Luận án Nghiên cứu đáp ứng tĩnh và động của các kết cấu vỏ composite bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn (sfem) kết hợp với phần tử vỏ Mitc3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG 
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ 
Phạm Quốc Hòa 
NGHIÊN CỨU ĐÁP ỨNG TĨNH VÀ ĐỘNG CỦA CÁC KẾT CẤU VỎ 
COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN 
(SFEM) KẾT HỢP VỚI PHẦN TỬ VỎ MITC3 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT 
HÀ NỘI - 2019 
B 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG 
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ 
Phạm Quốc Hòa 
NGHIÊN CỨU ĐÁP ỨNG TĨNH VÀ ĐỘNG CỦA CÁC KẾT CẤU VỎ 
COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN 
(SFEM) KẾT HỢP VỚI PHẦN TỬ VỎ MITC3 
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
Mã số: 9.52.01.01 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT 
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
 1. PGS.TS Phạm Tiến Đạt 
 2. PGS.TS Trần Thế Văn 
HÀ NỘI - 2019
i 
MỤC LỤC 
MỤC LỤC .......................................................................................................... i 
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................ iv 
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... v 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ...................................... vi 
DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................. viii 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ......................................................................... ix 
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 
Chương 1 ........................................................................................................... 4 
TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ................................................... 4 
1.1. Các nghiên cứu về vỏ composite ............................................................... 5 
 Vỏ composite và composite có cơ tính biến thiên chịu tác dụng của tải 
trọng tĩnh ........................................................................................................... 5 
 Dao động tự do của vỏ composite ......................................................... 10 
 Dao động cưỡng bức của vỏ composite ................................................ 14 
 Nghiên cứu vỏ composite ở Việt Nam .................................................. 17 
1.2. Phương pháp phần tử hữu hạn trơn .......................................................... 20 
 Các nghiên cứu sử dụng phương pháp làm trơn trên miền và trên nút phần 
tử 20 
 Các nghiên cứu sử dụng phương pháp làm trơn trên cạnh ................... 21 
1.3. Các phương pháp khử hiện tượng “khóa cắt” cho tấm và vỏ Reissner - 
Mindlin ............................................................................................................ 23 
1.4. Nhận xét các kết quả chính đã được các nhà khoa học công bố .............. 24 
1.5. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu ..................................................... 26 
1.6. Những nội dung luận án tập trung nghiên cứu......................................... 27 
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 28 
Chương 2 ......................................................................................................... 29 
ii 
PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA VỎ COMPOSITE SỬ 
DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN TRÊN CẠNH KẾT 
HỢP VỚI PHẦN TỬ VỎ MITC3 (ES-MITC3) ............................................. 29 
2.1. Cơ sở lý thuyết phân tích tĩnh và dao động riêng của vỏ composite ....... 29 
 Phương trình cân bằng của vỏ composite lớp ....................................... 29 
 Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tam giác MITC3 ........ 38 
 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên cạnh của phần tử tam giác MITC3 
43 
2.2. Điều kiện biên và xử lý điều kiện biên theo phương pháp phần tử hữu hạn 
47 
2.3. Thuật toán và chương trình tính ............................................................... 48 
2.4. Các ví dụ tính toán số ............................................................................... 50 
 Vỏ trụ làm bằng vật liệu đẳng hướng .................................................... 50 
 Vỏ làm bằng vật liệu composite ............................................................ 55 
Kết luận chương 2 ........................................................................................... 75 
Chương 3 ......................................................................................................... 77 
PHÂN TÍCH TĨNH PHI TUYẾN VỎ COMPOSITE SỬ DỤNG PHƯƠNG 
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN TRÊN CẠNH KẾT HỢP VỚI PHẦN 
TỬ VỎ MITC3 (ES-MITC3) .......................................................................... 77 
3.1. Quan hệ ứng xử cơ học phi tuyến của vỏ composite ............................... 77 
3.2. Phương pháp phần tử hữu hạn trơn phi tuyến cho vỏ composite ............ 79 
3.3. Phương pháp và thuật toán giải bài toán phi tuyến tĩnh cho vỏ composite84 
 Phương pháp Newton-Raphson ............................................................ 84 
 Phương pháp arc-length kết hợp phương pháp Newton-Raphson ........ 87 
3.4. Thuật toán và chương trình tính ............................................................... 93 
3.5. Các ví dụ tính toán số ............................................................................... 93 
 Vỏ trụ đẳng hướng chịu tác dụng của tải trọng tập trung ..................... 93 
 Vỏ trụ composite có cơ tính biến thiên chịu tải trọng tập trung tại tâm 96 
 Vỏ trụ composite lớp chịu tải trọng tập trung tại tâm ......................... 102 
Kết luận chương 3 ......................................................................................... 107 
iii 
Chương 4 ....................................................................................................... 109 
NGHIÊN CỨU ĐÁP ỨNG ĐỘNG LỰC HỌC PHI TUYẾN VỎ COMPOSITE 
CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG SÓNG XUNG KÍCH TRONG MÔI 
TRƯỜNG NƯỚC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN
 ....................................................................................................................... 109 
4.1. Tải trọng sóng xung kích trong môi trường nước .................................. 109 
4.2. Phương trình động lực học phi tuyến vỏ composite .............................. 112 
4.3. Thuật toán giải phương trình động lực học phi tuyến của vỏ ................ 114 
4.4. Thuật toán và chương trình tính ............................................................. 118 
4.5. Mô hình bài toán và các giả thiết ........................................................... 118 
4.6. Bài toán kiểm tra chương trình tính ....................................................... 119 
4.7. Vỏ composite 2 độ cong chịu tác dụng của tải trọng sóng xung kích trong 
nước 122 
Kết luận chương 4 ......................................................................................... 130 
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ....................................................................... 132 
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ............................................. 134 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 136 
PHỤ LỤC ...................................................................................................... 155 
