Luận án Dao động của dầm Fgm có lỗ rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ chịu tải trọng di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
 VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
 HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
 ----------------------------- 
 BÙI VĂN TUYỂN 
 DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM CÓ LỖ RỖNG VI MÔ TRONG 
 MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG 
 LUẬN ÁN TIẾN SỸ 
 NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
 Hà nội – 2018 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
 VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
 HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
 ----------------------------- 
 BÙI VĂN TUYỂN 
 DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM CÓ LỖ RỖNG VI MÔ 
 TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG 
 Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
 Mã số: 9520101 
 LUẬN ÁN TIẾN SỸ 
 NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
 1. PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên 
 2. TS. Trần Thanh Hải 
 Hà nội – 2018 
 LỜI CAM ĐOAN 
 Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu và kết quả 
được trình bày trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất 
cứ công trình nào khác. 
 Nghiên cứu sinh 
 Bùi Văn Tuyển 
 LỜI CẢM ƠN 
 Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy 
PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên và TS. Trần Thanh Hải. Tôi xin chân thành cảm ơn sâu 
sắc đến các Thầy, người đã tận tâm giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu. 
 Trong quá trình thực hiện luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo 
điều kiện của tập thể lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên của Học viện 
khoa học và công nghệ,Viện hàn lâm khoa học và công nghệ Việt Nam; tập thể ban 
lãnh đạo Viện Cơ học; tập thể Ban giám hiệu, khoa cơ khí, bộ môn Máy xây dựng, 
các đồng nghiệp trường Đại học Thủy Lợi. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành 
về những sự giúp đỡ đó. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn đến các nghiên cứu viên phòng Cơ học vật rắn đã 
giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho tôi trong quá trình thực hiện Luận án. 
 Tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã chia 
sẻ, động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành Luận án này. 
 Tác giả Luận án 
 NCS. Bùi Văn Tuyển 
 MỤC LỤC 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT ....................................................... I 
DANH MỤC CÁC BẢNG ......................................................................................... V 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .................................................................. VI 
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1 
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ..................................................................................... 6 
 1.1. Dầm FGM ....................................................................................................... 6 
 1.2. Tình hình ngiên cứu trên thế giới ................................................................... 9 
 1.2.1. Ứng xử cơ học của dầm FGM ................................................................ 9 
 1.2.2. Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô .............................................................. 13 
 1.2.3. Dầm FGM trong môi trường nhiệt độ ................................................. 14 
 1.2.4. Dầm FGM chịu tải trọng di động ......................................................... 16 
 1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước ................................................................. 17 
 1.4. Nhận xét và định hướng nghiên cứu ............................................................. 19 
CHƯƠNG 2. DẦM FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ ...................... 21 
 2.1. Dầm FGM chịu tải trọng di động ................................................................. 21 
 2.2. Lỗ rỗng vi mô trong dầm FGM .................................................................... 22 
 2.3. Trường nhiệt độ trong dầm FGM ................................................................. 23 
 2.4. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tham số vật liệu ................................................ 26 
 2.5. Các phương trình cơ bản .............................................................................. 29 
 2.5.1. Trường chuyển vị ................................................................................. 29 
 2.5.2. Trường biến dạng, ứng suất ................................................................. 29 
 2.5.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi ............................................................. 30 
 2.5.4. Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt ban đầu ................................ 30 
 2.5.5. Động năng ............................................................................................ 31 
 2.5.6. Thế năng của lực ngoài ........................................................................ 32 
 2.6. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng của dầm .............................................. 32 
