Mô phỏng ứng xử cơ học của đá khi nén một trục bằng phương pháp phần tử rời rạc sử dụng mô hình gắn kết kép

 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 2 - 2020 4 
MÔ PHỎNG ỨNG XỬ CƠ HỌC CỦA ĐÁ KHI NÉN 
MỘT TRỤC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ RỜI RẠC 
SỬ DỤNG MÔ HÌNH GẮN KẾT KÉP 
NGUYỄN QUANG TUẤN* 
Modelling the mechanical behaviour of rock under uniaxial 
compression test by discrete element method with particle bonded model 
Abstract: The paper presents the use of discrete element method (DEM) 
via PFC2D software to simulate the mechanical behavior of rock under 
uniaxial compression. The rock is modelled as a assembly of rigid circular 
particles that are bonded togheter. By using the numerical model, the 
author investigates some inluences of microparamters on the results of 
simulations. Using the laboratory test of rock specimen, the 
microparameters are calibrated to reproduce the results of the real test. 
The calibration is done based on the uniaxial compression test of granite 
specimen. The microparameters includes friction coefficient, bond 
stiffness, tensile strength and shear strength of bond. The results of 
simulations show the effects and the trend of influence of the 
microparameters to the behavior of rock in compression model test. The 
numerical model allows us to study the stress – strain relation, the crack 
formulation and development under loading, the pattern of fracture and 
also the post failure behavior. 
Keywords:Modelling, PFC, DEM, UCS, rock, granite 
1. GIỚI THIỆU * 
Trong những năm gần đây, cùng với sự phát 
triển của công nghệ máy tính, các phƣơng pháp 
mô phỏng số đƣợc phát triển mạnh mẽ và áp 
dụng rất nhiều trong nghiên cứu các bài toán địa 
kỹ thuật. Các phƣơng pháp số sử dụng trong địa 
kỹ thuật có thể chia thành 2 nhóm cơ bản: nhóm 
phƣơng pháp liên tục và nhóm phƣơng pháp 
không liên tục. Đối với lĩnh vực cơ học đá, mục 
đích của việc sử dụng phƣơng pháp số để là mô 
phỏng các ứng xử cơ học phức tạp của đá và có 
thể đƣợc tái hiện các ứng xử thực tế. Khi nghiên 
cứu các ứng xử cơ học của đá bằng các phƣơng 
pháp liên tục, đá đƣợc coi là vật liệu liên tục, 
các ứng xử của vật liệu đƣợc xét gián tiếp thông 
* Bộ môn Địa kỹ thuật, Trường Đại học Thủy lợi 
 175 Tây Sơn - Đống Đa - Hà Nội 
 Email: nqtuan@tlu.edu.vn 
qua các mô hình vật liệu (constitutive models). 
Do đó, các phƣơng pháp liên tục có những hạn 
chế khi cần phải mô tả chi tiết các tính chất của 
đá. Trong khi đó, phƣơng pháp không liên tục 
lại coi vật liệu đá là tập hợp của các phần tử 
riêng rẽ có liên kết với nhau và sự phá vỡ các 
gắn kết giữa các phần tử biểu diễn quá trình phá 
hủy. Các tính chất cơ học của đá nứt nẻ hoặc đá 
có thành phần không đồng nhất có thể đƣợc 
nghiên cứu bằng việc xét chi tiết các thành phần 
trong mô hình. Phƣơng pháp phần tử rời rạc có 
thể giải quyết đƣợc hạn chế này. Phƣơng pháp 
phần tử rời rạc đƣợc Cundall giới thiệu để phân 
tích bài toán cơ học đá [1] và sau đó áp dụng 
cho đất rời [2]. Phƣơng pháp này đã và đang 
đƣợc phát triển mạnh mẽ và ứng dụng cho nhiều 
lĩnh vực khác nhau, đặc biệt là trong lĩnh vực 
địa cơ học [3, 4]. Lý thuyết của phƣơng pháp 
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 2 - 2020 5 
đƣợc trình bày, mô tả đầy đủ và chi tiết trong 
các tài liệu [5, 6]. Ngày càng nhiều các nhà khoa 
học sử dụng phƣơng pháp này cho nghiên cứu. 
Bài báo này sẽ giới thiệu một ứng dụng của 
phƣơng pháp phần tử rời rạc trong việc mô 
phỏng vật liệu đá liên tục thông qua sử dụng 
phần mềm PFC (Particle Flow Code). 
Để nghiên cứu khả năng mô phỏng của 
phƣơng pháp phần tử rời rạc sử dụng phần mềm 
PFC, thí nghiệm nén một trục đã đƣợc thực hiện 
với mẫu đá granite tại phòng thí nghiệm Cơ học 
đá của Đại học kỹ thuật Freiberg để xác định 
tính chất cơ học của đá. Song song với thí 
nghiệm thực, mô hình thí nghiệm nén một trục 
không nở hông đã đƣợc xây dựng bằng phần 
mềm PFC2D. Việc mô phỏng giúp chúng ta 
hiểu rõ hơn về ứng xử của đá dƣới tác dụng của 
tải trọng nén. Đồng thời, việc hiệu chỉnh thông 
số mô hình để có kết quả giống thí nghiệm thực 
giúp xác định các tham số chi tiết của mô hình 
để có thể tái tạo ứng xử thực của đá. 
