Bài Giảng Giải Tích 1

Đại học Quốc gia TP.HCM
Trường Đại học Bách Khoa
Bộ môn Toán Ứng dụng
. Bài Giảng Giải Tích 1
ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
E-mail: nguyenhuuhiep@hcmut.edu.vn
Ngày 8 tháng 9 năm 2014
Mục tiêu môn học
• Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình
vi phân.
• Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các
bài toán cụ thể.
• Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật.
Tài liệu tham khảo
1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,. . . Phép tính vi phân hàmmột biến. NXBGD, 2005
2) Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1.
3) Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia
MỤC LỤC
1 Giới hạn và liên tục 5
1.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Hàm y = lnx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Hàm Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.6 Các hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.7 Hàm Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.8 Hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.9 Hàm tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Các giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.4 Vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Đạo hàm và vi phân 33
2.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Công thức H’Lopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Công thức taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.1 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6.4 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Tích phân 65
3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3
MỤC LỤC MỤC LỤC
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.3 Nguyên hàm hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.4 Nguyên hàm hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.5 Nguyên hàm hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Ứng dụng hình học của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.2 Độ dài đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Phương trình vi phân 83
4.1 Phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.1 Phương trình vi phân tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.2 Phương trình vi phân đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.5 Phương trình vi phân Bernulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.6 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.1 PTVP cấp 2 thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.2 PTVP cấp 2 - dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.3 PTVP cấp 2 - Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.4 PTVP cấp 2 - dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.1 Ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 Bài tập ôn tập cuối kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5 Đề thi cuối kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 4 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1.1 Giới hạn dãy số
Định nghĩa 1.1 (Sup-Inf của tập hợp) Cho tập A ⊂ R.
• Cận trên nhỏ nhất của tập A gọi là Supremum, ký hiệu sup(A).
• Cận dưới lớn nhất của A gọi là infimum, ký hiệu inf(A).
Ví dụ 1.1 a) A = [0, 1) thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0.
Chú ý tập max(A) = 0 nhưng min(A) không tồn tại. Khái niệm sup và inf là mở rộng của max
và min.
b) A = { 1
n
|n ∈ N} thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0.
c) A = (−∞, 3) thì sup(A) = 3 nhưng không có inf
Định nghĩa 1.2 (Dãy số) Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R.
u : N −→ R
n 7→ u(n) := un.
Ký hiệu 1 dãy số (un)
+∞
n=1 hay đơn giản (un). un gọi là số hạng thứ n của dãy.
Ví dụ 1.2 a) Cho dãy số dạng liệt kê (un) = {1;−2; 1; 4; 0;−5, 8;−3;
√
3,−1
3
, ...}.
Số hạng thứ 5 là u5 = 0.
b) Cho dãy số dạng số hạng tổng quát (un) : un =
(−1)n + n
n2 + 1
.
Số hạng thứ 7 là u7 =
(−1)7 + 7
72 + 1
=
3
25
.
c) Cho dãy số dạng truy hồi (un) :
{
u1 = 1
un+1 = 2un + 3, n ≥ 1.
Ta có u2 = 2u1 + 3 = 5, u3 = 2u2 + 3 = 13, ...
Định nghĩa 1.3 (Dãy số đơn điệu) .
Dãy số (xn) gọi là tăng nếu xn ≤ xn+1,∀n ∈ N
Dãy số (xn) gọi là giảm nếu xn ≥ xn+1, ∀n ∈ N
Bỏ dấu "=" trong đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt).
Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là đơn điệu.
Ví dụ 1.3 Xét tính đơn điệu của dãy số (xn) : xn =
n+ 1
n+ 2
.
Ta có
xn+1 − xn = (n+ 1) + 1
(n+ 1) + 2
− n+ 1
n+ 2
=
(n+ 2)2 − (n+ 1)(n+ 3)
(n+ 3)(n+ 2)
=
1
(n+ 3)(n+ 2)
> 0, ∀n.
=⇒ xn+1 > xn suy ra (xn) là dãy tăng.
5
1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Cách khác
Xét f(x) =
x+ 1
x+ 2
, x ≥ 1 =⇒ f ′(x) = 1
(x+ 2)2
> 0.
Vậy f(x) đồng biến nên (un) là dãy tăng.
Định nghĩa 1.4 (Dãy số bị chặn) .
Dãy (xn) gọi là bị chặn trên nếu ∃M : xn ≤M, ∀n.
Dãy (xn) gọi là bị chặn dưới nếu ∃m : xn ≥ m,∀n.
Dãy (xn) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Dãy (xn) bị chặn khi và chỉ khi (|xn|) bị chặn trên.
Ví dụ 1.4 Xét tính bị chặn của dãy số (xn) : xn =
n
n+ 1
.
Ta có 0 <
n
n+ 1
< 1,∀n ∈ N . Suy ra (xn) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới do đó bị chặn.
Định nghĩa 1.5 (Dãy con) .
