Luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên đa trị, M - Phụ thuộc theo khối

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 2 (27) - Thaùng 3/2015
38 
LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC PHẦN TỬ 
NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, M- PHỤ THUỘC THEO KHỐI 
LÊ THỊ HẢI YẾN (*) 
TÓM TẮT 
Mục đích chính của bài báo này là thiết lập luật mạnh số lớn đối với dạng hội tụ 
Mosco cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị trong không gian Banach, m-phụ thuộc theo 
khối, cùng phân phối. 
Từ khóa: Phần tử ngẫu nhiên đa trị, M-phụ thuộc theo khối, hội tụ Mosco, luật mạnh 
số lớn. 
ABSTRACT 
The main aim of this paper is to establish the strong law of large numbers for sequence 
of blockwise m-dependent and identically multivalued random elements in Banach space 
with Mosco convergence. 
Keywords: Multivalued random element, blockwise m-dependent, Mosco convergence, 
strong law of large numbers. 
1. MỞ ĐẦU* 
Luật số lớn trong lý thuyết xác suất 
vừa là vấn đề cơ bản, lại vừa là vấn đề có 
nhiều ứng dụng và đang được nhiều tác giả 
quan tâm nghiên cứu. Năm 1987, trong [5], 
Moricz đã giới thiệu khái niệm dãy m-phụ 
thuộc theo khối và mở rộng luật số lớn 
Kolmogorov cho dãy biến ngẫu nhiên m-
phụ thuộc theo khối, không cùng phân 
phối. Trong bài báo này, trước hết chúng 
tôi sẽ thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy 
biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, 
cùng phân phối. Sau đó, chúng tôi mở rộng 
kết quả này cho dãy phần tử ngẫu nhiên m-
phụ thuộc theo khối, cùng phân phối, nhận 
giá trị trên không gian Banach thực, khả ly 
bất kỳ. Cuối cùng, chúng tôi thiết lập luật 
(*) ThS, Trường Cao đẳng Giao thông vận tải miền Trung 
mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên m 
- phụ thuộc theo khối, cùng phân phối nhận 
giá trị tập đóng trên không gian Banach. 
Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn 
giả thiết rằng ( , P) F , là không gian xác 
suất đầy đủ, .X, là không gian Banach 
thực, khả ly, 
 X là không gian đối ngẫu 
của X , )(B X là  - đại số các tập Borel 
của X , 1( ;L  X) là tập hợp các hàm đo 
được khả tích, nhận giá trị trên X . 
Ký hiệu c X là họ các tập con đóng 
khác rỗng của X , là tập tất cả các số 
thực. Trên c X ta xác định một cấu trúc 
tuyến tính với các phép toán được định 
nghĩa như sau: 
39 
 
 
: , ,
: .
A B a b a A b B
A a a A 
trong đó , , .A B c  X 
Ánh xạ F c : X được gọi là 
phần tử ngẫu nhiên đa trị (nhận giá trị tập 
đóng), nếu với mọi tập con mở G của 
thì tập con 
      1( ) : : ( )F G F G F. 
Ký hiệu [ , ]cM X là họ các phần tử 
ngẫu nhiên đa trị. 
Phần tử ngẫu nhiên f  : X được 
gọi là một lát cắt F -đo được (hay nói gọn 
là lát cắt đo được) của F nếu 
( ) ( )f F  với mọi .  
 - đại số Effros  trên c X là  -
đại số sinh bởi các tập con 
 : :G C c C G  X 
với G là một tập con mở trên . Khi 
đó, một hàm đa trị F c : X là đo 
được khi và chỉ khi F là (F ,)-đo được, 
nghĩa là với mọi B , chúng ta có 
1
( )F B
 F . 
Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F -đo 
được F , ta đặt 
 ( ) ( , ) : ( ) ( )h.c.cp pFS f L f F   F X
Kỳ vọng [ ]E F của biến ngẫu nhiên đa 
trị F được định nghĩa như sau 
 1[ ] : : ( )FE F Ef f S F với Ef là tích 
phân Bochner thông thường. 
Cho một -đại số con A của -đại 
số F và một biến ngẫu nhiên đa trị A -
đo được F c : X (nghĩa là 
1
( )F G
 A với mọi tập con mở G của 
). Với 1 ( )
F
S F và [ ]E F xác định trên
P( , ) F , , ta định nghĩa: 
 
 
1 1
( )
1
[ ,
( ) ( , P, ( ) ( )h.c.c ,
]= : ( .
,
)
F
F
E F
S f L f F
FdP Ef f S
 

