Một số ứng dụng của tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt trong cơ học

Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 119 
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ 
TÍCH PHÂN MẶT TRONG CƠ HỌC 
SV Trần Đức Nghĩa 
Lớp D12X6, Trường ĐHXD Miền Trung 
Tóm tắt: Bài viết này nhằm tìm hiểu một số ứng dụng của tích phân bội, tích phân 
đường và tích phân mặt trong cơ học. 
Từ khóa: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt, khối lượng, mô-men. 
Mở đầu 
 Tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt là những nội dung rất quan trọng 
trong chương trình môn Giải tích. Qua quá trình học các chuyên đề trên trong học phần 
Giải tích 2, tôi nhận thấy việc nắm vững kiến thức về các loại tích phân trên sẽ giúp 
chúng ta áp dụng giải quyết được nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác như vật lý, cơ 
học, Từ đó tôi đã tìm hiểu một số ứng dụng của tích phân bội, tích phân đường và 
tích phân mặt trong cơ học. 
 Tác giả xin chân thành cám ơn thầy Đoàn Văn Hiệp đã có gợi ý và những góp ý 
cũng như chỉnh sửa để giúp tôi hoàn thành bài viết này. 
1. Khối lƣợng, trọng tâm, momen quán tính của vật thể là vật rắn dạng khối 
1.1. Khối lƣợng 
 Giả sử ta phải tính khối lượng vật thể V không đồng chất, biết khối lượng riêng tại 
M(x,y,z) là: 
 ),,()( zyxM 
 Ta chia V một cách tùy ý thành n khối nhỏ không dẫm lên nhau có thể tích là 
 V1,, Vn. Trong mỗi khối thứ i lấy tùy ý một điểm Mi (xi, yi, zi). Ta có khối lượng 
xấp xỉ của vật thể là: 
  
n n
i i i i i i
i=1 i=1
ρ P ΔV = ρ x , y ,z ΔVm
Qua giới hạn ta được: 
( , , )
V
m x y z dxdydz 
1.2. Momen quán tính và tọa độ trọng tâm 
1.2.1. Momen quán tính 
 Theo định nghĩa trong cơ học thì momen quán tính của một chất điểm khối lượng 
m, nằm cách đường thẳng L một khoảng r đối với đường L là: 
i
Mi
ΔV
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 120 
2
L
I = mr
 Ta xét mở rộng cho một vật thể chiếm miền thể tích V có khối lượng riêng (x,y,z) 
và một đường thẳng L trong không gian cách P(x,y,z) một đoạn r(x.y.z). 
 Bằng cách chia nhỏ khối V và qua giới hạn ta được momen quán tính của V 
đối với L là : 
 L
2
V
I = r ρ x,y,z dxdydz
 Nói riêng, mô men quán tính của vật thể nói trên đối với trục Ox, Oy và Oz lần 
lượt là: 
 2 2x
V
I = y + z ρ x, y,z dxdydz
 2 2y
V
I = x + z ρ x, y,z dxdydz
 2 2z
V
I = x + y ρ x, y,z dxdydz
1.2.2. Tọa độ trọng tâm 
 Vật thể V với khối lượng riêng (x,y,z) có tọa độ trọng tâm G được xác định bởi 
công thức: 
G
V
G
V
G
V
1
x = xρ x, y,z dxdydz
m
1
y = yρ x, y,z dxdydz
m
1
z = zρ x, y,z dxdydz
m
 Nếu vật thể đồng chất thì = const => m = .V. Do đó: 
G
V
G
V
G
V
1
x = xdxdydz
V
1
y = ydxdydz
V
1
z = zdxdydz
V
1.3. Ví dụ minh họa 
Ví dụ 1. Tính mô men quán tính của khối trụ thuần nhất đối với trục của nó. 
Giải: Ta chọn trục khối trụ Oz, chọn mặt phẳng đáy làm mặt phẳng Oxy. Bán kính hình 
trụ là R, chiều cao là h, tỉ khối là: = const 
x
z
y
V
V
R
0
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 121 
Ta có: 
2 2
z
V
I = ρ x + y dxdydz 
Dùng tọa độ trụ ta được: 
2 4
3 4 2 2 2
0 0 0
1 1 1
.2. . . ( )
4 2 2 2
R h
z
R
I d r dr dz h R h R h R MR
  