Cho dãy (xn). Dãy con của (xn) là một dãy (xnk)k mà các phần tử của nó được lấy tùy ý từ (xn) theo
thứ tự tăng dần của chỉ số.
Ví dụ 1.5
Cho dãy (xn) : xn =
n
n2 − 2 =
{
−1, 1, 3
7
,
2
7
,
5
23
,
3
17
, . . .
}
.
Dãy vn =
{
−1, 3
7
,
5
23
,
3
17
, . . .
}
là một dãy con của xn.
Dãy x2n =
2n
(2n)2 − 2 =
{
1,
2
7
,
3
17
. . .
}
là dãy con các chỉ số chẵn của xn.
Dãy x2n+1 =
2n+ 1
(2n+ 1)2 − 2 =
{
−1, 3
7
,
5
23
, . . .
}
là dãy con các chỉ số lẻ của xn.
Định nghĩa 1.6 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim
n→+∞
un = a hay un
n→+∞−−−−→ a được định nghĩa
∀ε > 0,∃n0 : n ≥ n0 =⇒ |un − a| < ε
Ta nói dãy (un) hội tụ về a.
Nếu (un) không hội tụ thì ta nói (un) phần kỳ.
Định nghĩa 1.7 ( dãy số dần ra vô cùng) Ký hiệu lim
n→+∞
un = +∞ hay un n→+∞−−−−→ +∞ được
định nghĩa
∀A > 0,∃n0 : n ≥ n0 =⇒ un > A.
Ta nói dãy (un) hội tụ về a.
Nếu (un) không hội tụ thì ta nói (un) phần kỳ.
Tượng tự cho giới hạn dần ra −∞.
Tính chất Cho xn −→ a, yn −→ b; a, b ∈ R ta có
i) lim
n→+∞
(xn ± yn) = a± b.
ii) lim
n→+∞
(xn.yn) = ab.
iii) lim
n→+∞
xn
yn
=
a
b
, b 6= 0.
iv) lim
n→+∞
|xn| = |a|.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 6 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Định lý
1. Giới hạn dãy nếu tồn tại là duy nhất.
2. Dãy hội tụ thì bị chặn.
3. Cho xn ≤ yn ≤ zn,∀n ≥ n0.{
xn −→ a
zn −→ a
=⇒ yn −→ a.
4. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
5.
xn → a⇐⇒
{
x2n → a
x2n+1 → a.
Số e. Người ta chứng minh được dãy số xn =
(
1 +
1
n
)n
là
dãy tăng và bị chặn trên do đó hội tụ. Ký hiệu
lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
= e
Số e là số vô tỷ có giá trị gần đúng là e = 2.718281828...
Các giới hạn cơ bản
i) lim
n→∞
1
nα
= 0, α > 0.
ii) lim
n→∞
1
lnα n
= 0, α > 0.
iii) lim
n→∞
qn = 0, |q| < 0.
iv) lim
n→∞
n
√
nα = 1, ∀α.
v) lim
n→∞
(
1 +
a
n
)n
= ea, ∀a.
Các dạng vô định
0
0
,
∞
∞ , 0.∞,∞−∞, 1
∞,+∞0, 00+
Khi tính giới hạn dạng vô định, ta dùng công thức hoặc biến đổi
đại số để khử dạng vô định.
Nếu giới hạn không phải dạng vô định, ta tính bình thường.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 7 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Quy tắc
1
0
=∞, 1∞ = 0.
lnα n nβ(β > 0) an(a > 1) n! nn
Dấu chỉ mang tính hình thức theo nghĩa: hàm nhỏ
chia hàm lớn dần về 0 và hàm lớn chia hàm nhỏ dần
về vô cùng.
Ví dụ 1.6
a) lim
n→∞
ln5 n√
n
= 0. b) lim
n→∞
3n
n!
= 0. c) lim
n→∞
2n
n100
= +∞. d) lim
n→∞
log52 n
3n
= 0.
Ví dụ 1.7 Tính các giới hạn sau
a) I = lim
n→∞
2n3 − 3n
4n+ 3n2
.
Dạng
∞
∞ . Đại lượng n
3 lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho n3.
I = lim
n→∞
2− 3
n2
4
n2
+
3
n
= +∞ (vì tử dần về 2, mẫu dần về 0).
b) I = lim
n→∞
2n3 − 4n+1
3n − 22n−1 + 5n7 .
Dạng
∞
∞ . Đại lượng 4
n = 22n lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho 4n.
I = lim
n→∞
2
n3
4n
− 4
(
3
4
)n − 1
2
+ 5
n7
4n
=
0− 4
0− 1
2
+ 0
= 8.
c) I = lim
n→∞
√
n2 + 4n− n+ 1.
Dạng∞−∞. Nhân lượng liên hợp.
