Lí thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa

Chương 3
PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA ĐIỀU HÒA
3.1. PHƯƠNG PHÁP TTHĐH
3.1.1. Khái quát chung
Ưu điểm:
- có thể áp dụng với các HT bậc thấp và bậc 
cao; 
- do nó sử dụng phương pháp phân tích trên 
miền tần số của các HT tuyến tính nên rất dễ
dàng áp dụng và cho phép đánh giá các tham số
chuyển động trong HT;
- áp dụng tương đối dễ dàng đối với các phần tử
phi tuyến cứng có trong các HTĐKTĐ.
Nhược điểm: là phương pháp tính toán gần 
đúng.
Việc nghiên cứu HTĐKTĐ phi tuyến bằng 
phương pháp tuyến tính hóa điều hòa được thực 
hiện qua hai giai đoạn :
- giai đoạn 1: thay thế khâu phi tuyến trong HT 
bằng khâu tuyến tính tương đương, có HST phụ
thuộc vào các tham số chuyển động trong HT; 
bằng cách đó ta nhận được HST của HT được 
tuyến tính hóa điều hòa;
- giai đoạn 2: bằng phương pháp bất kỳ của 
LTĐKTĐ tuyến tính, tìm chuyển động của HT đã 
tuyến tính hóa điều hòa.
Để thực hiện phương pháp tuyến tính hóa điều 
hòa thì trong cấu trúc của HT được nghiên cứu 
cần tách ra phần tuyến tính và khâu phi tuyến 
F(x) (H.3-1).
H. 3-1. 
Wtt(s)
F(x)
y(t) x(t)
Điều kiện áp dụng phương pháp tuyến tính 
hóa điều hòa:
- khâu phi tuyến tạo ra tín hiệu có hài bậc nhất 
trội hơn các hài bậc hai trở lên và không có
thành phần một chiều;
- phần tuyến tính có tính chất của bộ lọc thấp 
tần: loại bỏ các hài bậc cao.
Lúc này tín hiệu x(t) được làm gần đúng với hài 
bậc nhất:
],)(sin[)()( 0ψψ += ttAtx (3.1)
trong đó biên độ A(t) và pha Ψ( t) có thể được 
xác định như sau:
];)(exp[)(
0
0 ττξ dAtA
t
t∫= ∫=
t
dt
0
.)()( ττωψ
ξt-hệ số suy giảm, phụ thuộc vào thời gian,ω-tần
số dao động.
Giả sử trong một chu kỳ dao động các giá trị của 
hệ số suy giảm ξt và tần số ω thay đổi không 
đáng kể, nên có thể cho rằng chúng không thay 
đổi. Khi đó, có thể biểu diễn tín hiệu y(t) bằng 
chuỗi Fourier:
,cos),(sin),()( RAAbAAaty ++= ψωψω
trong đó R- tổng các hài bậc cao; a(A, ω), 
b(A, ω) – các hệ số tuyến tính hóa điều hòa của 
khâu phi tuyến
∫=
pi
ψψψ
pi
ω
2
0
sin)sin(1),( dAf
A
Aa
∫=
pi
ψψψ
pi
ω
2
0
.cos)sin(1),( dAf
A
Ab
(3.2)
Lúc này khâu phi tuyến được thay thế bằng HST 
tương đương. Để xác định nó cần thực hiện biến
đổi Laplace (3.1) và (3.2):
122
0 ])[()( −+−= ωξω sAsX
)].)(,(),([])[()( 1220 ξωωωωξ −++−= − sAbAasAsY
Vì vậy, HST tương đương của khâu phi tuyến
được xác định như sau:
).,()(),()(
)(
),,,( 1 ωξωωωξ AbsAa
sX
sY
AsW tđ −+== − (3.3)
3.1.2. Hệ số tuyến tính hóa điều hòa của một
số khâu phi tuyến
3.1.2.1. Khâu rơle ba vị trí có trễ
Trên H.3-2 biểu diễn tín hiệu đầu ra của khâu rơ 
le ba vị trí có trễ dưới tác động của tín hiệu hình 
sin ở đầu vào.
