Luận án Nghiên cứu ứng xử tấm composite chức năng (FGM) dưới tác dụng tải cơ nhiệt

 1 
MỞ ĐẦU 
Khái niệm vật liệu phân lớp chức năng (Functionally Graded Material (FGM)) xuất 
hiện lần đầu tiên vào giữa thập niên 1980 tại Nhật Bản bởi một nhóm các nhà khoa 
học vật liệu, do tính ưu việt của nó thông qua sự làm việc của kết cấu dạng dầm, 
tấm hay vỏ khi chịu tải trọng cơ học, nhiệt độ, độ ẩm hay trong các điều kiện làm 
việc bất lợi khác thì loại vật liệu này thường có những ưu điểm nổi bật. Ví dụ: hệ 
thống đẩy phản lực của động cơ tên lửa khi một mặt phải tiếp xúc với nhiệt độ rất 
cao trong khi mặt còn lại chỉ chịu tác động bởi các tải trọng thông thường, hay lớp 
vỏ tàu ngầm khi mặt ngoài phải chịu áp lực thuỷ tĩnh và môi trường bất lợi của 
nước biển trong khi mặt bên trong chỉ cần đáp ứng các yêu cầu cơ học cơ bản Vì 
vậy, việc đào sâu nghiên cứu đối tượng này là yêu cầu cấp thiết hiện nay. Có nhiều 
cách để tiếp cận đối tượng nghiên cứu này. 
 Có thể bằng các thí nghiệm vật liệu để xác định các đặc trưng vật liệu của 
chúng hay bằng các thí nghiệm kết cấu dạng tấm hay dầm để biết các nguyên 
lý ứng xử của kết cấu. 
 Bằng các mô hình mô phỏng vật liệu hay kết cấu để rút ra được các nguyên 
tắc ứng xử chung. 
 Bằng các mô hình tính toán lý thuyết thuần tuý thông qua phân tích sự làm 
việc của các kết cấu cụ thể để từ đó có được cái nhìn tổng quát nhất 
Mỗi cách tiếp cận ở trên đều có những ưu điểm nhất định, cách tiếp cận đầu tiên 
thường mang lại hiệu quả cao nhưng đòi hỏi chi phí đầu tư lớn, nhất là trong điều 
kiện ở Việt Nam thì một số thí nghiệm sẽ không thực hiện được. Cách tiếp cận thứ 
hai khá trực quan, kết quả chính xác cao nhưng khối lượng tính toán rất lớn nên đòi 
hỏi phải có công cụ tính toán đủ mạnh mới đáp ứng các yêu cầu đặt ra. Cách tiếp 
cận thứ ba là đơn giản nhất nhưng vẫn đáp ứng được các mục tiêu đề ra và đây là 
cách tiếp cận phổ biến hiện nay được rất nhiều Nhà khoa học trên thế giới quan tâm. 
Luận án sẽ chọn cách tiếp cận thứ ba để phân tích cho đối tượng nghiên cứu thông 
qua bài toán tấm. 
Trong luận án này sẽ tiến hành phân tích cụ thể cho nhiều loại tấm khác nhau: tấm 
FGM, tấm composite FGM và tấm composite hướng sợi nhiều lớp với các điều kiện 
biên khác nhau trên nền đàn hồi chịu tác dụng bởi tải trọng cơ học và nhiệt độ dựa 
trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, bậc cao và tiếp cận 3 chiều, có xét đến bài 
toán tuyến tính và phi tuyến cho quan hệ giữa các thành phần chuyển vị và biến 
dạng, ứng dụng phương pháp làm giảm số ẩn số của trường chuyển vị, xác định 
 2 
chính xác vị trí mặt trung hoà vật lý cho tấm không đồng nhất, thiết lập phương 
trình năng lượng theo nguyên lý biến phân Hamilton, phương trình Lagrange, thiết 
lập các phương trình chủ đạo của bài toán, sử dụng phương pháp giải tích (lời giải 
Navier và Ritz) và phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH)) để 
giải hệ phương trình chủ đạo. Trong đó, PP PTHH sử dụng biện pháp khử khoá cắt, 
kết hợp với các phương pháp làm trơn để tăng mức độ chính xác của lời giải, các ví 
dụ số để phân tích các bài toán tĩnh học, bài toán lực tới hạn và bài toán phân tích 
tần số dao động riêng của kết cấu tấm. Đồng thời, luận án cũng khảo sát ảnh hưởng 
của quy luật phân phối vật liệu, kích thước tấm, hiệu ứng nền, cấu trúc các phân lớp 
cũng như tiến hành phân tích hiệu ứng các phương pháp đồng nhất đến ứng xử của 
tấm phân lớp chức năng. 