I = lim
n→∞
(
√
n2 + 4n− n)(√n2 + 4n+ n)√
n2 + 4n+ n
+ 1 lim
n→∞
6n2 +4n− 6n2√
n2 + 4n+ n
+ 1. Dạng
∞
∞ .
Chia cả tử và mẫu cho n.
I = lim
n→∞
4√
1 + 4
n
+ 1
+ 1 =
4√
1 + 0 + 1
+ 1 = 3.
d) I = lim
n→∞
n
√
3n4 − 4n3 = lim
n→∞
n
√
n4(3− 4 1
n
) = lim
n→∞
n
√
n
4
(3− 4 1
n
)
1
n = 1.30 = 1.
Tương tự, ta có thể chứng minh n
√
Pm → 1 với mọi đa thức Pm.
e) I = lim
n→∞
n
√
2n+1 − 4n
3n + 5n3
= lim
n→∞
2
3
n
√√√√√√ 2−
4n
2n
1 +
5n3
3n
=
2
3
. Vì lim
n→∞
n
√√√√√√ 2−
4n
2n
1 +
5n3
3n
= lim
n→∞
 2− 4n2n
1 +
5n3
3n

1
n
=
20 = 1.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 8 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
f) I = lim
n→∞
ln2(2n)
ln2 n
= lim
n→∞
(ln 2 + lnn)2
ln2 n
= lim
n→∞
(
ln 2
lnn
+ 1
)2
= (0 + 1)2 = 1.
g) I = lim
n→∞
√
n sinn!
n+ 1
.
Ta có 0 ≤
∣∣∣∣√n sinn!n+ 1
∣∣∣∣ ≤ √nn+ 1 .
Vì lim
n→+∞
0 = lim
n→∞
√
n
n+ 1
= 0 nên lim
n→∞
∣∣∣∣√n sinn!n+ 1
∣∣∣∣ = 0 =⇒ limn→∞
√
n sinn!
n+ 1
= 0.
h) I = lim
n→∞
(
n− 1
n+ 1
)n+1
= lim
n→∞
(
1 +
−2
n+ 1
)n+1
= e−2 =
1
e2
.
i) I = lim
n→∞
(
n2 + 2
n2 + 5
)3n2+1
= lim
n→∞
(
1 +
−3
n2 + 5
)(n2+5) 3n2+1
n2+5
= lim
n→∞
[(
1 +
−3
n2 + 5
)(n2+5)] 3n2+1n2+5
= (e−3)3 = e−9 =
1
e9
.
j) I = lim
n→∞
(
2n+ 3
3n+ 2
)n3+1
n+2
.
Vì lim
n→∞
2n+ 3
3n+ 2
=
2
3
, lim
n→∞
n3 + 1
n+ 2
= +∞ nên I = 0.
Chú ý bài này không phải dạng vô định. Có dạng (2/3)+∞ = 0.
k) I = lim
n→∞
(
2n2 + 3n
4n2 − 2n
) √n
n2+2
.
Vì lim
n→∞
2n2 + 3n
4n2 − 2n =
1
4
, lim
n→∞
√
n
n2 + 2
= 0 nên I = (1/4)0 = 1.
Chú ý bài này cũng không phải dạng vô định.
l) I = lim
n→∞
(
2n3 + 3n
4n2 − 2n
) n
n2+2
.
Bài này dạng vô định +∞0. Ta làm như sau:(
2n3 + 3n
4n2 − 2n
) n
n2+2
=
(
2n3 + 3n
4n2 − 2n
) 1
n
. n
2
n2+2
=
(
n
√
2n3 + 3n
n
√
4n2 − 2n
) n2
n2+2
n→∞−−−→ (1/1)1 = 1.
Ví dụ 1.8 Tính các giới hạn sau
a) I = lim
n→∞
(−1)n. Đặt xn = (−1)n
Ta có x2n = (−1)2n = 1 −→ 1, x2n+1 = (−1)2n+1 = −1 −→ −1.
Vậy không tồn tại giới hạn.
b) I = lim
n→∞
(
1− n
1 + n
)n
. Đặt xn =
(
1− n
1 + n
)n
= (−1)n
(
n− 1
1 + n
)n
= (−1)n
(
1 +
−2
1 + n
)n
.
x2n = (−1)2n
(
1 +
−2
1 + 2n
)2n
−→ 1.e−2 = 1
e2
.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 9 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x2n = (−1)2n+1
(
1 +
−2
2 + 2n
)2n+1
−→ −1.e−2 = − 1
e2
.
Vậy không tồn tại giới hạn.
c) lim
n→∞
xn, với xn =
{
x1 =
√
2
xn+1 =
√
2 + xn, n ≥ 1.
Viết cách khác: xn =
√
2 +
√
2 +
√
2 + . . . (n
dấu căn).
Dùng quy nạp chứng minh được dãy xn tăng và bị chặn trên bởi 2 do đó hội tụ.
