Luận án Phân tích dao động và chẩn đoán vết nứt dầm fgm

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
 VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
--------------------------------- 
NGUYỄN NGỌC HUYÊN 
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN 
VẾT NỨT DẦM FGM 
Kiến nghị chỉnh sửa tên luận án thành: 
“Phân tích phổ dao động của dầm FGM có vết nứt” 
LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT 
HÀ NỘI – 2017 
 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
 VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
--------------------------------- 
NGUYỄN NGỌC HUYÊN 
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN 
VẾT NỨT DẦM FGM 
LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT 
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
Mã số: 62 52 01 01 
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: 
 1. GS.TSKH. NGUYỄN TIẾN KHIÊM 
 2. TS. NGUYỄN ĐÌNH KIÊN 
HÀ NỘI – 2017 
i 
LỜI CẢM ƠN 
Tôi xin chân thành cám ơn các thầy hướng dẫn khoa học, GS. TSKH. Nguyễn 
Tiến Khiêm và TS. Nguyễn Đình Kiên đã tận tâm hướng dẫn khoa học, động viên và 
giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này. 
Tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn tới sự quan tâm của Viện Cơ học, đặc biệt là các 
đồng nghiệp trong Phòng Chẩn đoán kỹ thuật và sự ủng hộ của bạn bè đã giúp đỡ và 
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm luận án. 
Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn đến Trường Đại học Thuỷ lợi, Khoa Cơ khí 
và gia đình đã động viên ủng hộ tôi trong thời gian làm luận án. 
Tác giả luận án 
 Nguyễn Ngọc Huyên 
ii 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả 
nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình 
nào khác. 
 Tác giả luận án 
 Nguyễn Ngọc Huyên 
iii 
MỤC LỤC 
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................................i 
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................... ii 
MỤC LỤC. ................................................................................................................ iii 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ..................................................... v 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ...................................................................................... vii 
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ................................................................................. xii 
MỞ ĐẦU. ................................................................................................................ 1 
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ........................................................................................... 4 
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) ........................................................................ 4 
1.1.1. Vật liệu FGM ................................................................................................. 4 
1.1.2. Phân loại vật liệu FGM .................................................................................. 5 
1.1.3. Ứng dụng vật liệu FGM ................................................................................. 6 
1.2. Tổng quan về dao động của dầm FGM ................................................................ 6 
1.2.1. Tóm lƣợc về lý thuyết dầm ............................................................................ 6 
1.2.2. Tổng quan về các phƣơng pháp nghiên cứu dao động của dầm FGM .......... 7 
1.2.3. Dầm FGM có vết nứt ................................................................................... 11 
1.3. Định hƣớng nghiên cứu ...................................................................................... 15 
CHƢƠNG 2. DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM TIMOSHENKO CÓ VẾT NỨT .......... 18 
2.1. Phƣơng trình chuyển động [28] .......................................................................... 19 
2.2. Các đặc trƣng dao động của dầm FGM .............................................................. 20 
2.2.1. Tần số và dạng dao động riêng ..................................................................... 20 
2.2.2. Ma trận truyền – Đáp ứng tần số .................................................................. 22 
2.2.3. Ma trận độ cứng động [41] ........................................................................... 25 
2.3. Dao động của dầm FGM có vết nứt [26] ............................................................ 26 
2.3.1. Mô hình vết nứt trong dầm FGM ................................................................. 26 
2.3.2. Phƣơng trình đặc trƣng ................................................................................. 28 
2.3.3. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM ................................................ 31 
Kết luận Chƣơng 2 ..................................................................................................... 35 
CHƢƠNG 3. SỰ TƢƠNG TÁC GIỮA DAO ĐỘNG DỌC TRỤC VÀ DAO ĐỘNG 
UỐN TRONG DẦM FGM ..................................................................... 36 
3.1. Điều kiện không tƣơng tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn ................ 36 
iv 
3.2. Dao động uốn thuần túy của dầm FGM ............................................................. 41 
3.3. Các đặc trƣng sóng của dầm FGM ..................................................................... 48 
Kết luận Chƣơng 3 ..................................................................................................... 55 
CHƢƠNG 4. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN .......................................................... 57 
4.1. Tần số và dạng dao động riêng ........................................................................... 57 
4.2. Hàm đáp ứng tần số ............................................................................................ 64 
4.3. Ảnh hƣởng của vết nứt đến tần số và dạng dao động riêng ............................... 71 
4.3.1. So sánh nghiên cứu ...................................................................................... 71 
4.3.2. Ảnh hƣởng của vết nứt đến tần số riêng ...................................................... 75 
4.4. Lời giải bài toán chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng ........................................ 85 
Kết luận Chƣơng 4 ..................................................................................................... 86 
KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................................... 88 
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ HOÀN THÀNH VÀ ĐƢỢC CÔNG BỐ .............. 89 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 90 
v 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 
E, Eb, Et, E0 = (Et + Eb)/2 – là mô đun đàn hồi của các pha vật liệu, (t – mặt trên, b – 
mặt dƣới). 