  
A
A A
A A
X) :
Cho C X , ký hiệu clC là bao đóng 
(theo chuẩn), w clC là bao đóng (theo 
tôpô yếu), coC là bao lồi, coC là bao lồi 
đóng của C . 
Hàm khoảng cách (., )d C , hàm tựa 
( ,.)s C của C tương ứng được định nghĩa 
như sau 
 
 
( , ) inf : ,( ,
( , ) sup , : ,(
d x C x y y C x
s C x y x y C x
X)
X ).
Chúng ta còn định nghĩa 
 sup : .C x x C 
Cho t là một tôpô trên X và 
1
( )
n n
C
là một dãy nhận giá trị trên c X . Đặt: 
 
( )
lim , , 1 .
n k k n k
t lsC x x t x x C k  X : =
với 
( ) 1
( )
n k k
C
 là một dãy con của 
1
( )
n n
C
. Các tập con 
n
t liC và 
n
t lsC 
tương ứng gọi là giới hạn dưới và giới hạn 
trên của
1
( )
n n
C
, liên quan đến tôpô t . 
Chúng ta dễ dàng suy ra được rằng 
.
n n
t liC t lsC  
Chúng ta ký hiệu s (tương ứngw ) là 
tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn) (tương 
ứng, tôpô yếu) của X . 
Một tập con C
 được gọi là giới hạn 
dạng Mosco của dãy 
1
( )
n n
C
và được ký 
hiệu bởi lim
n n
M C nếu 
 lim , , 1 ,
n n n n
t liC x x t x x C n  X : =
40 
w .
n n
lsC s liC C
Điều này đúng khi và chỉ khi 
w .
n n
lsC C s liC
   
Hội tụ Mosco cho dãy các phần tử 
ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như trên 
bằng cách thay thế 
n
C bởi ( )
n
F  và C
bởi ( )F 
, các phát biểu là đúng h.c.c. 
Giả sử [ , ]cF  M X , ta có định 
nghĩa  -đại số con 
F
F của F như sau: 
 1 :F cF F B XU U với 
 1 ( ):F F  U U . Đó chính là 
 - đại số bé nhất mà F đo được. 
Một họ các biến ngẫu nhiên đa trị 
 ,
i
F i I được gọi là độc lập nếu họ các 
 -đại số ,
i
F
i I F là độc lập. 
Một dãy các biến ngẫu nhiên đa trị 
 , 1
n
nF được gọi là m-phụ thuộc theo khối 
nếu với p đủ lớn thì -đại số 
 12
( )
i
p
k
F
i
F độc 
lập với 
2 1
( ) khi - >
p
i
F
n
k mF , trong đó m, p 
là các số nguyên không âm. 
Theo [5], một dãy các phần tử ngẫu 
nhiên , 1
n
X n , nhận giá trị trên không 
gian Banach X được gọi là m-phụ thuộc 
theo khối nếu với p đủ lớn thì họ 
 1,2piX i k độc lập với họ 
 , 2 khi - >pnX n k m , trong đó m, 
p là các số nguyên không âm. 
Từ định nghĩa trên suy ra rằng, nếu 
 ,n 1
n
F là dãy biến ngẫu nhiên đa trị m-
phụ thuộc theo khối và 
1
( )
n n
n F F
f S F , thì 
 ,n 1
n
f là dãy phần tử ngẫu nhiên m-
phụ thuộc trong 1( ;L  X). 
Đối với dãy m-phụ thuộc theo khối, ta 
có định lý như sau 
Định lý 1.1. ([5], Theorem 1). Giả sử 
 , 1
n
X n là dãy biến ngẫu nhiên m-phụ 
thuộc theo khối. 
Khi đó, nếu 
2
1
n
n
DX
n
  , thì 
1
1
( E ) 0 . . khi .
n
k k
k
X X h c c n
n 
  
Nhận xét rằng, nếu trong Định lý 1.1, 
 , 1
n
X n là dãy biến ngẫu nhiên m-phụ 
thuộc theo khối, cùng phân phối với 
2
1
E X thì 
12 2
1 1
1
n
n n
DX
DX
n n
   . 
Do đó, dãy đó tuân theo luật mạnh số 
lớn. Cụ thể 
 1lim 0 h.c.c.,n
n
S nEX
n
 (1.1) 
trong đó 
1 2
.....
n n
S X X X . 
Tuy nhiên, trong định lý dưới đây, 
bằng kỹ thuật tương tự như trong chứng 
minh Định lý 4.1.5 ([2]), ta sẽ chứng minh 
rằng chỉ cần dãy , 1
n
X n có cùng phân 
phối với 
1
E X là sẽ có (1.1). 
Định lý 1.2. Giả sử , 1
n
X n là dãy 
biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo khối, 
cùng phân phối. Khi đó, nếu 
1
E X thì 
 1lim 0 . . . n
n
S nEX
h c c
n
 (1.2) 
 trong đó 
1 2
.....
n n
S X X X . 
Chứng minh. Đặt 
, Z .
n n
n n n n n nX n X n
Y X I X Y X I
41 
Do 
1
E X , nên ta có 
1
1
( 0) ( n) ( n) .
n
n n n
P Z P X P X
   