iv 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. 
Những nội dung, số liệu và kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung 
thực và chưa có tác giả nào công bố trong bất kỳ công trình nào khác. 
Tác giả luận án 
 Phạm Quốc Hòa 
v 
LỜI CẢM ƠN 
 Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể thầy hướng dẫn: PGS.TS Phạm Tiến 
Đạt và PGS.TS Trần Thế Văn đã nhiệt tình hướng dẫn, động viên và tạo mọi 
điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận án. Tôi cũng xin chân thành cảm 
ơn các thầy trong Bộ môn Cơ học vật rắn - Khoa Cơ khí và các đồng chí cán 
bộ, nhân viên Phòng Sau đại học - Học viện Kỹ thuật Quân sự đã tận tình giúp 
đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận án. 
 Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Đào Huy Bích, GS.TS 
Hoàng Xuân Lượng và GS.TSKH Nguyễn Tiến Khiêm đã cho những ý kiến 
chỉ dẫn rất quý báu giúp tôi hoàn thiện luận án. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn Đảng ủy - BGH Trường Sỹ quan Kỹ thuật 
Quân sự, các cơ quan chức năng của nhà trường, lãnh đạo và chỉ huy Khoa Kỹ 
thuật cơ sở cùng toàn thể giáo viên trong khoa đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ 
động viên tôi hoàn thành được công trình nghiên cứu của mình. 
 Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân và bạn bè đã động 
viên, khích lệ, giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận án. 
 Tác giả luận án 
vi 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 
1. Các ký hiệu bằng chữ Latin 
𝐴𝑖 Diện tích của phần tử tam giác 
𝐴𝑘 Diện tích miền trơn 
𝑩𝑒 Ma trận biến dạng của phần tử 
�̃�𝑚𝑗
𝑘𝐿 , �̃�𝑏𝑗
𝑘𝐿, �̃�𝑚𝑗
𝑘𝐿 Ma trận biến dạng màng, uốn, cắt trên miền trơn 
𝑪 Ma trận hằng số vật liệu cắt của vỏ composite 
𝒅 Véc tơ chuyển vị của vỏ 
𝒅𝑗
𝑘 Chuyển vị của miền trơn 
𝑫 Ma trận hằng số vật liệu màng và uốn của vỏ composite 
𝐸1, 𝐸2 Mô đun đàn hồi theo phương 1 và phương 2 
𝑭 Véc tơ lực nút tác dụng lên vỏ 
𝐺12, 𝐺13, 𝐺23 Mô đun đàn hồi trượt theo các phương 12, 13 và 23 
𝑱 Ma trận Jacobi 
𝑲 Ma trận độ cứng của vỏ 
𝑲𝑒 Ma trận độ cứng của phần tử 
�̃�𝑘 Ma trận độ cứng của miền trơn 
𝒎 Ma trận khối lượng phần tử 
𝑴 Ma trận khối lượng của vỏ 
𝑁𝑖(𝐱) Hàm dạng tại nút thứ i trên phần tử vỏ 
𝒑 Véc tơ ngoại lực tác dụng lên phân tử 
�̂� Trường chuyển vị của phần tử vỏ trong tọa độ địa phương 
�̂� Chuyển vị tại một nút theo phương 𝑂𝑥 
�̂� Chuyển vị tại một nút theo phương 𝑂𝑦 
�̂� Chuyển vị tại một nút theo phương 𝑂𝑧 
vii 
2. Các ký hiệu bằng chữ cái Hy lạp 
�̂�𝑚 Biến dạng màng của phần tử trong hệ tọa độ địa phương 
�̂� Biến dạng uốn của phần tử trong hệ tọa độ địa phương 
�̂� Biến dạng trượt của phần tử trong hệ tọa độ địa phương 
�̂�𝑥, �̂�𝑦 Góc xoay quanh các trục �̂��̂� và �̂��̂� 
𝑣12 Hệ số poission của vật liệu 
𝜎 Ứng suất pháp của phần tử 
𝜏 Ứng suất tiếp của phần tử 
𝜌 Khối lượng riêng của vật liệu 
𝜔 Tần số dao động riêng 
𝜦0𝑗
𝑖 Ma trận chuyển giữa hệ tọa độ địa phương và toàn cục 
𝜦𝑚1
𝑘 , 𝜦𝑏1
𝑘 , 𝜦𝑠1
𝑘 Ma trận chuyển biến dạng giữa hệ tọa độ toàn cục và hệ 
tọa độ ảo 
𝜦𝑚2
𝑖 , 𝜦𝑏2
𝑖 , 𝜦𝑠2
𝑖 Ma trận chuyển biến dạng giữa hệ tọa độ địa phương và hệ 
tọa độ ảo 
3. Các chữ viết tắt 
MITC3 Phương pháp nội suy các thành phần ten xơ hỗn hợp cho 
phần tử tam giác 3 nút 
ES-MITC3 Phương pháp làm trơn trên cạnh kết hợp với phương pháp 
nội suy hỗn hợp các thành phần ten xơ cho phần tử tam 
giác 3 nút 
MITC4 Phương pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten xơ cho 
phần tử tứ giác 4 nút 
DSG3 Phương pháp rời rạc lệch trượt sử dụng phần tử tam giác 3 
nút 
viii 
DANH MỤC CÁC BẢNG 
Bảng 2-1. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ hai độ cong chịu tải trọng dạng 
hàm sin (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅),1000𝑤(𝑎/2, 𝑏/2,0)/ℎ3𝐸2𝑃𝑎4. .................. 59 