Re = Et/Eb – là tỷ số mô đun đàn hồi của các pha vật liệu (trên/dƣới). 
 , t, b, 0 = ( t + b)/2 – là mật độ khối của các pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt 
dƣới). 
R = t/ b – là tỷ số mật độ khối của các pha vật liệu (trên/dƣới). 
G, Gb, Gt, 
2(1 )
E
G

– là mô đun trƣợt tính từ mô đun đàn hồi của các pha vật liệu. 
L, b, h – là chiều dài, chiều rộng, và chiều cao của dầm. 
 - là hệ số Poisson. 
 - là hệ số điều chỉnh biến dạng trƣợt. 
r = Re/R - là hệ số tỷ lệ của vật liệu. 
h0 – là vị trí trục trung hòa tính từ trục giữa của dầm. 
n – là chỉ số phân bố vật liệu (số mũ trong quy luật hàm lũy thừa). 
0
12
( 1) 2
( 2)( 1)( ) ( 1)
n R h
I
n n R n h n
 - là hệ số tƣơng tác. 
u(x, t), w(x, t) – là chuyển vị của điểm nằm trên mặt trung hòa. 
(x, t) – là góc xoay của tiết diện ngang. 
U(x, ), W(x, ), Θ(x, ) – là biến đổi Phuriê (biên độ phức) của chuyển vị và góc 
xoay. 
N(x, t), M(x, t), Q(x, t) – là lực dọc trục, mô men uốn và lực cắt của mặt cắt tại vị trí x. 
( , ), ( , ), ( , )N x M x Q x   – là biên độ phức của nội lực. 
λj – là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng. 
kj – là số sóng. 
j, 
2
j b
j
b
L
h E
 
 – là tần số riêng và tần số riêng chuẩn hóa. 
e, a – là vị trí và độ sâu vết nứt. 
T, R – là độ cứng lò xo dọc trục và lò xo xoắn mô tả vết nứt. 
vi 
1 2
,
EA EI
T R
  - là độ lớn vết nứt đƣợc tính từ độ sâu vết nứt. 
0 0
10 20
,
E A E I
T R
  - là độ lớn vết nứt của dầm đồng chất. 
,aa bbh h , hab, hba - lần lƣợt là các hàm đáp ứng tần số đơn (với các chỉ số aa và bb) và 
chéo (với các chỉ số ab và ba) của dao động dọc trục (a) và dao động 
uốn (b). 
FGM – vật liệu cơ tính biến thiên nói chung (Functionally Graded Material). 
P-FGM – vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa. 
S-FGM – vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm Sigmoid. 
E-FGM – vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm số mũ. 
PGF Beam – ký hiệu dầm FGM tỷ lệ (khi R = Re). 
B0, BL – là toán tử biểu diễn điều kiện biên động học. 
