Luận án Ứng dụng lý thuyết điều khiển trong tối ưu tần số riêng và khối lượng của kết cấu thanh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
Trần Minh Thúy 
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN 
TRONG TỐI ƢU TẦN SỐ RIÊNG VÀ KHỐI LƢỢNG 
CỦA KẾT CẤU THANH 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC 
Hà Nội – 2018 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
Trần Minh Thúy 
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN 
TRONG TỐI ƢU TẦN SỐ RIÊNG VÀ KHỐI LƢỢNG 
CỦA KẾT CẤU THANH 
 Chuyên ngành : Cơ kỹ thuật 
 Mã số : 62520101 
 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC 
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: 
 1. TS. BÙI HẢI LÊ 
 2. PGS.TS. TRẦN ĐỨC TRUNG 
Hà Nội – 2018 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung trình bày trong luận án này đƣợc nghiên 
cứu bởi bản thân tôi dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của TS. Bùi Hải Lê và 
PGS.TS. Trần Đức Trung. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và 
chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. 
Hà Nội, ngày tháng năm 2018 
Ngƣời hƣớng dẫn Nghiên cứu sinh 
TS. Bùi Hải Lê 
Trần Minh Thúy 
 PGS. TS. Trần Đức Trung 
LỜI CẢM ƠN 
Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ môn Cơ học vật liệu và kết cấu, Bộ 
môn Hình họa & Vẽ kỹ thuật, Viện Cơ khí, Viện Đào tạo Sau đại học, 
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi thực 
hiện công trình này. 
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Trần Đức Trung và 
TS. Bùi Hải Lê đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để tôi có thể thực hiện và 
hoàn thành Luận án này. 
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bố mẹ, chồng, các 
con, các anh chị em đồng nghiệp và các bạn đã luôn động viên, giúp đỡ 
tôi trong thời gian qua. 
Hà Nội, /2018 
Trần Minh Thúy 
MỤC LỤC 
 Trang 
CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU TRONG DAO ĐỘNG 6 
1.1 Tổng quan về điều khiển tối ƣu và đối tƣợng điều khiển 6 
1.1.1 Điều khiển, điều khiển tối ƣu và bài toán tối ƣu hóa kết cấu 6 
1.1.2 Dao động xo n, dao động dọc và dao động uốn của thanh 7 
1.1.3 Các đ i lƣợng cơ bản đ c trƣng của dao động kết cấu 11 
1.2 Các phƣơng pháp điều khiển dao động của kết cấu 11 
1.2.1 Các phƣơng pháp điều khiển dao động của kết cấu 11 
1.2.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu về điều khiển dao động của kết cấu 12 
1.3 Điều khiển tối ƣu dải tần số riêng và khối lƣợng kết cấu d ng thanh 19 
1.3.1 Mô hình khảo sát dao động của kết cấu 19 
1.3.2 Các bài toán khảo sát về dao động kết cấu d ng thanh 20 
1.3.3 Các nội dung thực hiện của bài toán tối ƣu đa mục tiêu 22 
1.4 Kết luận chƣơng 1 22 
CHƢƠNG 2 CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU THEO PMP, HÀM ĐA MỤC TIÊU 
TỔNG QUÁT 24 
2.1 Phƣơng trình vi phân tr ng thái của thanh (trục) 24 
2.1.1 Phƣơng trình vi phân tr ng thái của trục ch u dao động xo n 24 
2.1.2 Dao động dọc của thanh 25 
2.1.3 Dao động uốn của thanh 26 
2.1.4 Phƣơng pháp ma trận truyền 27 
2.2 Điều khiển tối ƣu và nguyên lý cực đ i Pontryagin 30 
2.2.1 Bài toán điều khiển tối ƣu 30 
2.2.2 Nguyên lý cực đ i Pontryagin 35 
2.2.3 Thuật giải bài toán tối ƣu áp dụng nguyên lý cực đ i Pontryagin 37 
2.3 Tối ƣu hóa kết cấu áp dụng PMP 39 
2.3.1 Áp dụng PMP trong tối ƣu hóa kết cấu 39 
2.3.2 Hàm đa mục tiêu tổng quát trong tối ƣu hóa kết cấu 43 
2.3.3 Phƣơng pháp phân tích trọng số và xây dựng tập giải pháp khả thi 46 
2.4 Kết luận chƣơng 48 
CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S 
DỤNG PMP 49 
3.1 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục dao động xo n s dụng PMP 49 
3.2 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu thanh dao động dọc s dụng PMP 54 
3.3 Bài toán độ cứng dầm ch u uốn s dụng PMP 59 
3.3.1 Giải bằng nguyên lý cực đ i Pontryagin 59 
3.3.2 Đ t bài toán 65 
3.3.3 Nhận x t 66 
3.4 Thuật toán và chƣơng trình tính 67 
3.5 Kết luận chƣơng 3 67 
CHƢƠNG 4 KẾT QUẢ T NH TOÁN SỐ 68 
4.1 Bài toán 1: Kiểm tra độ tin cậy của thuật toán và chƣơng trình tính 68 
4.1.1 Trục ch u dao động xo n 69 
4.1.2 Thanh ch u dao động dọc 71 
4.1.3 Nhận x t 73 