Giả sử xn → a. Từ giả thiết ta có
lim
n→∞
xn+1 = lim
n→∞
√
2 + xn ⇐⇒ a =
√
2 + a⇐⇒ a = 2.
Vậy lim
n→∞
xn = 2.
d) lim
n→∞
xn, với xn =
1
1.2
+
1
2.3
+ · · ·+ 1
n(n+ 1)
.
Ta có xn =
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
4
)
+ · · ·+
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1− 1
n+ 1
−→ 1.
1.1.1 Bài tập
Tính giới hạn
1. lim
4n − 5−n
3n − 22n − 5n6
2. lim
ln(3n2 − 2n)
n9 + 3n2
3. lim
log210n
log2n
4. lim(
1 + n
n+ 2
)
1 + n
2− n2
5. lim n
√
n2 + 4n
n+ 5n
6. lim(
2n− 3
2n+ 5
)
n2 + 1
n+ 1
7. lim n
√
n+ (−1)n
8. lim
n sinn!
(1 + n)
√
n− 2
9. lim n
√
5n+ 1
n10 + 2n
10. lim(
2n+ 1
n2 − 1 )
1
n− 2
11. ... ừ (1):
y(t) =
1
3
(x′ + x− 2te−2t)
= −C1
3
e−2t + 2C2e5t + (
4
7
t2 − 52
147
t+
19
147
)e−2t
Ví dụ 4.47 Giải hệ phương trình vi phân
{
x′ = 3x− y + t, (1)
y′ = x+ y + cos t (2)
Bài giải
a) Viết lại hệ {
(D − 3)x+ y = t, (1)
−x+ (D − 1)y = cos t (2)
(1)+(D-3)(2): D2y − 4Dy + 4y = t− sin t− 3 cos t (3)
b) Phương trình đặc trưng k2 − 4k + 4 = 0⇐⇒ k1 = k2 = 2.
Suy ra y0 = (C1 + C2t)e2t.
(a) Giải D2y − 4Dy + 4y = − sin t− 3 cos t (3a)
y1 = A cos t+B sin t, đạo hàm thế vào (3a)
−A cos t−B sin t+ 4A sin t− 4B cos t+ 4A cos t+ 4B sin t = − sin t− 3 cos t
⇐⇒

A = −13
25
B =
9
25
=⇒ y1 = −13
25
cos t+
9
25
sin t
(b) Giải D2y − 4Dy + 4y = t (3b)
y1 = At+B, đạo hàm thế vào (3b)
0− 4A+ 4At+ 4B = t⇐⇒

A =
1
4
B =
1
4
=⇒ y2 = 1
4
t+
1
4
Vậy y = (C1 + C2t)e2t − 13
25
cos t+
9
25
sin t+
1
4
t+
1
4
c) Từ (2) suy ra y = (C1t+ C1 + C2)e2t +
4
25
sin t− 3
25
cos t− t
4
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 99 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
4.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Ví dụ 4.48 Giải hệ phương trình vi phân
{
x′ = 2x+ y + e2t cos 2t
y′ = −x+ y + e2t sin 2t
Ví dụ 4.49 Giải hệ phương trình vi phân
{
x′ = 2x+ y + t2 (1)
y′ = −x+ 2y + cos t (2)
Viết lại hệ
{
(D − 2)x− y = t2 (1)
x+ (D − 2)y = cos t (2)
(D − 2)pt(1) + pt(2) : (D2 − 4D + 5)x = 2t− 2t2 + cos t (3)
a) Phương trình đặc trưng k2 − 4k + 5 = 0⇐⇒ k = 2± i
Nghiệm thuần nhất x0 = e2t(C1 cos t+ C2 sin t).
b) Giải x′′ − 4x′ + 5x = 2t− 2t2 (3a)
f(t) = 2t− 2t2 : α = 0 =⇒ s = 0
=⇒ x1 = At2 +Bt+ C. Đạo hàm thế vào (3a) suy ra A = −2
5
, B = − 6
25
, C = − 4
125
Suy ra x1 =
2
5
t2 − 6
25
t− 4
125
.
c) Giải x′′ − 4x′ + 5x = cos t (3b)
f(t) = cos t : α + βi = i =⇒ s = 0
=⇒ x2 = A cos t+B sin t.
Đạo hàm thế vào (3b) suy ra x2 = −3
8
cos t+
1
8
sin t
Vậy x = e2t(C1 cos t+ C2 sin t) +
2
5
t2 − 6
25
t− 4
125
− 3
8
cos t+
1
8
sin t
Từ (1) suy ra
y = x′ − 2x− t2
= e2t((C2 − 2C1) cos t(C1 − 2C2) sin t)− 1
5
t2 − 14
25
− 22
125
− 3
8
cos t+
1
8
sin t.
Bài Tập
Giải hệ phương trình vi phân sau
Bài 1.
