Giáo trình Điện từ học - Trường Đại học Đà Lạt

 BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO 
 TRÖÔØNG ÑẠI HỌC ÑAØ LAÏT 
 TS. LÖU THEÁ VINH 
 ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
 Ñaø Laït 2006 
 BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO 
 TRÖÔØNG ÑẠI HỌC ÑAØ LAÏT 
 TS. LÖU THEÁ VINH 
 ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
 Ñaø Laït 2006 
- 2 - ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
LÔØI NOÙI ÑAÀU 
Giaùo trình “ Ñieän töø hoïc” ñöôïc bieân soaïn theo chöông trình khung cuûa 
Boä Giaùo duïc & Ñaøo taïo ban haønh naêm 2004 daønh cho heä ñaøo taïo cöû nhaân Vaät 
lyù, döïa vaøo caùc baøi giaûng maø taùc giaû ñaõ trình baøy cho sinh vieân khoa Vaät lyù 
tröôøng Ñaïi hoïc Ñaø laït trong nhöõng naêm gaàn ñaây vaø döïa vaøo cuoán giaùo trình 
Ñieän hoïc maø taùc giaû ñaõ vieát naêm 1987. Ñeå giuùp cho sinh vieân deã daøng naém 
baét ñöôïc caùc vaán ñeà coát loõi cuûa kieán thöùc veà ñieän töø hoïc, taøi lieäu ñöôïc trình 
baøy ngaén goïn, xuùc tích, chuù troïng nhieàu ñeán baûn chaát vaät lyù cuûa hieän töôïng 
maø khoâng ñi saâu vaøo moâ taû caùc quaù trình thöïc nghieäm cuõng nhö nhöõng minh 
hoïa keøm theo (sinh vieân coù theå tìm ñoïc trong caùc taøi lieäu tham khaûo). Nhöõng 
tính toaùn lyù thuyeát trong giaùo trình söû duïng caùc kieán thöùc toaùn hoïc giaûi tích toái 
thieåu maø sinh vieân ñaõ ñöôïc trang bò trong caùc hoïc phaàn veà toaùn hoïc. Caùc ví duï 
trong saùch ngoaøi vieäc minh hoïa öùng duïng caùc ñònh luaät coøn nhaèm muïc ñích 
reøn luyeän kyõ naêng tính toaùn, cuûng coá kieán thöùc vaø khaû naêng giaûi quyeát caùc baøi 
toaùn thöïc tieãn. Noäi dung giaùo trình ñöôïc chuaån bò cho 5 ñôn vò hoïc trình töông 
öùng vôùi 75 tieát leân lôùp, trong ñoù coù 60 tieát lyù thuyeát vaø 15 tieát baøi taäp. Noäi 
dung baøi taäp sinh vieân seõ ñöôïc trang bò trong caùc saùch baøi taäp rieâng. 
Giaùo trình laø taøi lieäu hoïc taäp cho sinh vieân khoa Vaät lyù, ñoàng thôøi coù theå 
söû duïng ñeå tham khaûo cho sinh vieân caùc ngaønh kyõ thuaät khi hoïc chöông trình 
Vaät lyù ñaïi cöông. 
 Ñaø laït, 2006 
 TAÙC GIAÛ 
ÑIEÄN TÖØ HOÏC - 3 - 
Chöông 1. 
ÑIEÄN TRÖÔØNG TRONG CHAÂN KHOÂNG 
 § 1.1. ÑIEÄN TÍCH, ÑÒNH LUAÄT BAÛO TOAØN ÑIEÄN TÍCH 
 VAÄT DAÃN ÑIEÄN VAØ VAÄT CAÙCH ÑIEÄN 
I. Khaùi nieäm ñieän tích, ñieän tích nguyeân toá. 
- Caùc hieän töôïng veà söï nhieãm ñieän ñaõ ñöôïc bieát ñeán töø thôøi coå xöa, 
chuùng cho thaáy moät vaøi tính chaát ñieän cuûa vaät chaát: Moät soá vaät lieäu (thuûy tinh, 
eâboânít,  ) sau khi coï saùt vaøo loâng thuù coù theå huùt ñöôïc caùc vaät nheï. Ta noùi 
chuùng ñaõ bò nhieãm ñieän. 
- Töông taùc giöõa caùc vaät nhieãm ñieän cho thaáy trong töï nhieân toàn taïi 2 
loaïi ñieän tích: ñieän tích döông vaø ñieän tích aâm. Caùc ñieän tích cuøng daáu thì ñaåy 
nhau, khaùc daáu thì huùt nhau. Ñieän tích toàn taïi döôùi daïng caùc haït sô caáp mang 
ñieän. Ñieän tích beù nhaát toàn taïi trong töï nhieân goïi laø ñieän tích nguyeân toá (kyù 
hieäu laø e: elementary), coù giaù tri: (a) 
 e = 1,6 × 10 −19 C 1.1) 
 - Haït cô baûn mang ñieän tích nguyeân toá aâm laø electron: caáu thaønh voû 
nguyeân töû. 
- Haït cô baûn mang ñieän tích nguyeân toá döông laø proâton (p): laø moät trong 
hai thaønh phaàn caáu taïo neân haït nhaân nguyeân töû. 
- Haït cô baûn khoâng mang ñieän cuøng proâton caáu thaønh haït nhaân nguyeân 
töû laø nôtroân (n) (tröø nguyeân töû Hydroâ). 
- ÔÛ traïng thaùi bình thöôøng nguyeân töû trung hoøa veà ñieän: soá proâtoân baèng 
soá electroân. Khi nguyeân töû thu theâm electron noù trôû thaønh ioân aâm, ngöôïc laïi 
khi nguyeân töû bò maát electron noù bieán thaønh ioân döông. 
Moät vaät mang ñieän khi nguyeân töû cuûa noù thöøa hoaëc thieáu electron, hoaëc 
do söï phaân boá laïi caùc ñieän tích chöùa trong vaät hoaëc trong caùc phaàn khaùc nhau 
cuûa vaät (nhieãm ñieän do coï saùt, do tieáp xuùc, do höôûng öùng  ). 