4.2 Bài toán 2: Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục ch u dao động xo n s dụng PMP 73 
4.2.1 Tối ƣu tần số riêng của trục ch u xo n 74 
4.2.2 Ảnh hƣởng của d ng dao động riêng đến cấu hình tối ƣu của trục 79 
4.2.3 Tối ƣu đa mục tiêu đ ng thời các tần số riêng của trục 80 
4.2.4 Tối ƣu đa mục tiêu đ ng thời tần số riêng và tổng khối lƣợng của trục 82 
4.2.5 Phân tích đ nh tính cấu hình tối ƣu tƣơng đƣơng của các trục ch u dao động 
xo n có chiều dài và điều kiện biên khác nhau 83 
4.2.6 Phân tích đ nh lƣợng cấu hình tối ƣu tƣơng đƣơng của các trục ch u dao động 
xo n có chiều dài và điều kiện biên khác nhau 87 
4.2.7 Dao động cƣ ng bức của trục xo n ch u kích động điều h a 89 
4.2.8 Nhận x t 90 
4.3 Bài toán 3: Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu thanh ch u dao động dọc s dụng PMP 90 
4.3.1 Tối ƣu tần số riêng của thanh ch u dao động dọc s dụng PMP 91 
4.3.2 Tối ƣu đa mục tiêu đ ng thời tần số riêng thứ nhất và tổng khối lƣợng của 
thanh s dụng PMP 93 
4.3.3 Ảnh hƣởng của khối lƣợng tập trung đến cấu hình tối ƣu của thanh 95 
4.3.4 Phân tích đ nh tính và đ nh lƣợng cấu hình tối ƣu tƣơng đƣơng của các thanh 
ch u dao động dọc 95 
4.3.5 Dao động cƣ ng bức của thanh ch u kích động điều h a dọc trục 97 
4.3.6 Nhận x t 98 
4.4 Bài toán 4: Ví dụ số về bài toán độ cứng dầm ch u uốn s dụng PMP 99 
4.4.1 Tính toán dầm cho độ cứng nh nhất, điều khiển on – off 99 
4.4.2 Tính toán dầm cho độ cứng lớn nhất 102 
4.5 Kết luận chƣơng 4 103 
KẾT LUẬN VÀ CÁC HƢỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 105 
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 107 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 108 
A. Thí nghiệm số khảo sát tập giải pháp khả thi 113 
B. Tính kiểm nghiệm trên phân mềm ANSYS 117 
C. Lựa chọn cấu hình trục tối ƣu 131 
D. Sơ đồ chi tiết thuật toán i toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu tần số riêng 
v tổng khối ƣ ng của i toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu 132 
iii 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 
Kí hiệu Đơn vị Chú thích 
a m Chiều dài quy ƣớc 
A m
2
 Diện tích m t c t ngang của thanh 
B m Chiều rộng m t c t ngang của dầm 
b* Hằng số 
ci Hệ số trong hàm mục tiêu 
cW Hệ số trong hàm mục tiêu 
de m Đƣờng kính đo n thứ e của trục/thanh 
dmax m Đƣờng kính lớn nhất 
dmin m Đƣờng kính nh nhất 
E N/m
2
 Mô đun đàn h i k o, n n 
F Hàm mục tiêu 
f Tần số của lực kích động điều h a 
G N/m
2
 Mô đun đàn h i trƣợt 
H Hàm Hamilton 
[ ]H Ma trận truyền của toàn bộ trục thanh 
[ ]eH Ma trận truyền của đo n trục thanh thứ e 
h m Chiều cao m t c t ngang của dầm 
Jp m
4
 Mô men quán tính m t c t ngang của trục 
k Hệ số tỉ lệ giữa hệ phƣơng trình vi phân tr ng thái ban 
đầu và hệ liên hợp trong hàm Hamilton 
   
T
1 2 , , , i nk k k k Các trọng số 
kW Trọng số giữa tần số và khối lƣợng 
ki Trọng số giữa các tần số 
L m Tổng chiều dài của trục thanh 
Le m Chiều dài đo n thứ e của trục thanh 
l m Chiều dài tính từ đầu bên trái của trục thanh 
M Nm Mô men xo n, uốn 
(x): kg/m Khối lƣợng đơn v dài của thanh 
MH Biến tr ng thái liên hợp 
n Số nút 
nL Số nguyên dƣơng 
Q N Lực c t 
Mp Biến liên hợp của M 
Np Biến liên hợp của N 
Qp Biến liên hợp của Q 
up Biến liên hợp của u 
vp Biến liên hợp của v 
Wp Biến liên hợp của W 
 p Biến liên hợp của 
p Biến liên hợp của  
R1, R2, R12, RW Các hệ số tỉ lệ không thứ nguyên 
S m
2
 Diện tích m t c t ngang của trục 
t giây Thời gian 
t0 giây Thời điểm đầu 
tf giây Thời điểm cuối 
   
T
1 2 , , ,  rU U U U V c tơ biến điều khiển 
Umin Cận dƣới của biến điều khiển 
Umax Cận trên của biến điều khiển 
(x, t)u m Chuyển v dọc trục của thanh 
y m Độ võng 
yH Độ võng liên hợp 
W kg Tổng khối lƣợng của trục thanh 
W0 kg Tổng khối lƣợng của trục thanh ban đầu 
   
T
1 2 , , ,i nq q q q  Các biến thiết kế tr ng thái 
x Trục của trục thanh 
 q V c tơ biến tr ng thái 
x0 m Tọa độ đầu 
xf m Tọa độ cuối 
 kg/m3 Khối lƣợng riêng 
 N/m
3
 Trọng lƣợng riêng 
 rad Góc xo n, góc xoay 
 H Biến tr ng thái liên hợp 
0i 1/s Tần số riêng thứ i của kết cấu trƣớc tối ƣu 
i 1/s Tần số riêng thứ i của kết cấu 
1Par Tần số riêng thứ nhất không thứ nguyên của kết cấu 
BC Điều kiện biên (Boundary Of Freedom) 
DOF Bậc tự do (Degree Of Freedom). 
