Phân tích và thực nghiệm xác định hình dạng tháp tensegrity ba tầng

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE 2020. 14 (3V): 118–127
PHÂN TÍCH VÀ THỰC NGHIỆM XÁC ĐỊNH HÌNH DẠNG THÁP
TENSEGRITY BA TẦNG
Bùi Quang Hiếua,∗, Võ Doãn Quâna, Hoàng Quốc Khanha, Dương Minh Luậna,
Trần Phước Lâma, Nguyễn Hữu Đạta
aKhoa Xây dựng dân dụng và công nghiệp, Trường Đại học Bách Khoa Đà Nẵng,
số 54 đường Nguyễn Lương Bằng, quận Liên Chiểu, Đà Nẵng, Việt Nam
Nhận ngày 30/03/2020, Sửa xong 10/06/2020, Chấp nhận đăng 17/06/2020
Tóm tắt
Kết cấu Tensegrity ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong các công trình dân dụng vì độ tin cậy cao, sử dụng
vật liệu hiệu quả, vượt nhịp lớn và có khả năng đóng mở. Đây là loại kết cấu bao gồm các thanh chịu nén không
liên tục nằm trong các dây cáp chịu kéo liên tục. Phân tích hình dạng cho kết cấu này là cần thiết trong giai
đoạn thiết kế ban đầu để tìm ra hình dạng mà tại đó ứng suất trước trong các cấu kiện là tự cân bằng với nhau.
Bài báo này áp dụng phương pháp mật độ lực tương thích trong việc xác định hình dạng của tháp Tensegity ba
tầng. Quy trình thực nghiệm bằng thanh gỗ và dây cáp thép để minh chứng cho kết quả phân tích cũng được
giới thiệu trong bài báo này.
Từ khoá: kết cấu Tensegrity; phân tích hình dạng; phương pháp mật độ lực tương thích; tháp Tensegrity ba tầng.
ANALYSIS AND EXPERIMENT FOR FORM-FINDING OF THREE-LAYER TENSEGRITY TOWER
Abstract
Tensegrity structures are widely used in civil buildings because of their reliability, saving materials, fabrication
of large-scale structures, and deployability. These structures include a set of discontinuous compressive com-
ponents interacting with a set of continuous tensile components. Form-finding analysis is necessary for these
structures in the preliminary design stage to find the shapes that the prestresses in all components are in the
self-equibilium state. This paper applies the adaptive force density method to find the shape of a three-layer
tensegrity tower. The experiment set-up with timber bars and steel cables to illustrate the results of form-finding
analysis is also introduced.
Keywords: Tensegrity structures; form-finding; adaptive force density method; three-layer Tensegrity tower.
https://doi.org/10.31814/stce.nuce2020-14(3V)-11 © 2020 Trường Đại học Xây dựng (NUCE)
1. Giới thiệu
Thuật ngữ Tensegrity được giới thiệu đầu tiên bởi Fuller từ năm 1962 [1]. Fuller mô tả kết cấu
Tensegrity gồm một tập hợp các thanh chịu nén không liên tục trong một hệ các thanh chịu kéo liên
tục. Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa cho hệ kết cấu Tensegrity [2–4], nhưng theo Zhang [5] một hệ
kết cấu được gọi là Tensegrity phải có các đặc tính sau: (1) kết cấu này tự đứng được mà không cần
liên kết nối đất; (2) các cấu kiện là các thanh thẳng; (3) chỉ có hai loại cấu kiện trong hệ kết cấu này:
thanh chịu nén và thanh cáp chịu kéo; (4) thanh chịu nén là gián đoạn, không liên kết trực tiếp với các
thanh chịu nén khác tại mỗi đầu. Với các đặc tính này thì kết cấu Tensegrity được ứng dụng rộng rãi
trong kiến trúc và xây dựng. Hình 1 giới thiệu hai công trình nổi tiếng ứng dụng kết cấu Tensegrity.
∗Tác giả đại diện. Địa chỉ e-mail: bqhieu@dut.udn.vn (Hiếu, B. Q.)
118
Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
1 
Keywords: Tensegrity structures, form-finding, adaptive force density method, three-
layer Tensegrity tower. 
1. Giới thiệu 
 Thuật ngữ Tensegrity được giới thiệu đầu tiên bởi R. B. Fuller từ năm 1962 [1]. 