(a) Ñieän tích nguyeân toá laø moät trong caùc haèng soá vaät lyù quan troïng cuûa töï nhieân.Hieän 
nay, khoa hoïc ñaõ bieát raèng caùc haït quark laø thaønh phaàn cuoái cuøng cuûa vaät chaát haït 
nhaân. Chuùng mang caùc ñieän tích 3/2 hoaëc3/ ee ±± . Nhöng caùc haït naøy (caùc 
haït thaønh phaàn cuûa proâtoân vaø nôtroân) khoâng theå toàn taïi moät caùch rieâng bieät, neân 
khoâng theå laáy chuùng laøm ñieän tích nguyeân toá. 
 Löu Theá Vinh 
- 4 - ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
Ñieän tích cuûa moät vaät bao giôø cuõng baèng moät boäi soá nguyeân laàn ñieän 
tích nguyeân toá e : 
 /q/ = ne, (n = 1, 2, 3  ) (1.2) 
II. Ñònh luaät baûo toaøn ñieän tích. 
Moïi hieän töôïng veà ñieän ñöôïc bieát cho ñeán nay ñeàu tuaân theo ñònh luaät 
baûo toaøn ñieän tích: “Trong moät heä coâ laäp toång ñieän tích cuûa heä laø moät löôïng 
baûo toaøn”. 
III. Vaät daãn ñieän vaø vaät caùch ñieän. 
Vaät daãn ñieän laø nhöõng vaät coù chöùa caùc haït tích ñieän (caùc electron, caùc 
ioân aâm, ioân döông), caùc ñieän tích naøy coù theå di chuyeån deã daøng beân trong vaät. 
Chaúng haïn trong kim loaïi, do caáu truùc cuûa nguyeân töû moät soá electron naèm ôû 
lôùp ngoaøi cuøng lieân keát yeáu vôùi haït nhaân coù theå böùt ra khoûi nguyeân töû trôû 
thaønh ñieän töû töï do. Caùc ñieän töû naøy coù theå chuyeån ñoäng töï do beân trong khoái 
kim loaïi. Ta noùi kim loaïi laø vaät daãn ñieän. Trong chaát ñieän phaân caùc haït taûi 
ñieän laø caùc ioân döông vaø caùc ioân aâm. v.v . 
Vaät caùch ñieän laø vaät maø trong noù khoâng chöùa caùc ñieän tích töï do. 
§ 1.2. TÖÔNG TAÙC TÓNH ÑIEÄN, ÑÒNH LUAÄT COULOMB. 
1. Ñieän tích ñieåm. Nhöõng vaät tích ñieän maø coù kích thöôùc nhoû hôn raát nhieàu 
so vôùi khoaûng caùch giöõa chuùng. 
2. Töông taùc tónh ñieän. Ñònh luaät Coulomb . 
Thöïc nghieäm chöùng toû raèng: Caùc ñieän tích cuøng daáu thì ñaåy nhau, caùc 
ñieän tích khaùc daáu thì huùt nhau. Naêm 1785 C. A. Coulomb baèng thöïc nghieäm 
treân caân xoaén ñaõ tìm ra ñònh luaät töông taùc giöõa hai ñieän tích ñieåm q1 vaø q2 
ñaët caùch nhau moät khoaûng r (Hình 1.1): 
 (1.3) 2
21 
r
qq
kF =
Trong ñoù k laø heä soá tyû leä, coù giaù trò phuï thuoäc vaøo heä ñôn vò ño. 
Trong heä CGSE : k =1 
Trong heä SI : 
04
1 πε=k = 9.10
9 N. m2/ C2 (1.4) 
 Trong ñoù: ε 0 = 8,86.10 –12 C2 / N. m2 : Haèng soá ñieän. 
Bieåu dieãn caû veà phöông chieàu vaø ñoä lôùn: 
ÑIEÄN TÖØ HOÏC - 5 - 
12
12
2
12
21
12 r
r
r
qq
kF ⋅= : Löïc q1 taùc duïng leân q2. (1.5)
21
21
2
21
21
21 r
r
r
qq
kF ⋅= : Löïc q2 taùc duïng leân q1. (1.6) 
 Hình 1.1 
Ñònh luaät coulomb: Löïc taùc duïng töông hoã giöõa hai ñieän tích ñieåm coù ñoä 
lôùn tyû leä nghòch vôùi bình phöông khoaûng caùch giöõa chuùng, tyû leä vôùi tích ñoä lôùn 
cuûa caùc ñieän tích; coù phöông laø ñöôøng thaúng noái hai ñieåm tích, coù chieàu phuï 
thuoäc vaøo daáu cuûa hai ñieän tích. 
3. AÙp duïng. 
Ta haõy so saùnh töông taùc tónh ñieän vaø töông taùc haáp daãn. Ñònh luaät 
Coulomb (1-3) coù daïng toaùn hoïc gioáng heät nhö ñònh luaät vaïn vaät haáp daãn. Tuy 
nhieân cöôøng ñoä cuûa chuùng laïi raát khaùc nhau. Ta aùp duïng cho tröôøng hôïp töông 
taùc giöõa 2 electron. 
– Haèng soá haáp daãn G = 6,67.10-11 N. m2/ kg2 
– Haèng soá töông taùc tónh ñieän: k = 9.109 N. m2/ C2 
– Ñieän tích cuûa electron: e = –1,6.10-19C. 
– Khoái löôïng cuûa electron: m = 9,1.10-31kg. 
Töông taùc haáp daãn giöõa 2 electron: 
2
2
2
21
r
mG
r
mm
GFg == 
Töông taùc tónh ñieän giöõa 2 electron: 
2
2
2
21
r
ek
r
qq
kFc == 
2112 - FF = 
q1 q2r 12F21F
r
21F 12F
q1 q2
 Löu Theá Vinh 
- 6 - ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
 4211
92
31
192
102,4
1067,6
109
101,9
106,1 ⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= −−
−
G
k
m
e
F
F
g
c 
Keát quaû cho thaáy cöôøng ñoä töông taùc haáp daãn voâ cuøng beù so vôùi töông 
taùc tónh ñieän. Ñieàu naøy giaûi thích taïi sao khi nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa caùc 
ñieän tích ta khoâng quan taâm tôùi töông taùc haáp daãn. 
