Luận án Phân tích dao động của cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi sử dụng tọa độ suy rộng dư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
Nguyễn Sỹ Nam 
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ 
KHÂU ĐÀN HỒI SỬ DỤNG TỌA ĐỘ SUY RỘNG DƯ 
LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
Hà Nội – 2018 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
Nguyễn Sỹ Nam 
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ KHÂU 
ĐÀN HỒI SỬ DỤNG TỌA ĐỘ SUY RỘNG DƯ 
 Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
 Mã số: 9 52 01 01 
LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
 1. GS. TSKH Nguyễn Văn Khang 
 2. PGS. TS Lê Ngọc Chấn 
Hà Nội – 2018 
LỜI CẢM ƠN 
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành gửi tới thầy GS. TSKH Nguyễn Văn 
Khang và thầy PGS.TS Lê Ngọc Chấn đã tận tình hướng dẫn khoa học, động viên và 
giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án này. 
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô, đồng nghiệp và bạn bè đang 
công tác tại Viện Cơ học, tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa 
học và Công nghệ Việt Nam, tại Bộ môn Cơ Ứng dụng – Đại học Bách khoa Hà Nội 
và tại Bộ môn Cơ học Lý thuyết – Đại học Xây dựng đã giúp đỡ, tạo điều kiện, động 
viên tác giả trong quá trình làm luận án. 
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn bên cạnh tác giả trong 
suốt thời gian làm luận án. 
LỜI CAM ĐOAN 
 Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả trình 
bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình 
nào khác, các thông tin trích dẫn trong luận án này đều được ghi rõ nguồn gốc. 
 Hà Nội, ngày tháng năm 2018 
 Nguyễn Sỹ Nam 
MỤC LỤC 
Trang 
Trang phụ bìa 
LỜI CẢM ƠN 
LỜI CAM ĐOAN 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 
DANH MỤC CÁC BẢNG 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 
MỞ ĐẦU.....................................................................................................................1 
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU........................................ 3 
1.1. Cơ cấu có khâu đàn hồi ..................................................................................... 3 
1.1.1. Khâu rắn và khâu đàn hồi trong một số cơ cấu máy và robot ....................... 3 
1.1.2. Mô hình của các khâu đàn hồi trong cơ cấu ................................................. 5 
1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới..................................................................... 7 
1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước .................................................................... 12 
1.4. Xác định vấn đề nghiên cứu của luận án.......................................................... 12 
CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ 
NHIỀU VẬT ĐÀN HỒI ........................................................................................... 13 
2.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi................................................................................. 13 
2.1.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp Ritz – Galerkin.................... 13 
2.1.2. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) ........... 14 
2.2. Thiết lập phương trình chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch 
vòng bằng phương trình Lagrange dạng nhân tử .................................................... 17 
2.3. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu bốn khâu bản lề 
với thanh truyền đàn hồi......................................................................................... 18 
2.3.1. Mô tả cơ cấu ............................................................................................. 18 
2.3.2. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết............................ 18 
2.3.3. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi thanh truyền đàn hồi 
được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin........................................... 20 
2.3.3.1. Trường hợp cơ cấu rắn....................................................................... 29 
2.3.3.2. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh)........ 29 
2.3.3.3. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến dạng uốn) .... 30 
2.3.4. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi thanh truyền đàn hồi 
được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn......................................................... 31 
2.3.4.1. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh) ..... 38 
2.3.4.2 Trường hợp thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến dạng uốn)... 39 
2.4. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu sáu khâu với hai 
thanh truyền đàn hồi............................................................................................... 39 
2.4.1. Mô tả cơ cấu ............................................................................................. 39 
2.4.2. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết............................ 40 
2.4.3. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi hai thanh truyền đàn 