 3 
CHƢƠNG 1 
 TỔNG QUAN 
1.1 Đặt vấn đề 
Hiện nay, trong lĩnh vực cơ học vật rắn người ta luôn tìm cách phát triển những loại 
vật liệu có nhiều tính năng ưu việt như: khả năng chịu lực cao, tính dẻo, mức độ 
chống chịu nhiệt độ cũng như tính ứng dụng rộng rãi và mang lại nhiều hiệu quả 
kinh tế. Vật liệu phân lớp chức năng (FGM) đáp ứng hầu hết các yêu cầu trên. FGM 
là loại vật liệu composite đặc biệt có các đặc trưng vật liệu thay đổi liên tục nhằm 
cải thiện và tối ưu khả năng chịu tải trọng cơ, nhiệt của kết cấu theo yêu cầu mong 
muốn. Để việc ứng dụng loại vật liệu này được rộng rãi, nhất là trong các lĩnh vực: 
xây dựng, cơ khí, năng lượng, hàng không, vũ trụ... cần thiết phải tiến hành phân 
tích và đào sâu nghiên cứu về ứng xử của vật liệu thông qua các mô hình lý thuyết 
thuần túy, các mô hình mô phỏng và các mô hình thí nghiệm thực tế. 
Bài toán phân tích ứng xử kết cấu dạng dầm, tấm hay vỏ khi chịu tải trọng cơ học 
và nhiệt độ được ứng dụng nhiều trong lĩnh vực cơ kỹ thuật. Ví dụ: phân tích kết 
cấu cầu, đường ray, cống ngầm trong ngành giao thông; phân tích kết cấu sàn, dầm, 
vách trong ngành xây dựng; phân tích chi tiết động cơ đốt trong, hệ thống phản lực 
đẩy trong lĩnh vực cơ khí, hàng không, vũ trụ Có rất nhiều Nhà nghiên cứu (trong 
và ngoài nước) quan tâm đến chủ đề này, tuy nhiên vẫn còn nhiều điều cần được 
phân tích và phát triển nhiều hơn nữa. Chẳng hạn, khi phân tích ứng xử của kết cấu 
tấm người ta thường áp dụng một số lý thuyết tính toán: lý thuyết cổ điển (CPT) bỏ 
qua ảnh hưởng của biến dạng cắt, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) có kể 
đến thành phần biến dạng cắt nhưng cần có hệ số hiệu chỉnh cắt, lý thuyết biến dạng 
cắt bậc cao (HSDT) không cần hệ số hiệu chỉnh cắt nhưng cần phải chọn một cách 
hợp lý hàm biến dạng cắt, lý thuyết tiếp cận ba chiều (Quasi-3D) là lý thuyết HSDT 
nhưng có xét đến thành phần biến dạng theo chiều dày tấm. Bên cạnh đó, việc áp 
dụng các phương pháp tính toán cho kết cấu tấm cũng rất quan trọng, phổ biến hiện 
nay đó là: phương pháp giải tích và phương pháp số để phân tích ứng xử tĩnh và cả 
ứng xử động cho các loại kết cấu tấm với mức độ phân bố vật liệu khác nhau (tuyến 
tính, phi tuyến), tấm nhiều lớp Tuy nhiên, tính hiệu quả và mức độ chính xác của 
lời giải cần phải được nghiên cứu sâu hơn, đó là: Phát triển hệ số điều chỉnh cắt cải 
tiến trong đó kể đến mặt trung hòa vật lý cho lý thuyết FSDT để phân tích cho tấm 
FGM; Phát triển một hàm biến dạng cắt bậc cao mới có nhiều ưu điểm cho lý thuyết 
HSDT và Quasi-3D để phân tích ứng xử của tấm FGM khi chịu tải trọng cơ học và 
nhiệt độ; Phát triển mô hình phần tử hữu hạn làm trơn khử khóa cắt với độ chính 
xác cao để phân tích ứng xử tấm FGM khi áp dụng phương pháp số; Phát triển mô 
hình phần tử hữu hạn làm trơn cho phân tích phi tuyến hình học tấm FGM và tấm 
 4 
composite nhiều lớp; Phân tích hiệu ứng phương pháp đồng nhất hóa vật liệu đến 
ứng xử tấm FGM. 
1.2 Tổng quan 
1.2. 1 Vật liệu composite 
Vật liệu composite là một loại vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều loại vật liệu 
khác nhau trong đó bao gồm vật liệu nền và cốt gia cường, tạo nên một loại vật liệu 
mới có tính năng ưu việt hơn so với từng thành phần vật liệu riêng lẻ. Vật liệu nền 
có vai trò định vị và giữ ổn định cấu trúc của chúng thường được cấu tạo từ polyme, 
kim loại, hợp kim, gốm, vữa xi măng,. Vật liệu cốt gia cường được cấu tạo từ các 
sợi thuỷ tinh, sợi polyme, sợi gốm, sợi kim loại, sợi cacbon hoặc là các loại hạt 
như kim loại và phi kim Hình 1.1 thể hiện minh họa về vật liệu composite. 