1.5. ÑIEÄN TRÖÔØNG TRONG CHAÂN KHOÂNG 
1. Khaùi nieäm ñieän tröôøng. 
 Ñeå giaûi thích cô cheá töông taùc giöõa caùc ñieän tích trong lòch söû Vaät lyù 
hoïc xuaát hieän 2 thuyeát: 
– Thuyeát taùc duïng xa: Cho raèng töông taùc giöõa caùc ñieän tích khoâng caàn 
moät moâi tröôøng vaät chaát trung gian naøo vaø töông taùc ñöôïc truyeàn ñi moät 
caùch töùc thôøi. Khi chæ coù moät ñieän tích thì moâi tröôøng xung quanh khoâng 
xaûy ra bieán ñoåi naøo. 
– Thuyeát taùc duïng gaàn: Cho raèng töông taùc giöõa caùc ñieän tích phaûi thoâng 
qua moät moâi tröôøng vaät chaát trung gian bao quanh caùc ñieän tích. Löïc 
töông taùc ñöôïc truyeàn töø phaàn naøy sang phaàn khaùc cuûa moâi tröôøng vôùi 
vaän toác höõu haïn (vaän toác truyeàn töông taùc). Khi chæ coù moät ñieän tích thì 
moâi tröôøng xung quanh ñaõ coù nhöõng bieán ñoåi. 
Theo quan ñieåm duy vaät bieän chöùng ta thaáy roõ thuyeát taùc duïng xa ñaõ 
coâng nhaän toàn taïi chuyeån ñoäng phi vaät chaát. Ñieàu naøy khoâng theå coù ñöôïc. Vaät 
lyù hoïc hieän ñaïi ñaõ baùc boû thuyeát taùc duïng xa vaø coâng nhaän thuyeát taùc duïng 
gaàn. Ñeå giaûi thích cô cheá töông taùc giöõa caùc ñieän tích caàn phaûi coâng nhaän moät 
thöïc theå vaät lyù laøm moâi tröôøng trung gian truyeàn töông taùc giöõa chuùng. Thöïc 
theå vaät lyù naøy chính laø ñieän tröôøng. Khi coù maët ñieän tích thì xung quanh noù 
xuaát hieän moät ñieän tröôøng. Ñieän tröôøng naøy lan truyeàn trong khoâng gian vôùi 
toác ñoä höõu haïn. 
– Tính chaát cô baûn cuûa ñieän tröôøng: taùc duïng löïc leân baát kyø ñieän tích 
naøo ñaët trong noù. Cô cheá taùc duïng naøy ñöôïc giaûi thích nhö sau: Moãi ñieän tích 
taïo ra xung quanh noù moät ñieän tröôøng, ñieän tröôøng naøy taùc duïng löïc leân ñieän 
tích ñaët trong noù vaø ngöôïc laïi. 
Trong phaàn sau khi nghieân cöùu töø tröôøng vaø tröôøng ñieän töø ta seõ thaáy 
ñieän tröôøng chæ laø moät bieåu hieän cuûa tröôøng ñieän töø. Ñoù laø moät daïng cuûa vaät 
chaát coù ñaày ñuû caùc thuoäc tính xaùc ñònh maø con ngöôøi coù theå nhaän thöùc ñöôïc: 
naêng löôïng, khoái löôïng vaø xung löôïng. 
ÑIEÄN TÖØ HOÏC - 7 - 
2. Cöôøng ñoä ñieän tröôøng. 
Ñeå ñaëc tröng cho tröôøng veà phöông dieän taùc duïng löïc ngöôøi ta ñöa ra 
khaùi nieäm cöôøng ñoä ñieän tröôøng. 
Xeùt ñieän tröôøng taïo ra bôûi moät ñieän tích Q. 
Ta haõy duøng moät ñieän tích thöû q0 ñaët vaøo trong ñieän tröôøng, q0 seõ chòu 
taùc duïng moät löïc F0. 
Baây giôø neáu taïi cuøng moät ñieåm cuûa tröôøng ta laàn löôït thay q0 baèng caùc 
ñieän tích thöû q1, q2 ,  thì taùc duïng löïc leân caùc ñieän tích töông öùng laø F1, F2,  
Giaù trò caùc löïc laø khaùc nhau. Nhöng neáu laäp tyû soá: 
 const 
2
2
1
1
0
0 =⋅⋅⋅===
q
F
q
F
q
F
. 
Tyû soá treân taïi moãi ñieåm cuûa tröôøng laø khoâng ñoåi, noù ñaëc tröng cho 
tröôøng veà phöông dieän taùc duïng löïc vaø ñöôïc goïi laø cöôøng ñoä ñieän tröôøng
 qFE / = , hay döôùi daïng veùc tô: 
q
FE
rr
 = (1.7) 
 Cöôøng ñoä ñieän tröôøng gaây bôûi moät ñieän tích ñieåm Q ñöôïc xaùc ñònh 
theo ñinh luaät Coulomb. 
– Töông taùc giöõa Q vaø q : 
 q E
r
qQkF 2 == 
 Töø ñoù: 2r
Qk
q
F E == 
Hay döôùi daïng veùc tô: 2 3
0
1 
4
Q r QE k
rr rπε r= ⋅ = ⋅ ⋅
rr r (1.8) 
– Neáu Q =1 ñ.v.ñ.t. thì E = F. 
Nhö vaäy: Cöôøng ñoä ñieän tröôøng taïi moät ñieåm laø moät ñaïi löôïng vaät lyù 
ñaëc tröng cho tröôøng veà phöông dieän taùc duïng löïc, coù ñoä lôùn baèng löïc taùc 
duïng leân 1 ñôn vò ñieän tích döông ñaët taïi ñieåm ñoù vaø coù höôùng cuûa löïc naøy 
(hình 1-2). 
Ñôn vò cuûa ñieän tröôøng: Voân / meùt (V/m) 
 Löu Theá Vinh 
- 8 - ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
M N 
+1 +1 
3. Ñöôøng söùc ñieän tröôøng. 
 Duøng ñeå moâ taû hình aûnh ñieän tröôøng. Ñoù laø nhöõng ñöôøng maø tieáp tuyeán 
vôùi noù taïi moãi ñieåm coù phöông truøng vôùi veùc tô cöôøng ñoä ñieän tröôøng taïi ñieåm 
ñoù. Chieàu cuûa ñöôøng söùc chæ chieàu cuûa ñieän tröôøng. 