 2.7. Phương trình chuyển động ............................................................................ 34 
 2.8. Dầm Euler-Bernoulli .................................................................................... 37 
 Kết luận chương 2 ................................................................................................ 38 
CHƯƠNG 3. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ THUẬT TOÁN SỐ........ 39 
 3.1. Véc tơ chuyển vị nút ..................................................................................... 39 
 3.2. Hàm nội suy thứ bậc ..................................................................................... 40 
 3.3. Trường chuyển vị với ràng buộc .................................................................. 42 
 3.4. Ma trận độ cứng phần tử ............................................................................... 43 
 3.5. Ma trận độ cứng do ứng suất nhiệt ban đầu.................................................. 44 
 3.6. Ma trận khối lượng phần tử .......................................................................... 45 
 3.7. Phần tử dựa trên các hàm nội suy chính xác ................................................ 46 
 3.8. Phần tử dầm Euler-Bernoulli ........................................................................ 48 
 3.9. Phương trình chuyển động rời rạc ................................................................ 49 
 3.10. Thuật toán Newmark .................................................................................. 50 
 3.10.1. Họ các phương pháp Newmark .......................................................... 50 
 3.10.2. Phương pháp gia tốc trung bình ......................................................... 52 
 3.11. Véc-tơ lực nút ............................................................................................. 53 
 3.12. Qui trình tính toán ....................................................................................... 53 
 Kết luận chương 3 ................................................................................................ 55 
CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN ................................................... 57 
 4.1. Kiểm nghiệm mô hình phần tử và chương trình số ...................................... 57 
 4.2. Tần số dao động cơ bản ................................................................................ 60 
 4.3. Đáp ứng động lực học ................................................................................... 63 
 4.3.1. Ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô ............................................ 63 
 4.3.2. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm .............................................................. 68 
 4.3.3. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phân bố ............................................. 71 
 4.3.4. Ảnh hưởng của tần số lực kích động .................................................... 72 
 4.3.5. Ảnh hưởng của số lượng lực di động ................................................... 74 
 Kết luận chương 4 ................................................................................................ 77 
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 78 
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ...................................................... 82 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 84 
PHỤ LỤC ................................................................................................................. 96 
 I 
 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT 
Các ký hiệu thông thường 
A Diện tích thiết diện ngang 
A11 Độ cứng dọc trục 
A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn 
A22 Độ cứng chống uốn 
A33 Độ cứng chống trượt 
E Mô-đun đàn hồi hiệu dụng 
Ec Mô-đun đàn hồi của gốm 
Em Mô-đun đàn hồi của kim loại 
v Vận tốc của lực di động 
G Mô-đun trượt hiệu dụng 
Gc Mô-đun trượt của gốm 
Gm Mô-đun trượt của kim loại 
h Chiều cao dầm 
I Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang 
I11 Mô-men khối lượng dọc trục 
I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-xoay 
I22 Mô-men khối lượng xoay (của thiết diện ngang) 
l Chiều dài phần tử 
L Chiều dài dầm 
n Chỉ số mũ (tham số vật liệu) 
nE Số lượng phần tử rời rạc dầm 
P Tính chất hữu hiệu của FGM 
Pc Tính chất của gốm 
Pm Tính chất của kim loại 
 Động năng của dầm 
e Động năng của phần tử 
 II 
u0 Chuyển vị dọc trục của điểm nằm trên mặt giữa 
U Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm 
Ue Năng lượng biến dạng đàn hồi của phần tử 
UT Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt ban đầu 
Vα Tỷ lệ thể tích lỗ rỗng 
Vc Tỷ lệ thể tích pha gốm 
Vm Tỷ lệ thể tích pha kim loại 
 Thế năng của dầm 
e Thế năng của phần tử 
w0 Chuyển vị ngang của điểm nằm trên mặt giữa 
wst Độ võng tĩnh tại giữa dầm 
Véc-tơ và ma trận 
d Véc-tơ chuyển vị nút phần tử 
D Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể 
D Véc-tơ vận tốc nút tổng thể 
D Véc-tơ gia tốc nút tổng thể 
f Véc-tơ lực nút phần tử 
F Véc-tơ lực nút tổng thể 
Fef Véc-tơ lực nút hữu hiệu 
k Ma trận độ cứng phần tử 
K Ma trận độ cứng tổng thể 
Kef Ma trận độ cứng hữu hiệu 
m Ma trận khối lượng phần tử 