hồi được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin ..................................... 43 
2.4.3.1. Trường hợp các thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh) .... 53 
2.4.3.2. Trường hợp các thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến 
dạng uốn) ....................................................................................................... 55 
2.4.4. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi hai thanh truyền 
đàn hồi được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn .......................................... 56 
Kết luận chương 2.................................................................................................. 61 
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC THUẬN CƠ CẤU PHẲNG CÓ 
KHÂU ĐÀN HỒI..................................................................................................... 62 
3.1. Bài toán động lực học thuận của hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc mạch vòng.... 62 
3.2. Bài toán động lực học thuận có điều khiển hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc 
mạch vòng ............................................................................................................. 67 
3.3. Động lực học thuận và khả năng điều khiển dao động cơ cấu bốn khâu có 
khâu nối đàn hồi..................................................................................................... 69 
3.3.1. Trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng phương 
pháp Ritz – Galerkin........................................................................................... 70 
3.3.1.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn........................................................... 70 
3.3.1.2. Cơ cấu có thanh truyền chỉ chịu uốn .................................................. 72 
3.3.1.3. Cơ cấu có thanh truyền đồng thời chịu uốn và kéo nén ...................... 77 
3.3.2. Trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng phương 
pháp phần tử hữu hạn – FEM ............................................................................. 88 
3.3.2.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn........................................................... 88 
3.3.2.2. Cơ cấu có thanh truyền chỉ chịu uốn .................................................. 88 
3.3.2.3. Cơ cấu có thanh truyền đồng thời chịu uốn và kéo nén ...................... 92 
3.4. Động lực học thuận và khả năng điều khiển dao động cơ cấu sáu khâu bản 
lề có hai thanh truyền đàn hồi................................................................................. 95 
3.4.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn.................................................................. 96 
3.4.2. Cơ cấu có hai thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc trục................................ 99 
3.4.3. Cơ cấu có hai thanh truyền chỉ chịu uốn ................................................. 104 
Kết luận chương 3................................................................................................ 107 
CHƯƠNG 4. TUYẾN TÍNH HÓA VÀ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TUẦN 
HOÀN CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ KHÂU ĐÀN HỒI ......................................... 108 
4.1. Một phương pháp mới tuyến tính hóa các phương trình chuyển động của 
hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng...................................................................... 108 
4.2. Tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính 
hệ số tuần hoàn bằng phương pháp Newmark ...................................................... 114 
4.2.1. Cơ sở của phương pháp .......................................................................... 114 
4.2.2. Sử dụng phương pháp Newmark xác định điều kiện đầu dao động 
tuần hoàn cho hệ tuyến tính hệ số tuần hoàn..................................................... 115 
4.3. Phân tích dao động tuần hoàn cơ cấu bốn khâu có khâu nối đàn hồi .............. 118 
4.3.1. Trường hợp cơ cấu có khâu nối đàn hồi chỉ chịu uốn .............................. 118 
4.3.1.1. Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa luận án đề xuất ...................... 118 
4.3.1.2. Sử dụng phương pháp tách cấu trúc ................................................. 124 
4.3.2. Trường hợp cơ cấu có khâu nối đàn hồi chỉ chịu kéo nén dọc ................. 129 
4.4. Phân tích dao động tuần hoàn của cơ cấu sáu khâu với hai khâu nối đàn 
hồi chịu kéo nén................................................................................................... 135 
4.4.1. Trường hợp khâu dẫn quay á đều............................................................ 138 
4.4.2 Trường hợp khâu dẫn quay đều................................................................ 143 
Kết luận chương 4................................................................................................ 147 
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................ 148 
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN ................... 150 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 151 
PHỤ LỤC A 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 
