Hàm nội suy Hierarchical trong phân tích tấm 2D

Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 45(01/2018) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
13 
HÀM NỘI SUY HIERARCHICAL TRONG PHÂN TÍCH TẤM 2D 
HIERARCHICAL INTERPOLATION FUNCTION IN 2D PLATE ANALYSIS 
 Hứa Thành Luân 1, Nguyễn Hoài Sơn1, Chương Thiết Tú 2 
1Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM, Việt Nam 
2Trường Cao đẳng Công Thương, Việt Nam 
Ngày toà soạn nhận bài18/4/2017, ngày phản biện đánh giá 21/4/2017, ngày chấp nhận đăng 30/6/2017. 
TÓM TẮT 
Phương pháp HFEM là một hàm dạng nội suy của phương pháp phần tử hữu hạn, giúp 
ta thiết lập hệ thống lưới phân tử một cách trật tự và có thể tùy biến trên các bề mặt vật thể 
phức tạp nhằm cho ra kết quả chính xác. Phương pháp phần tử hữu hạn FEM là phương 
pháp số gần đúng để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm 
riêng trên miền phần tử xác định có hình dạng và điều kiện biên bất kỳ, mà nghiệm chính 
xác không thể tính được bằng phương pháp giải tích. Phương pháp phần tử hữu hạn 
hierarchical là một trường hợp đặc biệt của phương pháp Rayleigh-Ritz[1-2], sự khác biệt 
lớn nhất của FEM và HFEM là hàm nội suy. Mặc dù HFEM có nhiều điểm chung với các 
phương pháp Rayleigh-Ritz cổ điển nhưng việc sử dụng các hàm chuyển vị HFEM ở tính 
linh hoạt cao hơn và cải thiện tỷ lệ hội tụ cũng như tính chính xác cao hơn. Việc nghiên cứu 
về các lĩnh vực này không chỉ để giải quyết những yêu cầu kỹ thuật hiện đại mà còn chứng 
minh cho việc sử dụng các lý thuyết nâng cao [3] để khắc phục những giới hạn của lý thuyết 
cơ bản về cơ học vật liệu [4-5]. 
Từ khóa: phương pháp phần tử hữu hạn; HFEM; FEM; phương pháp Rayleigh-Ritz; hàm 
nội suy. 
ABSTRACT 
The HFEM method, as an interpolation of the finite element method (FEM), allows us 
to set up a molecular grid system in an orderly and customizable way on complex object 
surfaces to produce accurate results. Finite element method is an approximate numerical 
method for solving problems described by partial differential equations on the bounded 
domain of any shape and boundary condition with which the precise solution of the 
equation system cannot be obtained algebraically. Hierarchical Finite element method 
(HFEM) is a special case of the Rayleigh-Ritz method [1-2] and the biggest difference 
between FEM and HFEM is the interpolation function. Although HFEM has much in 
common with the classical Rayleigh-Ritz methods, the results of approximation functions in 
HFEM method is greater flexibility and improved convergence rates as well as greater 
accuracy. Research in these areas not only solves modern problems technical requirements, 
but also demonstrates the use of advanced theories to overcome the limitations of the 
fundamental mechanics of materials. 
Keywords: Finite element method; HFEM; FEM; Rayleigh-Ritz method; the interpolation 
function. 
1. GIỚI THIỆU 
Trong HFEM tính chính xác của các 
giải pháp được cải thiện bằng cách tăng mức 
độ đa thức mà không làm ảnh hưởng đến 
kích thước mắt lưới và số nút. Thứ hai, khi 
thứ tự của Hierarchical Mode được tăng 
kích thước của ma trận độ cứng phần tử và 
14 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 45(01/2018) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
khối lượng cũng được gia tăng và các ma 
trận phần tử và khối lượng ban đầu được cài 
sẵn trong những cái mới. Vì chúng được 
thay với các giá trị riêng để tính, luôn tiếp 
cận các giá trị thực và luôn có những ràng 
buộc trên các giá trị thực đó. Thứ ba giá trị 
riêng bằng các HFEM luôn cho xấp xỉ tốt 
hơn so với FEM thông thường và cuối cùng 
nhưng không kém quan trọng đó là trong 
HFEM có mô hình cấu trúc đơn giản. 
2. HÀM DẠNG HIERARCHICAL 
Hàm dạng hierarchical là một dạng đặc 
biệt của phương pháp Rayleigh-Ritz cổ điển. 
Sự khác biệt duy nhất là việc lựa chọn các 
phương pháp nội suy. Thông thường phương 
pháp phần tử hữu hạn quan tâm các khu vực 
sau đó chia thành khu vực phụ nhỏ hơn, 
không nhất thiết phải giống hệt nhau, được 
gọi là phần tử hữu hạn. Các giải pháp nội 
suy xấp xỉ này được các hàm đa thức thực 
hiện trong các miền và liên tục trên mỗi 
miền phụ. 
Các hàm dạng hierarchical được thiết lập 
dựa trên các hàm dạng bậc đa thức. Trong bài 
này, chúng ta đã lựa chọn các bậc p của hàm 
đa thức. Các bậc đa thức này sẽ được lựa 
chọn theo thứ tự, trong đó có tính chất các 
hàm tương ứng với một hàm xấp xỉ của bậc 
thấp tạo thành một tập hợp các hàm tương 
ứng với một hàm xấp xỉ bậc cao. Tập hợp các 
bậc đa thức được sử dụng trong bài báo hiện 
tại được bắt nguồn từ hàm đa thức Legendre 
của Rodrigues: 
 22 ! 1
k
k k
k k
d
P
k d