M Ma trận khối lượng tổng thể 
NT Lực dọc trục sinh ra do ứng suất nhiệt 
 III 
Ni (i=1..4) Các hàm dạng thứ bậc 
Nu Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục 
Nw Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị ngang 
Nθ Ma trận các hàm nội suy cho góc quay 
T Nhiệt độ mô trường (K) 
Tc Nhiệt độ ở mặt giàu gốm (mặt trên của dầm) 
Tm Nhiệt độ ở mặt giàu kim loại (mặt dưới của dầm) 
 o
T0 Nhiệt độ tham chiếu (300K ~ 27 C) 
Chữ cái Hy Lạp 
 t Bước thời gian (trong thuật toán Newmark) 
 T (K) Lượng nhiệt tăng (Temperature rise) 
 T* Tổng thời gian để một lực đi hết chiều dài dầm 
T (K) Nhiệt độ 
T0 (K) Nhiệt độ tham chiếu (300K) 
xx Biến dạng dọc trục 
xz Biến dạng trượt 
 Tham số tần số cơ bản 
 Tần số của lực di động điều hòa 
 
휔 Tần số dao động cơ bản của dầm thép 
 Hệ số điều chỉnh trượt 
ρ Khối lượng riêng hiệu dụng (kg/m3) 
 3
ρc Khối lượng riêng của gốm (kg/m ) 
 3
ρm Khối lượng riêng của lim loại (kg/m ) 
σxx Ứng suất pháp 
 IV 
 T
σxx Ứng suất nhiệt ban đầu 
τxz Ứng suất trượt 
θ Góc quay của thiết diện ngang 
Chữ viết tắt 
EBB Phần tử dầm sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli 
TBEx Phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất sử dụng 
 các hàm dạng chính xác 
TBHi Phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất sử dụng 
 các hàm dạng thứ bậc 
DQM Phương pháp cầu phương vi phân (Differential Quadrature Method) 
DTM Phương pháp biến đổi vi phân (Differential Transform Method) 
FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method ) 
FGM Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Grade Material ) 
NLTR Trường nhiệt độ phi tuyến 
UTR Trường nhiệt độ đồng nhất 
 V 
 DANH MỤC CÁC BẢNG 
Bảng 4.1. Các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ của Al2O3 và SUS304 ......................... 57 
Bảng 4.2. So sánh tham số tần số của dầm FGM cho trường hợp NLTR ................ 58 
Bảng 4.3. Sự hội tụ của mô hình phần tử trong đánh giá tham số tần số ( T=50K và 
V = 0.1) ..................................................................................................................... 59 
Bảng 4.4. So sánh tham số độ võng không thứ nguyên lớn nhất tại giữa dầm cho 
trường hợp một lực di động (V = 0, T = 0)............................................................ 59 
Bảng 4.5. Tham số tần số μ với các trường nhiệt độ khác nhau (mô hình TBHi) .... 62 
Bảng 4.6. Độ võng không thứ nguyên lớn nhất tại giữa dầm với các giá trị ∆T khác 
nhau của trường nhiệt độ NLTR và vận tốc lực di động v (V = 0.1) ....................... 66 
Bảng 4.7. Giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm với các giá 
trị T và tỷ số L/h khác nhau (NLTR , V = 0.1, v = 30m/s) .................................... 69 
Bảng 4.8. Giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm trong trường 
hợp NLTR nhận được bằng các phần tử khác nhau (V = 0.1, T = 60K) ............... 69 
Bảng 4.9. Giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm trong trường 
hợp UTR nhận được bằng các phần tử khác nhau (V = 0.1, T = 60K) ................. 70 
Bảng 4.10. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phân bố tới giá trị không thứ nguyên của 
độ võng lớn nhất tại giữa dầm (V = 0.1, L/h = 20 ) ................................................. 72 
Bảng 4.11. Độ võng không thứ nguyên lớn nhất ở giữa dầm với các giá trị khác 
nhau của số lực và khoảng cách giữa các lực (Vα = 0.1, ∆T = 100K, v = 30 m/s). ... 75 
 VI 
 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 
Hình 2.1. Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô chịu tải trọng di động ................................. 21 
Hình 2.2. Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích lỗ rỗng đến mô-đun đàn hồi hiệu dụng ...... 28 
Hình 2.3. Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi hiệu dụng trong trường nhiệt 
độ UTR và NLTR ...................................................................................................... 28 
Hình 2.4. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng dọc trục của dầm FGM với Vα= 0.1: 
(a) UTR, (b) NLTR ................................................................................................... 33 
Hình 2.5. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng chống uốn của dầm FGM với Vα = 
0.1: (a) UTR, (b) NLTR ............................................................................................ 33 
Hình 2.6. Mối liên hệ giữa độ cứng và tham số vật liệu n của dầm FGM có các giá 
trị Vα khác nhau (T = 300K): (a) độ cứng dọc trục, (b) độ cứng chống uốn ............. 34 
Hình 3.1. Chuyển vị nút (a) và lực nút (b) của phần tử dầm .................................... 39 
Hình 3.2. a) Hàm dạng thứ bậc; (b) chi tiết về chuyển vị và góc quay..................... 41 
Hình 3.3. Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm ........................................ 55 
Hình 4.1. Mối liên hệ giữa tham số vật liệu và tham số tần số với các giá trị khác 
nhau của trường nhiệt độ phi tuyến: (a) V = 0.1, (b) V = 0.2 ................................. 61 
Hình 4.2. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phi tuyến tới tham số tần số của dầm 
FGM có lỗ rỗng vi mô: (a)  ... ibration 
 behavior of a functionally graded sandwich beam with constrained 
 viscoelastic core, Journal of Sound and Vibration, 2006, 295, 294-316. 