NCS Nghiên cứu sinh. 
TH Trƣờng hợp 
NOC Điều kiện cần tối ƣu (Optimal Necessary Condition). 
OF Hàm mục tiêu 
PMP Nguyên lý cực đ i Pontryagin (Pontryagin’s Maximum 
Principle). 
PTVP Phƣơng trình vi phân 
PS Không gian tham số (Parametric Space). 
SS Không gian tr ng thái (State Space). 
vi 
DANH MỤC CÁC BẢNG 
Trang 
Bảng 4.1 Tần số riêng thứ nhất và thứ hai (rad s) của kết cấu trục ngàm - tự do. 69 
Bảng 4.2 Tần số riêng thứ nhất và thứ hai (rad s) tối ƣu của kết cấu trục ngàm – tự do.
 70 
Bảng 4.3 Tần số riêng thứ nhất và thứ hai (rad s) của kết cấu thanh ngàm – tự do. 71 
Bảng 4.4 Tần số riêng thứ nhất và thứ hai (rad s) tối ƣu của kết cấu thanh ngàm- tự do.
 72 
Bảng 4.5 Các trƣờng hợp mô ph ng. 74 
Bảng 4.6 Các tập Pareto của 2 mục tiêu 1 và 2. 82 
Bảng 4.7 Các tập Pareto của 2 mục tiêu 1 và W. 83 
Bảng 4.8 Các trƣờng hợp khảo sát cấu hình tối ƣu tƣơng đƣơng của trục. 84 
Bảng 4.9 Các kết quả 1, 2, 4, 8 và W trong các trƣờng hợp khảo sát. 87 
Bảng 4.10 Các trƣờng hợp khảo sát của thanh ch u dao động dọc tự do. 91 
Bảng 4.11 Mức độ trade-off giữa các mục tiêu của thanh. 94 
Bảng 4.12 Các trƣờng hợp khảo sát và kết quả tối ƣu của thanh để phân tích cấu hình 
tối ƣu tƣơng đƣơng. 96 
vii 
DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH, ĐỒ THỊ 
Trang 
Hình 1.1 Các kết cấu, bộ phận máy ch u tải trọng động có thể gây ra dao động dọc, dao 
động xo n và dao động uốn [https: www.google.com.vn ]. 9 
Hình 1.2 Các d ng dao động của kết cấu thanh (trục). 10 
Hình 1.3 Mô hình dao động xo n của trục có thiết diện thay đổi. 19 
Hình 1.4 Mô hình dao động dọc của thanh có thiết diện thay đổi. 20 
Hình 1.5 Mô hình dao động uốn của thanh (dầm) có thiết diện thay đổi. 20 
Hình 1.6 Mô hình khảo sát tính toán tối ƣu kết cấu thanh(trục) đã thiết kế 21 
Hình 2.1 Trục tr n ch u xo n. 24 
Hình 2.2 Thanh ch u dao động dọc. 25 
Hình 2.3 Thanh ch u uốn. 26 
Hình 2.4 Sơ đ hệ thống của quá trình l p. 38 
Hình 2.5 Hệ trục 6 bậc. 42 
Hình 2.6 Tập giải pháp khả thi và các tập Pareto. 47 
Hình 3.1 Hệ trục n-1 bậc. 49 
Hình 3.2 Sơ đ thuật toán của bài toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu tần số riêng và 
tổng khối lƣợng của hệ trục xo n. 54 
Hình 3.3 Thanh th ng g m n-1 đo n và n khối lƣợng tập trung. 54 
Hình 3.4 3 khả năng d ng hàm l i H. 61 
Hình 3.5 Dầm hai bậc theo điều kiện độ cứng nh nhất. 62 
Hình 3.6 Dầm với bề rộng giảm đơn điệu theo điều kiện độ cứng lớn nhất. 64 
Hình 3.7 Dầm bậc gần với cấu hình với bề rộng giảm đơn điệu. 65 
Hình 3.8 Dầm ngàm – tự do. 65 
Hình 4.1 Tập giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của trục 6 đo n. 70 
Hình 4.2 Mô hình thanh 6 đo n. 71 
Hình 4.3 Tập giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của thanh 6 đo n. 72 
Hình 4.4 Sự thay đổi của 1, 2, W trong các trƣờng hợp mô ph ng (ngàm - tự do). 75 
Hình 4.5 Sự thay đổi của 1, 2, W trong các trƣờng hợp mô ph ng (tự do - tự do). 75 
Hình 4.6 Sự thay đổi của 1, 2, W trong các trƣờng hợp mô ph ng (ngàm - ngàm). 76 
Hình 4.7 Cấu hình tối ƣu của trục TH 2 với n = 21, 41 và 81 nút. 76 
viii 
Hình 4.8 Sự thay đổi của 1R , 2R , 12R , WR trong các trƣờng hợp mô ph ng. 77 
Hình 4.9 Sự thay đổi của cấu hình tối ƣu theo chiều dài của trục, TH 2. 77 
Hình 4.10 Sự thay đổi của cấu hình tối ƣu theo chiều dài của trục, TH 3. 78 
Hình 4.11 Sự thay đổi của cấu hình tối ƣu theo chiều dài của trục, TH 4. 78 
Hình 4.12 Sự thay đổi của cấu hình tối ƣu theo chiều dài của trục, TH 5. 78 
Hình 4.13 D ng dao động riêng thứ nhất của trục. 79 