 Caùc tính chaát cuûa ñöôøng söùc: 
– Ñöôøng söùc ñieän tröôøng laø nhöõng ñöôøng cong hôû, chuùng baét ñaàu treân 
caùc ñieän tích döông vaø keát thuùc treân caùc ñieän tích aâm (hình 1-3). 
– Caùc ñöôøng söùc khoâng caét nhau. 
– Maät ñoä ñöôøng söùc (soá ñöôøng söùc ñi qua moät ñôn vò dieän tích ñaët 
vuoâng goùc vôùi tröôøng) cho bieát giaù trò cuûa cöôøng ñoä ñieän tröôøng taïi 
moãi ñieåm. 
Treân hình 1-3 laø sô ñoà ñöôøng söùc ñieän tröôøng cuûa moät soá heä ñieän tích: 
ñieän tích ñieåm döông (a), ñieän tích ñieåm aâm (b) vaø ñieän tröôøng giöõa 2 maët 
phaúng song song tích ñieän ñeàu traùi daáu (c). 
4. Nguyeân lyù choàng chaát ñieän tröôøng. 
Xeùt moät heä ñieän tích ñieåm q1. q2.  qi , , qn . Löïc taùc duïng cuûa heä leân 
moät ñieän tích thöû q0 baèng toång veùc tô caùc löïc thaønh phaàn: 
 ∑∑∑ === iiiii EqEqFF rrrr 
 Hay: ∑= iEE rr (1-9) 
E
uur
E
uur
Q > 0 
Q < 0 
Hình 1-2 
 + + + + + + 
 - - - - - - 
 Hình 1-3 
a) b) c) 
ÑIEÄN TÖØ HOÏC - 9 - 
 Neáu heä ñieän tích phaân boá lieân tuïc treân moät mieàn S naøo ñoù thì ñieän tröôøng 
cuûa heä seõ laø: 
S
E dE= ∫uur uur (1-10) 
– Neáu ñieän tích phaân boá doïc moät daây daãn vôùi maät ñoä daøi : 
dl
dq=λ 
 3
0
1 
4
dlE r 
r
λ
πε= ∫uur u
L
r
 (1-11) 
– Neáu ñieän tích phaân boá treân beà maët vaät daãn vôùi maät ñoä ñieän maët
ds
dq=σ 
 3
0 S
1 
4
dSE r
r
σ
πε= ∫∫uur r (1-12) 
– Neáu ñieän tích phaân boá theo theå tích vaät daãn vôùi maät ñoä ñieän khoái Ω= d
dqρ 
 3
0
1 
4
dE r 
r
σ
πε Ω
Ω= ∫∫∫uur r (1-13) 
5. Ñieän tröôøng cuûa moät soá heä ñieän tích. 
 AÙp duïng nguyeân lyù choàng chaát ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc ñieän tröôøng cuûa 
moät soá heä ñieän tích phaân boá ñôn giaûn sau ñaây. 
a) Ví duï 1. Tính cöôøng ñoä ñieän tröôøng gaây bôûi moät maët phaúng tích ñieän ñeàu voâ 
haïn, vôùi maät ñoä ñieän maët σ, taïi moät ñieåm M caùch maët phaúng moät ñoaïn h. 
Ta haõy chia maët phaúng thaønh caùc nguyeân toá hình vaønh khaên, coù taâm laø 
chaân ñöôøng vuoâng goùc haï töø M xuoáng maët phaúng (O). Duøng heä truïc toaï ñoä truï, 
coù truïc Oz ≅ OM, baùn kính cöïc r, goùc ϕ (hình 1-4). 
Xeùt nguyeân toá dS = rdrdϕ chöùa ñieän tích dq = σ rdrdϕ gaây ra taïi M 
moät ñieän tröôøng vi phaân: 
22 l
rdrd
k
l
dqkdE
ϕσ⋅== 
dE
uur
 coù phöông laø ñöôøng thaúng noái dS vaø M, chieàu höôùng töø dS ñeán M 
neáu σ > 0 vaø ngöôïc laïi. 
Ñieän tröôøng do toaøn maët phaúng gaây ra taïi M laø: 
 n t
S S S
E dE dE dE= = +∫ ∫ ∫uur r r r 
 Löu Theá Vinh 
- 10 - ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
Do tính chaát ñoái xöùng neân deã thaáy raèng: Neáu laáy moät nguyeân toá dS ’ ñoái 
xöùng vôùi dS qua O thì tröôøng do noù sinh ra laø 'Ed coù cuøng ñoä lôùn vôùi Ed 
nhöng khaùc phöông chieàu. Phaân tích ''' tn EdEdE
rr += . Deã thaáy raèng: d
 tt EdEd
rr −=' 
Xeùt cho toaøn maët phaúng thì: 0=∫
S
tEd
r
. Töø ñoù: 
 ∫= nEdE , vaø ∫= ndEE
nEd 'EddE 
dE’t 
dEt 
α
dS’ dO 
h 
 dϕ 
l 
α
S
Hình 1-4
Töø hình veõ ta coù: dEn = dE cosα = αϕσ cos.2l
rdrdk ⋅ 
Thay: l2 = r2 + h2, 
22
cos
hr
h
+=α ta coù: 
ÑIEÄN TÖØ HOÏC - 11 - 
 dEn = h
hr
rdrdk .
)( 2
322 +⋅
ϕσ
Vaø: 
∞∞
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−⋅=+⋅⋅= ∫ ∫ 0220
2
0 0
22
0
12
4)(4 2
3
hr
h
hr
rdrdhE ππε
σϕπε
σ π 
02ε
σ=E (1-14) 
Nhaän xeùt: Giaù trò ñie ... 52) 
 Vôùi ε laø haèng soá ñieän moâi cuûa moâi tröôøng 
 – Heä phöông trình Maxwell thöù hai: 
0
0 0
0
0 )
hayH
uur
 )
)
x
yz
y z
H a
t
HE
rot E b
t x t
E H
c
x t
μμ
μμ μμ
μμ
⎧ ∂=⎪ ∂⎪⎪ ∂∂∂ ⎪= − =⎨∂ ∂ ∂⎪⎪∂ ∂= −⎪ ∂ ∂⎪⎩
ur
 (10-53) 
0 hay 0 0x
Hdiv B
x
μμ ∂= =∂
ur
 (10-54) 
Vôùi μ laø ñoä töø thaåm cuûa moâi tröôøng. 