86. H.K. Ching, and S.C. Yen, Transient thermoelastic deformations of 2-D 
 functionally graded beams under nonuniformly convective heat supply, 
 Composite Structures, 2006, 73, 381-393. 
87. H.J. Xiang, and J. Yang, Free and forced vibration of a laminated FGM 
 Timoshenko beam of variable thickness under heat conduction, Composites: 
 Part B, 2009, 39, 292-303. 
88. S.C. Pradhan, and T. Murmu, Thermo-mechanical vibration of FGM 
 sandwich beam under variable elastic foundations using differential 
 quadrature method, Journal of Sound and Vibration, 2009, 321, 342-362. 
89. P. Malekzadeh, Two-dimensional in-plane free vibrations of functionally 
 graded circular arches with temperature-dependent properties, Composite 
 Structures, 2009, 91, 38-47. 
90. P. Malekzadeh, M.R. Golbahar Haghighi, and M.M. Atashi, Out-of-plane 
 free vibration of functionally graded circular curved beams in thermal 
 environment, Composite Structures, 2010, 92, 541-552. 
91. Y.W. Kim, Temperature dependent vibration analysis of functionally graded 
 rectangular plates, Journal of Sound and Vibration, 2005, 284, 531-549. 
92. S.E. Esfahani, Y. Kiani, and M.R. Eslam, Non-linear thermal stability 
 analysis of temperature dependent FGM beams supported on non-linear 
 hardening elastic foundations, International Journal of Mechanical Sciences, 
 2013, 69, 10-20. 
93. Y. Kiani, and M.R. Eslami, Thermal buckling analysis of functionally graded 
 material beams, International Journal of Mechanics and Materials in 
 Design, 2010, 6, 229-238. 
94. G. Shi, A new simple third-order shear deformation theory of plates, 
 International Journal of Solids and Structures, 2007, 44, 4399-4417. 
95. L.S. Ma, and D.W. Lee, Exact solutions for nonlinear static responses of a 
 shear deformable FGM beam under an in-plane thermal loading, European 
 Journal of Mechanics A/Solids, 2012, 31, 13-20. 
 92 
96. U. Eroglu, In-plane free vibrations of circular beams made of functionally 
 graded material in thermal environment: Beam theory approach, Composite 
 Structures, 2015, 122, 217-228. 
97. A. Fallah, and M.M. Aghdam, Nonlinear free vibration and postbuckling 
 analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, 
 European Journal of Mechanics A/Solids, 2011, 30, 571-583. 
98. L.C. Trinh, T.P. Vo, H.-T. Thai, and T.-K. Nguyen, An analytical method for 
 the vibration and buckling of functionally graded beams under mechanical 
 and thermal loads, Composites Part B: Engineering, 2016, 100, 152-163. 
99. Y. Kiani, M. Sadighi, S. Jedari Salami, and M.R. Eslami, Low velocity 
 impact response of thick FGM beams with general boundary conditions in 
 thermal field, Composite Structures, 2013, 104, 293-303. 
100. S.E. Ghiasian, Y. Kiani, and M.R. Eslami, Dynamic buckling of suddenly 
 heated or compressed FGM beams resting on nonlinear elastic foundation, 
 Composite Structures, 2013, 106, 225-234. 
101. M. Komijani, S.E. Esfahani, J.N. Reddy, Y.P. Liu, and M.R. Eslami, 
 Nonlinear thermal stability and vibration of pre/post-buckled temperature- 
 and microstructure-dependent functionally graded beams resting on elastic 
 foundation, Composite Structures, 2014, 112, 292-307. 
102. D.-G. Zhang, Nonlinear bending a nalysis of FGM beams based on phys- ical 
 neutral surface and high order shear deformation theory, Composite 
 Structures, 2013, 100, 121-126. 