vii 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 
Hình 1.1. Sơ đồ hình học một tấm vật liệu FGM đặc trƣng thay đổi theo chiều dày. .... 5 
Hình 2.1. Mô hình dầm FGM. ....................................................................................... 18 
Hình 2.2. Mô hình dầm FGM có vết nứt. ...................................................................... 26 
Hình 2.3. Mô hình vết nứt trong dầm FGM. ................................................................. 27 
Hình 3.1. Vị trí trục trung hoà phụ thuộc vào số mũ n với các giá trị tỷ số mô đun đàn 
hồi khác nhau. .............................................................................................. 37 
Hình 3.2. Vị trí trục trung hoà phụ thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi với các số mũ n 
khác nhau. .................................................................................................... 37 
Hình 3.3. Hệ số tƣơng tác I12 là hàm của vị trí trục trung hoà với n = 4 và các tỷ số mật 
độ khối khác nhau. ....................................................................................... 39 
Hình 3.4. Hệ số tƣơng tác I12 là hàm của vị trí trục trung hoà với r = 10 và các chỉ số 
mũ n khác nhau. ........................................................................................... 40 
Hình 3.5. Tần số cắt chuẩn hoá độc lập phụ thuộc phụ thuộc tỷ số r với các chỉ số phân 
bố vật liệu n khác nhau. ............................................................................... 44 
Hình 3.6. Tần số cắt chuẩn hoá độc lập phụ thuộc phụ thuộc vào tỷ số r với các giá trị 
của độ mảnh L/h khác nhau của dầm. ......................................................... 45 
Hình 3.7. Tần số riêng chuẩn hoá độc lập của dần FGM phụ thuộc vào tỷ số r với các 
giá trị n khác nhau. ...................................................................................... 46 
Hình 3.8. Tần số riêng chuẩn hoá độc lập của dần FGM phụ thuộc vào tỷ số r với các 
giá trị của độ mảnh L/h khác nhau. ............................................................. 46 
Hình 3.9. Dạng dao động thứ nhất phụ thuộc vào độ mảnh L/h của dầm. .................... 47 
Hình 3.10. Dạng dao động thứ hai phụ thuộc vào độ mảnh L/h của dầm. .................... 47 
Hình 3.11. Dạng dao động thứ ba phụ thuộc vào độ mảnh L/h của dầm. ..................... 47 
Hình 3.12. Đặc trƣng phổ của sóng dọc trục với chỉ số phân bố vật liệu n thay đổi, độ 
mảnh L/h = 5. ............................................................................................... 50 
Hình 3.13. Đặc trƣng phổ của sóng dọc trục với n =10 và các độ mảnh khác nhau. .... 50 
viii 
Hình 3.14. Đặc trƣng phổ của sóng uốn khi L/h = 5 và các chỉ số phân bố vật liệu n 
khác nhau. .................................................................................................... 51 
Hình 3.15. Đặc trƣng phổ của sóng uốn khi n = 10 và các độ mảnh khác nhau của dầm.
 ..................................................................................................................... 51 
Hình 3.16. Đặc trƣng phổ của sóng ngang với L/h = 5 và các chỉ số phân bố vật liệu n 
khác nhau. .................................................................................................... 52 
Hình 3.17. Đặc trƣng phổ của sóng ngang với n = 5 và các độ mảnh khác nhau của 
dầm. ............................................................................................................. 52 
Hình 3.18. Tần số cắt phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu với sự thay đổi của tỷ số 
mô đun đàn hồi của vật liệu. ........................................................................ 53 
Hình 3.19. Tần số cắt phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu với sự thay đổi của tỷ số 
mật độ khối. ................................................................................................. 54 
Hình 3.20. Hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu với sự thay đổi của 
tỷ số mô đun đàn hồi của vật liệu. ............................................................... 54 
Hình 3.21. Hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu với sự thay đổi của 
tỷ số mật độ khối lƣợng. .............................................................................. 55 
Hình 4.1. Sự thay đổi của các tần số riêng chuẩn hoá theo tỉ số mô đun đàn hồi với các 
số mũ n khác nhau. ...................................................................................... 59 
Hình 4.2. Sự thay đổi của các tần số riêng chuẩn hoá theo tỷ số mật độ khối với các số 
mũ n khác nhau. ........................................................................................... 59 
Hình 4.3. Sự biến thiên của tần số riêng chuẩn hóa thứ nhất (uốn) theo số mũ n với các 
giá trị độ mảnh L/h khác nhau. .................................................................... 60 
Hình 4.4. Sự biến thiên của các tần số riêng chuẩn hóa thứ ba (dọc trục) theo số mũ n 
với các giá trị độ mảnh L/h khác nhau. ....................................................... 60 
Hình 4.5. Các tần số riêng đƣợc chuẩn hoá theo sự thay đổi vị trí của trục trung hoà 
với các số mũ n khác nhau. ......................................................................... 61 
Hình 4.6. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 5. ...... 62 
Hình 4.7. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 10. .... 62 
ix 
Hình 4.8. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 20. .... 63 
Hình 4.9. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 30. .... 63 
Hình 4.10. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 100. 64 
Hình 4.11. Hàm đáp ứng tần số đơn dọc trục với các tỉ số độ mảnh khác nhau. .......... 65 
Hình 4.12. Hàm đáp ứng tần số đơn uốn với các tỷ số độ mảnh khác nhau. ................ 65 
Hình 4.13. Hàm đáp ứng tần số chéo dọc trục-uốn với tỉ số độ mảnh khác nhau. ........ 66 
Hình 4.14. Hàm đáp ứng tần số chéo uốn-dọc trục với tỉ số độ mảnh khác nhau. ........ 66 
Hình 4.15. Hàm đáp ứng tần số đơn uốn với các chỉ số phân bố vật liệu n khác nhau. 67 
Hình 4.16. Hàm đáp ứng tần số dọc đơn trục với các chỉ số phân bố vật liệu n khác 
nhau. .............................................................. ... n số tổng quát cho các điều 
kiện biên khác nhau và biểu thức của dạng riêng; Đã phân tích chi tiết ảnh 
hƣởng của các tham số vật liệu đến các đặc trƣng dao động của dầm. Đã 
xác định đƣợc các điểm nút tần số, khi vết nứt xuất hiện tại đó không làm 
thay đổi tần số. Các điểm nút tần số này hầu nhƣ không phụ thuộc vào các 
đặc trƣng vật liệu. 