2. PHẦN MỀM PFC VÀ MÔ HÌNH 
GẮN KẾT 
2.1 Giới thiệu phần mềm PFC2D 
PFC là phần mềm mô phỏng dựa trên 
phƣơng pháp phần tử rời rạc của Itasca, Inc. 
Phần mềm PFC là phần mềm mô phỏng dựa 
trên DEM, các tính chất cơ học của vật liệu 
đƣợc mô tả bằng chuyển động của các hạt và 
lực cùng mô men tác dụng ở các điểm tiếp xúc. 
Phần mềm sử dụng các hạt tròn (PFC2D) hoặc 
cầu (PFC3D) để mô phỏng và phân tích các bài 
toán cơ học vật liệu. Đây là phần mềm đƣợc sử 
dụng rất rộng rãi trong lĩnh vực địa kỹ thuật. 
PFC có thể sử dụng để mô phỏng các ứng xử cơ 
học của vật liệu rời và vật liệu liên tục. Tƣơng 
tác giữa các phần tử (các hạt) đƣợc mô tả thông 
qua mô hình độ cứng, mô hình ma sát và mô 
hình gắn kết giữa các phần tử. Trong quá trình 
tính toán, chuyển động của các phần tử tuân 
theo các định luật chuyển động Newton và quy 
luật quan hệ giữa lực và chuyển vị. 
Đối với các vật liệu liên tục nhƣ đá, phần 
mềm PFC2D xét đá là tập hợp của các hạt có 
gắn kết tại các điểm tiếp xúc giữa các hạt. Ứng 
xử cơ học của đá đƣợc mô phỏng thông qua việc 
xét sự hình thành và phát triển của các vi khe 
nứt trong tập hợp các phần tử. Khác với mô 
hình liên tục, cần lƣu ý rằng các thông số đầu 
vào mô hình PFC là các thông số chi tiết của các 
hạt và các mối liên kết (tiếp xúc hoặc gắn kết) 
tại các điểm tiếp xúc giữa các hạt. Các thông số 
này không thể xác định trực tiếp bằng các thí 
nghiệm mà phải xác định gián tiếp bằng việc 
hiệu chỉnh mô hình thông qua so sánh kết quả 
thí nghiệm mô hình với kết quả thí nghiệm thực. 
Trong nghiên cứu này, phần mềm PFC2D 
đƣợc sử dụng để mô phỏng thí nghiệm nén 1 
trục đối với mẫu đá. Trong mô hình, vật liệu đá 
đƣợc mô phỏng bằng tập hợp các phần tử hạt 
tròn không biến dạng, đƣợc liên kết với nhau 
bằng gắn kết kép (parallel bonds) giống nhƣ đặc 
điểm kiến trúc của đá. Độ bền của đá đƣợc 
quyết định bởi mối gắn kết giữa các hạt và các 
gắn kết này đóng vai trò nhƣ xi măng kết dính 
giữa các hạt. 
2.2 Mô hình gắn kết kép trong PFC 
Mô hình gắn kết kép, hay còn gọi là mô hình 
gắn kết song song (Linear Parallel Bond Model) 
đƣợc Potyondy và Cundall giới thiệu với mục 
đích mô phỏng gắn kết giữa các hạt khoáng vật 
trong đá [7]. Đây là mô hình tuyến tính đƣợc 
thiết lập tại điểm tiếp xúc giữa hạt với hạt hay 
hạt với vách. Các thành phần trong gắn kết kép 
làm việc và mô tả tƣơng tác đàn hồi giữa các 
hạt. Sự có mặt của gắn kết kép vẫn cho phép 
khả năng trƣợt. Các gắn kết có thể truyền lực và 
mô men giữa các hạt, trong khi các gắn kết đơn 
(single bond) chỉ có khả năng truyền lực. Mô 
hình gắn kết kép đƣợc sử dụng phổ biến nhất để 
tạo mô hình các hạt gắn kết (Parallel bonded 
model, hay viết tắt là PBM) để mô phỏng vật 
liệu liên tục. 
Mô hình gắn kết kép có thể coi nhƣ phần xi 
măng gắn kết giữa các hạt tại vị trí tiếp xúc trên 
một diện tích nhất định. Gắn kết này không chỉ 
 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 2 - 2020 6 
chống kéo, chống cắt mà còn chống cả mô men 
do chuyển động xoay các hạt gây ra (hình 1). 
Độ bền của gắn kết xác định bởi ứng suất kéo và 
ứng suất cắt lớn nhất mà gắn kết có thể chịu 
đƣợc, đƣợc tính theo lý thuyết dầm. Khi ứng 
suất vƣợt quá độ bền của gắn kết, gắn kết sẽ bị 
phá vỡ và chuyển thành gắn kết đơn (hình 2). 
Khi gắn kết bị phá vỡ sẽ làm giảm độ cứng do 
độ cứng của gắn kết kép bao gồm cả độ cứng 
gắn kết và độ cứng tiếp xúc. 