Hình 1.1: Minh hoạ về vật liệu composite 
 vatlieucompositevacacungdung.html 
Phân loại vật liệu composite: 
 Phân loại theo cấu tạo: Vật liệu composite được cấu tạo từ các sợi hay hạt gia 
cường và vật liệu nền (Hình 1.2) 
(a) Dạng sợi 
(b) Dạng hạt 
Hình 1.2: Vật liệu composite từ nhiều phần tử [1] 
 Phân loại theo bản chất, thành phần: Vật liệu composite có thể được hình 
thành từ vật liệu nền hữu cơ, vô cơ và khoáng vật. Hình 1.3 thể hiện 
composite nền hữu cơ. 
Vật liệu nền 
Vật liệu cốt gia cường 
Sợi gia cường 
Hạt gia cường 
Vật liệu nền 
Vật liệu nền 
 5 
Hình 1.3: Composite nền hữu cơ trong tự nhiên: cây tre và cấu trúc vi mô vật liệu 
trên mặt cắt ngang 
Việc khai thác tính hiệu quả của các loại composite tự nhiên đã nhường chỗ cho 
việc sử dụng các loại composite nhân tạo tiên tiến bằng cách kết hợp các hợp chất 
polyme, hợp kim, kính, gốm, sứ để tạo ra composite có cấu trúc nhiều lớp mỏng 
liên kết với nhau, tuy nhiên nhược điểm của loại vật liệu này là tính không liên tục 
về đặc tính vật liệu, điều này dẫn đến vấn đề tập trung ứng suất tại các phân lớp khi 
tiến hành phân tích ứng xử của kết cấu, đặc biệt là khi xét yếu tố nhiệt độ thì sự bất 
lợi này càng thể hiện rõ ràng hơn. Đây là vấn đề được nhiều nhà khoa học quan tâm. 
1.2. 2 Vật liệu phân lớp chức năng 
1.2.2.1 Khái niệm 
Vấn đề tập trung ứng suất sẽ được giảm thiểu đáng kể nếu sự thay đổi các đặc tính 
từ vật liệu này đến vật liệu khác tại các phân lớp diễn ra từ từ. Nguyên tắc này là cơ 
sở để hình thành và phát triển phần lớn các vật liệu phân lớp chức năng. Vật liệu 
phân lớp chức năng (FGM) là một loại composite đặc biệt có các đặc trưng vật liệu 
thay đổi liên tục nhằm cải thiện và tối ưu khả năng chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ 
của kết cấu. Điều này có được từ việc chế tạo loại vật liệu có sự thay đổi dần dần 
(quy luật gradient) của cấu trúc vật liệu nhằm tối ưu sự làm việc của từng loại vật 
liệu (Hình 1.4). 
(a) Composite phân lớp 
(b) FGM 
Hình 1.4: Vật liệu composite phân lớp và phân lớp chức năng FGM 
Khái niệm vật liệu FGM xuất hiện lần đầu tiên vào giữa thập niên 1980 tại Nhật 
Bản bởi một nhóm các nhà khoa học vật liệu, những người đã tạo ra một loại vật 
liệu mới chống lại những ảnh hưởng của nhiệt trong ngành hàng không. Vật liệu 
mới này có khả năng chịu được môi trường nhiệt độ cao và loại bỏ được hiện tượng 
tập trung ứng suất tại ví trí tiếp xúc giữa các lớp vật liệu khác nhau. Nghiên cứu đó 
tập trung lên những kết cấu có một mặt trong môi trường lạnh và mặt còn lại trong 
 6 
môi trường nhiệt độ rất cao.Vật liệu gốm được chọn cho mặt nóng với nhiệt độ lên 
đến 2000K trong môi trường oxy hóa, và mặt lạnh với nhiệt độ 1000K thì vật liệu 
có tính năng dẫn nhiệt, bền, dẻo như kim loại được chọn. Ngoài Nhật Bản, số lượng 
nghiên cứu trên vật liệu FGM tăng lên nhanh chóng và trở thành chủ đề được ưa 
thích trong nghiên cứu về vật liệu trong những năm sau đó bao gồm các nước như: 
Đức, Thụy Sỹ, Mỹ, Trung Quốc, Nga... 
Vật liệu FGM là hỗn hợp của nhiều loại vật liệu, phổ biến thường gồm hai thành 
phần là gốm (ceramic) và kim loại (metal) với các đặc trưng cơ học như Bảng 1.1. 