Từ Bổ đề Borel – Cantelli suy ra với 
xác suất 1 chỉ có hữu hạn 0
n
Z . Vậy 
1
1
lim 0 h.c.c.
n
k
n
k
Z
n 
  (1.3) 
Tiếp theo ta chứng minh 
2
1
.
n
n
DY
n
  
Gọi  là phân phối của 
1
X . Khi đó 
 
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
x n
DY E Y E Y E Y x d x
và 
 
2
2
2 2
1 1
( ) 1
( )
n
n n
x n
E Y
x d x
n n

   
 2
2
1 1 1
1
( )
n
n k k x k
x d x
n

   
2
2
1 1
1
( )
k n k k x k
x d x
n

  
2
2
1
1
1
( )
k n kk x k
x d x
n

  
2
1
1
1
( )
k n kk x k
k x d x
n

  
1 1
2 ( )
k k x k
x d x
  
1
2 .E X 
Có được bất đẳng thức ở dòng cuối là 
do với 2k 
2
1 1 1
2.
1 1n k n k
k
k k
n n kn
  
Còn với 1k thì 
2
1 2
1 1 1
1 2.
1n n n nn
  
Vì , 1
n
X n là dãy biến ngẫu nhiên 
m- phụ thuộc theo khối nên , 1
n
Y n là 
dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo 
khối. Do vậy, theo Định lý 1.1, tồn tại 
tập D với ( ) 1P D sao cho với mỗi 
D chuỗi 
( )
n n
n
Y EY
n
 
 hội tụ. Do 
đó theo Bổ đề Kronecker, với mỗi D 
ta có 
1
1
lim ( ) 0. 
n
k k
n
k
Y EY
n

  (1.4) 
Vì 
 
1
lim lim ( )
n
n n
x n
EY xd x EX
 , 
 nên 
1
1
1
lim . 
n
k
n
k
EY EX
n 
  (1.5) 
Do vậy từ (1.4) và (1.5) ta có với mỗi 
D 
1
1
1
lim ( ) .
n
k
n
k
Y EX
n

  (1.6) 
Vậy 
1
1
1
lim h.c.c. 
n
k
n
k
Y EX
n 
  (1.7) 
Từ (1.3) và (1.7) suy ra 
1
1
1
lim h.c.c. 
n
k
n
k
X EX
n 
  
Đó là điều phải chứng minh.  
2. KẾT QUẢ CHÍNH 
Trước hết, cần chú ý rằng, nếu X là 
không gian Banach thực, khả ly thì với mọi 
1n , xác định được ánh xạ đo được 
: 
n
 X X , sao cho với mỗi phần tử ngẫu 
nhiên khả tích : X  X , tồn tại dãy 
phần tử ngẫu nhiên đơn giản 
42 
 ( ), n 1
n n
X X để X
n
X khi 
n và 0
n
E X X khi .n 
Dựa vào chú ý trên, Định lý 1.2 và kỹ 
thuật tương tự trong chứng minh định lý 
4.2.1 ([1]) ta thu được định lý sau. 
Định lý 2.1. Cho , , 1
n
X X n là họ các 
phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không 
gian Banach thực khả ly X . Giả sử 
 , 1
n
X n là dãy m - phụ thuộc theo khối, 
cùng phân phối với X và E X . Khi đó 
1
1
 h.c.c khi n .
n
i
i
X EX
n 
  
Chứng minh. 
Đầu tiên, giả sử X là phần tử ngẫu 
nhiên đơn giản nhận các giá trị 
1 2
, ,...,
k
x x x lần lượt trên các tập 
1 2
, ,...,
k
A A A với ( ) 0, i=1, 2, ...,k
i
P A . Vì 
 , : 1
n
X X n cùng phân phối nên 
i
X cũng 
là phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận các 
giá trị 
1 2
, ,...,
k
x x x với ( ) ( )
i t t
P X x P A . 
Do đó 
( )
1
.
i t
k
i X x t
t
X I x
  