Gắn kết kép đƣợc mô hình hóa bằng một liên 
kết đàn hồi tuyến tính (phần tử lò xo) đƣợc đặc 
trƣng bởi độ cứng pháp tuyến và độ cứng tiếp 
tuyến, phân bố đều trên tiết diện ngang nằm trên 
mặt tiếp xúc và tâm là ở tại điểm tiếp xúc giữa 2 
phần tử. Các liên kết đàn hồi của mô hình gắn 
kết làm việc cùng liên kết đàn hồi của mô hình 
tiếp xúc tuyến tính. Chuyển động tƣơng đối giữa 
2 phần tử tại tiếp xúc, xảy ra sau khi gắn kết kép 
đƣợc thiết lập, tạo ra lực và mô men phát triển 
trong gắn kết. Lực và mô men này tác dụng lên 
2 phần tử và có thể liên quan tới ứng suất pháp 
tuyến và tiếp tuyến lớn nhất tác dụng trong vật 
liệu gắn kết ở biên gắn kết. Nếu các ứng suất đó 
vƣợt quá độ bền gắn kết tƣơng ứng, gắn kết kép 
sẽ bị phá vỡ và vật liệu gắn kết bị loại khỏi mô 
hình cùng với lực, mô men và độ cứng. 
Hình 1. Minh họa mô hình gắn kết kép trong 
PFC2D [8] 
Hình 2. Minh họa quá trình phá hủy gắn kết [8] 
Lực tại gắn kết kép bao gồm 2 thành phần: 
pháp tuyến và tiếp tuyến, và mô men tại gắn kết 
kép phân thành 2 thành phần: mô men uốn và 
mô men xoắn. 
Mô hình gắn kết kép gồm 2 mặt liên kết: một 
liên kết vô cùng nhỏ, đàn hồi tuyến tính (không 
chịu kéo) và ma sát có thể truyền lực và một 
liên kết có kích thƣớc hữu hạn, đàn hồi tuyến 
tính và có dính kết có thể truyền lực và mô men. 
Liên kết thứ nhất tƣơng đƣơng với mô hình 
tuyến tính của tiếp xúc không gắn kết: không có 
khả năng chống lại chuyển động xoay và trƣợt 
đƣợc xác định bằng giới hạn Coulomb về lực 
cắt. Liên kết thứ 2 đƣợc gọi là gắn kết kép, do 
khi có gắn kết, gắn kết này song song với liên 
kết thứ nhất. Khi gắn kết thứ 2 làm việc, nó có 
khả năng chống chuyển động xoay và ứng xử 
tuyến đàn hồi tuyến tính cho đến khi đạt tới giới 
hạn độ bền và gắn kết bị phá vỡ, làm cho nó trở 
thành không gắn kết. Khi gắn kết thứ 2 không 
còn làm việc, nó sẽ không còn khả năng chịu 
tải. Lúc này mô hình gắn kết kép tuyến tính 
không gắn kết tƣơng đƣơng với mô hình tiếp 
xúc giữa các phần tử. 
Về mặt cơ học, có thể hình dung mô hình gắn 
kết kép là một cặp lò xo đàn hồi phân bố trên 
một diện tích có độ cứng theo phƣơng pháp 
tuyến và tiếp tuyến đối với mặt tiếp xúc. Mô 
hình gắn kết kép gồm có các thành phần đƣợc 
biểu diễn nhƣ Hình 3. 
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 2 - 2020 7 
Khi mô phỏng vật liệu liên tục nhƣ đá, mô 
hình gắn kết kép tuyến tính sẽ đƣợc gắn vào vị 
trí các tiếp xúc nếu nó đƣợc gắn kết hoặc nếu 
khoảng trống giữa 2 bề mặt nhỏ hơn hoặc bằng 
không. Quy luật giữa lực-dịch chuyển sẽ ngừng 
làm việc với các tiếp xúc không hoạt động. 
Khoảng trống giữa sẽ đƣợc gán với kích hoạt. 
Hình 3. Mô hình gắn kết trước và sau khi bị phá 
vỡ và các thành phần của mô hình gắn kết 
3. THÍ NGHIỆM NÉN MỘT TRỤC VÀ 
MÔ HÌNH PFC2D 
3.1 Vật liệu thí nghiệm 
Trong nghiên cứu này, kết quả thí nghiệm 
thực của một mẫu đá đƣợc lấy làm ví dụ để so 
sánh, hiệu chỉnh các thông số mô hình. Mẫu đá 
dùng để thí nghiệm là đá granite đƣợc lấy ở 
vùng Erzgebirge (vùng núi quặng) thuộc địa 
phận bang Sachsen, CHLB Đức. Công tác thí 
nghiệm đƣợc thực hiện ở phòng thí nghiệm cơ 
học đá, Viện địa kỹ thuật, Đại học 
Bergakademie Freiberg. Đá có kiến trúc toàn 
tinh, các tinh thể hạt lớn, cấu tạo khối đặc xít 
(Hình 4). Các thông số hình học và cơ lý của 
mẫu đá đƣợc trình bày trong Bảng 1. 
Mẫu đá thí nghiệm có hình trụ tròn, hai đầu 
mẫu đƣợc gia công phẳng nhẵn. Mẫu đƣợc gia 
tải bằng máy nén MTS-185, biến dạng mẫu 
đƣợc đo liên tục cho tới khi mẫu bị phá hủy. 