{
x′ = 3x+ 2y + te2t
y′ = 2x+ 6y − 6e2t
ĐS: x = −4C1e2t + 1
2
C2e
7t + (−8
5
t2− 266
25
t+
118
25
)e2ty = C1e
2t +C2e
7t + (−1
5
t2− 32
25
t)e2t
Bài 2.
{
x′ = 3x− y + tet
y′ = 4x− y − 2et
ĐS:x = (C1 + tC2)et + (
1
3
t3 +
3
2
t2)et, y = (2C1 + C2 + 2C2t)e
t + (
2
3
t3 + 2t2 − 2t)et.
Bài 3.
{
x′ = −x+ 3y + e2t cos t
y′ = 2x+ 4y − e2t sin t
ĐS:x = −3C1e−2t + 1
2
C2e
5t + e2t(
3
17
cos t+
5
17
sin t), y = C1e
−2t +C2e5t + e2t(
−1
17
cos t+
4
17
sin t)
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 100 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
ÔN THI CUỐI KỲ
4.4 Nội dung thi giữa kỳ
1. Khảo sát và vẽ đồ thị y = f(x).
2. Xét sự hội tụ tích phân suy rộng: Loại 1 và 2
3. Tính tích phân suy rộng
4. Ứng dụng hình học của tích phân: cho các hàm y = f(x)
5. Phương trình vi phân cấp 1: Tách biến; đẳng cấp, tuyến tính, từng phần. Chú ý điều
kiện đầu
6. Phương trình vi phân cấp 2: f(x) = eαxPn(x) và f(x) = eαx(a cos βx+ b sin βx)
7. Hệ Phương trình vi phân: 2 phương trình 2 ẩn giải bằng phương pháp khử.
4.5 Bài tập ôn tập cuối kỳ
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị
a) y =
x− 3
x2 − x− 2
b) y = (x− 2)e− 1x
c) y =

arctanx
x+ 1
, x ≤ 0
xe1/x, x > 0
Bài 2. Cho tích phân I =
+∞∫
0
dx
(xα + 1)
√
x2 + x
. Tìm α để tích phân hội tụ. Tính tích phân khi
α = 1.
Bài 3. Cho tích phân I =
+∞∫
1
x− 3
xα(x2 − x+ 1)dx. Tìm α để tích phân hội tụ. Tính tích phân
khi α = 2.
Bài 4. Tính diện tích miền phẳng
a) D : y =
√
x, x+ y = 2, Ox
b) D : y = x2, y = log2(x+ 1), x+ y = 2
Bài 5. Tính độ dài đường cong
a) y = coshx, x ∈ [0, 1]
b) y =
√
1− x2
Bài 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay
101
4.5. BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
a) D : y = x, y = arctanx, x = 1. Tính VOy
b) D : y =
√
x2 + 1, y =
√
x+ 1, x = 1. Tính VOx, VOy.
Bài 7. Tính diện tích mặt tròn xoay
a) C : y =
√
x(x− 1
3
), x ∈ [0, 1
3
]. Tính SOx, SOy
b) C : y =
√
x− x2. Tính SOx, SOy.
Bài 8. Cho miền D giới hạn bởi y = 2x2, y =
x2
2
, y = x.
a) Tính diện tích D.
b) Tính độ dài đường cong C : y =
x2
2
, x ∈ [0, 1].
c) Tính diện tích mặt tròn xoay khi cho C quay quanh Ox và Oy.
d) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh Ox,Oy.
Bài 9. Giải phương trình vi phân cấp 1
a) x3y′ = y(x2 + y2).
b)
√
1− y2dx+ y√1 + x2dy = 0, y(0) = 0.
c) (xy2 + x)dx+ (y − x2y)dy = 0, y(1) = 2.
d) y2 + x2y′ = xyy′, y(1) = 1.
e) xy′ + y
√
1− x2 = 0, y(1) = 1.
ĐS: ln |y|+ ln
∣∣∣∣√1− x2 + 1√
1− x2 − 1
∣∣∣∣ = √1− x2.
f) y′ − y
x+ 1
=
y2
x+ 1
, y(0) = 2.
g)
√
1− y2dx+ y√1− x2dy = 0, y(2) = 1
h) ex2(y′ + 2xy) = x, y(1) = 1
i) xyy′ − y2 + xe− yx = 0, y(1) = 0.
j) xy′ − y = x tan y
x
, y(−1) = 1.
k) 3y′ − y√
x2 + 1
=
y4√
x2 + 1
, y(0) = 1.
l) y′ =
2y − 3x+ 1
6x− 4y + 2 , y(0) = 1.
Bài 10. Giải phương trình vi phân cấp 2
Bài 11. Giải hệ phương trình vi phân.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 102 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ
4.6 Đề thi cuối kỳ
Đề số 1
Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
√
x2 + x+ 2
x+ 1
.
Câu 2. Tìm α để tích phân
+∞∫
1
xα
(x+ 1)2(x2 − x+ 1)dx hội tụ. Tính tích phân với α = 1.