a xma
B
-B
-a -ma
ψ1
ψ2
ψ3
ψ4
ωt
x
ωt
f(x) f(x)
ψ1 ψ2
ψ3 ψ4
H.3-2 
A
Tính toán hệ số tuyến tính hóa điều hòa 
∫ ∫==
pi pi
ψψψ
pi
ωωω
pi
ω
2
0
2
0
),(sin)sin(1)()sin()]sin([1),( dAf
A
tdttAf
A
Aa
tωψ =
).cos(cos2
sin2)(sin)sin(2),(
21
2
1
2
1
ψψ
pi
ψψ
pi
ψψψ
pi
ω
ψ
ψ
ψ
ψ
−=
== ∫ ∫
A
B
dB
A
dAf
A
Aa
trong đó
Từ H.3-2 ta có: 211 )(1cossin A
a
aA −=⇒= ψψ
2
22 )(1cossin A
ma
maA −−=⇒= ψψ
).)(1)(1(2),( 22
A
ma
A
a
A
BAa −+−=
pi
ω
Biến đổi tương tự, nhận được: 
∫ −==
2
1
12 )sin(sin
2
cos
2),(
ψ
ψ
ψψ
pi
ψψ
pi
ω
A
BdB
A
Ab
).1(2),( 2 −=⇒ mA
BaAb
pi
ω
3.1.3. Khảo sát hiện tượng tự dao động
Chuyển động riêng của HT đã tuyến tính hóa 
điều hòa được xác định bằng nghiệm phương
trình đặc trưng:
.01),,,()( =+ωξAsWsW tđtt
Phương trình đặc trưng phụ thuộc vào các tham
số chưa biết A, ξ, ω. Nghiệm của nó cũng phụ
thuộc vào A, ξ, ω.
Khi trong HT xảy ra chuyển động tuần hoàn (tự 
dao động) thì hệ số suy giảm ξ=0, lúc này HST 
tương đương của khâu phi tuyến có dạng
(3.6)
).,(),(),,( ω
ω
ωω AbsAaAsW tđ +=
Khi này phương trình đặc trưng của HT (3.6) có
dạng
.01),,()( =+ωAsWsW tđtt (3.7)
Từ đây nhận được
.)(
1)(
AW
jW
tđ
tt
−
=ω (3.8)
Cần tìm A, ω.
3.1.3.1. Phân tích tính ổn định của tự dao 
động và xác định biên độ, tần số dao động
Phương pháp cân bằng điều hoà (phương pháp
Gôlpharba L.C.)
Re
jIm
)(
1
AW td
−
(A1,ω1)
(A2,ω2)
Giải PTĐT (3.8) 
bằng đồ họa:
- dựng đồ thị của
hàm -1/Wtđ(A) với
chiều mũi tên chỉ
chiều tăng của A;
- dựng đồ thị của
Wtt(jω) với chiều mũi tên chỉ chiều tăng của ω; 
H.3-5
)( ωjW tt
(A3,ω3)
(A4,ω4)
0 
Dao động ổn định chỉ xảy ra tại giao điểm mà tại
đó, nếu chuyển động theo đường cong -1/Wtđ(A)
theo hướng tăng của biên độ A sẽ ra khỏi vùng
kín được tạo ra bằng các đường cong đó, thí
dụ, điểm (A1, ω1) trên H.3-5. Khi này dựa vào
đường cong -1/Wtđ(A) xác định biên độ dao 
động A, còn theo đường cong Wtt(jω) xác định 
tần số dao động ω.
Thí dụ 3.1. Xác định sự tồn tại tự dao động và 
biên độ dao động trong HTĐKTĐ phi tuyến trên 
H.1-3, trong đó phần tuyến tính có HST
)1)(1()( 21 ++
=
sTsTs
k
sW tt
phần tử phi tuyến là khâu rơ le 3 vị trí không có
trễ (H.1-6). Giả sử k=14 s-1; T1=0,1 s; T2=0,2 s.
Khâu rơ le ba vị trí không có trễ có HST tương 
đương:
.)(14)( 2
A
a
A
BAW tđ −=
pi
Phương pháp sử dụng tiêu chuẩn ổn định 
Mikhailôp
Phương pháp này được thực hiện qua các bước 
như sau:
- tìm số phức đặc trưng của HT kín và tách nó ra 
thành phần thực U(A, ω) và phần ảo V(A, ω)
)()()( ,,, AjVAUAjD ωωω +=
- tìm điều kiện để đường cong Mikhailốp bắt đầu 
tại (hoặc đi qua) gốc toạ độ, tức là giải hệ 
phương trình




=
=
;0,
0,
)(
)(
AV
AU
ω
ω nhờ đó tìm được biên độ dao 
động A và tần số dao động ω;
- tiến hành kiểm tra tính ổn định của tự dao động 
(tự dao động sẽ ổn định, nếu như khi tăng biên 
độ A sẽ làm cho HT kín ổn định, tức là hai 
phương trình U(A, ω)=0 và V(A, ω)=0 có đủ n 
nghiệm và ω1<ω2<...<ωn, trong đó nghiệm của 
phương trình V(A, ω)=0 có chỉ số lẻ; nghiệm 
của phương trình U(A, ω)=0 có chỉ số chẵn).