 Với mỗi 1, 2,...,k,t đặt 
( )
1
.
i t
n
t
n X x
i
Z I
  
Do ( ) : 1
i t
X x
I i
 là dãy các biến 
ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, cùng 
phân phối và 
( )
( ) ( )
i t
X x t
E I P A
 nên theo 
định lý 1.2 ta có 
( ) h.c.c khi n .
t
n
t
Z
P A
n
Do đó 
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
i t i t
tn n k k n k k
t n
i X x t X x t n t t
i i t t i t t
Z
X I x I x Z x x
n n n n n
     
1
( ) h.c.c khi n .
k
t t
t
P A x EX
  
Xét trường hợp X là phần tử ngẫu 
nhiên khả tích bất kỳ. Với mọi 0 , từ 
( ) 0 khi n
n
E X X , tồn tại m 
sao cho ( ) 
n
E X X  với mọi n m 
. Ta có 
1 1
1 1
( ) ( ( )
n n
i i m i
i i
X EX X X
n n
   
1
1
( ( ) ( )
n
m i m
i
X E X
n
  
1
1
(E ( ) ( )
n
m
i
X E X
n
  
 :=(I)+(II)+(III). 
Do , 1
n
X n là dãy phần tử ngẫu 
nhiên m – phụ thuộc theo khối, cùng phân 
phối với X , nên ( ) : 1n m nX X n 
là dãy biến ngẫu nhiên m – phụ thuộc theo 
khối, cùng phân phối với ( )
m
X X . 
Theo định lý 1.2 ta có 
1
1
(I) ( ) ( ) h.c.c khi n
n
i m i m
i
X X E X X
n
 
  
Theo chứng minh trên thì 
(II) 0 h.c.c khi n . 
Với (III) , ta có 
(III) ( ) .
m
E X X  
Kết hợp các lập luận trên ta được điều 
phải chứng minh.  
Để thiết lập kết quả chính, ta cần them 
một số bổ đề 
Bổ đề 2.1.([4], Lemma 3.1) (1) Với 
mỗi [ , ]F c M X và 1
F
S  , ta có 
[ ]= [ , ].
F
coE F coE F F 
43 
(2) Giả sử , [ , ]F G c M X , F và 
G cùng phân phối. Khi đó, với mỗi 
1
)
F F
f S (F , tồn tại 1 )
G G
g S (F sao cho 
f và g cùng phân phối. 
(3) Nếu , [ , ]F G c M X , cùng 
phân phối và 1
F
S  , thì 
[ , ] [ , ].
F G
E F E G F F 
Bổ đề 2.2. ([3], Lemma 3.6) Giả sử X
là không gian Banach và C X . Khi đó, 
với mọi x coC và 0 , luôn tồn tại 
1
,...,
m
x x C sao cho 
 
1
1
.
m
i
i
x x
m
Định lý sau đây là kết quả chính của 
bài báo. Kết quả này mở rộng Định lý 3.2 
trong [4]. 
Định lý 2.2. Nếu , 1
n
F n là một 
dãy các phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc, 
cùng phân phối, nhận giá trị tập đóng 
trong không gian Banach khả ly X và 
1
1
,
F
S  thì 
1
1
1
( ) h.c.c 
n
i
i
cl F coE F
n

  
Chứng minh. Đặt 
1
X coE F và 
1
1
( ) ( ), , n 1.
n
n i
i
G n cl F   
   
Với mọi x X và 0 , theo Bổ đề 
2.1(1), (3) và Bổ đề 2.2, ta có thể chọn 
1
( )
j j
j F F
f S F , 1 ,j t sao cho 
1
1
( ) .
t
j
j
t E f x  
  Theo Bổ đề 2.1(2) , 
tồn tại dãy 
n
f với 
1
( )
n n
n F F
f S F sao 
cho, với mỗi 1,...,j t , 
( 1)
, 1
k t j
f k
 là 
dãy phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối. 
Tiếp tục, đặt ( ), 1 .
j j
x E f j t Với 
mỗi ( 1) , 1 ,n k t t ta có 
1 1
1 1
( )
n t
i j
i j
f x
n t

   
( 1) (k 1)
1 1 1 1
1 1 1
( ) ( )
t k t t
i t j t j j
j i j j
f f x
n n t
 
   
( 1) (k 1)
1 1 1
1 1
( ) ( )
t k t
i t j j t j
j i j
k k
f x f
n k n k
 
   
1
1
.
t
j
j
k
x
n t 
 
Vì ,n 1
n
F là dãy phần tử ngẫu 
nhiên m-phụ thuộc theo khối, nhận giá trị 
tập đóng trong không gian Banach khả ly 
X , nên ,n 1
n
f là dãy phần tử ngẫu 
nhiên m-phụ thuộc theo khối trong 
1
( ;L  X), do đó với p đủ lớn thì họ 
 1,2pif i k độc lập với họ 
 , 2 khi - > .pnf n k m Ta chứng 
minh với mỗi 1 ,j t thì 
( 1)
, 1
k t j
f k
là dãy phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc 
theo khối. Thật vậy, nếu đặt 
  