Danh mục ký hiệu 
w(x,t) Chuyển vị uốn của thanh truyền tại vị trí x, ở thời điểm t 
u(x,t) Chuyển vị dọc của thanh truyền tại vị trí x, ở thời điểm t 
,i kX Y Các hàm dạng riêng biến dạng của thanh truyền đàn hồi 
,i kq p Các tọa độ suy rộng của biến dạng đàn hồi. 
Π Thế năng biến dạng đàn hồi 
T Động năng của cơ cấu 
*
kQ Lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng thứ k 
Qk Lực suy rộng của các lực không có thế ứng với tọa độ suy rộng thứ k 
s Véc tơ tọa độ suy rộng dư 
q Véc tơ tọa độ suy rộng độc lập 
qa Véc tơ tọa độ các khâu dẫn động (các tọa độ khớp chủ động) 
qe Các tọa độ suy rộng của biến dạng đàn hồi 
z Véc tơ tọa độ suy rộng phụ thuộc 
f Véc tơ các điều kiện ràng buộc 
n Tổng số tọa độ suy rộng dư 
f Tổng số tọa độ suy rộng độc lập 
r Tổng số tọa độ suy rộng phụ thuộc 
ηj Các tọa độ suy rộng 
λi Các nhân tử Lagrange 
φi Góc định vị khâu thứ i 
α, β Các hằng số ổn định hóa Baumgater 
,  Các hằng số của phương pháp Newmark 
kP, kD Các hệ số khuếch đại của bộ điều khiển PD 
IO Mômen quán tính lấy đối với trục qua O của khâu dẫn OA 
IC Mômen quán tính lấy đối với trục qua C của khâu bị dẫn BC 
 Phân bố khối lượng trên một đơn vị chiều dài 
E Môđun đàn hồi của vật liệu 
I Mômen quán tính mặt cắt ngang 
A Diện tích mặt cắt ngang 
mi Khối lượng khâu thứ i 
li Chiều dài khâu thứ i 
Danh mục các chữ viết tắt 
FEM Phương pháp phần tử hữu hạn 
PD Bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân (Propotional Derivative) 
PI Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân (Propotional-Integral) 
PID Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân – vi phân (Propotional-Integral–Derivative) 
PZT Cảm ứng áp điện (PbZrxTi1-xO3) 
LPM Phương pháp tham số tập trung (Lumped Parameter Method) 
AMM Phương pháp các dạng riêng giả định (Assumed Modes Method) 
DANH MỤC CÁC BẢNG 
Bảng 3.1. Thông số của cơ cấu bốn khâu ................................................................... 72 
Bảng 3.2. Thông số cơ cấu 6 khâu bản lề ................................................................... 98 
Bảng 4.1. Thông số cơ cấu bốn khâu [10,74] ........................................................... 127 
Bảng 4.2. Kết quả tính toán số ................................................................................. 127 
Bảng 4.3. Thông số cơ cấu bốn khâu [66] ................................................................ 133 
Bảng 4.4. Thông số cơ cấu 6 khâu bản lề [66].......................................................... 141 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 
Hình 1.1. Sơ đồ cơ cấu máy bào ngang ........................................................................3 
Hình 1.2. Sơ đồ động học cơ cấu 6 khâu ......................................................................3 
Hình 1.3. Tay máy hai bậc tự do ..................................................................................4 
Hình 1.4. Sơ đồ robot song song 6 bậc tự do có các chân là khâu đàn hồi ....................4 
Hình 1.5. Robot song song 3 bậc tự do – có các chân là khâu đàn hồi..........................4 
Hình 1.6 . Sơ đồ động học của hệ thống truyền động của máy ép kim loại...................5 
Hình 1.7 . Cơ cấu cam cần đẩy ....................................................................................5 
Hình 1.8. Khớp đàn hồi................................................................................................6 
Hình 1.9. Mô hình của các khâu đàn hồi trong cơ cấu cam ..........................................6 
Hình 2.1. Dầm hai đầu bản lề..................................................................................... 14 
Hình 2.2. Dầm hai đầu bản lề chịu kéo ...................................................................... 14 
Hình 2.3. Các bậc tự do của phần tử dầm................................................................... 15 
Hình 2.4. Rời rạc hóa bằng nhiều phần tử .................................................................. 16 
Hình 2.5. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề ..................................................................... 18 
Hình 2.6. Các bậc tự do của phần tử dầm................................................................... 31 
Hình 2.7. Sơ đồ cơ cấu sáu khâu bản lề...................................................................... 40 
Hình 2.8. Sơ đồ đặt hệ trục tương đối trên các khâu đàn hồi ...................................... 40 
Hình 3.1. Sơ đồ điều khiển tăng cường dạng PD........................................................ 68 
Hình 3.2. Xác định điều kiện đầu sơ bộ *20 , 
*
30 bằng vẽ hình .................................. 71 
Hình 3.3. Góc khâu dẫn. ......... cơ cấu rắn, ________ cơ cấu đàn hồi ............................ 74 
Hình 3.4. Góc khâu bị dẫn. .. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi ....................... 74 
Hình 3.5. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2 ... 1 2 1 2 4 1 41 4 42
1 2 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62
2
1 2 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62 1 1 1 1 1 2
sin 2
2 sin
cos sin cos
q l l C C q C q
l C q C C q C C q C q
l C q C C q C C q C q l l
 