Hình 5 là thiết bị máy nén xác định độ bền nén 
1 trục. 
Bảng 1. Thông số hình học và cơ lý 
 của mẫu đá granite 
Thông số Giá trị 
Đƣờng kính [mm] 55.4 
Chiều dài [mm] 108 
Khối lƣợng riêng [kg/m3] 2590 
Độ bền kháng nén 1 trục [MPa] 108,76 
Mô đun đàn hồi [Gpa] 30,4 
Hệ số Poisson 0.26 
Độ bền kháng kéo [MPa] 7.02 
Hình 4. Mẫu granite thí nghiệm nén một trục 
Hình 5. Thiết bị máy nén MTS-185 
 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 2 - 2020 8 
3.2 Mô hình hóa thí nghiệm bằng PFC2D 
Khi xây dựng mô hình trong PFC, việc tạo 
mô hình đóng vai trò rất quan trọng vì đòi hỏi 
các bƣớc tỉ mỉ. Đối với việc tạo mô hình mẫu 
đá, các bƣớc thực hiện nhƣ sau: Các bƣớc tạo 
mô hình không đƣợc tích hợp sẵn trong phần 
mềm mà phải sử dụng ngôn ngữ lập trình cùng 
các hàm FISH. 
Trong mô hình PFC2D, mẫu thí nghiệm đƣợc 
tạo ra với kích thƣớc bằng đúng kích thƣớc mẫu 
thực. Vật liệu đá trong mô hình số đƣợc tạo bởi 
tập hợp các hạt tròn có bán kính từ 0.5mm đến 
0.75mm phân bố theo quy luật Gauss, độ lỗ 
rỗng của tập hợp là 15%. Hai phần tử vách 
phẳng (wall) đƣợc đặt tại 2 đầu mẫu. Tải trọng 
đƣợc tác dụng lên mẫu đƣợc tạo ra bằng cách di 
chuyển tấm vách neo phƣơng nén. Mô hình 
PFC2D của mẫu thí nghiệm đƣợc trình bày ở 
Hình 6. 
Các bƣớc tạo mẫu đá mô hình: (1) Tạo không 
gian hình chữ nhật giới hạn bởi bởi các biên 
không ma sát là các phần tử wall (vách phẳng); 
(2) Tạo các tập hợp hạt trong không gian hình 
chữ nhật, số hạt đƣợc tính để tạo ra tập hợp có 
độ lỗ rỗng cần thiết. Đƣờng kính từ 0.5mm đến 
0.75 đƣợc đặt ngẫu nhiên trong không gian, 
phân bố theo quy luật Gauss; (3) Gán các gắn 
kết vào vị trí tiếp xúc giữa các hạt cùng các 
thuộc tính của gắn kết. (4) Xóa 2 vách bên, để 
lại 2 vách trên và dƣới mẫu. Hai vách trên và 
dƣới sẽ đƣợc sử dụng để gia tải nén. 
Phần mềm PFC có thể ghi lại quá trình hình 
thành các khe nứt. Mô phỏng tập trung vào cơ 
chế phá hủy của đá từ góc nhìn chi tiết và phân 
tích quá trình biến dạng từ giai đoạn đàn hồi 
tuyến tính tới giai đoạn phá hủy. Để có thể xét 
sự hình thành và phát triển các khe nứt, các gắn 
kết có thể bị phá vỡ. Có 2 loại khe nứt, khe nứt 
cắt và khe nứt kéo. Khi ứng suất vƣợt quá độ 
bền kháng cắt của gắn kết sẽ xuất hiện khe nứt 
cắt. Khi ứng suất vƣợt quá độ bền pháp tuyến 
của gắn kết sẽ xuất hiện khe nứt căng. Sự hình 
thành các vi khe nứt làm giảm ứng suất trong 
mẫu đá và dẫn đến mẫu đá bị phá họa do hình 
thành vùng phá hoại cắt khi nén. 
Hình 6. Mẫu đá trong mô hình PFC2D 
4. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG 
4.1 Ứng xử cơ học của mẫu khi nén 
Bằng mô phỏng, mô hình số phần tử rời rạc 
sử dụng gắn kết kép cho phép nghiên cứu sự 
hình thành và phát triển của các khe nứt trong 
mẫu đá trong quá trình nén. Từ đó, có thể 
nghiên cứu ứng xử của mẫu và cơ chế phá hoại 
mẫu một cách chi tiết. Trong nghiên cứu này, 
mẫu đá đƣợc nén với tốc độ 0,05m/giây. Hình 7 
là biểu đồ đƣờng quan hệ ứng suất và biến dạng 
cùng với biểu đồ về số lƣợng vi vết nứt trong 
mẫu. Kèm theo là các hình ảnh mẫu đá mô 
phỏng với hiện trạng nứt trong mẫu ở các thời 
điểm khác nhau. Khi một gắn kết giữa 2 phần tử 
bị phá vỡ, 1 vết nứt đƣợc hình thành. Hàm Fish 
cho phép đếm số vết nứt theo quá trình mô 
phỏng. Khi các vi khe vết liên tục nhau sẽ hình 
thành bề mặt phá hoại. Điểm A tƣơng ứng với 
mẫu trong giai đoạn khi bắt đầu nén, điểm B 
tƣơng ứng với thời điểm bắt đầu hình thành khe 
nứt trong mẫu, điểm C tƣơng ứng với thời điểm 
các vết nứt bắt đầu kết nối nhau, điểm D ứng 
suất nén đạt giá trị cực đại và E tƣơng ứng với 
thời điểm sau ứng suất đỉnh, mẫu bị phá hủy 
hoàn toàn. 