Hình 4.14 D ng dao động riêng thứ hai của trục. 79 
Hình 4.15 Tập giải pháp khả thi của 2 mục tiêu 1 và 2. 81 
Hình 4.16 Tập giải pháp khả thi của 2 mục tiêu 1 và W. 83 
Hình 4.17 D ng riêng và cấu hình tối ƣu đ nh tính của các trục trong các trƣờng hợp 
TH1-6. 85 
Hình 4.18 Cấu hình trục tối ƣu TH1 và TH3. 87 
Hình 4.19 Cấu hình trục tối ƣu TH2, TH4, TH5 và TH6. 88 
Hình 4.20 Đáp ứng tần số của trục trong các trƣờng hợp TH 1-5. 89 
Hình 4.21 Các cấu hình tối ƣu của thanh. 92 
Hình 4.22 Thay đổi của 1R , 2R , 12R , WR 
của thanh. 92 
Hình 4.23 Tập Pareto
của thanh. 94 
Hình 4.24 Ảnh hƣởng của khối lƣợng tập trung đến cấu hình tối ƣu
của thanh trong 
trƣờng hợp 1 max. 95 
Hình 4.25 Cấu hình thanh tối ƣu TH 1 và TH 3. 96 
Hình 4.26 Cấu hình thanh tối ƣu TH 2, TH 4, TH 5 và TH 6. 97 
Hình 4.27 Đáp ứng tần số của thanh trong các trƣờng hợp TH 1-5. 98 
Hình 4.28 Đ th xác đ nh độ võng lớn nhất t i đầu tự do của dầm phụ thuộc v trí điểm 
chuyển bậc của dầm. 101 
Hình 4.29 Dầm hai bậc tăng độ cứng 102 
Hình 4.30 Đ th xác đ nh độ võng nh nhất t i đầu tự do của dầm phụ thuộc v trí 
điểm chuyển bậc của dầm. 102 
1 
MỞ ĐẦU 
1. Tính cấp thiết của đề tài 
Điều khiển là sự tác động lên đối tƣợng, hệ thống, quá trình,... có tác dụng duy trì ho c 
thay đổi tr ng thái của hệ thống theo quy luật mong muốn. Có thể tìm đƣợc các quy luật 
điều khiển khác nhau cùng th a mãn yêu cầu điều khiển đ t ra. Do vậy, thƣờng quá trình 
điều khiển c n có yêu cầu phải tối ƣu theo một nghĩa nào đó, ch ng h n, thời gian điều 
khiển ng n nhất, năng lƣợng tiêu hao ít nhất,..., khi đó ta gọi là điều khiển tối ƣu. Điều 
khiển tối ƣu đƣợc áp dụng nhiều trong kỹ thuật. Ch ng h n, trong động lực học máy, trong 
các máy gia công cơ khí, các thiết b vận chuyển, các quá trình sản xuất tự động, ... yêu cầu 
tối ƣu là thời gian thực hiện ng n nhất, tiêu hao nhiên liệu ít nhất, độ sai lệch nh nhất,... 
Đối với các công trình, kết cấu, bộ phận máy,... yêu cầu tối ƣu về vật liệu, kích thƣớc, khối 
lƣợng kết cấu, nhằm đ t đƣợc tiêu chuẩn đề ra, đảm bảo độ an toàn cao, độ nguy hiểm nh 
nhất,... 
Các máy móc, thiết b , công trình và kết cấu thƣờng ch u tải trọng động sinh ra bởi ho t 
động của máy ho c đƣợc truyền từ các máy, thiết b khác, ho c từ môi trƣờng. Tải trọng 
động làm xuất hiện dao động, c n gọi là rung động trong các máy, công trình và kết cấu. 
Trong điều kiện đ i h i của phát triển sản xuất, các hệ thống làm việc với tốc độ ngày càng 
cao, rung động càng lớn. Dao động có thể có h i ho c có ích. Trong nhiều trƣờng hợp, dao 
động có hại ảnh hƣởng đến sự làm việc ổn đ nh, độ chính xác, độ bền, tuổi thọ,  của các 
máy, cơ cấu, hệ thống.v.v. Dao động có h i c n ảnh hƣởng đến sức kh e, sự an toàn, sự dễ 
ch u, tuổi thọ của con ngƣời [8]. Với các dao động có lợi, có thể ứng dụng để phục vụ con 
ngƣời trong sản xuất và đời sống, ch ng h n, các cảm biến rung, tốc kế rung, máy sàng 
rung, máy đầm rung, máy khoan rung, nghiền rung, tiếp liệu rung, 
Lý thuyết dao động đã chỉ ra rằng tần số riêng và d ng dao động riêng là những đ c 
trƣng quan trọng của quá trình dao động [8]. Khi tần số dao động cƣ ng bức trùng ho c 
gần với tần số dao động riêng sẽ xảy ra hiện tƣợng cộng hƣởng làm dao động tăng lên rất 
m nh. Do vậy kiểm soát và điều khiển đƣợc quá trình dao động, đ c biệt là hiện tƣợng 
cộng hƣởng là yêu cầu rất cần thiết. Có nhiều phƣơng pháp để thực hiện việc kiểm soát và 
điều khiển quá trình dao động, trong đ ... eneral 
boundary conditions. Computers & Mathematics with Applications, 67(3): pp. 527-
541. 