 
   

    

 (0.18) 
+ Phương trình cho φ2: 
   
2
1 1 1 2 4 41 1 1 2 1 2 4 41
2
1 1 1 2 3 31 5 51 6 61 1 1 2 1 2 3 31 5 51 6 61
2
1 1 1 2 1 41 4 42 1 1 2 1 2 1 41 4 42
cos sin
2
sin cos
3
cos sin
2
T l
l C q l C q
l C q C q C q l C q C q C q
l
l C q C q l C q C q
l
  
  
  

 
 
  
    
   
   1 1 1 2 2 51 3 61 6 62 1 1 2 1 2 2 51 3 61 6 62sin cosC q C q C q l C q C q C q      
PL6 
2 2 2
2 33 31 55 51 66 61 35 31 51 36 31 61 56 51 61
2
3 2
2
2 4 41 44 41 1 1 1 2 4 41
1 1 1 2 3 31 5 51 6 61
41 34 31 45 51 46 61 3 31 5
2 2 2
2 cos
3 2
sin
T
m q m q m q m q q m q q m q q
l l
D q m q l C q
l C q C q C q
q m q m q m q D q D
 
  
 
 

 


 

   
51 6 61 34 41 31 45 41 51 46 41 61
2 2 2
2 22 51 33 61 66 62 23 51 61 26 51 62 36 61 62
3
2 2
2 11 41 44 42 1 41 4 42 1 41 4 42 14 41 42
2
1 1 1 2
2 2 2
7
2 2 2 2 2
3
3
cos
2
q D q m q q m q q m q q
m q m q m q m q q m q q m q q
l
m q m q lC q lC q D q D q m q q
l
l
 
 
 
   



   
 
1 41 4 42
1 1 1 2 2 51 3 61 6 62
41 12 51 13 61 16 62 42 42 51 43 61 46 62
2 51 3 61 6 62 2 51 3 61 6 62
12 41 51 13 41 61 16 41 62 42 42 51 43 42
sin
C q C q
l C q C q C q
q m q m q m q q m q m q m q
l C q C q C q D q D q D q
m q q m q q m q q m q q m q
 
 
 
 

 
     
     61 46 42 62q m q q 
2 2 2
2 33 31 55 51 66 61 35 31 51 36 31 61 56 51 61
2
33 31 31 55 51 51 66 61 61 35 31 51 35 31 51 36 31 61
2
36 31 61 56 51 61 56 51 61
3
2
2 2 2
2
3
d T
m q m q m q m q q m q q m q q
dt
m q q m q q m q q m q q m q q m q q
m q q m q q m q q
l
 
 
 
 
  


     

  
 
  
2
2
4 41 44 41 1 1 1 2 4 41
2
2 41 4 44 41 1 1 1 2 1 2 4 41 1 4 41 1 1 2
1 1 1 2 3 31 5 51 6 61 1 1 1 2 1 2 3 31 5 51 6 6
2 cos
2
2 sin cos
2
sin cos
l
D q m q l C q
l
q D m q l C q l C q
l C q C q C q l C q C q C q
 
   
  

     
    
 
  
1
1 1 1 2 3 31 5 51 6 61 41 34 31 45 51 46 61
3 31 5 51 6 61 34 41 31 45 41 51 46 41 61
41 34 31 45 51 46 61 34 41 31 45 41 51 46 41 61
2 22
sinl C q C q C q q m q m q m q
D q D q D q m q q m q q m q q
q m q m q m q m q q m q q m q q
m q
 

 
 
    
     
         
 2 2 2
51 33 61 66 62 23 51 61 26 51 62 36 61 62
22 51 51 33 61 61 66 62 62 23 51 61 23 51 61 26 51 62
2
26 51 62 36 61 62 36 61 62
3
2 2
2 11 41 44 42 1 41
2 2 2
2
7
2
3
m q m q m q q m q q m q q
m q q m q q m q q m q q m q q m q q
m q q m q q m q q
l
m q m q lC q
 
 
     

  