Câu 3. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi x =
√
y, y = 0, y = 2− x.
Câu 4. Giải phương trình vi phân cấp 1 (ye−x + y2 + 1)dx = (e−x − 2xy)dy.
Câu 5. Giải phương trình vi phân cấp 2 y′′ + 4y′ + 4y = cos 3x.
Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân
{
x′(t) = 2x(t)− y(t) + 2 sin t,
y′(t) = x(t) + 2y(t) + cos t.
Đề số 2
Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = xe−
1
x .
Câu 2. Tìm α để tích phân
+∞∫
1
dx
xα
√
x2 − x+ 1 hội tụ. Tính tích phân với α = 1.
Câu 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho miền D giới hạn bởi y = x2 và x = y2 quay
quanh Ox và quay quanh Oy.
Câu 4. Giải phương trình vi phân cấp 1: y′ − 3x2y = x4ex3 .
Câu 5. Giải phương trình vi phân cấp 2: y′′ − 5y′ + 6y = e2x(3x− 4) + x.
Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân
{
x′(t) = 3x(t) + 4y(t) + 3e−2t,
y′(t) = x(t) + 6y(t).
Đề số 3
Câu 1. Giải phương trình vi phân cấp 1: (ex + 3y + 1)dx = (y3 − 3x)dx.
Câu 2. Giải phương trình vi phân cấp 2: y′′ + 5y′ + 6y = (x+ 1)e2x.
Câu 3. Giải hệ phương trình vi phân
{
x′(t) = 3x+ y + et,
y′(t) = 2x+ 4y + t.
Câu 4. Tìm α để tích phân
3∫
0
xα√
9− x2dx hội tụ. Tính tích phân với α = 2.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 103 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Câu 5. Tính tích phân
+∞∫
0
dx
(x2 + x+ 1)(x+ 2)
.
Câu 6. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3e−x.
Câu 7. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y = −x2 và y = x2 − 2x− 4.
Đề số 4
Câu 1 Giải phương trình vi phân y′ + 3x2y = 3x2 + 3x5.
Câu 2 Giải phương trình vi phân y′′ + 3y′ + 2y = 2x+ 3 + 6ex.
Câu 3 Tính tích phân hoặc chứng tỏ phân kỳ I =
0∫
−1
e
1
x
x3
dx.
Câu 4 Tính tích phân I =
+∞∫
0
e−x cos 2xdx.
Câu 5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x2e
1
x .
Câu 6 Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y =
√
x
1 + x3
, y = 0, x = 1.
Đề số 5
Câu 1 Giải phương trình vi phân xdy − ydx = 3x2 sinxdx.
Câu 2 Giải phương trình vi phân y′′ − 4y′ + 13y = (x2 + 4x)e2x.
Câu 3 Giải hệ phương trình vi phân
{
x′(t) = 4x+ y + 2t+ 1,
y′(t) = 7x− 2y + 3t
Câu 4 Tìm α để tích phân
+∞∫
√
2
dx
(xα − 1)√x2 − 2 hội tụ. Tính Tích phân với α = 1.
Câu 5 Tính tích phân suy rộng I =
3∫
1
dx√
(4x− x2 − 3)3 .
Câu 6 Tính diện tích mặt tròn xoay khi cho đường cong C : y = x2, x = 0 7→ 1 quay quanh
trục Ox và Oy.
Câu 7 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x2 lnx.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 104 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ
Đề số 6
Câu 1 Giải phương trình vi phân xy′ − y + ey/x = 0
Câu 2 Giải phương trình vi phân y′′ + 3y′ − 4y = (x+ 1)e−4x.
Câu 3 Giải hệ phương trình vi phân
{
x′(t) = 3x+ 2y + et,
y′(t) = x+ 2y + 3t.
Câu 4 Tìm α để tích phân
+∞∫
1
dx
xα
√
3x2 − 2x− 1 hội tụ. Tính tích phân khi α = 1.
Câu 5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = e4x−x2 .
Câu 6 Tính thể tích vật thế tròn xoay khi cho D giới hạn bởi y = x2
√
3 và y =
√
4− x2 quay
quanh trục Ox.
Đề số 7
Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị y =
e−x
1− x .
Câu 2 Tìm α để tích phân
+∞∫
1
x2 − 3
xα(x+ 1)(x2 + 1)
dx hội tụ. Tính tích phân với α = 1.
Câu 3 Tính độ dài cung y =
x2
2
− lnx
4
, 1 ≤ x ≤ 3.
Câu 4 Giải phương trình vi phân
a) y′ =
y
x
+ x sinx thỏa y(pi) = 2pi.
b) x2y′ = y
√
y2 − 3x2 + xy, x > 0.
c) y′′ + 6y′ + 9y = e3x(3x− 2).
Câu 5 Giải hệ phương trình vi phân
{
x′(t) = 3x− 4y + 3t,
y′ = 2x− y + e2t
Đề số 8
Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
8x√
x2 − 4 .