Bảng 2-2. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ hai độ cong chịu tải trọng phân 
bố đều (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅),𝑤 = 1000𝑤(𝑎/2, 𝑏/2,0)/ℎ3𝐸2𝑃𝑎4. ........... 60 
Bảng 2-3. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ hai độ cong chịu tải trọng tập 
trung (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅),𝑤 = 100𝑤(𝑎/2, 𝑏/2,0)/ℎ3𝐸2𝑃𝑎4. ................ 61 
Bảng 2-4. Chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên tại tâm của vỏ composite 
[00/900/900/00] dưới tác dụng của tải trọng dạng hàm sin ((𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 =
𝑅𝑦 = 𝑅, 𝑅𝑎 = 109),𝑤 = 1000𝑤(𝑎/2, 𝑏/2,0)/ℎ3𝐸2𝑃𝑎4, �̅�𝑖 = 𝜎𝑖ℎ
2𝑃𝑎2, (𝑖 =
𝑥, 𝑦),𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦ℎ
2𝑃𝑎2. .................................................................................... 62 
Bảng 2-5. Chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên của vỏ composite hai độ 
cong [00/900/900/00]dưới tác dụng của tải trọng dạng hàm sin (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 =
𝑅𝑦 = 𝑅, 𝑎ℎ = 10),𝑤 = 1000𝑤(𝑎/2, 𝑏/2,0)/ℎ3𝐸2𝑃𝑎
4,�̅�𝑖 = 𝜎𝑖ℎ
2𝑃𝑎2, (𝑖 =
𝑥, 𝑦),𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦ℎ
2𝑃𝑎2. .................................................................................... 63 
Bảng 2-6. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ composite bất đối xứng hai độ 
cong chịu tải trọng phân bố đều (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅),𝑤 =
1000𝑤(𝑎2, 𝑏2,0)ℎ3𝐸2𝑃𝑎4. ........................................................................... 64 
Bảng 2-7. Tần số không thứ nguyên của vỏ thoải composite 2 độ cong (𝑎 =
𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅), 𝜔 = 𝜔(𝑎2ℎ)𝜌/𝐸2. .......................................................... 67 
Bảng 2-8. Tần số không thứ nguyên của vỏ trụ composite (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 =
𝑅, 𝑅𝑦 = ∞), 𝜔 = 𝜔(𝑎2ℎ)𝜌/𝐸2...................................................................... 68 
Bảng 2-9. Tần số dao động tự do của vỏ composite hyperbol ngàm các cạnh 
𝑎 = 𝑏 = 1, 𝑅𝑥 = −𝑅𝑦, 𝜔 = 𝜔(𝑎2ℎ)𝜌/𝐸2 ..................................................... 72 
Bảng 2-10. Tần số dao động tự do của vỏ composite hyperbol biên tựa đơn tại 
các cạnh 𝑎 = 𝑏 = 1, 𝑅𝑥 = −𝑅𝑦 , 𝜔 = 𝜔(𝑎2ℎ)𝜌/𝐸2 .................................... 73 
Bảng 4-1. Giá trị các hằng số trong công thức. ............................................. 110 
ix 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 
Hình 2-1. Phần tử vỏ trong hệ tọa độ địa phương ........................................... 30 
Hình 2-2. Tọa độ lớp thứ k và hướng sợi ........................................................ 31 
Hình 2-3. Biến đổi tỉ lệ gốm theo chiều dày ................................................... 34 
Hình 2-4. Phần tử tam giác 3 nút trong hệ tọa độ địa phương ........................ 40 
Hình 2-5. Miền trơn được tạo thành từ các phần tử tam giác ......................... 44 
Hình 2-6. Hệ tọa độ toàn cục, tọa độ địa phương và hệ tọa độ ảo .................. 45 
Hình 2-7. Sơ đồ thuật toán giải bài toán tĩnh vỏ composite ........................... 48 
Hình 2-8. Sơ đồ thuật toán giải bài dao động riêng vỏ composite.................. 49 
Hình 2-9. Vỏ trụ chịu tải trọng tập trung ........................................................ 51 
Hình 2-10. Đồ thị thể hiện sự hội tụ của chuyển vị độ võng tại A của vỏ trụ kín 
sử dụng các phương pháp khác nhau. ............................................................. 52 
Hình 2-11. Ứng suất von-Mises của vỏ trụ chịu tải trọng tập trung (N/mm2) 52 
Hình 2-12. Vỏ trụ với hai cạnh cong đặt trên các gối tựa đơn và các cạnh còn 
lại tự do ............................................................................................................ 54 