Thí dụ 3.2. Xác định biên độ và tần số dao động 
của HTĐKTĐ phi tuyến trong thí dụ 3.1. 
Sau khi thực hiện tuyến tính hoá điều hoà khâu 
phi tuyến, nhận được HST HT kín dưới dạng
)1)(1()( 21 ++
=
sTsTs
k
sW tt
1,
,
, )()(
)()(
)(
+
=
ω
ω
AWsW
AWsW
AsW
tđtt
tđtt
k
)())(()( ,11, 21 ωAkWssTsTAsD tđ+++=⇒
)()()()( 212212 1,, TTjAkWTTAjD tđ ωωωωω −+++−=





=−
=++−=
=
.01),(
0,,
)(
)()()(
21
2
21
2
TTAV
AkWTTAU tđ
ωωω
ωωω
Từ phương trình thứ hai nhận được nghiệm 
.
21
31
1
;0
TT
== ωω
Do khi ω1=0 thì U(A, ω)=kWtđ (A, ω)>0, nên thay 
ω3 vào phương trình thứ nhất, sau đó biến đổi, 
nhận được
Real
jIm
ω1
ω2
ω3
ω3
;0)( =AM (3.9)
(3.10)
Phương trình trên có 2 nghiệm
)(
)(448
21
21
22
2222
2
2
1
22
21
2
2
2
1
22
2
2,1
TT
aTTTTBkTTBkTTBk
A
+
+−±
=
pi
pi
với điều kiện 
TTB
aTTk
212
)( 21+≥ pi
aTTBk
ATTBkATTAM
22
2
2
1
22
22
2
2
1
22422
16
16)()( 21 +−= +pi
)(
)(448
21
21
22
2222
2
2
1
22
21
2
2
2
1
22
2
TT
aTTTTBkTTBkTTBkA
+
+−+
=
pi
pi
)(
)(448
21
21
22
2222
2
2
1
22
21
2
2
2
1
22
1
TT
aTTTTBkTTBkTTBkA
+
+−−
=
pi
pi
(3.11, a)
(3.11, b)
Trong đó chỉ có một nghiệm 
)(
)(448
21
21
22
2222
2
2
1
22
21
2
2
2
1
22
2
TT
aTTTTBkTTBkTTBkA
+
+−+
=
pi
pi
là biên độ tự dao động trong HT. Chứng minh:
HT trên là HT bậc 3. Phương trình 
01),( )( 212 =−= TTAV ωωω
đã có 2 nghiệm ω1=0 và ω3. Bây giờ, khi tăng 
biên độ dao động A, cần phải chỉ ra sự tồn tại 
nghiệm ω2 của phương trình
0,, )()()( 212 =++−= ωωω AkWTTAU tđ
và ω1<ω2<ω3. Ta đã có
;0,, )()(
01
>=
=
ωω
ω
AkWAU tđ
mà U(A, ω) là hàm bậc 2 đối với biến ω, vì vậy, 
chỉ cần chỉ ra rằng, khi tăng biên độ A so với giá
trị A2 thì hàm 
ω
U
ω1 ω3
.0,, )()()( 321
2
3
3
<++−=
=
ωωω
ωω
AkWTTAU tđ (3.12)
Sau khi biến đổi (3.12), nhận được
;0)( >AM
trong đó M(A, ω3) được xác định từ (3.10).
Xét dấu của (3.10). Biểu thức này có giá trị âm 
khi nằm trong khoảng , trong đó
(3.13)
),( 2221 AA
A22A21 A2
M
)(
)(448
21
21
22
2222
2
2
1
22
21
2
2
2
1
22
2
1
TT
aTTTTBkTTBkTTBkA
+
+−−
=
pi
pi
A2
0 
)(
)(448
21
21
22
2222
2
2
1
22
21
2
2
2
1
22
2
2
TT
aTTTTBkTTBkTTBk
A
+
+−+
=
pi
pi
và có giá trị dương khi khi A2 nằm ngoài khoảng 
đó. Rõ ràng chỉ có giá trị biên độ A2 mới thoả 
mãn điều kiện (3.13) khi nó tăng. Như vậy, A2 là 
biên độ tự dao động trong HT.
Thay số vào (3.11,a), nhận được A=1,1841; thay 
số vào (3.11,b), nhận được A=0,10036. 