103. D.-G. Zhang, Thermal post-buckling and nonlinear vibration analysis of 
 FGM beams based on physical neutral surface and high order shear 
 deformation theory, Meccanica, 2014, 49, 283–293. 
104. J. Yang, Y. Chena, Y. Xiang, and X.L. Jia, Free and forced vibration of 
 cracked inhomogeneous beams under an axial force and a moving load, 
 Journal of Sound and Vibration, 2008, 312, 166-181. 
105. S.M.R. Khalili, A.A. Jafari, and S.A. Eftekhari, A mixed Ritz-DQ method 
 for forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads, 
 Composite Structures, 2010, 92, 2497-2511. 
106. B.S. Gan, and Nguyen Dinh Kien, Dynamic analysis of multispan 
 functionally graded beams subjected to a variable speed moving load, 
 Proceedings of the 9th International Conference on Structural Dynamics, 
 EURODYN 2014, Porto, Portugal, June 2014, 2014, 3879-3886. 
107. B.S. Gan, Nguyen Dinh Kien, and Le Thi Ha, Effect of intermediate elastic 
 support on vibration of functionally graded Euler-Bernoulli beams excited by 
 93 
 a moving point load, Journal of Asian Architecture and Building 
 Engineering, 2017, 16, 363-369. 
108. Vũ Hoài Nam, Phân tích phi tuyến động lực của vỏ làm bằng vật liệu có cơ 
 tính biến thiên, Luận án Tiến sĩ Cơ học kỹ thuật, Đại học Khoa học Tự 
 nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội 2014. 
109. Nguyễn Thi Phương, Nghiên cứu ổn định tĩnh của tấm và vỏ composite cơ 
 tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm, Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Học 
 Viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội 2014. 
110. Lê Khả Hòa, Phân tích ổn định tinh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính biến 
 thiên, Luận án Tiến sĩ Cơ học kỹ thuật, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học 
 Quốc gia Hà Nội, Hà Nội 2014. 
111. Trung-Kien Nguyen, Thuc P. Vo, and Huu-Tai Thai, Static and free vibration 
 of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear 
 deformation theory, Composites: Part B, 2013, 55, 147-157. 
112. Huu-Tai Thai, and Thuc P. Vo, Bending and free vibration of functionally 
 graded beams using various higher-order shear deformation beam theories, 
 International Journal of Mechanical Sciences, 2012, 62, 57-66. 
113. Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, A. Maheri, and J. Lee, 
 Finite element model for vibration and buckling of functionally graded 
 sandwich beams based on a refined shear deformation theory, Engineering 
 Structures, 2014, 64, 12-22. 
114. Nguyễn Ngọc Huyên, Phân tích dao động và chẩn đoán vết nứt dầm FGM, 
 Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật. Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt 
 nam, 2017. 
115. Nguyen Ngoc Huyen, and Nguyen Tien Khiem, Modal analysis of 
 functionally graded Timoshenko beam, Vietnam Journal of Mechanics, 2017, 
 39, 31-50. 
116. Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Đình Kiên, Nguyễn Ngọc Huyên (2014). Lý 
 thuyết dao động của dầm FGM trong miền tần số. Hội nghị Cơ học toàn 
 quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 
 2014, pp.93-98. 
117. Nguyen Tien Khiem, and Nguyen Ngoc Huyen, A method for crack 
 identification in functionally graded Timoshenko beam, Journal of 
 Nondestructive Testing and Evaluation, 2016, 32, 319-341. 
118. Nguyen Dinh Kien, Large displacement response of tapered cantilevers 
 beams made of axially functionally graded material, Composites: Part B, 
 2013, 55, 298-305. 
 94 
119. Nguyen Dinh Kien, Large displacement behaviour of tapered cantilever 
 Euler-Bernoulli beams made of functionally graded material, Applied 
 Mathematics and Computation, 2014, 237, 340-355. 
120. Nguyen Dinh Kien, and B.S. Gan, Large deflection tapered functionally 
 graded beams subjected to end forces, Applied Mathematical Modelling, 
 2014, 38, 3054-3066. 
121. Nguyen Dinh Kien, B.S. Gan, and Trinh Thanh Huong, Geometrically 
 nonlinear analysis of planar beam and frame structures made of functionally 
 graded materials, Structural Engineering and Mechanics, 2014, 49, 727-743. 