Hình 2-13. Đồ thị thể hiện sự hội tụ của chuyển vị tại điểm giữa cạnh thẳng của 
vỏ trụ sử dụng các phương pháp khác nhau. ................................................... 54 
Hình 2-14. Ứng suất von - Mises (psi) ............................................................ 55 
Hình 2-15. Mô hình vỏ 2 độ cong ................................................................... 57 
Hình 2-16. Mức độ hội tụ của chuyển vị tâm của vỏ composite 2 độ cong với 
số bậc tự do tăng dần của các ... lysis: CRC press. 
 [107]. C. Roque and A. Ferreira (2009), “New developments in the radial basis 
functions analysis of composite shells”, Composite Structures, vol. 87, pp. 
141-150. 
[108]. C. M. Roque, A. J. Ferreira, A. M. Neves, G. E. Fasshauer, C. M. Soares, 
and R. M. N. Jorge (2010), “Dynamic analysis of functionally graded 
plates and shells by radial basis functions”, Mechanics of Advanced 
Materials and Structures, vol. 17, pp. 636-652. 
 [109]. H. Santos, C. M. Mota Soares, C. A. Mota Soares, and J. N. Reddy 
(2009), “A semi-analytical finite element model for the analysis of 
cylindrical shells made of functionally graded materials”, Composite 
Structures, vol. 91, pp. 427-432. 
149 
 [110]. C. Shu and H. Du (1997), “Free vibration analysis of laminated 
composite cylindrical shells by DQM”, Composites Part B: Engineering, 
vol. 28, pp. 267-274. 
 [111]. Z. Su, G. Jin, S. Shi, T. Ye, and X. Jia (2014), “A unified solution for 
vibration analysis of functionally graded cylindrical, conical shells and 
annular plates with general boundary conditions”, International Journal 
of Mechanical Sciences, vol. 80, pp. 62-80. 
[112]. K. Sze, X. Liu, and S. Lo (2004), “Popular benchmark problems for 
geometric nonlinear analysis of shells”, Finite elements in analysis and 
design, vol. 40, pp. 1551-1569. 
 [113]. R. Tanov and A. Tabie (2000), “A simple correction to the first-order 
shear deformation shell finite element formulations”, Finite Elements in 
Analysis and Design, vol. 35, pp. 189-197. 
[114]. R. L. Taylor and F. Auricchio (1993), “Linked interpolation for 
Reissner‐Mindlin plate elements: Part II—A simple triangle”, 
International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 36, pp. 
3057-3066. 
 [115]. A. Tessler and T. J. R. Hughes (1983), “An improved treatment of 
transverse shear in the mindlin-type four-node quadrilateral element”, 
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 39, pp. 
311-335. 
[116]. C. H. Thai, L. V. Tran, D. T. Tran, T. Nguyen-Thoi, and H. Nguyen-
Xuan (2012), “Analysis of laminated composite plates using higher-order 
shear deformation plate theory and node-based smoothed discrete shear 
gap method”, Applied Mathematical Modelling, vol. 36, pp. 5657-5677. 
[117]. T. Nguyen‐Thoi, G. Liu, K. Lam, and G. Zhang (2009), “A face‐based 
smoothed finite element method (FS‐FEM) for 3D linear and 
geometrically non‐linear solid mechanics problems using 4‐node 
150 
tetrahedral elements”, International journal for numerical methods in 
Engineering, vol. 78, pp. 324-353. 
[118]. T. Nguyen-Thoi, P. Phung-Van, C. Thai-Hoang, and H. Nguyen-Xuan 
(2013), “A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) 
using triangular elements for static and free vibration analyses of shell 
structures”, International Journal of Mechanical Sciences, vol. 74, pp. 32-
45. 
 [119]. T. Nguyen-Thoi, P. Phung-Van, H. Luong-Van, H. Nguyen-Van, and 
H. Nguyen-Xuan (2013), “A cell-based smoothed three-node Mindlin 
plate element (CS-MIN3) for static and free vibration analyses of plates”, 
Computational Mechanics, vol. 51, pp. 65-81. 
[120]. S. P. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger (1959), Theory of plates 
and shells: McGraw-hill. 
[121]. C. W. S. To and B. Wang (1998), “Transient responses of geometrically 