 
4 42 1 41 4 42 14 41 42
2 11 41 41 44 42 42 1 41 4 42 1 41 4 42 14 41 42 14 41 42
2 2
1 1 1 2 1 41 4 42 1 1 1 2 1 2 1 41 4 42
2 2 2 2
2
3 3
cos sin
2 2
lC q D q D q m q q
m q q m q q lC q lC q D q D q m q q m q q
l l
l C q C q l C q C q
 
  
        
   
   
1 1 1 2 1 41 4 42 1 1 1 2 2 51 3 61 6 62
1 1 1 2 2 51 3 61 6 62 1 1 1 2 1 2 2 51 3 61 6 62
41 12 51 13 61 16 62 42 42 51 43 61 46 62
41 12
cos sin
sin cos
l C q C q l C q C q C q
l C q C q C q l C q C q C q
q m q m q m q q m q m q m q
q m q
  
  
 

  
     
 
  
   
   
51 13 61 16 62 42 42 51 43 61 46 62
2 51 3 61 6 62 2 51 3 61 6 62
12 41 51 13 41 61 16 41 62 42 42 51 43 42 61 46 42 62
12 41 51 13 41 61 1
m q m q q m q m q m q
l C q C q C q D q D q D q
m q q m q q m q q m q q m q q m q q
m q q m q q m

 
 

     
     
     
      6 41 62 42 42 51 43 42 61 46 42 62q q m q q m q q m q q        
 1 21 2 2 4 2 1 2 4 2 2
2 2
sin . cos .
f f
l q l q   
 
 
; 
2
0Q 
2
0



PL7 
Thay vào (0.17) thu được phương trình viết cho 2 :
2
1 1 1 2 4 1 41 4 42 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62
2 2 2 2
2 33 31 55 22 51 66 33 61 35 31 51 36 31 61 56 23 51 61 66 62
3
26 51 62 36 61 62 4 1 1 41 44
cos 2 sin
2 2 2
8
2 2 2
3
l l C C q C q C q C C q C C q C q
m q m m q m m q m q q m q q m m q q m q
l
m q q m q q D D lC q m
 
 


2 2
11 41 44 42 4 4 14 41 42
34 41 3 31 41 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62
2 2 12 41 42 42 5 45 41 51 3 3 13 41 43 42 6 46 41 61
42 42 51 43 61 46 62 6
2m q m q lC D m q q
m q D q q m q m m q m m q m q
lC D m q m q D m q q lC D m q m q D m q q
q m q m q m q lC
 
 
 
 
 
 
  
6 16 41 46 42 62
2 33 31 35 51 36 61 31 55 51 35 31 56 61 51 66 61 36 31 56 51 61
2 2
2 41 4 44 41 1 1 1 2 4 1 41 4 42
2
1 1 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61
2
2 sin 2
cos
D m q m q q
m q m q m q q m q m q m q q m q m q m q q
q D m q l l C C q C q
l C q C C q C C q C
 
  
 

   
 
 
6 62
2 22 51 23 61 26 62 51 33 61 23 51 36 62 61 66 62 26 51 36 61 62
2 11 41 1 1 14 42 41 44 42 4 4 14 41 42
2 42 2 1 2 42 2 2
2
2
sin cos
q
m q m q m q q m q m q m q q m q m q m q q
m q lC D m q q m q lC D m q q
l q l q
 
 
  
   
  
 (0.19) 
+ Phương trình viết cho 3 : 
 3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l    (0.20) 
+ Phương trình viết cho q31: 
2
2 33 31 35 51 36 61 1 3 1 2 1 2 34 41 2
31
33 31 35 51 36 61 1 3 1 1 2 2 3 34 41
31
sin
cos
T
m q m q m q l C m q
q
T
m q m q m q l C D m q
q
   
   




   
   

1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2
31
2 3 34 41 34 2 41 33 31 35 51 36 61
cos sin
d T
l C l C
dt q
D m q m q m q m q m q
  
  
 
 
   

     
33 31 35 51 36 61
31
k q k q k q
q


; 
1 2
1 2
31 31
0
f f
q q
 
 
 
; 
31
0qQ 
Thay vào (0.17) thu được phương trình viết cho q31: 
1 3 1 1 2 2 3 34 41 33 31 35 51 36 61
2 2
1 3 1 1 2 34 2 41 2 33 31 35 51 36 61
33 31 35 51 36 61
cos
sin 2
0
l C D m q m q m q m q
l C m q m q m q m q
k q k q k q
  