122. Nguyen Dinh Kien, B.S. Gan, Trinh Thanh Huong, and S. Alexandrov, Post-
 buckling behavior of elastic-plastic functionally graded beams subjected to 
 eccentric axial load, Journal of Multidisciplinary Engineering Science and 
 Technology, 2015, 2, 1129-1135. 
123. Nguyen Dinh Kien, Tran Thi Thom, S. Alexandrov, and Le Thi Ha, Elasto-
 plastic analysis of functionally graded metal-ceramic beams under 
 mechanical loading, Vietnam Journal of Mechanics, 2017, 39, 13-29. 
124. Trinh Thanh Huong, B.S. Gan, and Nguyen Dinh Kien, Post-buckling 
 responses of elastoplastic FGM beams on nonlinear elastic foundation, 
 Structural Engineering and Mechanics, 2015, Vol. 58, pp. 515-532. 
125. Nguyễn Minh Phương, Tính toán dao động uốn của dầm liên tục và tấm trực 
 hướng hình chữ nhật chịu tác dụng của nhiều vật thể di động, Luận án Tiến 
 sĩ Kỹ thuật, 2008. 
126. Nguyễn Trọng Phước, and Huỳnh Văn Mãi, Ảnh hưởng vận tốc phương tiện 
 di chuyển đến ứng xử động lực học của dầm liên tục nhiều nhịp, Tạp chí xây 
 dựng - Bộ xây dựng, 2014, 4, 117-122. 
127. Nguyen Dinh Kien, Tran Thanh Hai, Dynamic analysis of prestressed 
 Bernoulli beams resting on two-parameter foundation under moving 
 harmonic load, Vietnam Journal of Mechanics, 2006, 28, 176-188. 
128. Nguyen Dinh Kien, Dynamic response of prestressed Timoshenko beams 
 resting on two-parameter foundation to moving harmonic load, Technische 
 Mechanik, 2008, 28, 237-258. 
129. Nguyen Dinh Kien, B.S. Gan, and Le Thi Ha, Dynamic response of non-
 uniform functionally graded beams subjected to a variable speed moving 
 load, Journal of Computational Science and Technology, 2013, 7, 12-27. 
130. Y.S. Touloukian, Thermophysical properties of high temperature solid 
 materials, Macmillan, New York, 1967. 
 95 
131. M. Géradin, and D. Rixen, Mechanical vibrations. Theory and application to 
 structural dynamics, 2nd edition, John Wiley & Sons, Chichester, 1997. 
132. O.C. Ozienkienwicz, R.L. Taylor, The finite element method, 4th edition, 
 Volum1: Basic formulation and Linear problems, Mc Graw-Hill Book 
 company, Lon don, 1997. 
133. A. Tessler, and S. B. Dong, On a hierarchy of conforming Timoshenko beam 
 elements, Computers & Structures, 1981, 14, 3-4, 335-344. 
134. Nguyễn Đình Kiên, Phương pháp phần tử hữu hạn trong cơ học kết cấu và 
 vật rắn biến dạng, nhà xuất bản khoa học và công nghệ, 2009. 
135. M. Olsson, On the fundamental moving load problem, Journal of Sound and 
 Vibration, 1991, 152, 229-307. 
 96 
 PHỤ LỤC 
 Phụ lục này liệt kê Matlab function tính độ cứng của dầm FGM trong môi 
trường nhiệt độ và các ma trận độ cứng phần tử, ma trận khối lương và ma trận độ 
cứng sinh ra do ứng suất nhiệt. 
function 
[A11,A12,A22,A33]=AijTi(nP,h,b,n,Tc,Tm,Kc,Km,E_1c,E0c,E1c,E2c,E3c,E_1m,
E0m,E1m,E2m,E3m,mu); 
% Computing rigidities of Timoshenko beam 
 Kcm=Kc-Km; 
A11=0;A12=0;A22=0;A33=0; 
dS=h/nP; 
 Val=0; 
 for i=0:nP 
 z = -h/2+dS*i; 
 V1c = (z/h+1/2); 
 A = V1c-(Kcm*((V1c)^(n+1))/((n+1)*(Km- 
 (Kc+Km)*Val/2)))+((Kcm^2)*((V1c)^(2*n+1))/((2*n+1)*((Km- 
 (Kc+Km)*Val/2)^2)))-((Kcm^3)*((V1c)^(3*n+1))/... 