( 1)
, 1
k k t j
g f k
 , thì phần tử thứ k của 
dãy là 
( 1)k k t j
g f
 ; phần tử thứ của 
dãy là 
( 1)t j
g f
 . Do đó, nếu - >k m 
thì 1 1t j k t j k t mt m nên 
k
g và g là độc lập với 
 12 , 2 , q qk 
trong đó q là số nguyên không âm đủ lớn. 
Nghĩa là với q đủ lớn thì họ 
 1,2qig i k độc lập với họ 
44 
 , 2 khi - > . qng n k m Do đó, Theo 
định nghĩa, với mỗi 1 ,j t 
 
( 1)
, 1
k t j
f k
 là dãy phần tử ngẫu nhiên 
m-phụ thuộc theo khối. Áp dụng Định lý 
2.1 cho dãy 
( 1)
, 1
k t j
f k
 , ta được 
( 1)
1
1
( ) 0 h.c.c khi 
k
i t j j
i
f x k
k

 
và do đó 
1
1
(k 1) ( 1) ( 1)
1 1
1 1
( ) ( ) ( )
k k
t j i t j i t j
i i
k f f f
k k
  
  
1
( 1) ( 1)
1 1
1 1 1
( ) . ( ) 0 h.c.c khi k .
1
k k
i t j i t j
i i
k
f f
k k k
 
 
Vì vậy 
1 1
1 1
( ) 0 h.c.c khi .
n t
i j
i j
f x n
n t

  
Vì ( )
n
G  là tập đóng trên c X nên 
1
1
( ) ( ) h.c.c. 
n
i n
i
n f G  
  Vì vậy, chúng 
ta có 1
1
lim inf ( ) h.c.c.
t
j n
j
t x s G  
  Từ 
đó, liminf ( ) h.c.c.
n
X s G  
Tiếp theo chúng ta chứng minh rằng 
w lim sup ( ) X h.c.c.
n
G   Giả sử jx 
là một dãy trù mật trong XX\ . Do X 
khả ly nên tồn tại dãy jx trong 
 X với 
1
j
x
 sao cho 
, ( , ) ( , ), 1.
j j j j
x x d x X s X x j
Khi đó, x X khi và chỉ khi 
, ( , ),
j j
x x s X x
 với mọi 1.j Vì hàm 
( , )
j
X s X x
 từ c X vào ( , ) là 
 c X 
B -đo được và 
1
( ( (.), )) ( , ) , 1,
j j
E s F x s X x j 
nên với mỗi 1,j 
 ( (.), ) : n 1n js F x là dãy các biến ngẫu 
nhiên m-phụ thuộc theo khối cùng phân 
phối trong 
1
L . Vì vậy, tồn tại N F với 
( ) 0P N sao cho với mọi \N  và 
1j ta có 
1
1
( ( ), ) ( ( ), ) ( , ) khi n .
n
n j i j j
i
s G x s F x s X x
n
  
 
Với mỗi \ ,N  nếu 
w-lim sup ( )
n
x G  thì w khi k ,
k
x x 
trong đó ( ).
k
k n
x G  
Từ đó, suy ra 
, lim , lim ( ( ), ) ( , ), 1.
k
j k j n j j
k k
x x x x s G x s X x j  
Điều này kéo theo .x X Vì vậy, 
w-lim sup ( ) h.c.c. 
n
G X   
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Tiếng Việt: 
1. Nguyễn Văn Quảng, Xác suất trên không gian Banach, NXB ĐHQG Hà Nội, 2012. 
45 
2. Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, NXB ĐHQG Hà Nội, 2013. 
Tiếng Anh: 
3. C. Castaing, N. V. Quang and D. X. Giap, Mosco convergence of strong law of large 
numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, 
Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13 (2012), 4, 615-636. 
4. F. Hiai, Convergence of conditional expectations and strong laws of large numbers 
for multivalued random variables, Trans. A. M. S. 291 (1985), 613–627. 
5. F. Moricz, Strong limit theorems for blockwise m-dependent and blockwise 
quasiorthogonal sequences of random variables, Proc. Amer. Math. Soc. 101 (1987), 
no. 4, 709-715. 
* Ngày nhận bài: 07/10/2014 Biên tập xong: 01/3/2015 Duyệt đăng: 20/3/2015