   
    
   (0.21) 
+ Phương trình viết cho q41: 
PL8 
2
2 4 44 11 41 1 1 14 42 1 4 1 1 2 1 2
41
2 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62
44 11 41 14 42 1 1 1 2 4 1
41
2 34 31 45 12 51 46 13 61 16
cos
sin
T
D m m q lC D m q l C C
q
m q m m q m m q m q
T
m m q m q l C C
q
m q m m q m m q m q
  
 
  
 

 


  
    
 

 62
44 11 41 14 42 1 1 1 2 4 1
41
1 1 1 2 1 2 4 1
2 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62
2 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62
sin
cos
d T
m m q m q l C C
dt q
l C C
m q m m q m m q m q
m q m m q m m q m q
  
 
 
 
 
 
 

  

    
 11 44 41 14 42
41
H H q H q
q


; 
1 2
1 2
41 41
0
f f
q q
 
 
 
; 
41
0qQ 
Thay vào (0.17) thu được phương trình viết cho q41: 
1 1 1 2 4 1 2 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62
2
44 11 41 14 42 1 1 1 2 4 1
2 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62
2
2 4 44 11 41 1 1 14 42 11 44 41
sin
cos
2
l C C m q m m q m m q m q
m m q m q l C C
m q m m q m m q m q
D m m q lC D m q H H q
  
  
 
 
 
 
    

14 42 0H q 
(0.22) 
+ Phương trình viết cho q51: 
2
2 55 22 51 35 31 56 23 61 26 62 1 5 2 1 2 1 2
51
45 12 41 2 42 42 2
55 22 51 35 31 56 23 61 26 62 1 5 2 1 1 2
51
2 5 45 41 2 2 2 2 2
sin
cos
T
m m q m q m m q m q l C C
q
m m q m q
T
m m q m q m m q m q l C C
q
D m q lC D
  
  
  
    




  
  
   

   
12 41 2 42 42m q m q 
55 22 51 35 31 56 23 61 26 62 1 5 2 1 1 2
51
1 5 2 1 1 2 1 2 2 5 45 41 45 41 2 2 2 2 2
2 12 41 2 42 42 12 2 41 2 42 4
cos
sin
d T
m m q m q m m q m q l C C
dt q
l C C D m q m q lC D
m q m q m q m q
  
     
    
 
 
   

      
    
2
 22 55 51 35 31 56 23 61 26 62
51
k k q k q k k q k q
q


; 
1 2
1 2
51 51
0
f f
q q
 
 
 
; 
51
0qQ 
Thay vào (0.17) thu được phương trình viết cho q51: 
PL9 
1 5 2 1 1 2 2 2 2 12 41 42 42 5 45 41
55 22 51 35 31 56 23 61 26 62
2
1 5 2 1 1 2 45 12 2 41 2 42 42
2
2 55 22 51 35 31 56 23 61 26 62
22 4
cos
sin 2 2
l C C lC D m q m q D m q
m m q m q m m q m q
l C C m m q m q
m m q m q m m q m q
k k
  

   
 
 
   
   

 4 51 35 31 56 23 61 26 62 0q k q k k q k q 
 (0.23) 
+ Phương trình viết cho q61: 
2
2 66 33 61 36 31 56 23 51 36 62
61
1 6 3 1 2 1 2 46 13 41 2 43 42 2sin
T
m m q m q m m q m q
q
l C C m m q m q
 
   

 

    
 
66 33 61 36 31 56 23 51 36 62 1 6 3 1 1 2
61
2 6 46 41 3 3 13 41 43 42
cos
T
m m q m q m m q m q l C C
q
D m q lC D m q m q
  
 

 
   


   
66 33 61 36 31 56 23 51 36 62
61
1 6 3 1 1 2 1 6 3 1 1 2 1 2
2 6 46 41 3 3 13 41 43 42 2 46 41 13 41 43 42
cos sin
d T
m m q m q m m q m q
dt q
l C C l C C
D m q lC D m q m q m q m q m q

  
  
 
  
   

   
    
 33 66 61 36 31 56 23 51 36 62
61
k k q k q k k q k q
q


; 
1 2
1 2
61 61
0
f f
q q
 
 
 