Nhƣ trong Hình 7, trƣớc khi xuất hiện các 
khe nứt trong mẫu, mẫu đá ở trạng thái đàn hồi 
tuyến tính. Giai đoạn này biến dạng mẫu do 
biến dạng các gắn kết kép. Khi bắt đầu hình 
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 2 - 2020 9 
thành vết nứt, đƣờng quan hệ ứng suất biến 
dạng thay đổi độ dốc, chuyển từ tuyến tính sang 
phi tuyến, tuy nhiên không rõ ràng. Giai đoạn 
này các vết nứt hình thành rời rạc, chƣa kết nối 
nhau. Số lƣợng khe nứt tăng chậm. Khi số lƣợng 
vết nứt bắt đầu tăng đột ngột, một số vùng trong 
mẫu đá có các vết nứt kết nối với nhau tạo thành 
một số khu vực tập trung khe nứt cục bộ, quan 
hệ ứng suất biến dạng biểu hiện tính phi tuyến 
rõ hơn. Tiếp tục nén tới giá trị ứng suất cực đại, 
các vết nứt tiếp tục phát triển và kết nối với 
nhau hình thành mặt trƣợt liên tục, mẫu bắt đầu 
phân thành các mảnh. Ngay sau ứng suất cực 
đại, trƣợt xảy ra và số lƣợng vết nứt tăng nhanh 
chóng, các vết nứt tập trung kết nối hình thành 
thêm mặt trƣợt liên tục, mẫu phân thành mảnh 
tách rời nhau. 
Hình 7. Biểu đồ thí nghiệm nén một trục và sự phát triển số lượng vết nứt 
4.2 Hiệu chỉnh mô hình mẫu so với thí 
nghiệm mẫu đá trong phòng 
Kết quả thí nghiệm trong phòng của mẫu đá 
granite đƣợc dùng để so sánh, hiệu chỉnh mô 
hình thí nghiệm PFC. Trong phạm vi nghiên 
cứu này, tác giả sử dụng đƣờng quan hệ ứng 
suất – biến dạng từ kết quả thí nghiệm nén một 
trục để so sánh. Các thông số mô hình đƣợc thay 
đổi để cho kết quả độ bền kháng nén một trục và 
mô đun đàn hồi từ thí nghiệm mô hình gần sát 
nhất với kết quả thí nghiệm trong phòng. Các 
thông số mô hình đã đƣợc hiệu chỉnh để khớp 
mô đun đàn hồi (thể hiện qua độ dốc đƣờng ứng 
suất biến dạng) và độ bền kháng nén đơn trục 
giữa thí nghiệm số và thí nghiệm thực tế trong 
phòng (hình 8)) đƣợc trình bày trong Bảng 2. 
Bảng 2. Các thông số mô hình 
Các thông số của hạt 
Khối lƣợng riêng, (kg/m3) 2590 
Bán kính hạt nhỏ nhất, Rmin (mm) 0,25 
Tỷ số giữa bán kính Rmax/Rmin 3,0 
Mô đun đàn hồi của hạt, Ec (GPa) 17,0 
Tỷ số giữa độ cứng pháp tuyến và độ 
cứng cắt của hạt, kn/ks 
1 
Các thông số của gắn kết kép 
Hệ số bán kính gắn kết 
Bán kính gắn kết = .min( 
 bán kính của 2 hạt có gắn kết 
1,0 
Mô đun đàn hồi của gắn kết, (GPa) 17,0 
Tỷ số giữa độ cứng pháp tuyến và độ 
cứng cắt của gắn kết, 
1,0 
Độ bền kháng kéo của gắn kết, (Mpa) 90,0 
A 
B 
C 
D 
E 
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 2 - 2020 9 
0
20
40
60
80
100
120
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
Ƣ
n
g
 s
u
ất
 n
én
 [
M
P
a]
Biến dạng H/H
Thí nghiệm 
trong phòng
Thí nghiệm mô 
hình PFC2D 
Hình 8. Quan hệ ứng suất- biến dạng theo kết 
quả thí nghiệm trong phòng và thí nghiệm mô 
hình PFC2D 
Lƣu ý, các thông số trong Bảng 2 là các 
thông số đầu vào của mô hình PFC, đó là các 
thông số chi tiết (micro parameters), không phải 
là thông số của mẫu đá. 
Kết quả hiệu chỉnh bƣớc đầu cho thấy, mô 
hình số cho kết quả mô đun đàn hồi và độ bền 
kháng nén đơn trục rất sát với kết quả thí 
nghiệm trong phòng. Tuy nhiên, so sánh 
đƣờng cong nén thấy có sự khác nhau. Giai 
đoạn nén ban đầu, tƣơng ứng với giai đoạn 
các vi khe nứt khép lại, đƣờng quan hệ ứng 
suất biến dạng thực tế là phi tuyến trong khi 
kết quả thu đƣợc từ mô hình là tuyến tính. 