 ((3*n+1)*((Km-Kc+Km)*Val/2)^3)))+((Kcm^4)*((V1c^(4*n+1))/ 
 ((4*n+1)*((Km-(Kc+Km)*Val/2)^4)))-((Kcm^5)*(V1c^(5*n+1))/ 
 ((5*n+1)*((Km-(Kc+Km)*Val/2)^5)))); 
 B = 1-(Kcm/((Km-(Kc+Km)*Val/2)*(n+1)))+((Kcm^2)/(((Km- 
 (Kc+Km)*Val/2)^2)*(2*n+1)))-((Kcm^3)/(((Km- 
 (Kc+Km)*Val/2)^3)*(3*n+1)))+... 
 (((Kcm^4)/(((Km-(Kc+Km)*Val/2)^4)*(4*n+1))))- 
 ((Kcm^5/(((Km-(Kc+Km)*Val/2)^5)*(5*n+1)))); 
 T = Tm+(Tc-Tm)*A/B; 
 Ec = E0c*(E_1c*T^(-1)+1+E1c*T+E2c*T^(2)+E3c*T^(3)); 
 Em = E0m*(E_1m*T^(-1)+1+E1m*T+E2m*T^(2)+E3m*T^(3)); 
 E = (Ec-Em)*((V1c)^n)+Em; 
 if i==0|i==nP 
 97 
 weight=1; 
 elseif mod(i,2)==0 
 weight=2; 
 elseif mod(i,2)==1 
 weight=4; 
 end 
 G=E/(2*(1+mu)); 
 A11 = A11 + b*dS/3*E*weight; 
 A12 = A12 + b*dS/3*E*z*weight; 
 A22 = A22 + b*dS/3*E*z^2*weight; 
 A33 = A33 + b*dS/3*G*weight; 
end 
function [Ke]=KeTiCon(L,A11,A12,A22,A33); 
% computing element stiffness matrix for 
% shear constrain hierachcal Timoshenko beam element 
psi=5/6; 
 t1 = 1/L; 
 t2 = A11*t1; 
 t3 = A12*t1; 
 t4 = psi*A33; 
 t5 = t4*t1; 
 t6 = t4/2; 
 t7 = 2.D0/3.D0*t4; 
 t8 = A22*t1; 
 t9 = t4*L; 
 t10 = t9/4; 
 t11 = t8+t10; 
 t12 = t9/3; 
 t13 = -t8+t10; 
 Ke(1,1) = t2; 
 Ke(1,2) = 0; 
 Ke(1,3) = -t3; 
 Ke(1,4) = 0; 
 Ke(1,5) = -t2; 
 Ke(1,6) = 0; 
 Ke(1,7) = t3; 
 Ke(2,1) = 0; 
 Ke(2,2) = t5; 
 Ke(2,3) = -t6; 
 Ke(2,4) = -t7; 
 Ke(2,5) = 0; 
 98 
 Ke(2,6) = -t5; 
 Ke(2,7) = -t6; 
 Ke(3,1) = -t3; 
 Ke(3,2) = -t6; 
 Ke(3,3) = t11; 
 Ke(3,4) = t12; 
 Ke(3,5) = t3; 
 Ke(3,6) = t6; 
 Ke(3,7) = t13; 
 Ke(4,1) = 0; 
 Ke(4,2) = -t7; 
 Ke(4,3) = t12; 
 Ke(4,4) = 16.D0/3.D0*t8+4.D0/9.D0*t9; 
 Ke(4,5) = 0; 
 Ke(4,6) = t7; 
 Ke(4,7) = t12; 
 Ke(5,1) = -t2; 
 Ke(5,2) = 0; 
 Ke(5,3) = t3; 
 Ke(5,4) = 0; 
 Ke(5,5) = t2; 
 Ke(5,6) = 0; 
 Ke(5,7) = -t3; 
 Ke(6,1) = 0; 
 Ke(6,2) = -t5; 
 Ke(6,3) = t6; 
 Ke(6,4) = t7; 
 Ke(6,5) = 0; 
 Ke(6,6) = t5; 
 Ke(6,7) = t6; 
 Ke(7,1) = t3; 
 Ke(7,2) = -t6; 
 Ke(7,3) = t13; 
 Ke(7,4) = t12; 
 Ke(7,5) = -t3; 
 Ke(7,6) = t6; 
 Ke(7,7) = t11; 
function [Me]=MeTiCon(L,I11,I12,I22); 
% computing element mass matrix for 