Với M = R2h là khối lượng của khối trụ. 
Ví dụ 2. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón z2 - x2- y2 = 0; 
(z >0) và mặt cầu x2+ y2+ z2=1 
Giải: 
 Giao tuyến của mặt nón và mặt cầu được xác định bởi : 
 x
2
+ y
2
= z
2
 và x
2
+ y
2 
= 1- z
2
2 2
2
1- z = z
2
2z = 1 z =
2 
 Do đó những bán kính vectơ của các điểm trên giao tuyến ấy làm với trục oz một 
góc bằng 4. 
 G(x,y,z) là trọng tâm. Vật thể nhận Oz làm trục đối xứng nên G phải nằm trên Oz. 
Suy ra G(0,0,z). Mặt khác, V đồng chất nên = const. 
 Chuyển sang tọa độ cầu ta có: 
2
V'
V = r sinθdrdθdφ 
Miền V’ được giới hạn bởi : 
4
0 r 1
π
0 θ
0 φ 2π
Do đó: 
π π
1 2π 1 14 4
2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2 - 2
V = r dr sinθdθ dφ= 2π r dr sinθdθ = 2π - +1 r dr π
2 3
Mặt khác ta có: 
/
2
V V
π
zdxdydz = rcosθr sinθdrdθd =
8
Do đó: 
 G
V
1 3 3 2
z = zdxdydz = = 1+
V 8 28 2 - 2
x
y0
z
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 122 
Vậy: 
3 2
G 0;0; 1+
8 2
2. Khối lƣợng, trọng tâm, momen quán tính của vật thể là vật rắn dạng cung 
2.1. Khối lƣợng một cung vật chất 
 Xét một cung vật chất AB có chiều dài L, có khối lượng riêng phụ thuộc vào điểm 
M(x,y,z) trên dây cung là (M) - (x,y,z). 
 Ta chia nhỏ cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia: {A = A0, A1,.., An-1 , 
An = B}. Khối lượng của cung thứ i 1 i iA A : 
iii lMm ).( 
Trong đó Mi là điểm tùy ý trên cung 1 i iA A , il là độ dài của cung 1 i iA A 

1
0
)(
n
i
iiBA
lMm 
Qua giới hạn ta được: ( , , ) AB
AB
m m x y z dl 
Nếu AB đồng chất thì = const. Do đó : 
.
AB
AB
m dl l 
2.2. Momen quán tính, trọng tâm cung trong không gian 
2.2.1. Momen quán tính 
 Xét một cung vật chất AB trong không gian, có khối lượng riêng là (x,y,z). Một 
đường thẳng L bất kỳ trong không gian cách AB một khoảng là r(x,y,z). 
 Để tính momen quán tính của AB đối với L ta cũng chia nhỏ AB thành n cung 
nhỏ không dẫm lên nhau. 
 Trên cung nhỏ thứ i ta lấy một điểm Mi(xi, yi, zi) bất kỳ, khoảng cách từ Mi đến L 
là r(xi ,yi ,zi). Xét momen quán tính của cung nhỏ thứ i đối với L : 
2. ( ).i i iI r M l 
Suy ra: 
n
i
i 1
I I
  