10.6.2. Caùc tính chaát cuûa soùng ñieän töø töï do. 
Töø caùc phöông trình Maxwell vöøa tìm ñöôïc ta seõ khaûo saùt caùc tính chaát 
cuûa soùng ñieän töø töï do. Keát hôïp caùc phöông trình (10-51,a), (10-52), (10-53,a) 
vaø (10-54) ta coù: 
 x 0xE H
x x
= =∂ ∂ vaø ∂ ∂ 0
x xE H
t t
∂ ∂= =∂ ∂ 
Töùc laø: Ex = const, vaø Hx = const. 
 Löu Theá Vinh 
 ÑIEÄN TÖØ HOÏC - 179 - 
 Caùc ñaïi löôïng Ex vaø Hx khoâng phuï thuoäc vaøo toïa ñoä vaø thôøi gian. ÔÛ ñaây 
ta chæ xeùt ñieän töø tröôøng bieán thieân, neân ñieän tröôøng vaø töø tröôøng khoâng theå coù 
thaønh phaàn khoâng ñoåi theo phöông truïc x, nghóa laø Ex = Hx = 0. Soùng ñieän töø 
khoâng coù thaønh phaàn dao ñoäng doïc theo phöông truyeàn soùng, do vaäy soùng 
ñieän töø laø soùng ngang. 
 Baây giôø ta haõy saép xeáp boán phöông trình coøn laïi trong heä phöông trình 
Maxwell: (10-51, b, c) vaø (10-53, b , c) thaønh hai heä ñoäc laäp. Moät heä lieân heä 
thaønh phaàn treân truïc y cuûa ñieän tröôøng vôùi thaønh phaàn treân truïc z cuûa töø 
tröôøng: 
0
0
yE zH
t x
yz EH
t x
εε
μμ
∂ ∂⎧ = −⎪ ∂ ∂
∂∂⎪ = −⎪
⎪⎨
∂ ∂⎩
 (10-55) 
 Heä thöù hai lieân heä thaønh phaàn treân truïc z cuûa ñieän tröôøng vôùi thaønh 
phaàn treân truïc y cuûa töø tröôøng: 
0
0
yz
y z
HE
t x
H E
t x
εε
μμ
∂∂⎧ =⎪ ∂ ∂⎪⎨ ∂ ∂⎪ =⎪ ∂ ∂⎩
 (10-56) 
 Heä phöông trình (10-55) cho thaáy raèng bieán thieân cuûa ñieän tröôøng Ey 
theo thôøi gian chæ laøm xuaát hieän töø tröôøng Hz theo phöông truïc z, ngöôïc laïi, 
bieán thieân theo thôøi gian cuûa töø tröôøng theo phöông truïc z chæ laøm xuaát hieän 
ñieän tröôøng Ey theo phöông truïc y. Ñieàu naøy coù nghóa laø caùc veùc tô vaøE H
→ →
luoân vuoâng goùc vôùi nhau vaø vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn soùng. Ta cuõng ruùt ra 
keát luaän töông töï töø (10-56). 
 Hai heä phöông trình treân cho ta hai nghieäm ñoäc laäp. Ta chæ giôùi haïn xeùt 
soùng phaân cöïc phaúng, laø soùng coù caùc veùc tô dao ñoäng ( vaøE H
→ →
) luoân naèm trong 
moät maët phaúng xaùc ñònh, vuoâng goùc vôùi nhau vaø vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn 
soùng. 
 Baèng caùch choïn heä toïa ñoä thích hôïp ta coù theå coù nghieäm cuûa phöông 
trình soùng trong ñoù veùc tô E
→
song song vôùi truïc y, vaø nhö theá veùc tô H
→
 song 
song vôùi truïc z. Nghóa laø: 
 Löu Theá Vinh 
- 180 - ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
 Ey = E, Ez = 0 vaø: Hz = H, Hy = 0. 
Phöông trình Maxwell cho soùng phaân cöïc phaúng naøy laø: 
0
E )
)0
H a
t x
H E b
εε
μμ
∂ ∂⎧ = −⎪ ∂ ∂⎪⎨ ∂ ∂⎪ = −
 (10-57) 
aây ïo haøm hai veá (10-57, a) theo thôøi gian, sau ñoù nhaân hai 
veá vôùi 
t x⎪ ∂ ∂⎩
 B giôø laáy ña
0μμ , ta ñöôïc: 
2 2
0 0 02
E H
x tt
μμ εε μμ∂ ∂⋅ = − ∂ ∂∂ 
b) theo toïa ñoä x ta ñöôïc: 
 Laáy ñaïo haøm hai veá (10-57, 
2 2
02
E H
x tx
μμ∂ ∂= − ∂ ∂∂ 
 Töø ñoù ruùt ra: 
2 21E
2 2
0 0
E∂ ∂= (10-58,a) 
), ta cuõng ruùt ra phö
t xεε μμ∂ ∂
 Laøm töông töï vôùi (10-57,b ông trình ñoái vôùi H: 
2 2
2 2
0 0t xεε μμ∂ ∂
1H H∂ ∂= (10-58,b) 
öõng phöông tr h vi phaân coù daïng toång quaùt: 
 Trong cô hoïc, ta ñaõ xeùt nh ìn
2 21A
2 2 2
A∂ ∂= 
gian 
döôùi daïng soùng. Nghieäm cuûa nhöõng phöông trình soùng coù daïng toång quaùt: 
t v x∂ ∂
 Ñaây laø phöông trình truyeàn soùng, dieãn taû nhöõng soùng lan truyeàn trong 
khoâng gian vôùi vaän toác truyeàn soùng laø v. Moät ñaïi löôïng A naøo ñoù, neáu thoûa 
maõn phöông trình truyeàn soùng thì noù dieãn taû söï lan truyeàn trong khoâng 
1 ( )
xA f x
v
2 ( )
xA f x
v
= −
= +
 Löu Theá Vinh 
 ÑIEÄN TÖØ HOÏC - 181 - 
 Trong ñoù A1 dieãn taû soùng lan truyeàn theo chieàu döông cuûa truïc x, coøn A2 
dieãn taû soùng lan truyeàn theo chieàu aâm. 