Bảng 1.1: So sánh đặc tính của gốm và kim loại [1] 
Vị trí Vật liệu Tính năng 
Vùng chịu nhiệt cao Gốm 
- Chịu nhiệt cao 
- Chống oxy hóa cao 
- Dẫn nhiệt thấp 
Các lớp bên trong Gốm – kim loại 
- Loại bỏ những vấn đề bề mặt tiếp 
xúc giữa các vật liệu 
Vùng chịu nhiệt thấp Kim loại 
- Tính năng chịu lực cao 
- Hệ số dẫn nhiệt cao 
- Độ dẻo dai cao 
1.2.2.2 Ứng dụng 
Vật liệu FGM được ứng dụng nhiều trong môi trường có sự làm việc khắc nghiệt 
như lá chắn nhiệt của tàu vũ trụ, thiết bị đẩy phản lực, vỏ lò tinh luyện các loại xỉ, 
quặng khai khoáng, các bộ phận động cơ, thiết bị tiếp xúc với nguồn điện công suất 
lớn... Ví dụ như trong các lớp cách nhiệt truyền thống của các thiết bị chịu nhiệt 
cao, một lớp vật liệu ceramic sẽ được tráng lên các kết cấu kim loại, tuy nhiên sự 
thay đổi đột ngột tại vị trí tiếp xúc giữa 2 vật liệu khác nhau sẽ gây ra sự tập trung 
lớn ứng suất, dẫn đến hình thành biến dạng dẻo hoặc nứt. Những ảnh hưởng tiêu 
cực đó có thể được giảm nhẹ bằng cách sắp xếp vật liệu thay đổi liên tục theo các 
vật liệu thành phần, tại những vị trí cần chịu nhiệt và ăn mòn cao thì hàm lượng 
ceramic cao, ngược lại kim loại được tập trung tại những vị trí cần các tính năng cơ 
học có tính dẻo dai Hình 1.5 và 1.6 là ứng dụng của vật liệu FGM trong ngành 
vũ trụ và xây dựng. 
Hình 1.5: Ứng dụng FGM trong hệ thống đẩy phản lực 
 7 
Hình 1.6: Ứng dụng FGM trong xây dựng 
1.2. 3 Đặc tính đàn hồi hữu hiệu của vật liệu FGM 
Như đã giới thiệu, FGM là loại vật liệu có các đặc trưng vật liệu thay đổi liên tục 
theo yêu cầu mong muốn nhưng nếu xét trên bình diện cấu trúc vi mô thì các hạt vật 
liệu vẫn phân bố một cách không đồng nhất. Chính vì vậy, để phân tích ứng xử vật 
liệu FGM một cách hiệu quả, nhất thiết phải tiến hành đơn giản hoá các cấu trúc vi 
mô phức tạp bằng cách áp dụng phương pháp đồng nhất hoá. Đây là phương pháp 
ước lượng các đặc tính hữu hiệu của vật liệu FGM. Có hai cách tiếp cận đánh giá 
các đặc tính hữu hiệu của vật liệu FGM: mô hình rời rạc và mô hình liên tục (Hình 
1.7). Mô hình rời rạc kể đến các vi cấu trúc bằng cách giả thiết mô hình vật liệu lý 
tưởng theo các ô thể tích đơn vị sau đó tiến hành các phương pháp tính toán trên ô 
thể tích này, còn đối với mô hình liên tục thì giả thiết đặc tính vật liệu thay đổi liên 
tục theo hướng và không xét ảnh hưởng của cấu trúc vi mô, sau đó các đặc tính hữu 
hiệu xác định bằng các mô hình cơ học vi mô khác nhau. Luận án sẽ dựa vào mô 
hình liên tục để xác định các đặc tính hữu hiệu của vật liệu FGM. 
Hình 1.7: Mô hình rời rạc và mô hình liên tục [1] 
Mô hình vật liệu FGM: Theo mô hình liên tục thì các đặc trưng hữu hiệu của vật 
liệu được xác định thông qua các hàm mật độ thể tích, phần lớn các nghiên cứu hiện 
nay thường diễn tả hàm mật độ thể tích có dạng hàm số lũy thừa hệ số mũ p (power-
 8 
law function), quy luật hàm S (Sigmoid function) hay quy luật hàm số mũ 
(exponential function). Các quy luật này sẽ được xem xét trong luận án. 