Nguyên nhân là do ở mô hình số, mẫu đá ban 
đầu không có các vi khe nứt, do đó không thể 
có quá trình thu hẹp các vi khe nứt trong quá 
trình nén. Bên cạnh đó, mô hình gắn kết kép 
không thể mô tả biểu hiện này. Để mô phỏng 
đƣợc đúng ứng xử phi tuyến ở giai đoạn này 
cần sử dụng mô hình gắn kết khác. Ngoài ra, ở 
thí nghiệm mô hình, ứng suất nén giảm đột 
ngột sau khi đạt giá trị cực đại (sau phá hoại), 
chƣa khớp với kết quả thí nghiệm thực cũng 
chƣa khớp nhau. Sự khác biệt này có thể đƣợc 
khắc phục bằng việc tiếp tục hiệu chỉnh các 
thông số mô hình. 
4.3 Ảnh hƣởng của các thông số mô hình 
tới kết quả thí nghiệm 
Các thông số mô hình đƣợc xác định thông 
qua hiệu chỉnh dựa trên kết quả thí nghiệm 
trong phòng cơ bản nhƣ: thí nghiệm nén một 
trục, thí nghiệm nén đƣờng sinh, thí nghiệm 
nén ba trục Quá trình xác định các thông 
số mô hình thực chất là quá trình hiệu chỉnh 
các thông số sao cho kết quả thí nghiệm mô 
hình số khớp với kết quả thí nghiệm thực 
tƣơng ứng. 
Trong nghiên cứu này, tác giả tập trung 
nghiên cứu các thông số có ảnh hƣởng tới tính 
biến dạng và độ bền của mẫu đá đƣợc mô 
phỏng. Các thông số nghiên cứu bao gồm: hệ số 
ma sát giữa các hạt, mô đun đàn hồi của gắn kết, 
độ bền kéo của gắn kết và lực liên kết dính của 
gắn kết. Với mỗi thông số, tác giả chọn các giá 
trị khác nhau để mô phỏng, so sánh và đánh giá 
dựa trên mô đun đàn hồi, độ bền kháng nén, 
dạng đƣờng cong quan hệ giữa ứng suất biến 
dạng để đánh giá. 
Trong quá trình nghiên cứu ảnh hƣởng của 
các thông số, tác giả thay đổi giá trị từng thông 
số trong khi các thông số còn lại đƣợc giữ 
không đổi để so sánh kết quả. 
a) Ảnh hƣởng của hệ số ma sát: 
Khi gắn kết bị phá vỡ, các hạt có thể 
chuyển động trƣợt hoặc xoay. Khi đó, ma sát 
giữa các hạt đƣợc huy động để kháng lại các 
chuyển động giữa các hạt có tiếp xúc với 
nhau, tạo ra sức kháng cắt và độ bền kháng 
nén của mẫu mô phỏng. Các giá trị hệ số ma 
sát khác nhau đƣợc gán cho hạt và chạy mô 
hình để xem xét ảnh hƣởng của hệ số ma sát 
tiếp xúc giữa các hạt tới mô hình. Giá trị hệ số 
ma sát giữa các hạt đƣợc thay đổi từ 0 đến 5 
trong khi các thông số chi tiết khác đƣợc giữ 
không đổi. Kết quả cho thấy, hệ số ma sát có 
ảnh hƣởng tới dạng phá hủy của mẫu mô 
phỏng (Hình 9). Tuy nhiên, sự phụ thuộc này 
không rõ ràng và không giống nghiên cứu gần 
đây của Ajamzadeh và nnk (2018) [9]. 
 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 2 - 2020 1
Hình 9. Các dạng phá hoại mẫu đá theo 
kết quả mô hình PFC2D tương ứng với các 
 hệ số ma sát giữa các hạt 
Các dạng phá hủy theo hệ số ma sát nhƣ ở 
Hình 9 cho thấy với hệ số ma sát nhỏ, mẫu phá 
hủy không theo mặt rõ rệt. Với hệ số ma sát từ 
μ>0,8, mẫu phá hủy theo mặt nghiêng khá rõ và 
dạng phá hủy khá giống nhau, không phụ thuộc 
vào hệ số ma sát. 