[68] Tran Duc-Trung, Bui Hai-Le (2010). Optimal design of beams in free bending 
vibration. International Conference on Engineering Mechanics and Automation 
(ICEMA 2010) Hanoi, July 1-2: pp. 260-267. 
[69] Tran Duc Trung, Bui Hai Le (2009). Optimal control for eigenfrequencies of a 
torsional shaft system including TMD effects. T p chí Khoa học và Công nghệ - 
Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, 47(4): pp. 37-47. 
[70] Tran Duc Trung, Bui Hai Le, Cao Quoc Huong (2010). Analyzing and optimizing of 
a Pflüger column. T p chí Khoa học và Công nghệ - Viện Khoa học và Công nghệ 
Việt Nam, 48(5): pp. 1-12. 
[71] Vigneshwaran K, Behera RK (2014). Vibration analysis of a simply supported 
beam with multiple breathing cracks. Procedia Engineering, 86: pp. 835-842. 
[72] Yonghua Wang Yuehong Li, Yiquan Zheng, Ting Liang and Yuli Fu (2015). A 
Linear Weighted Sum Multi-objective Optimization Algorithm Based on PSO for 
Wideband Spectrum Sensing. iJOE, 11(9). 
T i iệu tham khảo Tiếng Nga 
[73] Бабаков И.М. (2004). Теория колебаний. Москва. 
[74] ГРИНЕВ В. Б., ФИЛИП А. П. (1975). Об оптимальных очертаниах стержней 
в задачах устойчивости. Строительная механика и расчет сооружений, No 2. 
[75] ГРИНЕВ В. Б. (1975). Оптимальная форма стержней минимального веса 
при заданной частоте. Прикладная механика, том XI, №3.- Киев: Изд. 
“Наукова думка”. 
112 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[76] Ту Юлиус (1971). Современная теория управления. Москва, 
Машиностроение. 
[77] Чyнг Чaн Дык, Зyнг Нгyeн (1979). K зaдaчe o cтepжнe c oптимaльнoй 
жѐcткocтью. Стpoитeл нaя механикa и pacчёт coopyжeний, Mocквa, 6: pp. 
72-74. 
[78] Чyнг Чaн Дык, Зyнг Нгyeн (1979). Нeкoтopыe зaдaчи оптимизации 
cтepжнeй. Пpклaднaя механикa, , Киeв, XV(7): pp. 95-100. 
113 
PHỤ LỤC 
A. Thí nghiệm số khảo sát tập giải pháp khả thi 
Trong phần này trình bày việc thí nghiệm số, khảo sát tập các giải pháp khả thi đối với 
bài toán tối ƣu hóa đa mục tiêu đƣợc khảo sát trong luận án. 
I. Bài toán trục 
X t mô hình trục tr n ch u dao động xo n, điều kiện biên ngàm – tự do nhƣ trên Hình 
2.5 với các số liệu: n = 7 nút (6 đo n), mô đun đàn h i trƣợt G = 0.769 1011 N/m2, khối 
lƣợng riêng = 8000 kg/m3, chiều dài mỗi đo n trục Le = 0.1 m. Đƣờng kính của các đo n 
trục đều là 0.02 m. Giả s , đƣờng kính của các đo n trục có thể thay đổi trong khoảng 
 0.01, 0.02ed m. Áp dụng phƣơng pháp v t c n để tìm tập các giải pháp khả thi nhằm 
kiểm tra khả năng áp dụng phƣơng pháp tổng có trọng số (Weighted Sum Method-WSM). 
Hình A.1.1. Tập giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của tr c 6 đoạn, 
 de = 0.005m 
114 PHỤ LỤC 
Hình A.1.1 biểu diễn tập các giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của trục 6 
đo n khi ta cho các biến thiết kế là đƣờng kính của các đo n trục de (e = 1÷6) đƣợc rời r c 
hóa với bƣớc de = 0.005m. 
Hình A.1.2. Tập giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của tr c 6 đoạn, 
 de = 0.0025m 
Hình A.1.2 biểu diễn tập các giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của trục khi 
đƣờng kính của các đo n trục de (e = 1÷6) đƣợc rời r c hóa với bƣớc de = 0.0025m. 
Hình A.1.2. Tập giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của tr c 6 đoạn, 
 de = 0.002m 
PHỤ LỤC 115 
Hình A.1.3 biểu diễn tập các giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của trục khi 
đƣờng kính của các đo n trục de (e = 1÷6) đƣợc rời r c hóa với bƣớc de = 0.002m. 
II. Bài toán thanh 
X t mô hình thanh tr n ch u dao động dọc, điều kiện biên ngàm – tự do nhƣ trên Hình 
4.2 với các số liệu: n = 7 nút (6 đo n), mô đun đàn h i k o n n E = 2 1011 N/m2, khối 
lƣợng riêng = 8000 kg/m3, chiều dài mỗi đo n trục Le = 0.1 m. Đƣờng kính của các đo n 
trục đều là 0.02 m. Giả s , đƣờng kính của các đo n trục có thể thay đổi trong khoảng 
 0.01, 0.02ed m. Các tập giải pháp khả thi đƣợc biểu diễn trên các hình A.2.1, A.2.2, 
A.2.3. 
Hình A.2.1 biểu diễn tập các giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của thanh 6 
đo n khi ta cho các biến thiết kế là đƣờng kính của các đo n thanh de (e = 1÷6) đƣợc rời 
r c hóa với bƣớc de = 0.005m. 