Đối tượng nghiên cứu: Trong phạm vi luận án này, đối tượng nghiên cứu là kết cấu 
tấm trong đó giả thiết rằng tấm FGM dạng hình chữ nhật có cạnh dài a , cạnh ngắn 
b , chiều dày tấm h (Hình 1.8) là hỗn hợp của gốm (ceramic với mô đun Young 
c
E , khối lượng riêng 
c
 , hệ số Poisson 
c
 ) và kim loại (metal với mô đun Young 
m
E , khối lượng riêng 
m
 , hệ số Poisson 
m
 ). Các mô đun đàn hồi hữu hiệu của tấm 
FGM như: mô đun E , khối lượng riêng , mô đun cắt G thay đổi liên tục theo 
chiều dày của tấm và phụ thuộc vào hàm mật độ thể tích của chúng. 
Hình 1.8: Hình dạng tấm FGM 
1.2.3.1 Đặc trƣng hữu hiệu theo quy luật lũy thừa hệ số mũ p (power-law) 
Một số mô hình xác định thành phần môđun đàn hồi Young ( E ) và hệ số Poisson 
( ) theo quy luật hàm luỹ thừa hệ số mũ p [2]: 
 Mô hình Voigt ([3], [4], [5]): 
1
1
m c
m c
E z E V z E V z
z V z V z
   
 (1.1) 
 Mô hình Reuss ([3], [4], [5]): 
1
1
m c
m c
m c
m c
E E
E z
E V z E V z
E E
z
V z V z
 
 
 (1.2) 
 Mô hình Hashin-Shtrikman ([6], [7]): 
9 3 2
3 2 3
G z K z K z G z
E z z
G z K z G z K z
  
, (1.3) 
trong đó G z K z, xác định theo nguyên lý cận trên và cận dưới: 
 9 
- Cận dưới: 
6 2 11
5 3 4
3 11
3 4
c
c c
m c c c c
c
m c c c
V z
G z G
K G V z
G G G K G
V z
K z K
V z
K K K G
  
 
 
  
 
 
 (1.4a) 
- Cận trên: 
1
6 21
5 3 4
1
31
3 4
m
m m
c m m m m
m
c m m m
V z
G z G
K G V z
G G G K G
V z
K z K
V z
K K K G
  
 
 
  
 
 
 (1.4b) 
 Mô hình Tamura ([8], [9]): 
1
1
1
c T m m T c
T m T c
m c
V z E q E V z E q E
E z
V z q E V z q E
z V z V z
   
 (1.5) 
với 
T
q “stress-to-strain transfer” là tham số tính toán. 
 Mô hình SCM (Self-Consistent Method) ([10], [11]): 
5
2
4
3
5 5
4 4
3 3
1 4
1 3
4 4
3 3
c  ... ite plates. Composite Structures 109 (2014) 231-
239. 
[148] A. M. A. Neves, A. J. M. Ferreira, E. Carrera, M. Cinefra, C. M. C. Roque, 
R. M. N. Jorge, C. M. M. Soares. Static, free vibration and buckling analysis of 
isotropic and sandwich functionally graded plates using a quasi-3D higher-order 
shear deformation theory and a meshless technique. Composites Part B: 
Engineering 44 (2013) 657–674. 
[149] S. Brischetto. Classical and mixed advanced models for sandwich plates 
embedding functionally graded cores. Journal of Mechanics of Materials and 
Structures 4 (2009) 13–33. 
[150] A. M. A. Neves, A. J. M. Ferreira, E. Carrera, C. M. C. Roque, M. Cinefra, 
R. M. N. Jorge, C. M. M. Soares. A quasi-3D sinusoidal shear deformation 
theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates. 
Composites Part B: Engineering 43 (2012) 711–725. 
[151] A. M. Zenkour. Bending analysis of functionally graded sandwich plates 
using a simple four unknown shear and normal deformations theory. Journal of 
Sandwich Structures and Materials 15 (2013) 629–656. 
[152] H. T. Thai, D. H. Choi. An efficient and simple refined theory for buckling 
analysis of functionally graded plates. Applied Mathematical Modelling 36 
(2012) 1008–1022. 
[153] Nguyen-Xuan H, Tran-Vinh L, Nguyen-Thoi T, Vu-Do HC. Analysis of 
functionally graded plates using an edge-based smoothed finite element method. 
Composite Structures 93 (11) (2011) 3019–3039. 
[154] F. A. Fazzolari, E. Carrera. Thermal stability of FGM sandwich plates under 
various through-the-thickness temperature distributions. Journal of Thermal 
Stresses 37 (2014) 1449–1481. 
[155] X. Zhao, Y. Y. Lee, K. M. Liew. Mechanical and thermal buckling analysis 
of functionally graded plates. Composite Structures 90 (2009) 161–171. 
[156] B. Uymaz, M. Aydogdu. Three-dimensional vibration analyses of 
functionally graded plates under various boundary conditions. Journal of 
Reinforced Plastics and Composites 26 (18) (2007) 1847–1863. 