Phương pháp sử dụng tiêu chuẩn ổn định 
Nyquist
cần thực hiện như sau:
- xác định điều kiện để ĐTTSBĐP của HT hở đi 
qua điểm (-1, j0); từ đó xác định biên độ và tần 
số dao động;
- tiến hành kiểm tra tính ổn định của tự dao 
động. (tự dao động sẽ ổn định, nếu như khi tăng biên độ A sẽ
làm cho HT kín ổn định, tức là, ĐTTSBĐP của HT hở không bao 
điểm (-1, j0) hoặc bao điểm này l/2 lần theo chiều dương, với l là
số nghiệm PTĐT của HT hở nằm ở nửa bên phải mặt phẳng 
nghiệm).
Thí dụ 3.3. Xác định biên độ và tần số dao động 
của HTĐKTĐ phi tuyến trong thí dụ 3.1.
Sau khi thực hiện tuyến tính hoá điều hoà khâu 
phi tuyến, nhận được HST của HT hở như sau 
;))(()( 11 21 ssTsT
K
sW h ++=
trong đó K=kWtđ(A).
Hàm số truyền tần số của HT hở có dạng
.
))((
)(
11
,
21
++
=
TjTjj
KAjW h ωωωω
))((
))((
))((
)( 2
2
22
1
2
21
21 11
11
11 TT
TjTjjK
TjTjj
KjW h
ωωω
ωω
ωωω
ω
++
−−
−=
++
=
).()(
11
1
))((
)()(
2
2
22
1
2
21
2
21
ωω
ωωω
ωω jvu
TT
TTjKTTK
+=
++
−++
−=
u(ω)
jv(ω)
ω=0
ω→∞
Wh(jω)
ωπ
Khi ω=ωπ thì v(ω)=0, vì vậy:
.
1
01
21
21
2 )(
TT
TTK
=⇒
=−
ω
ω
pi
pi 0 
Để HT nằm trên biên giới ổn định (tồn tại tự dao 
động) hàm tần số phần thực của HT hở tại tần 
số ωπ phải bằng -1. Từ đây nhận được phương 
trình có dạng (3.9) và nghiệm của nó có dạng 
(3.11). 
Để tự dao động trong HT ổn định thì khi tăng giá
trị biên độ, tại tần số ωπ, hàm tần số phần thực 
của HT hở phải lớn hơn -1. Từ đây nhận được 
bất đẳng thức dạng (3.13).
Xác định biên độ dao động bằng tiêu chuẩn ổn 
định Hurwitz
Các bước thực hiện như sau:
- tìm PTĐT của HT kín (3.7):
.01),,()( =+ωAsWsW tđtt
- sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz để viết điều kiện 
HT nằm trên biên giới ổn định (a0>0; an>0; 
∆1÷∆n-2>0; ∆n-1=0; hoặc a0>0; an=0; ∆1÷∆n-1>0); 
từ đó xác định biên độ dao động A;
- tiến hành kiểm tra tính ổn định của tự dao động. 
(tự dao động trong HT sẽ ổn định, nếu như khi 
tăng biên độ dao động A sẽ làm cho HT trở nên 
ổn định (a0>0 và tất cả các định thức Hurwitz trở 
nên dương))
Thí dụ 3.4. Xác định biên độ dao động của 
HTĐKTĐ trong thí dụ 3.1.
Sau khi thay thế HST tương đương của khâu 
phi tuyến vào phương trình đặc trưng (3.7) và
biến đổi, nhận được
;210 TTAa pi=
04 2
2
2
21
3
21 1)( =−++++ A
akBsAsTTAsTTA pipipi
);( 211 TTAa +=pi
;2 Aa pi= A
akBa 2
2
3 14 −=
Tất cả các hệ số đều dương.
Bậc của HT bằng 3 và ai>0 (i=0÷3) nên nó nằm 
trên biên giới ổn định khi ∆1>0 ; ∆2=0
;0),(11 >∆ = ωAa
),(),(),(),( 30212 ωωωω AaAaAaAa −=∆
Từ đây nhận được kết quả như trong thí dụ 3.2.
Thay A=1,1841 vào (3.14) nhận được ∆1=1,116; 
∆2=0; thay A=1,1842 vào (3.14) nhận được 
∆1=1,1161; ∆2=0,0003. Như vậy, dao động với 
biên độ A=1,1841 là dao động ổn định.
(3.14,a)
(3.14,b)
Thay A=0,10036 vào (3.14) nhận được 
∆1=0,0946; ∆2=-1,1161.10-14; thay A=0,1004 vào 
(3.14) nhận được ∆1=0,0946; ∆2=-0,0017; thay 
A=0,1005 vào (3.14) nhận được ∆1=0,0947; 
∆2=-0,0053. Như vậy, không thể tồn tại dao động 
với biên độ A=0,10036.