 
k=0,1,2.. (1) 
Chuyển vị u xác định bởi định dạng iu 
và các biến chuyển vị hierarchical ja 
^ ^
i i i iu N u N a N u (2) 
Trên cơ sở các yếu tố 1,1,   , 
ta lập được các cạnh, đỉnh, mặt. Các đa thức 
hierarchical của đã trở nên đơn giản gồm các 
hàm dạng bên trong. 
Hình 1. Phần tử tứ giác bốn nút 
2.1 Hàm dạng đỉnh 
Bốn đỉnh là các hàm tuyến tính. 
2
1
)(,
2
1
)(,
2
1
)(,
2
1
)( 2121
 
 
 
 
 
 
 
  NNNN 
1 1 1
2 2 1
3 2 2
4 1 2
1
( ) ( ) (1 )(1 );
4
1
( ) ( ) (1 )(1 )
4
1
( ) ( ) (1 )(1 );
4
1
( ) ( ) (1 )(1 )
4
k
k
k
k
N N N
N N N
N N N
N N N
   
   
   
   
 (3) 
2.2 Hàm dạng cạnh 
Hàm dạng của các cạnh ( )1(4,2 pp ) 
hàm dạng (các cạnh) kết hợp với các nút giữa. 
),(),(   fN kEi (4) 
Trong đó E đề cập đến thực tế rằng đây 
là các cạnh, k là bậc đa thức của các yếu tố, i 
là số cạnh. Chúng được viết thành: 
1
2
3
4
1
( , ) (1 ) ( );
2
1
( , ) (1 ) ( )
2
1
( , ) (1 ) ( );
2
1
( , ) (1 ) ( ), 2,3,...,
2
k k
E
k k
E
k k
E
k k
E
N N
N N
N N
N N k p
   
   
   
   
 (5) 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 45(01/2018) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
15 
2.3 Hàm dạng mặt 
Hàm dạng mặt ( 2/)3)(2(,4 ppp ) 
kết hợp với các nút trọng tâm của 9 nút 
Chúng còn được gọi là các hàm ảo. 
)1)(1( 220,0,49  N (6) 
Các hàm dạng còn lại là 
0,0,4
9N và các đa 
thức Legendre như: 
5,1,0 4,0,0 5,0,1 4,0,0
9 9 1 9 9 1
5,1,0 4,0,0 6,2,0 4,0,0
9 9 1 9 9 2
6,0,2 4,0,0 6,1,1 4,0,0
9 9 2 9 9 1 1
7,3,0 4,0,0 7,0,3 4,0,0
9 9 3 9 9 3
7,2,1 4,0,0
9 9 2 1 9
( ), ( ),
( ), ( ),
( ), ( ) ( )
( ), ( ),
( ) ( ),
N N P N N P
N N P N N P
N N P N N P P
N N P N N P
N N P P N
 
 
  
 
 