[157] G. Jin, Z. Su, S. Shi, T. Ye, S. Gao. Three-dimensional exact solution for the 
free vibration of arbitrarily thick functionally graded rectangular plates with 
general boundary conditions. Composite Structures 108 (2014) 565–577. 
[158] A. H. Baferani, A. H. Saidi, H. Ehteshami. Accurate solution for free 
vibration analysis of functionally graded thick rectangular plates resting on 
elastic foundation. Composite Structures 93(7) (2011) 1842–1853. 
[159] S. S. Vel, R. C. Batra. Three-dimensional exact solution for the vibration of 
functionally graded rectangular plates. Journal of Sound and Vibration 272 
(2004) 703–730. 
 184 
[160] L. F. Qian, R. C. Batra, L. M. Chen. Static and dynamic deformations of 
thick functionally graded elastic plate by using higher-order shear and normal 
deformable plate theory and meshless local Petrov-Galerkin method. 
Composites: Part B 35 (2004) 685–697. 
[161] Chau-Dinh T, G. Zi, P. S. Lee, T. Rabczuk, J. H. Song. Phantom-node 
method for shell models with arbitrary cracks. Composite Structures 9293 
(2012) 242-256. 
[162] Y. Lee, K. Yoon, P. S. Lee. Improving the MITC3 shell finite element by 
using the hellinger-Reissner principle. Composite Structures 110111 (2012) 93-
106. 
[163] J. Kim, K. J. Bathe. The finite element method enriched by interpolation 
covers. Composite Structures 116 (2013) 35–49. 
[164] E. N. Dvorkin, K. J. Bathe. A continuum mechanics based four-node shell 
element for general nonlinear analysis. Engineering Computations 1 (1984) 77–
88. 
[165] K. J. Bathe, E. N. Dvorkin. A formulation of general shell elements – the use 
of mixed interpolation of tensorial components. International Journal for 
Numerical Methods in Engineering 22 (1986) 697–722. 
[166] M. L. Bucalem, K. J. Bathe. Higher-order mitc general shell elements. 
International Journal for Numerical Methods in Engineering 36 (21) (1993) 
3729-3754. 
[167] G. Liu, Nguyen-Thoi T. Smoothed finite element methods. Taylor & Francis; 
2010. https://books.google.ca/books?id¼9TdHtwAACAAJ. 
[168] G. R. Liu, K. Y. Dai, Nguyen-Thoi T. A smoothed finite element method for 
mechanics problems. Computational Mechanics 39 (6) (2007) 859–877. 
[169] C. Shankara, N. Iyengar. A C0 element for the free vibration analysis of 
laminated composite plates. Journal of Sound and Vibration 191(5) (1996) 721-
738. 
[170] P. Phung-Van, T. Nguyen-Thoi, T. Bui-Xuan, Q. Lieu-Xuan. Cell-based 
smoothed three-node Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) based on the C
0
type higher-order shear deformationfor geometrically nonlinear analysis of 
laminated composite plates. Computational Materials Science 96 (2015) 549–
558. 
[171] P. S. Lee and K. J. Bathe. Development of MITC isotropic triangular shell 
finite elements. Computers and Structures 82 (2004) 945–962. 
[172] Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Rabczuk T, Nguyen-Xuan H, Le-Van C. Free 
and forced vibration analysis using the n-sided polygonal cell-based smoothed 
finite element method (nCS-FEM). International Journal for numerical 
methods in engineering 10 (1) (2013) 1340008. 
[173] Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Nguyen-Xuan H, Thai-Hoang C. A cell-based 
smoothed discrete shear gap method using triangular elements for static and free 
vibration analyses of Reissner–Mindlin plates. International 
Journal for numerical methods in engineering 91 (7) (2012) 705–741. 
 185 
[174] Nguyen-Thoi T, Bui-Xuan T, Phung-Van P, Nguyen-Xuan H, Ngo-Thanh P. 
Static, free vibration and buckling analyses of stiffened plates by CS-FEM-
DSG3 using triangular elements. Computers & Structures 125 (2013) 100–113. 
[175] Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Thai-Hoang C, Nguyen-Xuan H. A cell-based 
smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for 
static and free vibration analyses of shell structures. International Journal of 
Mechanical Sciences 74 (2013) 32–45. 
[176] Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Loc Tran V, Nguyen-Xuan H. A cell-based 
smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3) based on the C
0
-type 
higher-order shear deformation theory for static and free vibration analyses of 
functionally graded plates. Computational Materials Science 79 (2013) 857–872. 