Fuller mô tả kết cấu Tensegrity gồm một tập hợp các thanh chịu nén không liên tục 
trong một hệ các thanh chịu kéo liên tục. Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa cho hệ kết 
cấu Tensegrity [2-4], nhưng theo Zhang [5] một hệ kết cấu được gọi là Tensegrity phải 
có các đặc tính sau: (1) kết cấu này tự đứng được mà không cần liên kết nối đất; (2) các 
cấu kiện là các thanh thẳng; (3) chỉ có hai loại cấu kiện trong hệ kết cấu này: thanh chịu 
nén và thanh cáp chịu kéo; (4) thanh chịu nén là gián đoạn, không liên kết trực tiếp với 
các thanh chịu nén khác tại mỗi đầu. Với các đặc tính này thì kết cấu Tensegrity được 
ứng dụng rộng rãi trong kiến trúc và xây dựng. Hình 1 giới thiệu hai công trình nổi tiếng 
ứng dụng kết cấu Tensegrity. 
a. Cầu Kurilpa, Australia b. White Rhino, Nhật Bản 
Hình 1. Một số công trình sử dụng kết cấu Tensegrity 
 Phân tích xác định hình dạng cho kết cấu Tensegrity là giai đoạn thiết kế ban đầu 
thiết yếu cho kết cấu này. Giai đoạn này sẽ xác định hình dạng mà tại đó thỏa mãn các 
yêu cầu của người kiến trúc và thỏa mãn các đặc tính về vật liệu của cấu kiện, đồng thời 
hình dạng này phải đảm bảo điều kiện ổn định. Hệ kết cấu này chỉ ổn định khi các cấu 
kiện được ứng suất trước, nên nói một cách khác thì phân tích hình dạng sẽ tìm được 
hình dạng mà tại đó yêu cầu về hình học và ứng suất trước là cân bằng trong một thể 
thống nhất. Hiện nay các phương pháp số trong phân tích hình dạng cho kết cấu 
(a) Cầu il , tralia
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
1 
Keywords: Tensegrity structures, form-finding, adaptive force density method, three-
layer Tensegrity tower. 
1. Giới thiệu 
 Thuật ngữ Tensegrity được giới thiệu đầu tiên bởi R. B. Fuller từ năm 1962 [1]. 
Fuller mô tả kết cấu Tensegrity gồm một tập hợp các thanh chịu nén không liên tục 
trong một hệ các thanh chịu kéo liên tục. Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa cho hệ kết 
cấu Tensegrity [2-4], nhưng theo Zhang [5] một hệ kết cấu được gọi là Tensegrity phải 
có các đặc tính sau: (1) kết cấu này tự đứng được mà không cần liên kết nối đất; (2) các 
cấu kiện là các thanh thẳng; (3) chỉ có hai loại cấu kiện trong hệ kết cấu này: thanh chịu 
nén và thanh cáp chịu kéo; (4) thanh chịu nén là gián đoạn, không liên kết trực tiếp với 
các thanh chịu nén khác tại mỗi đầu. Với các đặc tính này thì kết cấu Tensegrity được 
ứng dụng rộng rãi trong kiến trúc và xây dựng. Hình 1 giới thiệu hai công trình nổi tiếng 
ứng dụng kết cấu Tensegrity. 
a. Kurilpa, Australia b. White Rhino, Nhật Bản 
Hình 1. Một số công trình sử dụng kết cấu Tensegrity 
 Phân tích xác định hình dạng cho kết cấu Tensegrity là giai đoạn thiết kế ban đầu 
thiết yếu cho kết cấu này. Giai đoạn này sẽ xác định hình dạng mà tại đó thỏa mãn các 
yêu cầu của người kiến trúc và thỏa mãn các đặc tính về vật liệu của cấu kiện, đồng thời 
hình dạng này phải đảm bảo điều kiện ổn định. Hệ kết cấu này chỉ ổn định khi các cấu 
kiện được ứng suất trước, nên nói một cách khác thì phân tích hình dạng sẽ tìm được 
hình dạng mà tại đó yêu cầu về hình học và ứng suất trước là cân bằng trong một thể 
thống nhất. Hiện nay các phương pháp số trong phân tích hình dạng cho kết cấu 
(b) hite i , t ản
Hình 1. Một số công trình sử dụng kết cấu Tensegrity
Phân tích xác định hình dạng cho kết cấu Tensegrity là giai đoạn thiết kế ban đầu thiết yếu cho
kết cấu này. Giai đo n sẽ xác định hình dạ g mà tại đó thỏa mãn ác yêu cầu của người kiến trúc
và thỏa mãn các đặc tính về vật liệu của cấu kiện, đồng thời ì h dạng ày phải đảm bảo điều kiện
ổn định. Hệ kết cấu ày chỉ ổn định khi các cấu kiện được ứng suất trước, ên nói ột cách khác thì
phân tích hình dạ g sẽ ìm được hình dạng mà tại đó yêu cầu về ìn ọc và ứng suất trước là cân
bằng trong một thể thống nhất. Hiện nay các phương pháp số trong phân tích hình dạng cho kết cấu
Tensegrity chia làm bốn nhóm chính: (1) phương pháp mật độ lực tương thích [6, 7]; (2) phương pháp
dao động ảo [8]; (3) phương pháp phân tích phi tuyến [9]; và (4) phương pháp tối ưu [10].