Hình A.2.1. Tập giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của thanh 6 đoạn, 
 de = 0.005m 
116 PHỤ LỤC 
Hình A.2.2 biểu diễn tập các giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của thanh 6 
đo n khi ta cho các biến thiết kế là đƣờng kính của các đo n thanh de (e = 1÷6) đƣợc rời 
r c hóa với bƣớc de = 0.0025m. 
Hình A.2.2. Tập giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của thanh 6 đoạn, 
 de = 0.0025m 
Hình A.2.3. Tập giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của thanh 6 đoạn, 
 de = 0.002m 
PHỤ LỤC 117 
Hình A.2.3 biểu diễn tập các giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của thanh 6 
đo n khi ta cho các biến thiết kế là đƣờng kính của các đo n thanh de (e = 1÷6) đƣợc rời 
r c hóa với bƣớc de = 0.002m. 
B. Tính kiểm nghiệm trên phân mềm ANSYS 
Trong phần này trình bày tính toán kiểm nghiệm trên phần mềm ANSYS một số trƣờng 
hợp tối ƣu hóa kết cấu trục ch u dao động xoán và thanh ch u dao động dọc để so sánh với 
trục khi chƣa tối ƣu nhằm kiểm tra thuật toán. 
Kết quả là đảm bảo độ tin cậy. 
I. B i toán trục 
I.1. Chƣơng trình tính bằng ANSYS: 
================================================ 
 PREP7 !bƣớc tiền x lý 
n=7 !số nút 
G=0.769e11 !N/m2 - mô đun đàn h i trƣợt 
mu=0.3!hệ số poát xông 
ro=8000 !kg/m3 - khối lƣợng riêng 
li=0.1!m - chiều dài mỗi đo n trục 
!đƣờng kính các đo n trục (m) 
d1=0.02 
d2=0.02 
d3=0.02 
d4=0.02 
d5=0.02 
d6=0.02 
!kiểu phần t ống 
ET,1,PIPE16 
!khai báo m t c t ngang cho 6 đo n trục 
118 PHỤ LỤC 
R,1,d1,d1/2, , , , , 
R,2,d2,d2/2, , , , , 
R,3,d3,d3/2, , , , , 
R,4,d4,d4/2, , , , , 
R,5,d5,d5/2, , , , , 
R,6,d6,d6/2, , , , , 
!khai báo vật liệu 
MPTEMP,1,0 
MPDATA,EX,1,,2*G*(1+mu) 
MPDATA,PRXY,1,,mu 
MPDATA,DENS,1,,ro 
!dựng hình 
K,1,0,0,0*li, 
K,2,0,0,1*li, 
K,3,0,0,2*li, 
K,4,0,0,3*li, 
K,5,0,0,4*li, 
K,6,0,0,5*li, 
K,7,0,0,6*li, 
LSTR,1,2 
LSTR,2,3 
LSTR,3,4 
LSTR,4,5 
LSTR,5,6 
LSTR,6,7 
!gán thuộc tính cho từng đo n (vật liệu, m t c t ngang, kiểu phần t ) 
LSEL, , , ,1 
LATT,1,1,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
PHỤ LỤC 119 
LSEL, , , ,2 
LATT,1,2,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
LSEL, , , ,3 
LATT,1,3,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
LSEL, , , ,4 
LATT,1,4,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
LSEL, , , ,5 
LATT,1,5,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
LSEL, , , ,6 
LATT,1,6,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
!chia lƣới 
LESIZE,all, , ,1, , , , ,1 
LMESH,all 
 SOL !bƣớc giải 
!khai báo kiểu phân tích dao động tự do 
ANTYPE,2 
MXPAND,5, , ,0 
MODOPT,LANB,5,0,0, ,OFF 
!điều kiện biên 
DK,all, ,0, ,0,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY, , 
DK,1, ,0, ,0,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ, 
120 PHỤ LỤC 
!giải 
SOLVE 
================================================ 
I.2. Kết quả cho Bảng 4.1 (chƣa tối ƣu): 5 tần số riêng đầu tiên (Hz) 
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** 
!đƣờng kính các đo n trục (m) 
d1=0.02 
d2=0.02 
d3=0.02 
d4=0.02 
d5=0.02 
d6=0.02 
 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 
 1 1295.5 1 1 1 
 2 3975.7 1 2 2 
 3 6923.7 1 3 3 
 4 10277. 1 4 4 
 5 13889. 1 5 5 
Nhƣ vậy, 1 = 8139.87 (rad/s) và 2 = 24980,05 (rad/s) 
Hình B.1.1. Dạng riêng thứ nhất của tr c chưa tối ưu 
PHỤ LỤC 121 
Hình B.1.2. Dạng riêng thứ hai của tr c chưa tối ưu 
I.3. Kết quả cho Bảng 4.2 (tối ƣu, 1 max ): 5 tần số riêng đầu tiên (Hz) 
!đƣờng kính các đo n trục (m) 
d1=0.02 
d2=0.02 
d3=0.016 
d4=0.012 
d5=0.01 
d6=0.01 
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** 
 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 