2. Đã tìm đƣợc điều kiện để dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM 
hoàn toàn độc lập nhau. Từ đó có thể nghiên cứu các dạng dao động uốn và 
dọc trục tách rời nhau. Các dầm FGM thỏa mãn điều kiện không tƣơng tác 
giữa dao động dọc trục và dao động uốn đƣợc gọi là dầm FGM tỷ lệ, bao hàm 
cả dầm đồng nhất cổ điển. 
3. Đã thiết lập bài toán dao động riêng của dầm FGM có một vết nứt, sử dụng 
mô hình lò xo kép (dọc trục và xoay) cho vết nứt. Ở đây đã phân tích chi tiết 
ảnh hƣởng của vết nứt cùng với các tham số vật liệu đến tần số riêng. 
4. Đã thiết lập và giải bài toán chẩn đoán một vết nứt trong dầm FGM bằng 3 tần 
số riêng. Các phƣơng trình chẩn đoán đã đƣợc thiết lập một cách tƣờng minh. 
Do đó tính không chỉnh của bài toán ngƣợc đã đƣợc khắc phục để nhận đƣợc 
kết quả chính xác cả về vị trí lẫn độ sâu của vết nứt. 
Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian, còn nhiều vấn đề cần phải nghiên cứu tiếp, cụ 
thể là: 
1. Cần phải nghiên cứu kỹ sự tƣơng tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn 
phụ thuộc vào các đặc trƣng vật liệu và nghiên cứu chi tiết hơn nữa lớp dầm 
FGM tỷ lệ; 
2. Bài toán dao động cƣỡng bức của dầm FGM trong miền tần số, trong đó các tải 
trọng có thể là các kích động di động hay kích động tần số cao; 
3. Bài toán chẩn đoán đa vết nứt trong dầm FGM bằng tần số riêng hay các 
đặc trƣng động lực học khác của dầm nhƣ dạng dao động riêng, hàm đáp 
ứng tần số. 
89 
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ HOÀN THÀNH VÀ ĐƢỢC CÔNG BỐ 
1. Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Đình Kiên, Nguyễn Ngọc Huyên (2014). Lý thuyết 
dao động của dầm FGM trong miền tần số. Hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 35 
năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2014, pp.93-98. 
2. N. T. Khiem, N. N. Huyen (2015). On the neutral axis of functionally graded 
beams. Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 2015, pp.164-169. 
3. N. T. Khiem, N. N. Huyen (2016). A method for crack identification in 
functionally graded Timoshenko beam. Journal of Nondestructive Testing and 
Evaluation, Published online: 17 Oct 2016. DOI: 
10.1080/10589759.2016.1226304. 
4. Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Khiem (2016). Uncoupled vibrations in 
functionally graded Timoshenko beam. Journal of Science and Technology, V. 54, 
No. 6, pp.785-796. 
5. Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Khiem (2017). Frequency analysis of cracked 
functionally graded cantilever beam. Journal of Science and Technology, V. 55, 
No. 2, pp.229-243. 
6. N.N. Huyen, N.T. Khiem (2017). Modal analysis of functionally graded 
Timoshenko beam. Vietnam Journal of Mechanics, V. 39, No. 1, pp. 1-19. 
DOI:10.15625/0866-7136/7582. 