Qua giới hạn ta được: 2 ( , , ). ( , , ) L
AB
I r x y z x y z dl 
Áp dụng cho L là Ox, Oy, Oz ta có : 
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 123 
2 2 2 2 2 2( ) ( , , ) , ( ) ( , , ) , ( ) ( , , ) x y z
AB AB AB
I y z x y z dl I x z x y z dl I x y x y z dl 
2.2.2. Tọa độ trọng tâm 
 Tọa độ trọng tâm G của AB được xác định bởi: 
 m
m
z
m
m
y
m
m
x
xy
xz
yz
Với : 
( , , )
AB
AB
m m x y z dl 
. ( , , )
. ( , , )
. ( , , )
yz
AB
xz
AB
xy
AB
m x x y z dl
m y x y z dl
m z x y z dl
Nếu AB đồng chất ρ=const thì: 
1
1
1
ABAB
ABAB
ABAB
x xdl
l
y ydl
l
z zdl
l
2.3. Ví dụ minh họa 
 Cho nửa vòng tròn bằng thép đặt trong mặt phẳng Oyz với phương trình y2 + z2 = 
1, z 0. Biết khối lượng riêng là (x,y,z) = 2 – z . Hãy tìm khối lượng và tâm của nửa 
vòng tròn đó. 
 Ta gọi trọng tâm của nửa vòng tròn là G(x,y,z). Do nửa vòng tròn nằm trong mặt 
Oxy nên x = 0. 
 Nửa vòng tròn có trục đối xứng là Oz nên G phải nằm trên Oz nên y = 0. Suy ra 
G(0,0,z). Nửa vòng tròn có phương trình tham số là : 
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 124 
tz
ty
x
sin
cos
0
 ( t0 ) 
 dtdtttdtzyxdl 2222''' cossin022 
Khối lượng: 
0
( , , ) 2 sin 2 2
AB
m x y z dl t dt
0
8
. ( , , ) sin 2 sin
2
xy
AB
m z x y z dl t t dt
8
4 4
xym
z
m
Vậy: 
8
G(0,0, )
4 4
3. Khối lƣợng, trọng tâm, momen quán tính của vật thể là vật rắn dạng mặt 
3.1. Khối lƣợng mặt S 
 Xét một mặt cong S bất kỳ có diện tích là S, có khối lượng riêng phụ thuộc vào 
điểm M(x,y,z) nằm trên S là = (M) = (x,y,z). 
 Tương tự như cách xác định khối lượng của cung, bằng cách chia nhỏ mặt S thành 
n mặt nhỏ không dẫm lên nhau và qua giới hạn ta cũng được công thức tính khối lượng 
của mặt S là : 
S
m (x,y,z)dS 
Trong đó dS là yếu tố diện tích. Nếu mặt S là mặt đồng chất = const thì m = .S. 
3.2. Momen quán tính và trọng tâm 
3.2.1. Momen quán tính 
 Tương tự, momen quán tính của mặt S đối với một đường thẳng L bất kỳ trong 
không gian: 
S
L dSzyxzyxrI ),,(),,(
2 
 Trong đó: r(x,y,z) là khoảng cách từ M(x,y,z) trên S đến L. 
3.2.2. Trọng tâm 
 Trọng tâm G(x,y,z) của mặt S được xác định bởi công thức: 
m
m
z
m
m
y
m
m
x
xy
xz
yz
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 125 
Trong đó: 
( , , )
( , , )
( , , )
yz
S
xz
S
xy
S
m x x y z dS
m y x y z dS
m z x y z dS
3.3. Ví dụ minh họa 
 Xác định trọng tâm của mặt S đồng chất cho bởi phương trình: 
2 2
2 , 0
2
x y
z z
Biết S nhận trục Oz làm trục đối xứng. 
Giải: 
Mặt S nhận Oz làm trục đối xứng nên trọng tâm G (0,0,z) và = const nên: 
S
zdS
S
z
1
 2
2
22 yx
z
Nên: ' ' 2 2x yz x,z y dS 1 x y dxdy 
 Mặt S cắt mặt z = 0 theo giao tuyến x2 + y2 = 4. Vậy hình chiếu của S xuống mặt 
Oxy là miền D: x2 + y2= 4 
 dxdyyxdS
S D
221
Chuyển sang tọa độ cực: 
2 2 3
2 2 22
0
S 0 0
1 2
dS d 1 r rdr 2 1 r 5 5 1
3 3
  
Cũng như vậy ta tính được:
S
50 5 22
zdS
15
Do đó: 
50 5 22 3 307 15 5
z .
15 3102 5 5 1
.
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Bài giảng học phần Giải tích 2 của thầy Đoàn Văn Hiệp. 2013. Trường ĐHXD 
Miền Trung. 
[2] Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. 2005. Toán cao cấp 3 
(Giải tích nhiều biến), NXB ĐHQG TP. HCM. 
[3] Jean - Marie Monier. 2006. Giải tích 4, NXB GD.