 1 2410.9 1 1 1 
 2 3710.9 1 2 2 
 3 6926.7 1 3 3 
 4 10274. 1 4 4 
 5 14219. 1 5 5 
Nhƣ vậy, 1 = 15148.13 (rad/s) và 2 = 23316.27 (rad/s) 
122 PHỤ LỤC 
Hình B.1.3. Dạng riêng thứ nhất của tr c tối ưu, 1 max 
Hình B.1.4. Dạng riêng thứ hai của tr c tối ưu, 1 max 
I.4. Kết quả cho Bảng 4.2 (tối ƣu, 1 min ): 5 tần số riêng đầu tiên (Hz) 
!đƣờng kính các đo n trục (m) 
d1=0.01 
d2=0.01 
d3=0.01 
d4=0.02 
d5=0.02 
d6=0.02 
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** 
 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 
PHỤ LỤC 123 
 1 403.06 1 1 1 
 2 4950.9 1 2 2 
 3 5868.6 1 3 3 
 4 11518. 1 4 4 
 5 12656. 1 5 5 
Nhƣ vậy, 1 = 2532.50 (rad/s) và 2 = 31107.42 (rad/s) 
I.5. Kết quả cho Bảng 4.2 (tối ƣu, 2 max ): 5 tần số riêng đầu tiên (Hz) 
!đƣờng kính các đo n trục (m) 
d1=0.02 
d2=0.01 
d3=0.01 
d4=0.02 
d5=0.02 
d6=0.01 
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** 
 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 
 1 586.36 1 1 1 
 2 7024.7 1 2 2 
 3 7796.8 1 3 3 
 4 9319.1 1 4 4 
 5 10163. 1 5 5 
Nhƣ vậy, 1 = 3684.21 (rad/s) và 2 = 44137.49 (rad/s) 
I.6. Kết quả cho Bảng 4.2 (tối ƣu, 2 min ): 5 tần số riêng đầu tiên (Hz) 
!đƣờng kính các đo n trục (m) 
d1=0.01 
d2=0.02 
d3=0.02 
d4=0.01 
d5=0.01 
d6=0.02 
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** 
124 PHỤ LỤC 
 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 
 1 586.36 1 1 1 
 2 1211.9 1 2 2 
 3 7796.8 1 3 3 
 4 9319.1 1 4 4 
 5 16718. 1 5 5 
Nhƣ vậy, 1 = 3684.21 (rad/s) và 2 = 7614.59 (rad/s) 
II. Bài toán thanh 
II.1. Chƣơng trình tính bằng ANSYS: 
================================================ 
 PREP7 !bƣớc tiền x lý 
n=7 !số nút 
E=2e11 !N/m2 - mô đun đàn h i k o n n 
mu=0.3!hệ số poát xông 
ro=8000 !kg/m3 - khối lƣợng riêng 
li=0.1!m - chiều dài mỗi đo n thanh 
!đƣờng kính các đo n thanh (m) 
d1=0.02 
d2=0.02 
d3=0.02 
d4=0.02 
d5=0.02 
d6=0.02 
!kiểu phần t ống 
ET,1,PIPE16 
!khai báo m t c t ngang cho 6 đo n thanh 
R,1,d1,d1/2, , , , , 
R,2,d2,d2/2, , , , , 
R,3,d3,d3/2, , , , , 
R,4,d4,d4/2, , , , , 
PHỤ LỤC 125 
R,5,d5,d5/2, , , , , 
R,6,d6,d6/2, , , , , 
!khai báo vật liệu 
MPTEMP,1,0 
MPDATA,EX,1,,E 
MPDATA,PRXY,1,,mu 
MPDATA,DENS,1,,ro 
!dựng hình 
K,1,0,0,0*li, 
K,2,0,0,1*li, 
K,3,0,0,2*li, 
K,4,0,0,3*li, 
K,5,0,0,4*li, 
K,6,0,0,5*li, 
K,7,0,0,6*li, 
LSTR,1,2 
LSTR,2,3 
LSTR,3,4 
LSTR,4,5 
LSTR,5,6 
LSTR,6,7 
!gán thuộc tính cho từng đo n (vật liệu, m t c t ngang, kiểu phần t ) 
LSEL, , , ,1 
LATT,1,1,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
LSEL, , , ,2 
LATT,1,2,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
126 PHỤ LỤC 
LSEL, , , ,3 
LATT,1,3,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
LSEL, , , ,4 
LATT,1,4,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
LSEL, , , ,5 
LATT,1,5,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
LSEL, , , ,6 
LATT,1,6,1, , , , 
LSEL, , , ,all 
!chia lƣới 
LESIZE,all, , ,1, , , , ,1 
LMESH,all 
 SOL !bƣớc giải 
!khai báo kiểu phân tích dao động tự do 
ANTYPE,2 
MXPAND,5, , ,0 
MODOPT,LANB,5,0,0, ,OFF 
!điều kiện biên 
DK,all, ,0, ,0,UX,UY,,ROTX,ROTY, ROTZ, 
DK,1, ,0, ,0,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ, 
!giải 
SOLVE 
================================================ 
PHỤ LỤC 127 
II.2. Kết quả cho Bảng 4.3 (chƣa tối ƣu): 5 tần số riêng đầu tiên (Hz) 
!đƣờng kính các đo n thanh (m) 
d1=0.02 
d2=0.02 
d3=0.02 
d4=0.02 
d5=0.02 
d6=0.02 
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** 
 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 
 1 2089.3 1 1 1 
 2 6411.6 1 2 2 
 3 11166. 1 3 3 
 4 16574. 1 4 4 
 5 22398. 1 5 5 
Nhƣ vậy, 1 = 13127.46 (rad/s) và 2 = 40285.27 (rad/s) 