7. N. T. Khiem, N. N. Huyen, N. T. Long (2017). Vibration of cracked Timoshenko 
beam made of functionally graded material. Proceeding of the 35
th
 International 
modal analysis Conference, USA. Jan 30 – Feb 2, 2017 (to be published in 5/2017). 
90 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Lê Thị Hà (2016), "Phân tích kết cấu dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dƣới 
tác dụng của tải trọng di động", Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật. Học viện Khoa học 
và Công nghệ. 
2. Phí Thị Hằng (2016), "Phƣơng pháp phổ tần số trong nghiên cứu dao động của 
dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trong di động", Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật. Học 
Viện Khoa học và Công nghệ. 
3. Nguyễn Tiến Khiêm (2004), "Cơ sở động lực học công trình", Nhà xuất bản Đại 
học Quốc Gia Hà Nội. 
4. Nguyễn Tiến Khiêm (2008), "Nhập môn chẩn đoán kỹ thuật công trình", Nhà 
xuất bản Khoa học và Công nghệ. 
5. Trần Ích Thịnh (1994), "Vật liệu Composite", NXB Giáo dục. 
6. Aydin. K (2013), "Free vibration of functional graded beams with arbitrary 
number of cracks", European Journal of Mechanics A/Solid. 42, pp. 112-124. 
7. Banerjee. A., Panigrahi. B., and Pohit. G. (2015), "Crack modelling and detection 
in Timoshenko FGM beam under transverse vibration using frequency contour 
and response surface model with GA", Nondestructive Testing and Evaluation; 
DOI.10.1080/10589759.2015.1071812. 31(2), pp. 142-164. 
8. Chakraborty. A. and Gopalakrishnan. S. (2003), "A spectrally formulated finite 
element for wave propagation analysis in functionally graded beams", 
International Journal of Solids and Structures. 40, pp. 2421-2448. 
9. Chakraborty. A., Gopalakrishnan. S., and Reddy. J. N. (2003), "A new beam 
finite element for the analysis of functional graded materials", International 
Journal of Mechanical Science. 45, pp. 519-539. 
10. Chakraverty. S. and Pradhan. K. K. (2016), "Vibration of Functionally Graded 
Beams and Plates ", Elsevier. 
11. Chondros. T.G. and Dimarogonas. A.D. (1998), "A continuous cracked beam 
theory", Journal of Sound and Vibration. 215 pp. 17-34. 
91 
12. Chondros. T.G., Dimarogonas. A.D., and Yao. J. (1998), "Longitudinal vibration 
of a continous cracked bar", Engineering Fracture Mechanics. 61, pp. 593-606. 
13. Cooley. W. G (2005), "Application of FGMs in Aircraft structures - 
AFIT/GAE/ENY/05-M04", Master Thesis, Air force Institute of Technology, 
Ohio, USA. 
14. Drochel. M, Oberacker. R, and Hoffmann. M. J (1998), "Processing of silicon 
carbide evaporators with porosity gradients by pressure filtration in Functionally 
Graded Materials 1998, ed.W.A.Kaysser", Materials Science Forum, Trans Tech 
Publications Ltd., Zurich. 308-311, pp. 814-819. 
15. Eguchi. K, Hoshino. T, and Fujihara. T (1995), "Performance analysis of FGM-
based direct energy conversion system for space power applications", Proceeding 
of The Third Int'l. Symp. on Structural and Functional Gradient Materials, (eds. 
B. Ilschner and N. Cherradi), Presses Poly techniques et Universitaires 
Romandes, Lausanne, pp. 619-625. 
16. Eltaher. M.A., Alshorbagy. A.E., and Mahmoud. F.F. (2013), "Determination of 
neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded 
macro/nano-beams", Composite Structures. 99, pp. 193-201. 
17. Energy U.S. Departement of Energy (2007), Industrial Technologies Program. 
18. Erdogan. F. and Wu. B. H. (1997), "The surface crack problem for a plate with 
functionally graded properties", Journal of Applied Mechanics. 64, pp. 448-456. 
19. Gasik. M (1995), "Principles of functional gradient materials and their 
processing by powder metallurgy", Acta Polytechnica Scand., Ch. 226. 
20. Hirooka. Y and et al. (1992), "Evaluation of tungsten as plasma-facing materials 
for steady state magnetic fusion devices", Journal of Nuclear Materials. 196(98), 
pp. 149-158. 