Câu 2. Tìm α để tích phân y =
+∞∫
0
3x− 1
(4 + xα) 3
√
x4 + 5x2
dx hội tụ.
Câu 3. Tính tích phân suy rộng
+∞∫
0
dx
(x+ 1)
√
x2 − x+ 1 .
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 105 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Câu 4. Cho miền D giới hạn bởi y =
√
x2 + 1, y = ex, x = 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay
khi cho D quay quanh trục Ox và Oy.
Câu 5. Giải phương trình vi phân
a) (yexy + 4xy)dx+ (xexy + 2x2 + 3)dy = 0.
b) (x+ y)y′ = (x+ y)2 + 1.
c) y′′ − 4y′ + 3y = cosx+ xe3x.
Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân
{
x′ = x+ y + 2et,
y′ = 3x− y − 3t.
Đề số 9: Dự thính 12/2013
Câu 1) Khảo sát và vẽ đồ thị y =
x− 1
e2x
.
Câu 2) Cho tích phân I =
+∞∫
0
(2x+ 3)dx
(x+ 1)α(x2 + 4x+ 5)
(a) Tìm α để I hội tụ
(b) Tính I với α = 1.
Câu 3) Tính VOx, VOy với D : y = log3 x, y = 4− x, y = 0.
Câu 4) Giải PTVP (x2 + 4)y′ − 2xy = 6x.
Câu 5) Giải PTVP y′′ − 6y′ + 8y = 6 cos 3x.
Câu 6) Giải PTVP
{
x′ = 7x+ 3y + e10t,
y′ = 6x+ 4y + 2e10t.
Chính quy: 2013-2014. Ca 1
Câu 1 Giải PTVP x
√
y2 + 2xy + 2x2dx = (2xy + 3x2)dy − (2y2 + 3xy)dx, y(1 +√2) = 0
Câu 2 Giải PTVP y′′ − 5y′ + 6y = (x+ 2)e2x.
Câu 3 Giải hệ PTVP

x′1 = 7x1 − 12x2 + 6x3
x′2 = 10x1 − 19x2 + 10x3
x′3 = 12x1 − 24x2 + 13x3.
Câu 4 Khảo sát và vẽ đồ thị y =
x2
|x− 2| .
Câu 5 Tính diện tích miền D : y2 − x2 = 1, y = 3
2
x− 1, x = 6
5
.
Câu 6 Tính tích phân I =
4∫
2
3
(x− 1)√6x− x2 − 8dx.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 106 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ
Câu 7 Tìm α để tích phân sau hội tụ I =
+∞∫
1
e−x + ln(1 + 1
x2α
)
xα−3(1 + xα)α−3
.
Chính quy: 2013-2014. Ca 2
Câu 1 Giải PTVP y′ =
y
x
+ x2 cosx.
Câu 2 Giải PTVP y′′ + 4y = sin 2x+ 1, y(0) =
1
4
, y′(0) = 0.
Câu 3 Giải hệ PTVP
{
x′ = x+ 8y + e2t
y′ = 2x+ y − 1 .
Câu 4 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
{
x+
√
x2 − 2x, x ≤ 0,
2x− x2, x > 0
Câu 5 Tìm thể tích vật thể tròn xoay VOy(D) biết D : xy = 1, y = x, x = 9y, x > 0, y > 0.
Câu 6 Tính tích phân I =
+∞∫
e
dx
x(ln3 x+ ln2 x+ lnx)
.
Câu 7 Khảo sát sự hội tụ tích phân I =
1∫
0
lnxdx√
x(1− x)α
Dự Thính: 2013-2014-HKII
Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f(x) = (x− 2)e− 1x .
Câu 2. Cho tích phân suy rộng I =
+∞∫
1
dx
x2.
√
(x− 1)α .
(a) Tìm tất cả các giá trị thực α để tích phân hội tụ.
(b) Tính tích phân khi α = 1.
Câu 3. Cho miền D giới hạn bởi y =
√
2x− x2 và trục Ox. Tính thể tích và diện tích xung
quanh khi cho D quay quanh trục Ox.
Câu 4. Giải phương trình vi phân cấp 1: y′(x)− y(x)
x+ 1
=
1
y(x).(x+ 1)
.
Câu 5. Giải phương trình vi phân cấp 2: y′′(x) + 4y′(x) + 3y(x) = xe−3x thỏa điều kiện
y(0) = y′(0) = 0.
Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân{
x′(t) = −5x(t) + 3y(t) + tet,
y′(t) = 3x(t) + 3y(t)− et.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 107 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Đề Học Lại - II/2012-2013
Câu 1. Giải phương trình vi phân
(a) y′ cosx+ y = 1− sinx
(b) y′′ − 3y′ + 2y = 2ex
Câu 2. Giải phương trình vi phân
{
x′ = x+ 3y − cos t− sin t
y′ = x+ 3y + sin t
Câu 3. Cho tích phân I =
+∞∫
1
dx
xm
√
x2 + 8x+ 4
. Tìm điều kiện để tích phân hội tụ và tính tích
phân khim = 1.