 Nhö vaäy, caùc phöông trình (10-58) dieãn taû quaù trình soùng, trong ñoù ñieän 
tröôøng E
→
 vaø töø tröôøng H
→
 lan truyeàn theo phöông truïc x. Ñoù chính laø soùng ñieän 
töø. 
 Nghieäm cuûa (10-58) coù daïng: 
 ( ); ( )x xE f t H g t= =m m
v v
 Ñaët nghieäm naøy vaøo phöông trình soùng ta ñöôïc: 
 1 1 1 cv 
0 0 0 0εε μμ ε μ εμ εμ
= = ⋅ = (10-59) 
 Trong ñoù c laø ñaïi löôïng coù thöù nguyeân cuûa vaän toác. 
ε0
 Baây giôø thay giaù trò ñöôïc xaùc ñònh baèng thöïc nghieäm: 
0 9
1
4 .9.10
F
m
ε π≈ 
 vaø giaù trò ñaõ bieát cuûa μ0: 
 70 4 .10
H
m
μ π −= 
 Ta coù: 
 8
0 0
1 3.10 /c m sε μ= ≈ . (10-60) 
 Ta thaáy c coù giaù trò baèng vaän toác cuûa aùnh saùng trong chaân khoâng. Nhö 
aäy trong moâi tröôøng coù haèng soá ñieän moâi ε vaø ñoä töø thaåm μ, va
truyeàn soùng ñieän töø laø: 
v än toác lan 
 v
nεμ
c c= = (10-61) 
 Trong ñoù n laø chieát suaát cuûa moâi tröôøng. 
 saùng. 
giaûn nhaát laø soùng o daïng ình 
 Trong chaân khoâng, ε =1, μ =1 neân v = c. Ñoù laø baèng chöùng veà tính ñuùng 
ñaén cuûa thuyeát ñieän töø veà aùnh
 Giaû söû xeùt tröôøng hôïp ñôn c ù h sin truyeàn 
theo chieàu döông cuûa truïc x: 
 0 cos ( )
xE E tω
v
= − (10-62) 
 Löu Theá Vinh 
- 182 - ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
ì . Thay (10-62) vaøo phöông 
ttrình (10-57, a) ta coù: 
Deã thaáy raèng (10-62) laø nghieäm cuûa phöông trình (10-58). 
 Baây giôø ta haõy t m bieåu thöùc cho töø tröôøng H
0
0 0 0 sin ( )
sin ( )E xE t
t v
H E xE t
x t v
εε εε ω ω
∂
∂ ∂= − = −∂ ∂
vaø 
ω ω∂ = − −
0 0 sin ( )
H xH dx E t
x v
εε ω ω∂= = −∂∫ ∫ dx
 0 0 cos ( )
xvE t C
v
εε ω= − + , 
trong ñoù C laø haèng soá tích phaân. Ta chæ xeùt caùc quaù trình dao ñoäng neân 
coù theå boû qua C vaø cho C = 0. 
 Thay giaù trò 
0 0
1v εε μμ= , ta coù: 
 0 0 cos ( ) 
0
xH μμ E t v
εε ω= − (10-63) 
: So saùnh (10-62) vaø (10-63) ta thaáy
– Ñieän tröôøng E
→
 vaø töø tröôøng H
→
 luoân luoân bieán thieân cuøng pha vôùi 
nhau. Khi E cöïc ñaïi thì H cuõng cöïc ñaïi, khi E baèng khoâng thì H cuõng baèng 
khoâng
g ñieän töø veùc tô ñieän tröôøng 
. 
– Trong soùn E
→
vaø veùc tô töø tröôøng H
→
 coù giaù 
triï tyû l
eä vôùi nhau: 
0 0E Hεε μμ= (10-64) 
y 
E
→
x 
z 
O 
H
→
Hình 10-13 
 Löu Theá Vinh 
 ÑIEÄN TÖØ HOÏC - 183 - 
Treân hình (10-13) laø böùc tranh cho ta thaáy söï lan truyeàn soùng ñieän töø 
theo p
ïng, cho neân soùng ñieän töø noùi rieâng hay ñieän töø tröôøng noùi 
chung
dieän tích ΔS trong moät 
thôøi g
caïnh laø v.Δt (hình 10-14). 
Theå tích hình hoäp laø: ΔV = ΔS.vΔt. cos α , trong ñoù α laø goùc giöõa phaùp 
tuyeán n cuûa ΔS vaø vaän toác v. 
øng v.Δt , do ñoù naêng löôïng 
ong hình hoäp chöõ nhaät. 
ΔW = wΔV = w. ΔS.vΔt cosα 
 ñieän töø bao goàm maät ñoä naêng löôïng ñieän 
tröôøng vaø töø tröôøng: 
höông truïc Ox. 
 § 10.7. NAÊNG LÖÔÏNG SOÙNG ÑIEÄN TÖØ 
Soùng ñieän töø laø ñieän töø tröôøng bieán thieân lan truyeàn trong khoâng gian 
theo thôøi gian. Vì ñieän tröôøng vaø töø tröôøng laø nhöõng daïng toàn taïi cuûa vaät chaát 
vaø chuùng coù naêng löô
 coù mang naêng löôïng. Quaù trình truyeàn soùng chính laø quaù trình truyeàn 
naêng löôïng ñieän töø. 
