulpong [9]. Như vậy, công 
thức phần tử hữu hạn, chương trình tính ma trận độ 
cứng và ma trận khối lượng do bài báo xây dựng có 
độ tin cậy. 
Bảng 2. So sánh tham số động lực học, fD, với Şimşek và Kocatürk [11] (Vp = 0, m = 0) 
n fD- [11] fD-bài báo v(m/s)-[11] v(m/s)- bài báo 
0.2 1.0344 1.0401 222 220 
0.5 1.1444 1.1504 198 196 
1 1.2503 1.2569 179 177 
2 1.3376 1.3451 164 163 
Dầm gốm 0.9328 0.9379 252 250 
Dầm kim loại 1.7324 1.7418 132 130 
Bảng 2 so sánh tham số độ võng của dầm với 
tham số độ võng của tác giả Şimşek và Kocatürk, 
khi cho một vài giá trị của tham số vật liệu theo 
chiều cao dầm. Các số liệu và công thức tính được 
lấy trong tài liệu Şimşek và Kocatürk [11]. Nhìn vào 
bảng 2, kết quả của bài báo tính toán được gần với 
kết quả đã công bố [11]. Do đó, chương trình tính 
cho tham số độ võng động mà bài báo thiết lập 
được là đáng tin cậy. 
Hình 2 chỉ ra độ võng động tại giữa dầm khi cho 
ba giá trị vận tốc của lực di động (v = 20 m/s; v = 60 
m/s; v =100 m/s, với tham số lỗ rỗng Vp = 0.2. Trong 
bốn trường hợp trên hình vẽ, khi vận tốc có xu 
hướng tăng lên từ 20 đến 100 m/s thì độ võng động 
lớn nhất tại giữa dầm cũng tăng dần. Đặc biệt, khi 
vận tốc lực di động v = 60 m/s thì dầm thực hiện 
nhiều dao động hơn so với hai vận tốc v = 20 m/s và 
v = 100 m/s. Hình vẽ minh họa độ võng động tại giữa 
dầm cho hai trường hợp, vật liệu trong dầm phân bố 
theo chiều cao (n=3, m=0), và chiều dọc (n = 0, m = 
3). Từ hình vẽ, độ võng dầm phân bố theo chiều dài 
thấp hơn độ võng dầm theo chiều cao, điều đó thể 
hiện dầm có vật liệu phân bổ theo chiều dài cứng 
hơn dầm có vật liệu phân bổ theo chiều cao. Hình 3 
minh họa mối quan hệ giữa tham số độ võng, fD, và 
tốc độ của lực di động khi cho bốn giá trị của tham số 
vật liệu, với tham số lỗ rỗng Vp = 0.1. Hai hình vẽ mô 
tả tham số độ võng cho hai trường hợp: khi cố định 
tham số vật liệu theo chiều cao thì tham số vật liệu 
theo chiều dọc dầm thay đổi và ngược lại. Khi tham 
số vật liệu tăng dần thì tham số độ võng cũng tăng 
lên cho cả hai trường hợp. Vận tốc lực di động thay 
đổi từ 1 đến dưới 100 m/s, tham số độ võng của dầm 
lúc tăng lúc giảm. Mặt khác, khi tham số vận tốc lực 
di động từ 100 đến 300 m/s, tham số độ võng có xu 
hướng tăng dần lên đến một giá trị cực đại, sau đó lại 
có xu hướng giảm dần. 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 15 
Hình 2. Mối quan hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian lực di động trên dầm khi cho 
ba giá trị của vận tốc lực di động (L/h = 20, Vp=0.2) 
Hình 3. Mối quan hệ giữa tham số độ võng động và vận tốc của lực di động trên dầm 
khi cho một vài giá trị của tham số vật liệu (L/h = 20, Vp = 0.1) 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
16 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 
Hình 4. Mối quan hệ giữa tham số độ võng động và vận tốc của lực di động trên dầm 
khi cho một vài giá trị của tham số lỗ rỗng (L/h = 20) 
Hình 4 là một bức tranh mô phỏng tham số độ 
võng và tốc độ của lực di động khi cho bốn giá trị 
của tham số lỗ rỗng, với hai giá trị của tham số vật 
liệu (n=m=0.5; n=m=1). Nhìn vào hình vẽ, với sự 
tăng nhẹ của tham số lỗ rỗng thì tham số độ võng 
cũng tăng dần lên. Như vậy, với sự tăng của tham 
số lỗ rỗng thì đồng nghĩa với việc dầm có xu hướng 
yếu dần đi cho dù tham số vật liệu có tăng lên. 