 7,1,2 4,0,09 1 2
8,4,0 4,0,0 8,0,4 4,0,0
9 9 4 9 9 4
8,3,1 4,0,0 8,1,3 4,0,0
9 9 3 1 9 9 1 3
8,2,2 4,0,0
9 9 2 2
( ) ( ),
( ), ( ),
( ) ( ), ( ) ( ),
( ) ( ),
N P P
N N P N N P
N N P P N N P P
N N P P
 
 
   
 
(7) 
Các yếu tố chủ yếu liên quan, nội suy 
),( u được viết theo: 
4 4
1 2 1
, , , ,
9 9
4 4
( , )
p
k k
j Cj j Ej
j k j
p
k k
k k
u d N d N
d N   
 
 
  
 
 (8) 
Số lượng các phương trình liên kết với 
một biến gồm các giải pháp như số bậc tự do 
cho đỉnh, cạnh, mặt. Số lượng các phương 
trình liên quan với nhau để đa thức được đưa 
ra trong Bảng 1. 
Bảng 1. Bảng biểu đồ số bậc tự do cho phần 
tứ giác. 
P Các nút Các cạnh Các mặt Tổng cộng 
1 4 4 
2 4 4 8 
3 4 8 12 
4 4 12 1 17 
5 4 16 3 23 
6 4 20 6 30 
7 4 24 10 38 
8 4 28 15 47 
Các yếu tố chủ yếu liên quan, nội suy 
),( u được thể hiện: 
4 4
1 2 1
, , , ,
9 9
4 4
( , )
p
k k
j Cj j Ej
j k j
p
k k
k k
u d N d N
d N
   
 
 
  
 