Câu 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho miềnD giới hạn bởi y = lnx, y = 0, x = 2 quay
quanh trục Ox.
Câu 5. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = xe
1
x .
Đề ôn tập hè 2014
Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (x− 1)ex
Câu 2. Cho tích phân I =
+∞∫
1
xαdx
(x+ 1)
√
2x2 − x+ 3
a) Tìm α để tích phân hội tụ.
b) Tính tích phân khi α = 1
Câu 3. Cho miền D : y = x2, x = y2. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh
trục Ox và trục Oy.
Câu 4. Giải phương trình vi phân cấp 1: y2 + x2y′ = xyy′, y(1) = 1.
Câu 5. Giải phương trình vi phân cấp 2: y′′ − 3y′ − 4y = 2x2e−x, y(0) = y′(0) = 0.
Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân
{
x′ = −x+ 5y + t
y′ = 2x+ 8y + tet
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 108 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
ĐÁP ÁN
Đề 8
a) Tiêm cận đứng x = ±2, tiệm cận ngang y = ±8. Không có cực trị.
b) α > 2/3
c)
Đề 8
1) Tiệm cận ngang y = 0, cực đại x = 3/2
2) α > 0, I =
3pi
4
+
1
4
ln 5
3)
4) y = C(x2 + 4)− 3
5) y = C1e4x + C2e2x − 108
325
sin 3x− 6
325
cos 3x.
6) x = −1/2C1e10t + C2et + 4/3te10t − 1/9e10t, y = C1e10t + C2et + 4/3te10t.
Chính quy: 2013-2014. Ca 1
1) Phương trình vi phân đẳng cấp
2
√
y2 + 2xy + 2x2
x2
+ ln
∣∣∣∣y
x
+ 1 +
√
y2 + 2xy + 2x2
x2
∣∣∣∣ = ln |x|+ 2√2.
2) y = C1e2x + C2e3x +
(
−1
2
x2 − 3x
)
e2x.
3)

x′1 = 2C1e
t + 3C3e
−t
x′2 = C1e
t + C2e
t + 5C3e
−t
x′3 = 2C2e
t + 6C3e
−t
4) Tiệm cận x = 2, y = x± 2. Cực đại (0; 0) và cực tiểu (4; 8).
5) S(D) =
1
2
ln 5 +
24
25
.
6) I = pi
√
3.
7) Điều kiện α2 − 3 > 1⇐⇒ α > 2.
109
4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chính quy: 2013-2014. Ca 2
1) y = x cosx+ x2 sinx+ Cx.
2) ytq = C1 cos 2x+ C2 sin 2x− x
4
cos 2x+
1
4
sin 2x+
1
4
, yr = −x
4
cos 2x+
1
8
sin 2x+
1
4
, .
3) x′′ + 2x′ + 15x = e2t − 8, x = C1e5t + C2e−3t − 1
15
e2t +
8
15
, y =
1
8
(x′ − x− e2t).
4) Tiệm cận y = 1. Cực đại (1; 1), cực tiểu (0; 0).
5) Vy =
8pi
3
.
6) I =
ln 3
2
− pi
√
3
18
.
7) α < 4
Hè :2014.
Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x.e
−x2
8
Câu 2. Tìm α để tích phân suy rộng I =
e∫
1
lnα x√
x(x2 − 1)dx hội tụ.
Câu 3. Tính tích phân suy rộng I =
+∞∫
0
dx
ex(e2x + 3)
.
Câu 4. Tính thể tích vật thể được tạo ra khi miền phẳng giới hạn bởi các đường x2 + y =
0, x+ y = 0 quay quannh trục Oy.
Câu 5. Giải phương trình (y cosx− cos 2x)dx+ sinxdy = 0.
Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình y” + 7y′ + 10y = 3xe−2x.
Câu 7. Giải hệ phương trình
{
x′(t) = 5x− 3y + cos 2t,
y′(t) = −x+ 3y − 1
Đáp án
1. Tiệm cận ngang y = 0. Cực đại (2;
2√
e
), cực tiểu (−2; −2√
e
).
2. α > −1
2
.
3. I =
1
3
− pi
√
3
27
.
4. VOy =
pi
6
.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 110 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ
5. y =
1
sinx
(
sin 2x
2
+ C) = cos x+
C
sinx
.
6. y = C1e−2x + C2e−5x + e−2x(
x2
2
− x
3
).
7.

x = C1e
2t − 3C2e6t − 7
40
cos t2t+
1
10
sin 2t+
1
4
,
y = C1e
2t + C2e
6t − 1
40
cos 2t+
1
20
sin 2t+
5
12
.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 111 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp