Luận án Phương pháp phổ tần số trong nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
PHÍ THỊ HẰNG 
PHƢƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG 
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ 
VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG 
LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT 
HÀ NỘI – 2016 
ii 
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
...*** 
PHÍ THỊ HẰNG 
PHƢƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG 
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ 
VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG 
LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT 
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
Mã số: 62 52 01 01 
 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: 
1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm 
2. TS. Phạm Xuân Khang 
Hà Nội – 2016 
i 
LỜI CÁM ƠN 
Tôi xin chân thành cám ơn các thầy hướng dẫn khoa học, GS.TSKH. 
Nguyễn Tiến Khiêm và TS. Phạm Xuân Khang đã tận tâm hướng dẫn khoa học, 
động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này. 
 Tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn tới sự quan tâm của Viện Cơ học, đặc biệt 
là các đồng nghiệp trong Phòng Chẩn đoán kỹ thuật và sự ủng hộ của bạn bè đã 
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm luận án. 
Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn đến Trường Đại học Điện lực, Khoa 
Công nghệ Năng lượng và gia đình đã động viên ủng hộ tôi trong thời gian làm 
luận án. 
 Tác giả luận án 
 Phí Thị Hằng 
ii 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, 
kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất 
kỳ công trình nào khác. 
 Tác giả luận án 
 Phí Thị Hằng 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, 
kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất 
kỳ công trình nào khác. 
Tác giả luận án 
 Phí Thị Hằng 
iii 
MỤC LỤC 
LỜI CÁM ƠN ...................................................................................................................i 
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................... ii 
MỤC LỤC ..................................................................................................................... iii 
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ............................................... v 
DANH MỤC HÌNH VẼ ............................................................................................... vii 
DANH MỤC BẢNG ....................................................................................................... x 
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ........................................................................................... 5 
1.1. Sơ lƣợc về lịch sử bài toán tải trọng di động ............................................................ 6 
1.2. Nội dung cơ bản của bài toán tải trọng di động ....................................................... 7 
1.3. Một số phƣơng pháp truyền thống giải bài toán tải trọng di động ......................... 11 
1.3.1.Phƣơng pháp Bubnov-Galerkin ....................................................................... 11 
1.3.2.Phƣơng pháp phần tử hữu hạn ......................................................................... 14 
1.3.3.Phƣơng pháp độ cứng động ............................................................................. 15 
1.4. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi ....................................................... 17 
1.5. Một số nhận xét và định hƣớng nghiên cứu ........................................................... 20 
CHƢƠNG 2. CƠ SỞ PHƢƠNG PHÁP LUẬN ............................................................ 23 
2.1. Hàm đáp ứng tần số ................................................................................................ 23 
2.1.1. Phép biến đổi Fourie ....................................................................................... 23 
2.1.2. Các đặc trƣng tần số của hệ cơ học ................................................................. 24 
2.1.3. Ứng dụng cho mô hình dầm đàn hồi ............................................................... 25 
2.1.4. Khái niệm về đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng bất kỳ ........................... 27 
2.2. Phƣơng pháp phổ tần số cho dầm chịu tải trọng di động ....................................... 27 
2.2.1. Cơ sở phƣơng pháp [42] .................................................................................. 27 
2.2.2. Ví dụ minh họa và kiểm chứng ....................................................................... 30 
2.3. Phƣơng pháp điều chỉnh Tikhonov ........................................................................ 32 
Kết luận chƣơng 2 36 
CHƢƠNG 3. KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CHỊU 
TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ DI ĐỘNG ............................................................................ 38 
3.1. Đáp ứng tần số của dầm chịu tác dụng của lực hằng số di động ............................ 38 
iv 
3.2. Đáp ứng tần số của dầm đàn hồi chịu tải trọng điều hòa ....................................... 43 
Kết luận chƣơng 3 51 
CHƢƠNG 4. DAO ĐỘNG CỦA DẦM BỊ NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG ...... 53 
4.1. Dao động riêng của dầm có nhiều vết nứt .............................................................. 53 
4.1.1. Mô hình dầm có nhiều vết nứt ........................................................................ 53 
4.1.2. Bài toán dao động riêng .................................................................................. 56 
4.1.3. Dao động riêng của dầm liên tục có nhiều vết nứt .......................................... 60 
4.2. Phƣơng pháp phổ tần số cho dầm có vết nứt chịu tải trọng di động ...................... 65 
4.3. Ảnh hƣởng của vết nứt đến đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động .................... 69 
4.4. Nhận dạng vết nứt bằng đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động .......................... 76 
4.4.1. Cơ sở phƣơng pháp nhận dạng ........................................................................ 76 
4.4.2. Kết quả thử nghiệm số .................................................................................... 78 
Kết luận chƣơng 4 86 
KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................................... 88 
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƢỢC CÔNG BỐ ................................................ 90 
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ GỬI ĐĂNG ........................................................... 90 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 91 
v 
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 
E mô đun đàn hồi (N/m2). 
 mật độ khối (kg/m3). 
 hệ số Poisson. 
F diện tích mặt cắt ngang (m2). 
a độ sâu vết nứt (m). 
b, h tƣơng ứng chiều rộng, chiều cao của dầm (m). 
I mô men quán tính hình học mặt cắt ngang (m4). 
S(x,ω) hàm đáp ứng tần số 
 00 ,xSA biên độ dao động (m) tại mặt cắt x0 và tần số ω0 
ow
A
A biên độ chuẩn hóa (không thứ nguyên) 
EI
P
w
48
3
o
o

 chuyển vị tĩnh tại giữa dầm (m) 
oP biên độ lực kích động (tải trọng) 
EI độ cứng chống uốn. 
M mômen (Nm
2
) 
ℓ chiều dài dầm (m). 
 tần số dao động (rad/s) 
1 tần số riêng cơ bản(rad/s) 
1

 tham số tần số (không thứ nguyên) 

v
v
 tần số lái(driving frequency, rad/s) 
 tần số lực di động 
  A hệ số cản. 
12

 tỷ số cản. 
Ki độ cứng lò xo xoắn thứ i (mô hình vết nứt). 
vi 
M, K và C lần lƣợt là ma trận khối lƣợng, độ cứng và cản 
tổng thể của dầm theo công thức phần tử hữu hạn 
(n n). 
v vận tốc của tải trọng (m/s). 
 
1
c
v vận tốc tới hạn (m/s) 
1
v
1c
v
v
v



 

 tham số vận tốc (không thứ nguyên) 
)(x dạng dao động riêng 
),( txw độ võng của dầm tại mặt cắt x và thời điểm t 
),(  x hoặc 
dtetxwx ti 
  ),(),W( 
hàm phổ tần số của độ võng hay hàm đáp ứng tần 
số 
),W(),(w  xxS 
Phổ biên độ đáp ứng (hàm số thực của tọa độ x và 
tần số  ) 
 ,  hệ số cản Rayleigh. 
PTHH 
SEM 
phƣơng pháp phần tử hữu hạn. 
phƣơng pháp phần tử phổ 
rC hằng số chuẩn hóa đƣợc chọn cho từng dạng riêng. 
Nnoise 
véc tơ cột phân bố chuẩn với trung bình bằng 0 và 
độ lệch chuẩn bằng 1. 
Ep mức nhiễu. 
 độ lệch chuẩn. 
ynoise là chuyển vị thẳng của thân xe kể đến nhiễu. 
vii 
DANH MỤC HÌNH VẼ 
Hình 1.1. Mô hình bài toán tải trọng di động .................................................................. 7 
Hình 1.2. Mô hình dầm chịu tác dụng của lực di động ................................................... 8 
Hình 1.3. Mô hình dầm chịu tải trọng khối lƣợng di động ............................................. 9 
Hình 2.1. So sánh chuyển vị của điểm giữa dầm: P0 = 100kN; v = 12m/s. .................. 31 
Hình 2.2. So sánh góc xoay của điểm giữa dầm: P0 = 100kN; v = 12m/s. ................... 31 
Hình 3.1. Mô hình dầm Euler-Bernoulli ....................................................................... 38 
Hình 3.2. Phổ biên độ của độ võng tại điểm giữa dầm ứng với các vận tốc khác nhau 39 
Hình 3.3. So sánh phổ biên độ chính xác và gần đúng (tính theo công thức (3.1.1)): 
đƣờng liền – chính xác; đƣờng rời với các dấu tròn – gần đúng. .................................. 40 
Hình 3.4. Biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng ứng với các giá 
trị khác nhau của hệ số cản. ........................................................................................... 41 
Hình 3.5. Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng ứng với các 
giá trị khác nhau của hệ số cản. ..................................................................................... 41 
Hình 3.6. Phổ biên độ của đáp ứng khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hƣởng. ......... 42 
Hình 3.7. Phổ biên độ đáp ứng chịu tải trọng điều hòa với tần số 14.0   với các vận 
tốc không phải là phản cộng hƣởng. .............................................................................. 44 
Hình 3.8. Phổ biên độ đáp ứng chịu tải trọng điều hòa với tần số 14.0   với các vận 
tốc phản cộng hƣởng. .................................................................................................... 45 
Hình 3.9. Biểu đồ tốc độ phản cộng hƣởng và tần số tải trọng trong trƣờng hợp lực di 
động là điều hòa đơn tần ................................................................................................ 45 
Hình 3.10. Biên độ dao động riêng khi tần số tải trọng bằng tần số lái (cộng hƣởng 
ngoài) ............................................................................................................................. 46 
Hình 3.11. Biên độ dao động cƣỡng bức phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng..... 47 
Hình 3.12. Biên độ dao động dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng
 ....................................................................................................................................... 47 
Hình 3.13. Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc và tần số lực di động ... 48 
Hình 3.14. Biên độ dao động riêng dƣới tác dụng của hai lực điều hòa đối xứng. ....... 49 
Hình 3.15. Biên độ dao động riêng dƣới tác dụng của tổ hợp lực hằng số và lực điều 
hòa ................................................................................................................................. 50 
viii 
Hình 3.16. Phổ biên độ đáp ứng dƣới tác dụng của tổ hợp lực hằng số ( 0  ) và lực 
điều hòa ( 15.0   ) khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hƣởng của lực điều hòa. ..... 51 
Hình 4.1. Ba kiểu vết nứt cơ bản. .................................................................................. 54 
Hình 4.2. Mô hình vết nứt: a) dạng mô hình vết nứt cƣa, b) dạng mô hình vết nứt chữ 
V, c) dạng mô hình vết nứt bằng lò xo xoắn. ................................................................ 54 
Hình 4.3. Mô hình dầm có nhiều vết nứt. ...................................................................... 56 
Hình 4.4. Mô hình dầm liên tục có vết nứt .................................................................... 60 
Hình 4.5. Mô hình dầm có 5 vết nứt .............................................................................. 69 
Hình 4.6. Sự thay đổi biên độ đáp ứng của dầm có 5 vết nứt ứng với các vận tốc tải 
trọng khác nhau. ............................................................................................................ 70 
Hình 4.7. Sự thay đổi biên độ đáp ứng của dầm có 5 vết nứt ứng với các tần số tải 
trọng khác nhau. ............................................................................................................ 71 
Hình 4.8. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số ứng với các vị trí vết nứt khác 
nhau tại cộng hƣởng chính và vận tốc tải trọng bằng 0.5vc. ......................................... 72 
Hình 4.9. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số dọc theo chiều dài dầm (ở tần số
10.986  ) tƣơng ứng với các vị trí vết nứt khác nhau ( 0.5 1;e  ). .................. 73 
Hình 4.10. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số 1986.0  , 1  phụ 
thuộc vào vị trí vết nứt ứng với các vận tốc tải trọng khác nhau. ................................. 73 
Hình 4.11. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số 10.986  ( c0.5vv ) phụ 
thuộc vào vị trí vết nứt ứng với các tần số tải trọng khác nhau. ................................... 74 
Hình 4.12. Sự thay đổi của phổ biên độ đáp ứng tƣơng ứng với số lƣợng các vết nứt 
(từ 1 đến 9) chạy từ vị trí 2.5 đến 22.5. ......................................................................... 74 
Hình 4.13. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số ứng với số lƣợng vết nứt khác nhau (từ 
1 đến 9) chạy từ vị trí 2.5 đến 22.5. ............................................................................... 75 
Hình 4.14. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số dọc theo chiều dài dầm (tại tần số 
10.986  ) tƣơng ứng với số lƣợng vết nứt khác nhau (từ 1 đến 9); các tham số tải 
trọng là 0.5 1;
e
  .................................................................................................. 75 
Hình 4.15. Kết quả nhận dạng vết nứt sử dụng đáp ứng tại các tần số 0.5ω1, 0.8ω1, 
0.9ω1, ω1, 1.5ω1. ............................................................................................................ 81 
Hình 4.16. Ảnh hƣởng của tốc độ di chuyển của tải trọng (0,1vc ; 0.3vc ; 0.5vc; 0.8vc; 
vc) đến kết quả nhận dạng vết nứt. ................................................................................ 82 
ix 
Hình 4.17. Kết quả nhận dạng vết nứt phụ thuộc vào tần số tải trọng(0; 0.8ω1 ; ω1; 
1.2ω1 và 1.5ω1). ............................................................................................................. 83 
Hình 4.18. Kết quả nhận dạng vết nứt phụ thuộc vào pha của tải trọng(0 ; π/4 ; π/2; 
3π/4 và π). ........................................................................................... ... Vibration of damaged beams under a 
moving mass: theory and experimental validation", Journal of Sound and 
Vibration. 274(3), pp. 567-582. 
20. Caddemi S and Caliò I (2009), "Exact closed-form solution for the vibration 
modes of the Euler-bernoulli beam with multiple open cracks", Journal of 
Sound and Vibration. 327(3-5), pp. 473-489. 
21. Cao. M, et al. (2014), "Identification of multiple damage in beams based on 
robust curvature mode shapes", Mechanical Systems and Signal Processing 46, 
pp. 468-480. 
22. Cheung. Y.K, et al. (1999), "Vibration of multi-span non-uniform bridges under 
moving vehicles and trains by using modified beam vibration functions", 
Journal of Sound and Vibration. 228(3), pp. 611-628. 
23. Chondros. T. G, Dimarogonas. A. D, and Yao. J (1998), " A continuous cracked 
beam vibration theory", Journal of Sound and Vibration. 215(1), pp. 17-34. 
24. Christides. S and Barr. A.D.S (1984), "One-dimensional theory of cracked 
Bernoulli-Euler beams", International Journal of Mechanical Sciences. 26(11-
12), pp. 639-648. 
25. Chung. N.T and Tien. D.N (2015), "Dynamic response of three dimension 
tunnel on elastic foundation subjected to moving vehicle loads", Vietnam 
Journal of Mechanics. 37(2), pp. 1-18. 
26. Ciambella. J and Vestroni. F (2015), "The use of modal curavatures for damage 
localization in beam-type structures", Journal of Sound and Vibration 340, pp. 
126-137. 
27. Dessi. D and Cameriengo. G (2015), "Damage identication techniques via 
modal curvature analysis: Overview and comparison", Mechanical Systems and 
Signal Processing 52-53, pp. 181-205. 
28. Frýba, L (1999), Vibration of Solids and Structures under Moving Loads, ed. 3, 
Thomas Telford Ltd., Czech Republic. 
93 
29. Garinei. A (2006), " Vibrations of simple beam-like modelled bridge under 
harmonic moving loads", International Journal of Engineering Science. 44(11), 
pp. 778-787. 
30. Ha. L.T and Kien. N.D (2011), "Dynamic characteristics of elastic supported 
beam subjected to a compressive axial force and a moving load", Vietnam 
Journal of Mechanics. 33, pp. 113-131. 
31. Ha. L.T and Kien. N.D (2012), Dynamic response of a functionally graded 
Bernoulli beam to a moving load, International Conference on Engineering 
Mechanics and Automation(ICEMA2), pp. 243-250. 
32. Henchi K., et al. (1997), "Dynamic behavior of multi-span beams under moving 
loads", Journal of Sound and Vibration. 199(1), pp. 33-50. 
33. Hino. J, et al. (1984), "Finite element method prediction of the vibration of a 
bridge subjected to a moving vehicle load", Journal of Sound and Vibration. 
96(1), pp. 45-53. 
34. Ho. Y.K and Ewins. D.J (2000), On the structural damage identification with 
mode shapes, Proceedings of the European COST F3 Conference on System 
Identification and Structural Health Monitoring, Universidad Politecnica de 
madrid, Spain, pp. 677-684. 
35. Hwang. H.Y and Kim. C (2004), "Damage detection in structures using a few 
frequency response function measurements", Journal of Sound and Vibration. 
270, pp. 1-14. 
36. Ichikawa. M, Miyakawa. Y, and Matsuda. A (2000), "Vibration analysis of the 
continuous beam subjected to a moving mass", Journal of Sound and Vibration. 
230(3), pp. 493-506. 
37. Jiang. J. Q, Chen. W. Q, and Pao. Y. H (2012), "Reverberation-ray analysis of 
continuous Timoshenko beams subject to moving loads", Journal of Vibration 
and Control. 18(6), pp. 774-784. 
38. Khang. N.V, et al. (1999), On the transverse vibration of beam-bridges under 
action of some moving bodies, Proceedings of the IUTAM Symposium on 
Recent Developments in Non-linear Oscilations of mechanical Systems, Hanoi. 
39. Khiem, N. T and Lien, T. V (2004), "Multi-crack detection for beam by the 
natural frequencies", Journal of Sound and Vibration. Vol 273, pp. 175-184. 
40. Khiem. N. T and Hang. P. T (2014), "Spectral analysis of multiple cracked 
beam subjected to moving load", Vietnam Journal of Mechanics. Vol. 36(4), 
pp. 245- 254. 
41. Khiem. N. T and Toan. L.K (2014), "A novel method for crack detection in 
beam-like structures by measurement of natural frequencies", Journal of Sound 
and Vibration. 333(18), pp. 4084-4103. 
42. Khiem. N. T, Tran. T. H, and Quang. N. V (2014), "An approach to the moving 
load problem for multiple cracked beam", In Topics in Modal Analysis. Volume 
7( Springer), pp. 451-460. 
94 
43. Khiem. N.T, Khang. P.X, and Hang. P.T (2014), A method for calculating 
natural frequencies of multispan beam with arbitrary number of cracks, 
National Conference on Engineering Mechanics, At , Hanoi, Vietnam. 
44. Khiem. N.T and Tran. T.H (2014), " A procedure for multiple crack 
identification in beam-like structures from natural vibration mode", Journal of 
Vibration and Control. 20(19), pp. 1417-1427. 
45. Khoa .N.V (2014), "Mode shapes analysis of a cracked beam and its application 
for crack detection", Journal of Sound and Vibration. 333(3), pp. 348-372. 
46. Khoa. N.V and Hai. T.T (2010), "Multi-cracks detection of a beam-like 
structure based on the on-vehicle vibration signal and wavelet analysis", 
Journal of Sound and Vibration. 329, pp. 4455-4465. 
47. Kien, Nguyen Dinh (2008), "Dynamic Response of Prestressed Timoshenko 
Beam Resting on Two-Parameter Foundation to Moving Harmonic Load", 
Technische Mechanik. 28(3-4), pp. 237-258. 
48. Kolousek V. (1967, 1956, 1961), Dynamics of Civil Engineering Structures. 
Part I- General Problems, second edition; Part II – Selected Topics, SNTL, 
Czech. 
49. Lee, J. (2009), "Identification of multiple cracks in a beam using natural 
frequencies", Journal of Sound and Vibration. Vol 320, pp. 482-490. 
50. Lee, U and Shin, J (2002), "A frequency response function-based structural 
damage identification method", Computers and Structures. Vol 80, pp. 117-
132. 
51. Li, Q. S (2001), "Vibratory characteristics of multi-step beams with an arbitrary 
number of cracks and concentrated masses", Journal of Sound and Vibration. 
Vol 252(3), pp. 509-525. 
52. Li. J and Law. S.S (2012), "Damage identification of a target substructure with 
moving load excitation", Mechanical Systems and Signal Processing. 30, pp. 
78-90. 
53. Li. J, Law. S.S, and Hong Hao (2013), "Improved damage identification in 
bridge structures subject to moving loads: Numerical and experimental studies", 
International Journal of Mechanical Sciences 74, pp. 99-111. 
54. Li. J.Z and Su. M (1999), "The resonant vibration for a simply supported girder 
bridge under high-speed trains", Jounal of Sound and Vibration. 224(5), pp. 
897-915. 
55. Liang. R.R.Y, Hu. J, and Choy. F (1992), "Quantitative NDE technique for 
assessing damages in beam structures", Journal of Engineering Mechanics. 
118(7), pp. 1468-1487. 
56. Lin. H. P and Chang. S. C (2006), "Forced responses of cracked cantilever 
beams subjected to a concentrated moving load", International Journal of 
Mechanical Sciences. 48(12), pp. 1456-1463. 
95 
57. Lin. Y.H and Trethewey. M.W (1990), "Finite element analysis of elastic beams 
subjected to moving dynamic loads", Journal of Sound and Vibration. 136(2), 
pp. 323-342. 
58. Liu. X, Lieven. N.A.J, and Escamilla-Ambrosio. P.J (2009), "Frequency 
response function shape-based method for structural damage localization", 
Mechanical Systems and Signal processing. 23, pp. 1243-1259. 
59. Lou. P, Dai. G.L, and Zeng. Q.Y (2007), "Dynamic analysis of a Timoshenko 
beam subjected to moving concentrated forces using finite element method", 
Shock and Vibration. 14, pp. 459-468. 
60. Mahmoud. M. A and Abou Zaid. M. A (2002), "Dynamic response of a beam 
with a crack subject to a moving mass", Journal of Sound and Vibration. 
256(4), pp. 591-603. 
61. Maia. N.M.M, Silva. J.M.M, and Almas. E.A.M (2003), "Damage Detection in 
Structures: From Mode Shape to Frequency Response Function Methods", 
Mechanical Systems and Signal Processing 46. 17(3), Mechanical Systems and 
Signal Processing. 
62. Museros. P, Moliner. E, and Martinez-Rodrigo. M.D (2013), "Free vibrations of 
simply supported beam bridges under moving loads: Maximum resonance, 
cancelation and resonant", Jounal of Sound and Vibration. 332, pp. 326-345. 
63. Narkis, Y (1994), "Identification of crack location in vibrating simply supported 
beams", Journal of Sound and Vibration. Vol 172, pp. 549-558. 
64. Nguyen Van Khang, Nguyen Minh Phuong (2002), "Transverse Vibrations of a 
Continuous Beam on Rigid and Elastic Supports under the Action of Moving 
Bodies", Technische Mechanik. 22(4), pp. 306-316. 
65. Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien, Nguyen Thi Van Huong (2009), 
"Transverse vibrations of prestressed continuous beams on rigid supports under 
the action of moving bodies", Arch Appl Mech. 79, pp. 939-953. 
66. Okamura. H, et al. (1969), "A Cracked column under Compression", 
Engineering Fracture Mechanics. 1, pp. 547-564. 
67. Olsson. M (1991), "On the fundamental moving load problem", Journal of 
Sound and Vibration. 145(2), pp. 299-307. 
68. Owolabi GM, Swamidas ASJ, and Seshadri R (2003), "Crack detection in 
beams using changes in frequencies and amplitudes of frequency response 
functions", J. Sound Vib, pp. 265:1–22. 
69. Pandey. A.K, Biswas. M, and Samman. M.M (1991), "Damage Detection from 
Changes in Curvature Mode Shapes", Journal of Sound and Vibration. 145(5), 
pp. 321-332. 
70. Patil, D. P and Maiti, S. K (2003), "Detection of multiple cracks using 
frequency measurements", Engg. Fract. Mech. Vol 70(12), pp.1553-1572. 
71. Pesterev. A. V and Bergman. L. A (1997), "Response of elastic continuum 
carrying moving linear oscillator", Journal of Engineering Mechanics. 123(8), 
pp. 878-884. 
96 
72. Pesterev. A. V, Tan. C. A, and Bergman. L. A (2001), "A new method for 
calculating bending moment and shear force in moving load problems", Journal 
of Applied Mechanics. 68(2), pp. 252-259. 
73. Pesterev. A. V, et al. (2001), "Response of elastic continuum carrying multiple 
moving oscillators", Journal of Engineering Mechanics. 127(3), pp. 260-265. 
74. Phong. N.T.T and Phuoc. N.T (2012), Thermal-mechanical analysis of 
functionally graded beams subjected to a vehicle load, The Nineth national 
Conference on Mechanics, Hanoi, Vietnam. 
75. Rao. G. V (2000), " Linear dynamics of an elastic beam under moving loads", 
Journal of Vibration and Acoustics. 122(3), pp. 281-289. 
76. Ratcliffe. C.P (1997), "Damage Detection Using a Modified Laplacian Operator 
on Mode Shape Data", Journal of Sound and Vibration. 204(3), pp. 505-517. 
77. Ricciardelli. F and Briatico. C (2011), "Transient Response of Supported Beam 
to Moving Force with Sinusoidal Time Variation", Journal of Engineering 
Mechanics. 137(6), pp. 422-430. 
78. Rieker. J.R, Lin. Y.H, and Trerthewey. M.W (1996), "Disretization 
considerations in moving load finite element beam models", Finite Elements in 
Analysis and Design. 21, pp. 129-144. 
79. Rizos. P.F, Aspragathos. N, and Dimarogonas. A. D (1990), "Identification of 
crack location and mangnitude in a cantilever beam from the vibration modes", 
Jounal of Sound and Vibration. 138(3), pp. 318-388. 