[177] Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Le-Dinh T, Nguyen-Xuan H. Static and free 
vibration analyses and dynamic control of composite plates integrated with 
piezoelectric sensors and actuators by the cell-based smoothed discrete shear 
gap method (CS-FEM-DSG3). Smart Materials and Structures 22 (2013) 
095026. 
[178] Nguyen-Thoi T, P. Phung-Van, H. Luong-Van, H. Nguyen-Van, H. Nguyen-
Xuan. A cell based smoothed three node Mindlin plate element (CS-MIN3) for 
static and free vibration analyses of plates. Computational Mechanics 51 (2013) 
65–81. 
[179] Nguyen-Thoi T, G. R. Liu, Nguyen-Xuan H. An n-sided polygonal edge-
based smoothed finite element method (nES-FEM) for solid mechanics. 
Communications in Numerical Methods in Engineering 27 (9) (2011) 1446–
1472. 
[180] Nguyen-Xuan H, Liu GR, Thai-Hoang C, Nguyen-Thoi T. An edge-based 
smoothed finite element method with stabilized discrete shear gap technique for 
analysis of Reissner–Mindlin plates. Computer Methods in Applied Mechanics 
and Engineering 199 (2009) 471–489. 
[181] Nguyen-Thoi T, Bui-Xuan T, Phung-Van P, Nguyen-Hoang S, Nguyen-
Xuan H. An edge-based smoothed three-node Mindlin plate element (ES-MIN3) 
for static and free vibration analyses of plates. The KSCE Journal of Civil 
Engineering 2013 (in press). 
[182] Phan-Dao H, Nguyen-Xuan H, Thai-Hoang C, Nguyen-Thoi T, Rabczuk T. 
An edge-based smoothed finite element method for analysis of laminated 
composite plates. International Journal of Computational Methods 10 (1) (2013) 
1340005. 
[183] Nguyen-Xuan H, G. R. Liu, S. P. A. Bordas, S. Natarajan, T. Rabczuk. An 
adaptive singular ES-FEM for mechanics problems with singular field of 
arbitrary order. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 253 
(2013) 252–273. 
[184] Nguyen-Thoi T, G. R. Liu, Vu-Do HC, Nguyen-Xuan H. An edge-based 
smoothed finite element method (ES-FEM) for visco-elastoplastic analyses of 
2D solids using triangular mesh. Computational Mechanics 45 (2009) 23–44. 
 186 
[185] Thanh Tran Ngoc, G. R. Liu, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thoi T. An edge-
based smoothed finite element method for primal-dual shakedown analysis of 
structures. International Journal for Numerical Methods in Engineering 82 (7) 
(2010) 917–938. 
[186] Canh Le V, Nguyen-Xuan H, H. Askes, T. Rabczuk, Nguyen-Thoi T. 
Computation of limit load using edge-based smoothed finite element method 
and secondorder cone programming. International Journal of Computational 
Methods 10 (1) (2013) 1340004. 
[187] Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Rabczuk T, Nguyen-Xuan H, Le-Van C. An 
application of the ES-FEM in solid domain for dynamic analysis of 2D 
fluidsolid interaction problems. International Journal of Computational Methods 
10 (1) (2013) 1340003. 
[188] G. R. Liu, Nguyen-Thoi T, K. Y. Lam. An edge-based smoothed finite 
element method (ES-FEM) for static and dynamic problems of solid mechanics. 
Journal of Sound and Vibration 320 (2008) 1100–1130. 
[189] Nguyen-Thoi T, Liu GR, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Tran C. Adaptive 
analysis using the node-based smoothed finite element method (NS-FEM). 
Communications in Numerical Methods in Engineering 27 (1) (2011) 198–218. 
[190] Nguyen-Thoi T, Liu GR, Nguyen-Xuan H. Additional properties of the 
nodebased smoothed finite element method (NS-FEM) for solid mechanics 
problems. International Journal of Computational Methods 6 (4) (2009) 633–
666. 
[191] G. R. Liu, L. Chen, Nguyen-Thoi T, K. Zeng, G. Y. Zhang. A novel singular 
node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound 
solutions of cracks. International Journal for Numerical Methods in Engineering 
83 (11) (2010) 1466–1497. 
[192] Nguyen-Thoi T, Vu-Do HC, Rabczuk T, Nguyen-Xuan H. A node-based 
smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solution to visco-
elastoplastic analyses of solids using triangular and tetrahedral meshes. 
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 199 (2010) 3005–
3027. 
[193] Nguyen-Xuan H, T. Rabczuk, Nguyen-Thoi T, Tran TN, Nguyen-Thanh N. 
Computation of limit and shakedown loads using a node-based smoothed finite 
element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering 90 
(3) (2012) 287–310. 