21. Huong. Trinh Thanh, et al. (2016), "Post-buckling responses of elastoplastic FGM 
beams on nonlinear elastic foundation", Structural Engineering and Mechanics. 
58(3), pp. 515-532. 
92 
22. Itoh. Y and Kashiwaya. H (1992), "Residual stress characteristics of functionally 
gradient materials", Journal of the Ceramic Society of Japan. 100, pp. 476-481. 
23. Jin, Z. H. and Batra. R. C. (1996), "Some basic fracture mechanics concepts in 
functionally graded materials", Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 
44(8), pp. 1221-1235. 
24. Karnovsky. I. A. and Lebed. O. I. (2001), "Formulas for Structural Dynamics: 
Tables, Graphs and Solutions", McGraw-Hill, Inc. 
25. Ke. L., et al. (2009), "Flexural vibration and elastic buckling of a cracked 
Timoshenko beam made of functionally graded materials ", Mechanics of 
Advanced Materials and Structures. 16(6), pp. 488-502. 
26. Khiem. N. T. and Huyen. N. N. (2016), "A method for crack identification in 
functionally graded Timoshenko beam", Nondestructive Testing and Evaluation. 
Published online: 17 Oct 2016. DOI: 10.1080/10589759.2016.1226304. 
27. Khiem. N.T. and Huyen. N.N. (2015), "On the coupling coefficients of vibrations 
in functionally graded Timoshenko beams", Proceeedings of the National 
Conference on Engineering Mechanics, Danang University August 3-5, pp. 164-
169. 
28. Khiem. N.T., Kien. N.D., and Huyen. N.N. (2014), "Vibration theory of FGM 
beam in the frequency domain", Proceedings of National Conference on 
Engineering Mechanics celebrating 35th Anniversary of the Institute of 
Mechanics, VAST, April 9. 1, pp. 93-98. 
29. Kien. Nguyen Dinh (2013), "Large displacement response of tapered cantilevers 
beams made of axially functionally graded material", Composites: Part B. 55, pp. 
298-305. 
30. Kien. Nguyen Dinh (2014), "Large displacement behaviour of tapered cantilever 
Euler-Bernoulli beams made of functionally graded mate-rial", Applied 
Mathematics and Computation. 237, pp. 340-355. 
31. Kien. Nguyen Dinh and Gan. B.S. (2014), "Large deflection tapered functionally 
graded beams subjected to end forces", Applied Mathematical Modelling. 38, pp. 
3054-3066. 
93 
32. Kien. Nguyen Dinh, Gan. B.S., and Huong. Trinh Thanh (2014), "Geo-metrically 
nonlinear analysis of planar beam and frame structures made of functionally 
graded materials", Structural Engineering and Mechanics. 49, pp. 727-743. 
33. Kien. Nguyen Dinh, Gan. B.S., and Huong. Trinh Thanh (2014), "Geometrically 
nonlinear analysis of planar beam and frame structures made of functionally 
graded materials", Structural Engineering and Mechanics. 49, pp. 727-743. 
34. Kien. Nguyen Dinh, et al. (2016), "Vibration of bi-dimensional functionally 
graded Timoshenko beams excited by a moving load", Acta Mech. 
35. Kien. Nguyen Dinh and Thom. Tran Thi (2016), "A Corotational Formulation for 
Large Displacement Analysis of Functionally Graded Sandwich Beam and Frame 
Structures", Hindawi Publishing Corporation Mathematical Problems in 
Engineering. 
36. Kien. Nguyen Dinh, et al. (2016), "Influences of Dynamic Moving Forces on the 
Functionally Graded Porous-Nonuniform Beams ", International Journal of 
Engineering and Technology Innovation. 6(3), pp. 173-189. 
37. Kim. J and Paulino. G. H (2002), "Finite element evaluation of mixed mode stress 
intensity factors in functionally graded materials", Int J Numerical Methods Eng. 
53, pp. 1903–1935. 
38. Kitipornchai. S., et al. (2009), "Nonlinear vibration of edge cracked functionally 
graded Timoshenko beams", Journal of Sound and Vibration. 324, pp. 962-982. 
39. Kosmatka. J.B. (1995), "An improved two-node finite element for stability and 
natural frequencies of axial-loaded Timoshenko beams", Computers and 
Structures. 57, pp. 141-149. 
40. Li. X.F. (2008), "A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors 
of functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beam", Journal of Sound 
and Vibration. 318, pp. 1210-1229. 