nonlinear laminated composite shell structures”, Finite Elements in 
Analysis and Design, vol. 31, pp. 117-134. 
[122]. F. Tornabene (2009), “Free vibration analysis of functionally graded 
conical, cylindrical shell and annular plate structures with a four-
parameter power-law distribution”, Computer Methods in Applied 
Mechanics and Engineering, vol. 198, pp. 2911-2935. 
[123]. F. Tornabene and E. Viola (2013), “Static analysis of functionally graded 
doubly-curved shells and panels of revolution”, Meccanica, vol. 48, pp. 
901-930. 
[124]. F. Tornabene, E. Viola, and N. Fantuzzi (2013), “General higher-order 
equivalent single layer theory for free vibrations of doubly-curved 
laminated composite shells and panels”, Composite Structures, vol. 104, 
pp. 94-117. 
[125]. L. V. Tran, T. Nguyen-Thoi, C. H. Thai, and H. Nguyen-Xuan (2015), 
“An Edge-Based Smoothed Discrete Shear Gap Method Using the C 0-
151 
Type Higher-Order Shear Deformation Theory for Analysis of Laminated 
Composite Plates”, Mechanics of Advanced Materials and Structures, vol. 
22, pp. 248-268. 
[126]. T. M. Tu and N. V. Loi (2016), “Vibration Analysis of Rotating 
Functionally Graded Cylindrical Shells with Orthogonal Stiffeners”, Latin 
American Journal of Solids and Structures, vol. 13, pp. 2952-2969. 
[127]. H. Van Tung and N. D. Duc (2014), “Nonlinear response of shear 
deformable FGM curved panels resting on elastic foundations and 
subjected to mechanical and thermal loading conditions”, Applied 
Mathematical Modelling, vol. 38, pp. 2848-2866. 
[128]. H. Türkmen (1999), “Structural response of cylindrically curved 
laminated composite shells subjected to blast loading”, International 
Journal for Physical and Engineering Sciences, vol. 51, pp. 175-180. 
 [129]. P. Phung-Van, T. Nguyen-Thoi, T. Le-Dinh, and H. Nguyen-Xuan 
(2013), “Static and free vibration analyses and dynamic control of 
composite plates integrated with piezoelectric sensors and actuators by the 
cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3)”, Smart 
Materials and Structures, vol. 22, pp. 095026. 
 [130]. P. Phung-Van, T. Nguyen-Thoi, H. Luong-Van, C. Thai-Hoang, and H. 
Nguyen-Xuan (2014), “A cell-based smoothed discrete shear gap method 
(CS-FEM-DSG3) using layerwise deformation theory for dynamic 
response of composite plates resting on viscoelastic foundation”, 
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 272, pp. 
138-159. 
 [131]. P. Phung-Van, T. Nguyen-Thoi, H. Luong-Van, and Q. Lieu-Xuan 
(2014), “Geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates 
using a cell-based smoothed three-node plate element (CS-MIN3) based 
152 
on the C0-HSDT”, Computer Methods in Applied Mechanics and 
Engineering, vol. 270, pp. 15-36. 
[132]. H. Luong-Van, T. Nguyen-Thoi, G. R. Liu, and P. Phung-Van (2014) 
“A cell-based smoothed finite element method using three-node shear-
locking free Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) for dynamic 
response of laminated composite plates on viscoelastic foundation”, 
Engineering Analysis with Boundary Elements, vol. 42, pp. 8-19. 
[133]. E. Viola, F. Tornabene, and N. Fantuzzi (2013), “Static analysis of 
completely doubly-curved laminated shells and panels using general 
higher-order shear deformation theories”, Composite Structures, vol. 101, 
pp. 59-93. 
[134]. E. Viola, L. Rossetti, N. Fantuzzi, and F. Tornabene (2014), “Static 
analysis of functionally graded conical shells and panels using the 
generalized unconstrained third order theory coupled with the stress 
recovery”, Composite Structures, vol. 112, pp. 44-65. 
[135]. D. Wan, D. Hu, S. Natarajan, S. P. A. Bordas, and T. Long (2017), “A 
linear smoothed quadratic finite element for the analysis of laminated 