[194] G. R. Liu, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Xuan H, K. Y. Lam. A node-based 
smoothed finite element method (ns-fem) for upper bound solutions to solid 
mechanics problems. Composite Structures 87 (12) (2009) 14-26. 
[195] Nguyen-Xuan H, T. Rabczuk, S. Bordas, J. Debongnie. A smoothed finite 
element method for plate analysis. Computer Methods in Applied Mechanics 
and Engineering 197 (1316) (2008) 1184-1203. 
[196] R. L. Taylor, F. Auricchio. Linked interpolation for reissner-mindlin plate 
elements: Part IIa simple triangle. International Journal for Numerical Methods 
 187 
in Engineering 36 (18) (1993) 3057-3066. 
[197] C. P. Wu, K. H. Chiu, Y. M. Wang. RMVT-based meshless collocation and 
elementfree galerkin methods for the quasi-3d analysis of multilayered 
composite and {FGM} plates. Composite Structures 93 (2) (2011) 923-943. 
[198] T. K. Nguyen, H. T. Thai, T. P. Vo. A refined higher-order shear 
deformation theory for bending, vibration and buckling analysis of functionally 
graded sandwich plates. Steel and Composite Structures, An International 
Journal 18(1) (2015) 91-120. 
[199] J. N. Reddy. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis, Oxford 
University Press, 2004. 
[200] M. A. Crisfield. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and 
Structures. Essentials (1) , John Wiley & Sons, New York (1991). 
[201] V. R. Kar, S. K. Panda. Nonlinear thermomechanical deformation behaviour 
of P-FGM shallow spherical shell panel. Chinese Journal of Aeronautics 29(1) 
(2016) 173–183. 
[202] J. Yang, H. S. Shen. Nonlinear bending analysis of shear deformable 
functionally graded plates subjected to thermo-mechanical loads under various 
boundary conditions. Composites: Part B 34 (2003) 103–115. 
[203] H. Nguyen-Van. Development and application of assumed stain smoothing 
finite element technique for composite plate/shell. PhD thesis, University of 
Southern Queensland (2000). 
[204] H. Nguyen-Van, N. Nguyen-Hoai, T. Chau-Dinh, T. Nguyen-Thoi. 
Geometrically nonlinear analysis of composite plates and shells via a 
quadrilateral element with good coarse-mesh accuracy. Composite Structures 
112 (2014) 327–338. 
[205] Y. X, Zhang, K. S. Kim. Geometrically nonlinear analysis of laminated 
composite plates by two new displacement-based quadrilateral plate elements. 
Composite Structures 72 (2006) 301–310. 
[206] N. S. Putcha, J. N. Reddy. A refined mixed shear flexible finite element for 
nonlinear analysis of laminated plates, Composite Structures 22 (1986) 529–38. 
[207] T. Kant, J. R. Kommineni. C0 finite element geometrically non-linear 
analysis of fibre reinforced composite and sandwich laminates based on a 
higher-order theory. Composite Structures 45 (1992) 511–520. 
[208] R. Hill. A self-consistent mechanics of composite materials. Journal of 
the Mechanics and Physics of Solids 13 (1965) 213-222. 
[209] T. Reiter, G. J. Dvorak. Micromechanical models for graded composite 
materials. Journal of the Mechanics and Physics of Solids 45 (1997) 1281-1302. 
[210] S. S. Vel, R. C. Batra. Exact solution for thermoelastic deformations of 
functionally graded thick rectangular plates. The American Institute of 
Aeronautics and Astronautics 40 (2002) 1421-1433. 
[211] S. Suresh, A. Mortensen. Fundamentals of functionally graded materials: 
Processing and Thermomechanical Behaviour of Graded Metals and Metal-
Ceramic Composites. Press, Cambridge (1998). 
 188 
[212] J. Aboudi, M. J. Pindera, S. M. Arnold. Higher-order theory for functionally 
graded materials. Composites Part B: Engineering 30 (1999) 777-832. 
[213] J. R. Cho, D. Y. Ha. Averaging and finite element discretization approaches 
in the numerical analysis of functionally graded materials. Material Science 
Engineering A302 (2001) 187-196. 
[214] T. K. Nguyen, K. Sab, G. Bonnet. Green's operator for a periodic medium 
with traction-free boundary conditions and computation of the effective 
properties of thin plates. International Journal of Solids and Structures 45 (2008) 
6518-6534. 
[215] T. K. Nguyen, K. Sab, G. Bonnet. Hashin-Shtrikman variational principle for 
heterogeneous plates. European Journal of Mechanics – A/Solids 28 (2009) 
1051-1063. 
[216] A. M. Zenkour. A comprehensive analysis of functionally graded sandwich 
plates: Part 1 Deflection and stresses. International Journal of Solids and 
Structures 42 (2005) 5224–5242.