 (9) 
Hình 2. )(),(),(
0,2,6
9
0,1,5
9
0,0,4
9 rightNmiddleNleftN 
3. ỨNG DỤNG 
Khảo sát tấm thép có: 
 Chiều rộng a = 5 mm, chiều cao b = 5 mm, 
độ dày t = 1 mm, vòng tròn có R=1mm, 
 Mô đun đàn hồi vật liệu E= 2*109MPa 
 Hệ số Poisson υ = 0.3 
Bài toán phân tích tĩnh nhằm đánh giá độ 
tin cậy của giải thuật tác giả, mô hình chia 
16 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 45(01/2018) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
lưới phần tử sẽ được trình bày trong Hình 3, 
Kết quả của năng lượng biến dạng sẽ được 
trình bày trong Bảng 2 và Hình 4 sẽ cho thấy 
sự chênh lệch giữa kết quả tác giả và năng 
lượng chính xác. 
Hình 3. Mô hình tấm 2D chịu tác dụng của lực kéo 
Bảng 2. Năng lượng 
p 4 x 4 6 x 6 10 x 10 
1 1.234781201678460 1.24539352047314 1.252090794826700 
2 1.250643944762530 1.25560416492487 1.257338757220810 
3 1.253472086993030 1.25686799779477 1.257663905027610 
4 1.254432185801750 1.25704426855534 1.257681896607770 
5 1.254601201840920 1.25706108629326 1.257682897884160 
6 1.254659470373570 1.25706650402698 1.257683447121430 
7 1.254711480398780 1.25707242680776 1.257684113912230 
8 1.254760072521120 1.25707872801340 1.257684853657300 
Hình 4. Biểu đồ kết quả U 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 45(01/2018) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
17 
Nhận xét: 
Từ các số liệu trong Bảng 2 cho thấy với 
lưới phần tử có kích thước lưới là 4 x 4, 6 x 6 
và 10x10ta thấy được sự sai số của năng 
lượng có sự chệnh lệch. Tuy nhiên khi so 
sánh với năng lượng chính xác chúng ta có 
thể nhận thấy được sự sai số đáng kể khi ta 
chia lưới nhỏ và lưới lớn cũng như sự làm 
mịn lưới ảnh hưởng đến sự thật thoát năng 
lượng. Việc thay đổi lưới mịn hơn dẫn đến 
kết quả hội tụ tốt hơn, cũng như sai số do 
tính toán sẽ ít hơn, kết quả cho ra chính xác 
và đáng tin cậy hơn so với FEM. 
Hình 5. Biểu đồ kết quả sai số 
Để đánh giá sự hội tụ và cũng như sai số 
của FEM so với các HFEM, tác giả sẽ khảo 
sát sai số của FEM và HFEM qua các lưới 
chia khác nhau, kết quả được cho trong Bảng 
3 và đồ thị đánh giá sai số theo từng bậc đa 
thức được thể hiện trong hình 5. 
Bảng 3. Sai số của HFEM và FEM 
4 x 4 5 x 5 6 x 6 7 x 7 8 x 8 9 x 9 10 x 10 
FEM 1.234781202 1.241594256 1.245393520 1.247900421 1.249697102 1.251046321 1.252090795 
HFEM p = 2 1.250643945 1.254125082 1.255604165 1.256389336 1.256853028 1.257145466 1.257338757 
HFEM p = 3 1.253472087 1.255997714 1.256867998 1.257260717 1.257467380 1.257587983 1.257663905 
HFEM p = 4 1.254432186 1.256372919 1.257044269 1.257352008 1.257517961 1.257617512 1.257681897 
HFEM p = 5 1.254601202 1.256419337 1.257061086 1.257359142 1.257521354 1.257619283 1.257682898 
HFEM p = 6 1.254659470 1.256433948 1.257066504 1.257361678 1.257522738 1.257620122 1.257683447 
HFEM p = 7 1.254711480 1.256448697 1.257072427 1.257364597 1.257524379 1.257621133 1.257684114 
HFEM p = 8 1.254760073 1.256463771 1.257078728 1.257367765 1.257526180 1.257622251 1.257684854 
Nhận xét: 
Từ bảng số liệu chuyển vị U bảng (1) và 
sai số bảng (2) ta dễ dàng thấy được xét dưới 
dạng tấm 2D sự chia lưới của FEM thay đổi 
đáng kể nhưng mức độ sai số của pFEM thì 
không nhiều. Từ biểu đồ sai số của pFEM 
chúng ta có thể kết luận rằng sự sai số và tốc 
độ hội tụ của pFEM tốt hơn. 
4. KẾT LUẬN 
Trong bài tác giả đã tiến hành phân tích 
các tấm dưới dạng 2D. Kết quả từ HFEM 
được so sánh với những FEM để chứng 
minh hiệu quả và độ chính xác của HFEM. 
Thường phần tử của phương pháp phần hữu 
hạn được phát triển bằng Mindlin bao gồm 
bốn nút, trong đó mỗi nút có năm bậc tự do. 
18 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 45(01/2018) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
Việc xây dựng hierarchical cải thiện khả 
năng của các phần tử bằng cách làm cho 
mức độ xấp xỉ đa thức để có xu hướng đến 
vô cùng. 
Các chương trình liên quan đến tính công 
thức và đa thức thực hiện bằng việc sử dụng 
phần mềm MATLAB. Các thuộc tính phần tử 
như ma trận độ cứng và chuyển vị đã được 
tính toán bằng số sử dụng các thông số khảo 
sát từ thực tiễn cũng như các công trình 
nghiên cứu khác. Những đến tỉ lệ, mô đun 
đàn hồi ảnh hưởng cắt tỷ lệ mô đun, cấu hình 
và điều kiện biên được xem xét trong nghiên 
cứu tham số. Các công việc thực hiện luận 
văn đã cung cấp một số kết luận về việc thực 
hiện của các công thức HFEM dựa trên lý 
thuyết biến dạng để cắt. Độ chính xác có thể 
thu được bằng cách tăng số lượng của các 
phần tử. Một so sánh của FEM và HFEM có 
thể chứng minh được sự chính các cũng như 
khác năng hội tụ của HFEM vượt trội hơn so 
với FEM. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Ambantsumyan, S A. "Theory of anisotropic shells", NASA Report, 1966,TTF-118. 
[2] Whitney, JM. "Stress analysis of thick laminated composite and sandwich plates", Joumal 
of Composite materials, Vol. 6, 1972, pp.426-440. 
[3] Lo, KH.Christensen, R Ma, Wu, EM. "A higher order theory of plates deformation.Part 
2:Laminated plates", Joumal of Applied Mochanics, vol. 44.1977, pp 669-676. 
[4] J.E Aston, J.M Whitney. “Theory of Laminated Plates”, Technomic, 1970. 
[5] S.W Tsai, H.T Hahn. “Introduction to Composite Materials”, Technomic, 1980. 
Tác giả chịu trách nhiệm bài viết: 
Hứa Thành Luân 
Trường Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh 
Email: huathanhluan1404@gmail.com