Hình B.2.1. Dạng riêng thứ nhất của thanh chưa tối ưu 
128 PHỤ LỤC 
Hình B.2.2. Dạng riêng thứ hai của thanh chưa tối ưu 
II.3. Kết quả cho Bảng 4.4 (tối ƣu, 1 max ): 5 tần số riêng đầu tiên (Hz) 
!đƣờng kính các đo n thanh (m) 
d1=0.02 
d2=0.02 
d3=0.018 
d4=0.012 
d5=0.01 
d6=0.01 
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** 
 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 
 1 2993.0 1 1 1 
 2 5952.2 1 2 2 
 3 11468. 1 3 3 
 4 16234. 1 4 4 
 5 22971. 1 5 5 
 Nhƣ vậy, 1 = 18805.57 (rad/s) và 2 = 37398.78 (rad/s) 
PHỤ LỤC 129 
Hình B.2.3. Dạng riêng thứ nhất của thanh tối ưu, 1 max 
Hình B.2.4. Dạng riêng thứ hai của thanh tối ưu, 1 max 
II.4. Kết quả cho Bảng 4.4 (tối ƣu, 1 min ): 5 tần số riêng đầu tiên (Hz) 
!đƣờng kính các đo n thanh (m) 
d1=0.01 
d2=0.01 
d3=0.08 
d4=0.02 
d5=0.02 
d6=0.02 
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** 
 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 
130 PHỤ LỤC 
 1 1231.1 1 1 1 
 2 7341.0 1 2 2 
 3 10143. 1 3 3 
 4 17759. 1 4 4 
 5 21224. 1 5 5 
Nhƣ vậy, 1 = 7735.23 (rad/s) và 2 = 46124.86 (rad/s) 
II.5. Kết quả cho Bảng 4.4 (tối ƣu, 2 max ): 5 tần số riêng đầu tiên (Hz) 
!đƣờng kính các đo n thanh (m) 
d1=0.02 
d2=0.01 
d3=0.01 
d4=0.02 
d5=0.02 
d6=0.01 
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** 
 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 
 1 1640.3 1 1 1 
 2 9264.2 1 2 2 
 3 11711. 1 3 3 
 4 15963. 1 4 4 
 5 18818. 1 5 5 
Nhƣ vậy, 1 = 10306.31 (rad/s) và 2 = 58208.69 (rad/s) 
II.6. Kết quả cho Bảng 4.4 (tối ƣu, 2 min ): 5 tần số riêng đầu tiên (Hz) 
!đƣờng kính các đo n thanh (m) 
d1=0.01 
d2=0.02 
d3=0.02 
d4=0.01 
d5=0.01 
d6=0.02 
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** 
PHỤ LỤC 131 
 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 
 1 1640.3 1 1 1 
 2 3722.7 1 2 2 
 3 11711. 1 3 3 
 4 15963. 1 4 4 
 5 25516. 1 5 5 
Nhƣ vậy, 1 = 10306.31 (rad/s) và 2 = 23390.41 (rad/s) 
C. Lựa chọn cấu hình trục tối ƣu 
Trong phần này nêu một ví dụ chọn cấu hình trục, thanh tối ƣu dựa vào kết quả tính 
toán nhận đƣợc ở chƣơng 4. 
X t thanh ch u dao động dọc, bài toán tối ƣu đa mục tiêu tần số thứ nhất và khối lƣợng, 
hàm mục tiêu chung (2.74) đƣa về d ng: 
1
01 0
(1 ) minW W
W
F k k
W
 


Hình 4.23 Tập Pareto
của thanh. 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
0 
10 
20 
30 
40 
50 
60 
70 
80 
90 
100 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
1Par, % 
W
P
ar
, 
%
O 
132 PHỤ LỤC 
Trên tập Pareto hình 4.23, điểm A ứng với kωW = 0, nghĩa là 1 max, đây chính là 
TH 2 trong bài toán của mục 4.3.1. Ứng với mục tiêu tối ƣu của TH 2 ta có cấu hình thanh 
đƣợc chỉ ra trên hình 4.21. 
Hình 4.21 Các cấu hình tối ưu của thanh. 
Ứng với cấu hình thanh trên hình 4.21 ta có kết quả tính toán tối ƣu cho thanh nhƣ đƣợc 
biểu diễn ở hình 4.22. Ta thấy trong TH 2 (1 max), tối ƣu so với TH 1 chƣa tối ƣu. 
Hình 4.22 Thay đổi của 1R , 2R , 12R , WR 
của thanh. 
D. Sơ đồ chi tiết thuật toán i toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu tần số 
riêng v tổng khối ƣ ng của i toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 
l/L 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1 
TH 2 
TH 3 
TH 4 
TH 5 
T
h
ay
 đ
ổ
i 
củ
a 
đ
ƣ
ờ
n
g
 k
ín
h
th
an
h
 đ
ƣ
ợ
c 
ch
u
ẩn
 h
ó
a,
 d
e/
d
0
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
1 2 3 4 5
R1 
R2 
R12 
RW 
-100
-50
0
50
100
150
200
1 2 3 4 5
Series1
Series2
Series3
Series4
Các trƣờng hợp khảo sát 
T
h
ay
 đ
ổ
i 
củ
a 
tầ
n
 s
ố
 r
iê
n
g
v
à 
tổ
n
g
 k
h
ố
i 
lƣ
ợ
n
g
, 
%
PHỤ LỤC 133 
Hình D.1 Sơ đồ chi tiết thuật toán của bài toán điều khiển tối ưu đa m c tiêu tần số 
riêng và t ng khối lượng của hệ tr c xoắn.