Ta haõy tính naêng löôïng soùng ñieän töø göûi qua moät 
ian Δt. Xeùt moät hình hoäp xieân, coù ñaùy ΔS, caïnh truøng vôùi phöông cuûa 
vaän toác v vaø coù chieàu daì cuûa 
 Vì trong thôøi gian Δt soùng ñi ñöôïc quaõnng ñöô
soùng göûi qua ΔS chính baèng naêng löôïng soùng chöùa tr
Neáu goïi w laø maät ñoä naêng löôïng ñieän töø tröôøng thì: 
 Maät ñoä naêng löôïng soùng
 2 20 0
1 ( )
2
Hεε μμ= +
 Maët khaùc, ta luoân luoân coù: 
w E 
0 0E Hεε μμ= , cho neân: 
 2w Eεε 20 0 0 0H EHμμ εμ ε μ= + = ⋅ ⋅ 
vΔt
n
→
P
→
α 
Hình 10-14 
 Löu Theá Vinh 
- 184 - ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
 Maø: 1v ε 0 0ε μμ
 ΔW = E.H.S. cosα.Δt 
= , neân ta coù: 
 Nhö vaäy naêng löôïng ñi qua ΔS trong moät ñôn vò thôøi gian laø: 
 cosW EHS
t
αΔ =Δ 
 Ta coù theå vieát laïi keát quaû treân baèng caùch ñöa vaøo veùc tô maät ñoä doøng 
naêng löôïng P
→
 xaùc ñònh nhö sau: 
 [ ]P E H
→ → →= ⋅ (10-65) 
 Vì caùc veùc tô vaøE H
P = E.H
→ →
 luoân vuoâng goùc vôùi nhau vaø vuoâng goùc vôùi phöông 
truyeàn soùng , neân , veùc tô v P
→→
 vuoâng goùc vôùi caû E vaø H, coù phöông 
chieàu truøng vôùi veùc tô vaän toác v
→
. Do ñoù ta coù theå vieát: 
WΔ nP St = ΔΔ (10-66) 
n ie cuûa veùc tô P
→
 trong ñoù P = P cosα laø hình ch áu h
ûa Δ
leân p öông phaùp tuyeán 
cu S. Neáu = 0, töùc ΔS vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn soùng thì Pn = P. 
 Vieát laïi (10-66) vôùi vieäc choïn Δt raát beù ta coù: 
 n
W P S
t
∂ = Δ∂ (10-66a) 
 Nhö vaäy, coù theå ñaëc tröng cho söï truyeàn naêng löôïng moät caùch ñaày ñuû 
baèng caùch duøng veùc tô P
→
. Höôùng cuûa P
→
 laø höôùng truyeàn naêng löôïng. Giaù trò 
cuûa P baèng naêng löôïng truyeàn qua moät ñôn vò dieän tích ñaët vuoâng goùc vôùi 
phöông truyeàn soùng trong moät ñôn vò thôøi gian. 
 Khaùi nieäm veùc tô maät ñoä doøng ñöôïc Umoâp ñöa ra khi xeùt söï truyeàn 
naêng löôïng trong caùc moâi tröôøng, coøn bieåu thöùc (10-65) ñöôïc Pointinh ñöa ra 
cho tröôøng hôïp soùng ñieän töø. Do ñoù veùc tô P
→
 ñöôïc goïi laø veùc tô Umoâp-
Pointinh. 
 Neáu veõ trong tröôøng ñieän töø caùc ñöôøng cong sao cho tieáp tuyeán taïi moãi 
→
ñieåm truøng vôùi veùc tô P , thì caùc ñöôøng ñoù bieåu dieãn ñöôøng truyeàn naêng löôïng 
ñieän töø vaø ñöôïc goïi laø ñöôøng doøng naêng löôïng. 
 Löu Theá Vinh 
 ÑIEÄN TÖØ HOÏC - 185 - 
 AÙnh saùng chính laø soùng ñieän töø, neân tia saùng chính laø ñöôøng doøng naêng 
löôïng cuûa soùng aùnh saùng. 
 Theo ñònh nghóa cuûa P ta coù giaù trò cuûa noù laø: 
 P = EH = wv = c
n
 (10-67) 
 Vì caùc veùc tô vaøE H
→ →
 vaø w luoân bieán thieân, neân ôû taïi moãi ñieåm xaùc 
 ñoåi theo thôø gia . Do où P cuõng bieán ñònh giaù trò cuûa E, H vaø w luoân thay i n ñ
thieân theo thôøi gian. Goïi I P= laø cöôøng ñoä soùng, noù chính baèng naêng löôïng 
trung bình truyeàn qua moät ñôn vò dieän tích ñaët vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn 
 vò thôøi gian. Ta coù: 
soùng trong moät ñôn
w cI P
n
= = (10-68) 
 Vôùi soùng hình sin ta coù: 
2 2 2 20w cos w( )
T
0 0 0
0
xE H E t dtεεεε μμ= = = −∫ (10-69) T v
2 20 0 0 0
v v
2 2
I E Hεε μμ= = (10-70) 
 Vôùi E0 vaø H0 laø bieân ñoä ñieän tröôøng vaø töø tröôøng cuûa soùng, v = c/n laø toác 
ñoä truyeàn soùng. 
Nhö vaäy, ta ñaõ xeùt nhöõng tính chaát quan troïng cuûa soùng ñieän töø: soùng 
ieän töø coù mang naêng löôïng. Ngoaøi ra caùc khaûo saùt khaùc coøn cho thaáy soùng 
ieän töø coù xung löôïng vaø tröôøng ñieän töø coù khoâí löôïng. Nhöõng tính chaát ñoù cho 
aáy raèng: tröôøng ñieän töø laø moät daïng cuûa vaät chaát. 