Từ các đƣờng cong quan hệ giữa ứng suất 
và biến dạng (Hình 10) đối với các giá trị hệ số 
ma sát khác nhau, có thể thấy hệ số ma sát ảnh 
hƣởng đáng kể đến giá trị ứng suất nén lớn 
nhất. Tuy nhiên, dựa trên phân tích chi tiết 
đƣờng cong thì thấy giới hạn đàn hồi đồng thời 
cũng là giá trị ứng suất giới hạn bắt đầu hình 
thành các khe nứt là ít thay đổi. Tổng hợp các 
kết quả (Hình 11) cho thấy, giá trị ma sát của 
các hạt có ảnh hƣởng tới độ bền kháng nén của 
mẫu đá và mô đun đàn hồi của đá. Tuy nhiên, 
khi hệ số ma sát lớn hơn 2, sự thay đổi của độ 
bền kháng nén và mô đun đàn hồi của mẫu đá 
là không đáng kể. 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Ứ
n
g 
su
ất
 n
én
 [
M
P
a]
Biến dạng H/H
Hệ số ma sát = 0
Hệ số ma sát = 0.5
Hệ số ma sát = 1.0
Hệ số ma sát = 1.5
Hệ số ma sát = 2.0
Hệ số ma sát = 5.0
Hình 10. Ảnh hưởng của hệ số ma sát tới ứng xử 
của mẫu đá mô phỏng khi nén một trục. 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 1 2 3 4 5
Đ
ộ
 b
ền
 k
h
án
g
 n
én
 m
ộ
t 
tr
ụ
c 
R
c
[M
P
a]
M
ô
 đ
u
n
 đ
àn
 h
ồ
i 
E
 [
G
P
a]
Hệ số ma sát
E
Rc
Hình 11. Ảnh hưởng của hệ số ma sát giữa độ 
bền kháng nén và mô đun đàn hồi của mẫu đá 
b) Ảnh hƣởng của độ cứng tiếp xúc và độ 
cứng gắn kết 
Thí nghiệm mô hình với các thông số độ 
cứng gắn kết khác nhau và với độ cứng của hạt 
lấy bằng độ cứng của gắn kết, kết quả cho thấy 
độ cứng của gắn kết chủ yếu ảnh hƣởng tới độ 
dốc của đƣờng cong nén và gần nhƣ không ảnh 
hƣởng tới độ bền nén một trục (Hình 12). Điều 
này có nghĩa mô đun đàn hồi của mẫu đá chủ 
yếu phụ thuộc vào độ cứng của gắn kết. 
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 2 - 2020 11 
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0.005 0.01 0.015
Ứ
n
g 
su
ất
 n
én
 [
M
P
a]
Biến dạng H/H
Ec=50 Gpa Ec=20 GPa Ec=10 Gpa Ec=5 GPa
Hình 12. Ảnh hưởng của độ cứng của gắn kết tới 
ứng xử của mẫu đá mô phỏng khi nén một trục. 
Potyondy và Cundall (2004) đã nghiên cứu và 
cho thấy ảnh hƣởng của tỷ số giữa độ cứng pháp 
và độ cứng tiếp tuyến của tiếp xúc có ảnh hƣởng 
tới hế số Poisson [7]. Hệ số Poisson tăng theo tỷ 
số độ cứng (kn/ks). Trong nghiên cứu này, tỷ số 
độ cứng đƣợc thay đổi từ 1 đến 5. Kết quả thí 
nghiệm mô hình tƣơng ứng với các tỷ số độ cứng 
khác nhau đƣợc trình bày trong Hình 13. 
kn/ks=5
kn/ks=4
kn/ks=3
kn/ks=2
kn/ks=1
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Ứ
n
g 
su
ất
 n
én
 [
M
P
a]
Biến dạng H/H 
Hình 13. Ảnh hưởng của tỷ số giữa độ cứng 
phát tuyến và độ cứng tiếp tuyến của gắn kết 
kép tới ứng xử của mẫu đá mô phỏng khi nén 
một trục 
So sánh kết quả mô hình với các tỷ số độ 
cứng (độ cứng pháp tuyến / độ cứng tiếp tuyến) 
của gắn kết khác nhau cho thấy tỷ số độ cứng 
ảnh hƣởng tới cả độ bền kháng nén và mô đun 
đàn hồi. Tỷ số này càng cao thì độ bền kháng 
nén càng lớn và mô đun đàn hồi càng nhỏ. 
c) Ảnh hƣởng của các thông số độ bền của 
gắn kết 
Độ bền của gắn kết kép đƣợc đặc trƣng bởi 
các thông số: độ bền kháng kéo và độ bền kháng 
cắt. Độ bền kháng cắt gồm 2 thành phần, thành 
phần kháng dính đặc trƣng bởi lực dính và độ 
bền kháng cắt đặc trƣng bởi hệ số ma sát. Trong 
nghiên cứu này, tác giả thử kiểm tra lần lƣợt ảnh 
hƣởng của các thông số độ bền của gắn kết. 
Kết quả ở Hình 14 cho thấy các thông số độ 
bền không ảnh hƣởng tới độ dốc đoạn tuyến tính 
của đƣờng quan hệ ứng suất biến dạng khi nén 
và đồng nghĩa với độ bền gắn kết không ảnh 
hƣởng tới mô đun đàn hồi của mẫu mô phỏng. 
Độ bền gắn kết quyết định độ bền nén đỉnh của 
mẫu mô phỏng và ảnh hƣởng tới cả hình dạng 
đƣờng ứng sất biến dạng. Tỷ số giữa độ bền kéo 
và độ bền dính càng nhỏ thì đá càng có biểu 
hiện của vật liệu dòn và ngƣợc lại, tỷ số này 
càng lớn thì đá càng có biểu hiện ứng xử dẻo. 