80. Sato. H (1983), "Free vibration of beams with abruptr changes of cross-
section", Journal of Sound and Vibration. 89(1), pp. 59-64. 
81. Savin. E (2001), "Dynamic amplification factor and response spectrum for the 
evaluation of vibrations of beams under successive moving loads", Journal of 
Sound and Vibration. 248(2), pp. 267-288. 
82. Shafiei. M and Khaji. N (2011), "Analytical solutions for free and forced 
vibrations of a multiple cracked Timoshenko beam subject to a concentrated 
moving load", Acta Mechanica. 221(1-2), pp. 79-97. 
83. Stokes G. G (1849), "Discussion of a Differential Equation Relationg to the 
Breaking of Railway Bridges", Trans. Cambridge Philosoph. Soc. 8(5), pp. 
707-735. 
84. Sudheesh-Kumar. C.P, Sujatha. C, and Shanka. K (2013), Vibration of non-
prismatic simply supported beams under moving loads: cancelation of 
resonances, Proceedings of 11th Intern. Conference on Vibration Problems, 
Lisbon, Portugal. 
85. Thyagarajan. S.K, et al. (1998), "Detecting Structural Damage Using Frequency 
Response Functions", Journal of Sound and Vibration. 210(1), pp. 162-170. 
86. Tikhônov A.N., Arsenin V.Ia (1977), Solution of Ill-posed Problems, Winston 
and Son, Washington D.C. 
87. Timoshenko S. P (1908), Forced Vibration of Prismatic Bars, Izvestiya 
Kievskogo politekhnicheskogo instituga, Russion. 
97 
88. Timoshenko S. P (1922), "On the Forced Vibration of Bridges", Philosoph. 
Magazine. 6(43), p. 1018. 
89. Toan. N.X (2011), "Bending vibration of beam elements under moving loads 
with considering vehicle braking forces", Vietnam Journal of Mechanics. 33(1), 
pp. 27-40. 
90. Usik lee (2009), Spectral element method in structural dynamics, John Wiley & 
Sons Asia. 
91. Willis R. et al (1849), Preliminary Essay to the Appendix B.: Experiments for 
Determining the Effects Produced by Causing Weights to Travel over Bars with 
Different Velocities. In: Grey G. et al.: Report of the Commissioners Appointed 
to Inquire into the Application of Iron to Railway Structures, W. Clowes and 
Sons, London. 
92. Wu. J. J, Whittaker. A. R, and Cartmell. M. P (2000), "The use of finite element 
techniques for calculating the dynamic response of structures to moving loads", 
Computers & Structures. 78(6), pp. 789-799. 
93. Yang J et al. (2008), " Free and Forced vibration of cracked inhomogeneous 
beams under an axial force and moving load", Journal of Sound and 
Vibration(312), pp. 166-181. 
94. Yang J.B., Yau J.D., and Wu Y.S., . (2004), Vehicle-Bridge Interaction 
Dynamics with Application to High-Speed Railways, World Scientific 
Publishing Co. , Singapore. 
95. Yang. Y.B, et al. (2004), "Mechanism of resonance and cancelation for train 
induced vibration on bridges with elastic bearings", Jounal of Sound and 
Vibration. 269, pp. 345-360. 
96. Yang. Y.B, Yau. J.D, and Hsu. L.C (1997), "Vibration of simple beams due to 
trains moving at high speeds", Engineering Structures. 19(11), pp. 936-944. 
97. Zarfam. R and Khaloo. A.R (2012), "Vibration control of beams on elastic 
foundation under a moving vehicle and random lateral excitations", Journal of 
Sound and Vibration. 331, pp. 1217-1232. 
98. Zhang. Y, Wang. L.Q, and Xiang. Z.H (2012), "Damage detection by mode 
shape squares extracted from a passing vehicle", Journal of Sound and 
Vibration. 331, pp. 291-307. 
99. Zhu, X. Q and Law, S. S ( 2006), "Wavelet-based crack identification of bridge 
beam from operational deflection time history", International Jounal of Soilds 
and Structures. Vol 43, pp. 2299-2317. 
100. Zimmermann H (1896), "Die Schwingungen eines Tragers mit bewegter Last", 
Centralblatt der Bauverwaltung. 16(23, 23A, 24, 26), pp. 249-251, 264-266.