composite Reissner–Mindlin plates”, Composite Structures, vol. 180, pp. 
395-411. 
 [136]. J. Woo and S. Meguid (2001), “Nonlinear analysis of functionally 
graded plates and shallow shells”, International Journal of Solids and 
structures, vol. 38, pp. 7409-7421. 
 [137]. Y. Wu, T. Yang, and S. Saigal (1987), “Free and forced nonlinear 
dynamics of composite shell structures”, Journal of composite materials, 
vol. 21, pp. 898-909. 
[138]. Z. C. Xi, L. H. Yam, and T. P. Leung (1996), “Semi-analytical study of 
free vibration of composite shells of revolution based on the Reissner-
153 
Mindlin assumption”, International Journal of Solids and Structures, vol. 
33, pp. 851-863. 
 [139]. O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, O. C. Zienkiewicz, and R. L. Taylor 
(1977), The finite element method vol. 36: McGraw-hill London. 
[140]. O. C. Zienkiewicz, Z. Xu, L. F. Zeng, A. Samuelsson, and N. E. Wiberg 
(1993), “Linked interpolation for Reissner‐Mindlin plate elements: Part I-
A simple quadrilateral”, International Journal for Numerical Methods in 
Engineering, vol. 36, pp. 3043-3056. 
[141]. H. Nguyen-Xuan, G. Liu, C. a. Thai-Hoang, and T. Nguyen-Thoi (2010), 
“An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) with 
stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin 
plates”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 
199, pp. 471-489. 
 [142]. H. Nguyen-Xuan, G. Liu, T. Nguyen-Thoi, and C. Nguyen-Tran (2009), 
“An edge-based smoothed finite element method for analysis of two-
dimensional piezoelectric structures”, Smart Materials and Structures, 
vol. 18, p. 065015. 
[143]. H. Nguyen-Xuan, L. V. Tran, T. Nguyen-Thoi, and H. C. Vu-Do (2011), 
“Analysis of functionally graded plates using an edge-based smoothed 
finite element method”, Composite Structures, vol. 93, pp. 3019-3039. 
[144]. H. Nguyen-Xuan, L. V. Tran, C. H. Thai, and T. Nguyen-Thoi (2012), 
“Analysis of functionally graded plates by an efficient finite element 
method with node-based strain smoothing”, Thin-Walled Structures, vol. 
54, pp. 1-18. 
[145]. H. Nguyen-Xuan, G. R. Liu, C. Thai-Hoang, and T. Nguyen-Thoi 
(2010), “An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) with 
stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin 
154 
plates”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 
199, pp. 471-489. 
[146]. Ko, Y., P. S. Lee, and K.-J. Bathe (2016), “The MITC4+ shell element 
and its performance”. Computers & Structures,Vol. 169, pp. 57-68. 
 [147]. X. Zhao, G. Liu, K. Dai, Z. Zhong, G. Li, and X. Han (2008), 
“Geometric nonlinear analysis of plates and cylindrical shells via a 
linearly conforming radial point interpolation method”, Computational 
Mechanics, vol. 42, pp. 133-144. 
 [148]. A. Zenkour (2001), “Stress analysis of axisymmetric shear deformable 
cross-ply laminated circular cylindrical shells”, Journal of engineering 
mathematics, vol. 40, pp. 315-332. 
 [149]. Z. Q. Zhang and G. Liu (2011), “An edge‐based smoothed finite element 
method (ES‐FEM) using 3‐node triangular elements for 3D non‐linear 
analysis of spatial membrane structures”, International Journal for 
Numerical Methods in Engineering, vol. 86, pp. 135-154. 
 [150]. X. Zhao and K. M. Liew (2011), “Free vibration analysis of functionally 
graded conical shell panels by a meshless method”, Composite Structures, 
vol. 93, pp. 649-664. 
 [151]. O. Zienkiewicz, R. Taylor, and J. Too (1971), “Reduced integration 
technique in general analysis of plates and shells”, International Journal 
for Numerical Methods in Engineering, vol. 3, pp. 275-290. 
155 
PHỤ LỤC 
1. Thiết lập hàm dạng cho phần tử tam giác 
1 
156 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
2
3
1
0 0 0 1 1 1 1
12
2
1
0 0 0 1 0 1
12
2
1
1 0 0 0 0 0
12
2
N
N
N
    