; 
61
0qQ 
Thay vào (0.17) thu được phương trình viết cho q61: 
  
  
1 6 3 1 1 2 2 6 46 41 3 3 13 41 43 42
66 33 61 36 31 56 23 51 36 62
2
1 6 3 1 1 2 2 46 41 13 41 43 42
2
2 66 33 61 36 31 56 23 51 36 62
cos
sin 2
l C C D m q lC D m q m q
m m q m q m m q m q
l C C m q m q m q
m m q m q m m q m q
  

  
 
 
   
    

 33 66 61 36 31 56 23 51 36 62 0k k q k q k k q k q 
 (0.24) 
+ Phương trình viết cho q42: 
   
  
2
2 44 42 4 4 14 41 1 4 1 2 1 2 2 42 51 43 61 46 62
42
44 42 14 41 1 4 1 1 2 2 42 51 43 61 46 62
42
cos
sin
T
m q lC D m q l C m q m q m q
q
T
m q m q l C m q m q m q
q
   
   




      
  

  
44 42 14 41 1 4 1 1 2 1 4 1 1 2 1 2
42
2 42 51 43 61 46 62 2 42 51 43 61 46 62
sin cos
d T
m q m q l C l C
dt q
m q m q m q m q m q m q
   
  
 
 
    

    
44 42 14 41
42
H q H q
q


; 
PL10 
1 2
1 2 1 2 2 2
42 42
cos sin
f f
q q
    
 
 
; 
42
0qQ 
Thay vào (0.17) thu được phương trình viết cho q42: 
  
 
1 4 1 1 2 2 42 51 43 61 46 62 44 42 14 41
2
1 4 1 1 2 2 42 51 43 61 46 62
2
2 44 42 4 4 14 41 44 42 14 41 1 2 2 2
sin
cos 2
cos sin
l C m q m q m q m q m q
l C m q m q m q
m q lC D m q H q H q
  
  
   
   
    

 (0.25) 
+ Phương trình viết cho q62: 
  
  
2
2 66 62 26 51 36 61 1 6 1 2 1 2 16 41 2 46 42 2
62
66 62 26 51 36 61 1 6 1 1 2 6 6 16 41 46 42 2
62
sin
cos
T
m q m q m q l C m q m q
q
T
m q m q m q l C lC D m q m q
q
    
   




     
   

  
66 62 26 51 36 61 1 6 1 1 2 1 6 1 1 2 1 2
62
6 6 16 41 46 42 2 16 41 46 42 2
cos sin
d T
m q m q m q l C l C
dt q
lC D m q m q m q m q
   
  
 
 
     

  
66 62 26 51 36 61
62
k q k q k q
q


; 
1 2
1 2
62 62
0
f f
q q
 
 
 
; 
62
0qQ 
Thay vào (0.17) thu được phương trình viết cho q62: 
  
 
1 6 1 1 2 6 6 16 41 46 42 2
2
66 62 26 51 36 61 1 6 1 1 2 2 16 41 46 42
2
2 66 62 26 51 36 61 66 62 26 51 36 61
cos
sin 2
0
l C lC D m q m q
m q m q m q l C m q m q
m q m q m q k q k q k q
  
   
 
 
     