ñ
ñ
th
 Löu Theá Vinh 
- 186 - ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
MUÏC LUÏC 
 Môû 
Chöông
aät baûo toaøn ñieän tích. Vaät daãn ñieän 
h ñieän 
 ñieän, ñònh luaät Coulomb 
§1.4 , ñònh lyù Ostrogradsky-Gauss 12 
chaát cuûa vaät daãn caân 
Chöông ñieän moâi 
 eän moâi 
än moâi 
eän moâi 
 moâi 
Chöôn
aïch ñoàng chaát 
rchhoff 
Chöôn ø ion 
uûa vaät raén 
aùn daãn 
 öõa caùc kim loaïi 
Chöôn chaân khoâng 
ñaàu 2 
 1. Ñieän tröôøng trong chaân khoâng 3 
§1.1 Ñieän tích, ñònh lu
vaø vaät caùc
3 
§1.2 Töông taùc tónh 4 
§1.3 Ñieän tröôøng trong chaân khoâng 
Ñieän dòch thoâng
6 
§1.5 Löôõng cöïc ñieän 17 
§1.6 Ñieän theá 19 
Chöông 2. Vaät daãn ñieän 28 
§2.1 Caân baèng tónh ñieän, nhöõng tính 
baèng tónh ñieän 
28 
§2.2 Ñieän dung, tuï ñieän 30 
§2.3 Naêng löôïng ñieän tröôøng 35 
 3. Ñieän tröôøng trong chaát 38 
§3.1 Hieän töôïng phaân cöïc ñi 38 
§3.2 Ñieän tröôøng trong chaát ñie 40 
§3.3 Löïc taùc duïng ñaët leân ñieän tích ñaët trong ñi 44 
§3.4 Bieán thieân cuûa ñieän tröôøng ôû maët giôùi haïn chaát ñieän 48 
§3.5 Xeânheùt ñieän vaø aùp ñieän 51 
g 4. Doøng ñieän khoâng ñoåi 57 
§ 4.1 Nhöõng khaùi nieäm cô baûn 57 
§ 4.2 Ñònh luaät Ohm cho ñoïan m 59 
§ 4.3 Suaát ñieän ñoäng, ñònh luaät Ohm toång quaùt 61 
§ 4.4 Maïch phaân nhaùnh, ñònh luaät Ki 62 
§ 4.5 Coâng vaø coâng suaát cuûa doøng ñieän 63 
g 5. Caùc hieän töôïng ñieän töû va 65 
§ 5.1 Thuyeát electron coå ñieån 65 
§ 5.2 Lyù thuyeát löôïng töû veà tính daãn ñieän c 67 
§ 5.3 Söï daãn ñieän cuûa chaát b 69 
§ 5.4 Hieän töôïng ñieän choã tieáp xuùc gi 72 
§ 5.5 Caùc hieän töôïng nhieät ñieän 75 
§ 5.6 Caùc hieän töôïng phaùt xaï electron 78 
§ 5.7 Caùc daïng phoùng ñieän trong chaát khí 80 
§ 5.8 Hieän töôïng ñieän phaân 86 
g 6 Töø tröôøng trong 88 
 Löu Theá Vinh 
 ÑIEÄN TÖØ HOÏC - 187 - 
§ 6.1 
§ 6.2 ònh lyù Biot-Savart-Laplace 89 
 cho töø tröôøng 
§ 6.5 töø 103 
Chöôn
øng 
 eån ñoäng 
 ñieän tích 
rong ñieän tröôøng vaø töø 
Chöôn
haân loïai töø moâi 
luaät cô baûn cuûa töø moâi 
ø moâi 
saét töø 
 daãn 
Chöôn ñieän töø 
ieän töø 
Chöôn
höông trình Maxwell-Faraday 
ình Maxwell-Ampeøre 
 10.3 well. Giaù trò cuûa thuyeát Maxwell 
§ 10.4 Tính töông ñoái cuûa tröôøng ñieän töø 164 
§10.5 Dao ñoäng ñieän töø cuûa maïch 168 
§ 10.6 Soùng ñieän töø töï do 176 
§10.7 Naêng löôïng 183 
 Taøi lieäu tham khaûo 188 
Töông taùc töø, ñònh lyù Ampeøre 
Töø tröôøng, ñ
88 
§ 6.3 Töø thoâng, ñònh lyù Ostrogradsky-Gauss 92 
§ 6.4 Taùc duïng cuûa töø tröôøng leân doøng ñieän 
Coâng cuûa löïc 
99 
g 7 Chuyeån ñoäng cuûa ñieän tích trong ñieän tröôøng vaø 
töø tröô
106 
§ 7.1 Töø tröôøng cuûa ñieän tích chuy 106 
§ 7.2 Taùc duïng ñieän tröôøng vaø töø tröôøng leân
chuyeån ñoäng 
107 
§ 7.3 Chuyeån ñoäng cuûa ñieän tích t
tröôøng 
107 
g 8 Töø tröôøng trong vaät chaát 108 
§ 8.1 Söï töø hoùa caùc chaát, p 108 
§ 8.2 Caùc ñònh 123 
§ 8.3 Giaûi thích söï töø hoùa tö 126 
§ 8.4 Chaát saét töø 131 
§ 8.5 Giaûi thích söï töø hoùa cuûa chaát 135 
§ 8.6 Phaûn saét töø vaø Ferit 137 
§ 8.7 Maïch töø 138 
§ 8.8 Hieän töôïng sieâu 141 
g 9 Caûm öùng 144 
§ 9.1 Hieän töôïng caûm öùng ñ 144 
§ 9.2 Hieän töôïng töï caûm 146 
§ 9.3 Doøng ñieän Foucault 151 
§ 9.4 Hieäu öùng Skin 151 
§ 9.5 Hoã caûm 153 
§ 9.6 Naêng löôïng töø tröôøng 154 
g 10 Ñieän töø tröôøng, thuyeát Maxwell 156 
§10.1 Ñieän tröôøng xoùay, P 156 
§10.2 Doøng ñieän dòch, Phöông tr 158 
§ Heä phöông trình Max 162 
 soùng ñieän töø 
 Löu Theá Vinh 
- 188 - ÑIEÄN TÖØ HOÏC 
 Löu Theá Vinh 
THAM KHAÛO 
h ñieän hoïc. Ñaïi hoïc Ñaø laït. 1987 
aät lyù T4, T5. 
. Löông Duyeân Bình, Nguyeãn Höõu Hoà. Baøi taäp vaät lyù ñaïi cöông Taäp 
2. NXB Giaùo duïc 2003 
6. Jean – Marie Brebec  (Ngöôøi dòch: Nguyeãn Höõu Hoà). Ñieän töø hoïc 
2 taäp. NXB Giaùo duïc 2001 
7. С.Г. Калашников. Электричество. -М.: Наука, 1970 
8. И.В. Савельев. Курс Общей физики. Том 2. -М.: Наука, 1988 
TAØI LIEÄU 
1. Löu Theá Vinh. Giaùo trìn
2. Vuõ Thanh Khieát, Nguyeãn Theá Khoâi, Vuõ Ngoïc Hoàng. Ñieän ñaïi cöông. 
NXB Giaùo duïc. 1982 
3. Löông Duyeân Bình, Dö Trí Coâng, Nguyeãn Höõu Hoà. Vaät lyù ñaïi cöông 
Taäp 2. NXB Giaùo duïc . 1995
4. Davit Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Cô Sôû V
NXB Giaùo duïc 1998 
5