41. Lien. Tran Van, Khiem. Nguyen Tien, and Duc. Ngo Trong (2016), "Free 
Vibration Analysis of Functionally Graded Timoshenko beam using Dynamic 
Stiffness Method", Journal of Science and Technology in Civil Engineering. 31, 
pp. 19-28. 
94 
42. Nguyen. Trung-Kien, Vo. Thuc P., and Thai. Huu-Tai (2013), "Static and free 
vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order 
shear deformation theory", Composites: Part B. 55, pp. 147-157. 
43. Niino. M and Koizumi. M (1994), "Projected research on high-efficiency energy 
conversion materials, ibid ..", pp. 601-605. 
44. Pradhan. K. K. and Chakraverty. S. (2013), "Free vibration of Euler and 
Timoshenko functionally graded beams by Rayleigh-Ritz method", Composite: 
Part B. 51, pp. 175-184. 
45. Sasaki. K and Gaukler. L. J (1995), "Functional gradient electrode/electrolyte 
for solid oxide fuel cells: gradient materials design for an electrochemical 
energy conversion device", Proc. of The Third Int'l. Symp. on Structural and 
Functional Gradient Materials, (eds. B. Ilschner and N. Cherradi), Presses 
Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, pp. 651-656. 
46. Seki. M and et al. (1991), "Thermal shock tests on various materials of plasma 
facing components for FERIITER", Fusion Engineering and Design. 15, pp. 59-
74. 
47. Simsek. M. (2010), "Vibration analysis of a functionally graded beam under a 
moving mass by using different beam theory", Composite Structures. 92, pp. 904-
917. 
48. Simsek. M. and Kocatuk. T. (2009), "Free and forced vibration of a functionally 
graded beam subjected a concentrated moving harmonic load", Composite 
Structures. 90(4), pp. 465-473. 
49. Sina. S.A., Navazi. H.M., and Haddadpour. H. (2009), "An analytical method for 
free vibration analysis of functionally graded beams", Material and Design. 30, 
pp. 741-747. 
50. Su. H. and Banerjee. J.R. (2015), "Development of dynamic stiffness method for 
free vibration of functionally graded Timoshenko beams", Computers and 
Structures. 147, pp. 107-116. 
95 
51. Su. H., Benerjee. J. R., and Cheung. C. W. (2013), "Dynamic stiffness 
formulation and free vibration analysis of functionally graded beams", Composite 
Structures. 106, pp. 854-862. 
52. Thai. Huu-Tai and Vo. Thuc P. (2012), "Bending and free vibration of 
functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam 
theories", International Journal of Mechanical Sciences. 62, pp. 57-66. 
53. Vo. T.P., et al. (2015), "A quasi 3D theory for vibration and buckling of 
functionally graded sandwich beams", Composite Structures. 119, pp. 1-12. 
54. Vo. Thuc P., et al. (2014), "Finite element model for vibration and buckling of 
functionally graded sandwich beams based on a refined shear deformation 
theory", Engineering Structures. 64, pp. 12-22. 
55. Wakashima. K, Hirano. T, and Niino. M (1990), "Space applications of advanced 
structural materials", ESA SP303:97. 
56. Wei. D., Liu. Y.H., and Xiang, Z.H. (2012), "An analytical method for free 
vibration analysis of functionally graded beams with edge cracks", Journal of 
Sound and Vibration. 331, pp. 1685-1700. 
57. Yan. T., et al. (2011), "Dynamic behavior of edge-cracked shear deformable 
functionally graded beams on an elastic foundation under a moving load", 
Composite Structures. 93, pp. 2992-3001. 
58. Yang. J. and Chen. Y. (2008), "Free vibration and buckling analysis of 
functionally graded beams with edge cracks", Composite Structures. 83 pp. 48-
60. 
59. Yang. J., et al. (2008), "Free and forced vibration of cracked inhomogeneous 
beams under an axial force and a moving load", Journal of Sound and Vibration. 
312, pp. 166-181. 
60. Yu. Z. and Chu. F. (2009), "Identification of crack in functionally graded material 
beams using the p-version of finite element method", Journal of Sound and 
Vibration. 325, pp. 69-85. 
96 
61. Zenkour. A. M (2005), "A comprehensive analysis of functionally graded 
sandwich plate", Department of Mathematics, Faculty of Education, Tanta 
University, Egypt.