 (0.26) 
Như vậy ta có 9 phương trình vi phân chuyển động và 2 phương trình liên kết. Với các 
hệ số: 
2 2
1 2 3 4 5 6; ; ; ; ;
2 2 12 2 2 12
l l l l l l
C C C C C C . 
2 2 3 2 2 3
1 2 3 4 5 6
3 7
; ; ; ; ;
6 20 30 3 20 20
l l l l l l
D D D D D D . 
3 3
11 22 33 44 55 66
13 13
; ; ; ; ;
3 35 105 3 35 105
l l l l l l
m m m m m m . 
2 2 2
12 13 14 15 16 21 12 23 24
7 3 11 3
; ; ; ; ; ; ;
20 20 6 20 30 210 20
l l l l l l l
m m m m m m m m m 
2 2 2 3
25 26 31 13 32 23 34 35 36
9 13 13
; ; ; ; ; ;
70 420 30 420 140
l l l l l
m m m m m m m m m 
2 2
41 14 42 24 43 34 45 46 56
7 11
; ; ; ; ;
20 20 210
l l l
m m m m m m m m m 
PL11 
22 33 55 66 23 26 353 3 2 2 2
12 4 12 4 6 6 6
; ; ; ; ; ;
EI EI EI EI EI EI EI
k k k k k k k
l l l l l l l
36 56 11 44 142
2 6
; ; ; ;
EI EI EA EA EA
k k H H H
l l l l l
A.2. Bài toán phân tích động lực học thuận 
 Tương tự như mục 3.3.2.3 thực hiện tính toán động lực học thuận cho cơ cấu 
bốn khâu với thanh truyền đàn hồi sử dụng phương pháp FEM với 1 phần tử. Phần này 
thực hiện tính toán tương tự với thanh truyền đàn hồi sử dụng phương pháp FEM với 
2 phần tử. 
A.2.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn 
 Trong trường hợp này, việc mô phỏng số tương tự như mục 3.3.1.1 và cũng 
mô phỏng song song với trường hợp khâu bị biến dạng. Mômen τ(t) tác dụng vào khâu 
dẫn: 
 0
sin(2 / )
( )
0
m m
m
t T t T
t
t T
 
 (0.27) 
A.2.2. Cơ cấu có thanh truyền đồng thời chịu uốn và kéo nén 
a) Bài toán động lực học thuận 
 Phương trình động lực học của cơ cấu có thanh truyền đàn hồi từ (0.18) đến 
(0.26) cùng với hai phương trình liên kết (0.12) viết lại ta có: 
1( ) ( ) ( , , )
T
s t M s s Φ s λ p s s  (0.28) 
 f(s) = 0 (0.29) 
Trong đó  1 2 3 31 41 51 61 42 62
T
q q q q q q s là hệ tọa độ suy rộng dư, 
 1 31 41 51 61 42 62
T
q q q q q q q là các tọa độ độc lập,  2 3
T
 z là các tọa độ phụ 
thuộc,  1 2
T
λ λ λ là nhân tử Lagrange. 
Các ma trận: 
1 1 2 42 2 3 3 0
1 1 2 42 2 3 3
cos cos cos
sin sin sin
l l q l l
l l q l
f 
1 1 2 42 2 3 3 2
1 1 2 42 2 3 3 2
sin sin sin 0 0 0 0 cos 0
cos cos cos 0 0 0 0 sin 0s
l l q l
l l q l
 
  
f
Φ
s
1 1 1 2 42 2 2 42 2 3 3 3 2 2
1 1 1 2 42 2 2 42 2 3 3 3 2 2
cos cos sin cos 0 0 0 0 sin 0
sin sin cos sin 0 0 0 0 cos 0s
l l q q l
l l q q l
Φ
   
    
sΦp  s2 
2
2 2 2 s  p p Φ s f  
PL12 
*) Điều kiện đầu: 
Điều kiện đầu được chọn tương tự mục 3.3.2.3 để so sánh kết quả tính toán: 
+ Góc khâu dẫn ban đầu: φ10 = 90o (điều kiện đầu sơ bộ của góc các khâu còn lại 
20 39
sb oφ , 30 124
sb oφ ) 
+ Biến dạng ban đầu được chọn q31(0) = q41(0) = q51(0)= q61(0) = q42(0) = q62(0) = 0 
và vận tốc của nó 31 41 51 61 42 620 0 0 0 0 0 0q q q q q q       . 
*) Tính toán mô phỏng số: 
 Mô phỏng số được thực hiện với mômen phát động được đặt vào khâu dẫn giống 
như các trường hợp sử dụng 1 phần tử hữu hạn. Biên độ mômen phát động τ0=0.03 
Nm, Tm = 1s. Thông số cơ cấu như Bảng 3.1. 
p
h
i1
 [
ra
d
]
Time[s]
0 1 2 3 4 5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Hình A.4. Vận tốc góc khâu bị dẫn. 
.. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi 
Hình A.3. Vận tốc góc khâu dẫn. 
...... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn hồi 
Hình A.2. Góc khâu bị dẫn. 
.. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi 
Hình A.1. Góc khâu dẫn. 
...... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn hồi 
PL13 
Hình A.5. Độ võng tương đối của 
khâu đàn hồi tại x = l2/2 
Hình A.6. Chuyển vị dọc tương 
đối của khâu đàn hồi