4. Kết luận 
Bài báo đã phân tích dao động dầm 2D- FGM 
có lỗ rỗng vi mô bằng lý thuyết dầm bậc cao của Shi 
[10]. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, công 
thức phần tử hữu hạn và phương trình chuyển động 
cho dầm 2D-FGM có lỗ rỗng vi mô đã được thiết 
lập. Dưới sự hỗ trợ của phần mềm Maple và 
Matlap, ảnh hưởng của các tham số vật liệu biến 
đổi theo chiều cao và theo chiều dài dầm (n, m), 
tham số lỗ rỗng (Vp) đến tham số độ võng và độ 
võng động tại giữa dầm được tính toán và minh họa 
chi tiết qua hình vẽ. Tham số vật liệu (n, m) đóng vai 
trò quan trọng trong phân tích dao động của dầm 
2D-FGM có lỗ rỗng vi mô, khi tham số vật liệu (n, m) 
có xu hướng tăng dần thì tham số độ võng của dầm 
2D-FGM cũng tăng lên. Ngoài ra, tham số lỗ rỗng Vp 
có ảnh hưởng nhiều đến tham số tần số của dầm, 
khi tham số lỗ rỗng tăng lên thì tham số độ võng 
cũng có xu hướng tăng dần. Điều này thể hiện rõ 
nét trên hình vẽ (hình 4). 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. M. Simsek. Bi-directional functionally graded 
materials (BDFGMs) for free and forced vibration of 
Timoshenko beams with various boundary conditions. 
Composite Structures, 2015, 133, 968–978. 
2. M. Simsek. Buckling of Timoshenko beams 
composed of two-dimensional functionally graded 
material (2D-FGM) having different boundary condi-
tions. Composite Structures, 2016, 149, 304–314. 
3. A. Pydah and A. Sabale. Static analysis of bi-
directional functionally graded curved beams. 
Composite Structures, 2017, 160, 867–876. 
4. A. Karamanli. Bending behaviour of two directional 
functionally graded sand-wich beams by using a 
quasi-3d shear deformation theory. Composite Struc-
tures, 2017, 174, 70–86. 
5. Y. Tang, X. Lv and T. Yang. Bi-directional functionally 
graded beams: asym-metric modes and nonlinear 
free vibration. Composites Part B: Engineering, 2019, 
156, 319–331. 
6. Nguyen Dinh Kien, Nguyen Quang Huan, Tran Thi Thom 
and Bui Van Tuyen. Vibration of bi-dimensional functionally 
graded Timoshenko beamsexcited by a moving load. Acta 
Mechanica, 2017, 228, 141–155 (ISI Journal). 
7. Tran Thi Thom and Nguyen Dinh Kien. Free 
vibration analysis of 2-D FGM beams in thermal 
environment based on a new third-order shear 
deforma-tion theory. Vietnam Journal of 
Mechanics, 2018,40(2), 121-140. 
8. Le Thi Ha. Dynamic behavior of a bidirectional 
functionally graded sandwich beam underof a moving 
load based on a high-order shear deformation theory. 
The 5th International Conference on Engineering 
Mechanics and Automation (ICEMA 5)(2019) 119-126. 
9. Wattanasakulpong. N. and A. Chaikittiratana. Flexural 
vibration of imperfect functionally graded beams based 
on Timoshenko beam theory: Chebyshev collocation 
method. Meccanica (2015) 50:1331–1342. 
10. G.shi and K. Y. Lam. Finite element formulation vibration 
analysis of composite beams based on higher-order 
beam theory, Journal of Sound and Vibration (1999), 219, 
pp. 696-610. 
11. Şimşek, M, and T. Kocatürk. Free and forced 
vibration of a functionally graded beam subjected to 
a concentrated moving harmonic load. Composite 
Structures 90 (2009), pp. 465–473. 
Ngày nhận bài: 26/3/2020. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 09/5/2020.