   
   
 = − + − + − + = − − 
= − − + − + + = 
 = − + − + − + = 
( ) ( ) ( )1 1 2 3 1 1 1N c L c    −= = − − = − − 
( )2
2 1 3 2
N c L c  
−
= = = 
( )3
3 1 2 3
N c L c 
−
= = = 
2. Xây dựng trường biến dạng cắt sử dụng phương pháp nội suy hỗn hợp các 
thành phần Ten xơ (MITC3). 
157 
1
2
3
1N r s
N r
N s
= − − 
= 
 = 
1 1
2 2
3 3
1, 1
1, 0
0, 1
N N
r s
N N
r s
N N
r s
  
= − = −  
  
= = 
  
  
= =   
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, 1, 2,3
, 1, 2,3
k k k
k k k
rt x y
k k k
k k k
st x y
x y w
e k
r r r
x y w
e k
s s s
 
 
   
= + + = 
   
   
= + + =
    
( )
( ) 
−=
+=
cree
csee
stst
rtrt
2
1
~
~
( ) ( ) ( ) ( )3312
rtstrtst eeeec +−−=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
=


=


==
==
=


=


=


=







=
=
=
=
=
3,2,1,
3,2,1,
3,2,1,
3,2,1,
3,2,1,
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
kw
r
N
r
w
kN
kN
ky
r
N
r
y
kx
r
N
r
x
i
i
i
k
yi
i
i
k
y
xi
i
i
k
x
i
i
i
k
i
i
i
k
k
k
k
k
k


( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
=


=


==
==
=


=


=


=







=
=
=
=
=
3,2,1,
3,2,1,
3,2,1,
3,2,1,
3,2,1,
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
kw
s
N
s
w
kN
kN
ky
s
N
s
y
kx
s
N
s
x
i
i
i
k
yi
i
i
k
y
xi
i
i
k
x
i
i
i
k
i
i
i
k
k
k
k
k
k


== =
== =
== =
1,03
0,12
0,01
srk
srk
srk
158 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
1 21 21 1 1
1 1 1 2 1
2 1 2 1
1 21 21 1 1
1 1 1 3 1
3 1 3 1
2 2
2 2
y yx x
rt x y
y yx x
st x y
x y w
e x x y y w w
r r r
x y w
e x x y y w w
s s s
  
 
  
 
 ++  
= + + = − + − + − 
   
++   
= + + = − + − + −    
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
1 31 32 2 2
2 2 2 2 1
2 1 2 1
1 31 32 2 2
2 2 2 3 1
3 1 3 1
2 2
2 2
y yx x
rt x y
y yx x
st x y
x y w
e x x y y w w
r r r
x y w
e x x y y w w
s s s
  
 
  
 
 ++  
= + + = − + − + − 
   
++   
= + + = − + − + −    
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
2 32 33 3 3
3 3 3 2 1
2 1 2 1
2 32 33 3 3
3 3 1 3 1
3 1 3 1
2 2
2 2
y yx x
rt x y
y yx x
st x y
x y w
e x x y y w w
r r r
x y w
e x x y y w w
s s s
  
 
  
 
 ++  
= + + = − + − + − 
   
++   
= + + = − + − + −    
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 3 1 3
3 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2
1 1
1
2 2
MITC
s
x x x y y y x x y y
s s s s
r s r r s r r s r s
J
x x x y y
r r
s s r s s
−
          
− + − + − + − + −           
=
     
− − − −      
B
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 3
3 3
2 3 2 3
...
1 1
0
2 2
1 1
0
2 2
...
1 1
1
2 2
y x y
r r
r s s
x y
s s
r r
x x y y
r r
s r s r
   
− − − − −    
  
   
     
− −     
3. Tính véc tơ trung bình 
Ở đây ta xem các véc tơ pháp tuyến �̂�1 , �̂�2 và �̃� là các véc tơ �⃗� 1, �⃗� 2 và �⃗� 
ta thực hiện các bước như sau: 
159 
Bước 1: Tiến hành xác định véc tơ pháp tuyến �⃗� 1 và �⃗� 2 của tam giác ABC 
và DBC tương ứng theo các công thức 
�⃗� 1 =
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗×𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗×𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|
; �⃗� 2 =
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ×𝐷𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ×𝐷𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
Bước 2: Tính véc tơ trung bình từ hai véc tơ pháp tuyến �⃗� 1 và �⃗� 2 
�⃗� =
�⃗� 1 + �⃗� 2
|�⃗� 1 + �⃗� 2|