Cũng có thể thấy ở Hình 14, dạng phá hủy có sự 
khác nhau rõ rệt giữa mẫu phá hủy dòn và mẫu 
phá hủy dẻo. Ở mẫu có độ bền nén cao, mẫu bị 
phá hoại theo các vết nứt phân bố rất tập trung 
thành mặt trƣợt khá rõ rệt. Trong khi ở mẫu có 
độ bền nén thấp, các vết nứt phân bố đều, không 
thập trung thành mặt trƣợt rõ ràng. Điều này 
cũng phù hợp với cơ chế phá hủy ở các thí 
nghiệm thực tế. 
Hình 14. Ảnh hưởng của độ bền gắn kết kép tới 
ứng xử của mẫu đá mô phỏng khi nén một trục 
 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 2 - 2020 12
5. KẾT LUẬN 
Cơ sở lý thuyết và kết quả nghiên cứu mô 
hình nhƣ đã trình bày cho thấy mô hình phần tử 
rời rạc có khả năng mô phỏng đặc tính cơ học 
của mẫu đá khi nén một trục. Việc sử dụng mô 
hình PFC cho phép nghiên cứu cơ chế phá hoại 
đá khi chịu nén và khả năng tái tạo ứng xử của 
đá cả trƣớc khi phá hoại và sau khi phá hoại. 
Có nhiều thông số mô hình có thể ảnh hƣởng tới 
kết quả mô phỏng. Bằng việc hiệu chỉnh mô 
hình dựa trên so sánh đối chiếu với kết quả thí 
nghiệm trong phòng cho phép xác định các 
thông số. Kết quả hiệu chỉnh cho thấy, việc sử 
dụng mô hình gắn kết kép cho phép mô phỏng 
và tái tạo đƣợc mô đun đàn hồi và độ bền nén 
của mẫu đá. 
Kết quả nghiên cứu thông số cho thấy quy 
luật ảnh hƣởng của các thông số mô hình tới kết 
quả tƣơng đối phức tạp.Việc lựa chọn thông số 
cho mô hình đòi hỏi phải có quá trình hiệu 
chỉnh cẩn thận. 
Mô hình thí nghiệm PFC có khả năng theo 
dõi sự hình thành và phát triển các khe nứt. 
Thông qua mô phỏng, có thể đánh giá dạng phá 
hủy của mẫu đá cùng sự hình thành và phát triển 
của các khe nứt trong quá trình nén. Đặc biệt, 
mô hình PFC có thể nghiên cứu ứng xử của đá 
sau khi phá hoại, đánh giá đƣợc hình thức phá 
hoại và sự phân mảnh của mẫu đá sau khi phá 
hoại. Điều này sẽ rất hữu ích để nghiên cứu cơ 
chế và so sánh đối chứng với ứng xử của đá ở 
các thí nghiệm thực. Chúng ta có thể thực hiệu 
chỉnh để cho ra kết quả về dạng phá hoại mẫu 
giống với thí nghiệm thực tế. Nhƣ vậy, các 
thông số mô hình sẽ càng chính xác hơn. Các 
thông số đã hiệu chỉnh có thể sử dụng để mô 
phỏng bài toán cơ học đá thực tế. 
LỜI CẢM ƠN 
Tác giả trân trọng cảm ơn Phòng thí nghiệm Cơ 
học đá, Viện Địa kỹ thuật Đại học Freiberg, CHLB 
Đức đã giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Cundall, P.A., A computer model for 
simulating progressive largescale movements in 
blocky rock systems, in Proceedings of the 
Symposium of the International Society of Rock 
Mechanics. 1971: Nancy, France. 
2. Cundall, P.A. and O.D.L. Strack A 
discrete numerical model for granular 
assemblies. 1979. 29(1): p. 47-65. 
3. Tuấn, N.Q. and N.B. Thảo, Phương pháp 
phần tử rời rạc trong địa kỹ thuật in hội nghị 
khoa học thường niên trường Đại học Thủy lợi. 
2016: Hanoi. 
4. Tuấn, N.Q. and H. Konietzky, DEM in 
Geomechanics: Applications and Prospects, in 
International Conference on Geology and Geo-
resources (GAG). 2016: Hanoi. 
5. Cundall, P.A., Formulation of a three-
dimensional distinct element model--Part I. A 
scheme to detect and represent contacts in a 
system composed of many polyhedral blocks. 
International Journal of Rock Mechanics and 
Mining Sciences & Geomechanics Abstracts, 
1988. 25(3): p. 107-116. 
6. Hart, R., P.A. Cundall, and J. Lemos, 
Formulation of a three-dimensional distinct 
element model--Part II. Mechanical 
calculations for motion and interaction of a 
system composed of many polyhedral blocks. 
International Journal of Rock Mechanics and 
Mining Sciences & Geomechanics Abstracts, 
1988. 25(3): p. 117-125. 
7. Potyondy, D.O. and P.A. Cundall, A 
bonded-particle model for rock. International 
Journal of Rock Mechanics and Mining 
Sciences, 2004. 41(8): p. 1329-1364. 
8. Cho, N., C.D. Martin, and D.C. Sego, A 
clumped particle model for rock. International 
Journal of Rock Mechanics and Mining 
Sciences, 2007. 44(7): p. 997-1010. 
9. Ajamzadeh, M., et al., The effect of micro 
parameters of PFC software on the model 
calibration. Smart Structures and Systems, 
2018. 22: p. 643-662 
Người phản biện: GS.TS ĐỖ NHƢ TRÁNG