% shear constrain hierachcal Timoshenko beam element 
 t1 = L*I11; 
 t2 = t1/3; 
 t3 = I12*L; 
 t4 = t3/3; 
 t5 = t1/6; 
 t6 = t3/6; 
 99 
t7 = L^2; 
t8 = I11*t7; 
t9 = t8/24; 
t10 = t8/90; 
t12 = I11*t7*L; 
t13 = t12/120; 
t14 = I22*L; 
t15 = t14/3; 
t16 = t13+t15; 
t18 = -t13+t14/6; 
Me(1,1) = t2; 
Me(1,2) = 0; 
Me(1,3) = -t4; 
Me(1,4) = -t4; 
Me(1,5) = t5; 
Me(1,6) = 0; 
Me(1,7) = -t6; 
Me(2,1) = 0; 
Me(2,2) = t2; 
Me(2,3) = -t9; 
Me(2,4) = t10; 
Me(2,5) = 0; 
Me(2,6) = t5; 
Me(2,7) = t9; 
Me(3,1) = -t4; 
Me(3,2) = -t9; 
Me(3,3) = t16; 
Me(3,4) = t15; 
Me(3,5) = -t6; 
Me(3,6) = -t9; 
Me(3,7) = t18; 
Me(4,1) = -t4; 
Me(4,2) = t10; 
Me(4,3) = t15; 
Me(4,4) = 2.D0/945.D0*t12+8.D0/15.D0*t14; 
Me(4,5) = -t4; 
Me(4,6) = -t10; 
Me(4,7) = t15; 
Me(5,1) = t5; 
Me(5,2) = 0; 
Me(5,3) = -t6; 
Me(5,4) = -t4; 
Me(5,5) = t2; 
Me(5,6) = 0; 
Me(5,7) = -t4; 
Me(6,1) = 0; 
Me(6,2) = t5; 
 100 
 Me(6,3) = -t9; 
 Me(6,4) = -t10; 
 Me(6,5) = 0; 
 Me(6,6) = t2; 
 Me(6,7) = t9; 
 Me(7,1) = -t6; 
 Me(7,2) = t9; 
 Me(7,3) = t18; 
 Me(7,4) = t15; 
 Me(7,5) = -t4; 
 Me(7,6) = t9; 
 Me(7,7) = t16; 
function [kT]=kTTiCont(L,NT); 
% computing stiffness matrix due to temperature rise 
% of shear constrain hierachcal Timoshenko beam element 
 t2 = NT/L; 
 t3 = NT*L; 
 t4 = t3/12; 
 kT(1,1) = 0; 
 kT(1,2) = 0; 
 kT(1,3) = 0; 
 kT(1,4) = 0; 
 kT(1,5) = 0; 
 kT(1,6) = 0; 
 kT(1,7) = 0; 
 kT(2,1) = 0; 
 kT(2,2) = t2; 
 kT(2,3) = 0; 
 kT(2,4) = 0; 
 kT(2,5) = 0; 
 kT(2,6) = -t2; 
 kT(2,7) = 0; 
 kT(3,1) = 0; 
 kT(3,2) = 0; 
 kT(3,3) = t4; 
 kT(3,4) = 0; 
 kT(3,5) = 0; 
 kT(3,6) = 0; 
 kT(3,7) = -t4; 
 kT(4,1) = 0; 
 kT(4,2) = 0; 
 kT(4,3) = 0; 
 kT(4,4) = 4.D0/45.D0*t3; 
 kT(4,5) = 0; 
 101 
kT(4,6) = 0; 
kT(4,7) = 0; 
kT(5,1) = 0; 
kT(5,2) = 0; 
kT(5,3) = 0; 
kT(5,4) = 0; 
kT(5,5) = 0; 
kT(5,6) = 0; 
kT(5,7) = 0; 
kT(6,1) = 0; 
kT(6,2) = -t2; 
kT(6,3) = 0; 
kT(6,4) = 0; 
kT(6,5) = 0; 
kT(6,6) = t2; 
kT(6,7) = 0; 
kT(7,1) = 0; 
kT(7,2) = 0; 
kT(7,3) = -t4; 
kT(7,4) = 0; 
kT(7,5) = 0; 
kT(7,6) = 0; 
kT(7,7) = t4;