Kết cấu tháp Tensegrity, kết hợp các đơn nguyên Tensegrity dọc theo chiều cao, là một dạng kết
cấu Tensegrity phổ biến nhất. Các tháp Needle Tower và Needle Tower II được thiết kế bởi Kenneth
Snelson là các ví dụ điển hình cho loại kết cấu này [11]. Trong thực tế xây dựng, tháp Tensegrity chủ
yếu được sử dụng như cột chống sét, trụ tháp ăng-ten hoặc tạo điểm nhấn kiến trúc. Tháp Warnow
Tower với chiều cao 49,2 mét ở Rostock, Đức là một ví dụ điển hình cho ứng dụng trong thực tế của
loại kết cấu này. Đây cũng là tháp Tensegrity cao nhất từng được xây dựng từ trước đến nay [12].
Bài báo này áp dụng phương pháp mật độ lực tương thích trong phân tích hình dạng cho tháp
Tensegrity ba tầng với các điều kiện ràng buộc về hình học được áp dụng trực tiếp trong quá trình
phân tích. Một trong các hình dạng tìm được sẽ được thực nghiệm kiểm chứng bằng việc xây dựng hệ
tháp Tensegrity ba tầng bằng các thanh gỗ có đường kính hai mươi milimét và dây cáp có đường kính
một milimét.
2. Phương pháp mật độ lực tương thích trong phân tích hình dạng tháp Tensegrity ba tầng
Phương pháp mật độ lực được giới thiệu bởi Schek vào năm 1974 [13] được áp dụng chủ yếu cho
hệ lưới cáp. Zhang [6, 7] áp dụng phương pháp này cho kết cấu Tensegrity với các điều kiện ràng buộc
về hình học được áp dụng trực tiếp trong quá trình phân tích hình dạng. Trong phần này, phương pháp
mật độ lực tương thích này sẽ được áp dụng trong phân tích hình dạng của hệ kết cấu tháp Tensegrity.
119
Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
2.1. Giới thiệu về hệ kết cấu tháp Tensegrity ba tầng
Kết cấu tháp Tensegrity là một dạng đặc biệt của kết cấu Tensegrity. Kết cấu tháp này được xây
dựng dựa trên sự kết hợp của các đơn nguyên dọc theo chiều cao. Hình 2(a) thể hiện kết cấu tháp
Tensegrity ba tầng bao gồm ba đơn nguyên mà mỗi đơn nguyên đặc trưng cho một tầng. Các thanh
chịu nén thể hiện bằng đường nét đậm ở Hình 2(b) trong khi đó các thanh cáp chịu kéo được thể hiện
bằng các đường nét đậm trên Hình 2(c) đến Hình 2(f). Để hệ kết cấu tháp là ổn định, có bốn loại cáp
là cần thiết cho kết cấu này [5]: (1) cáp ngang là các dây cáp nối các nút trên cùng một mặt phẳng, chỉ
tồn tại ở mặt dưới cùng và trên cùng của tháp hay nói cách khác các dây cáp ngang là các dây cáp nối
các nút ở mặt dưới đơn nguyên 1 và mặt trên đơn nguyên 3; (2) cáp xiên là các dây cáp nối các nút
ở mặt dưới một đơn nguyên và mặt trên một đơn nguyên khác liền kề hay nói cách khác các dây cáp
xiên là các dây cáp nối các nút ở mặt trên đơn nguyên 1 với mặt dưới đơn nguyên 2 và mặt trên đơn
nguyên 2 với mặt dưới đơn nguyên 3; (3) cáp đứng là các dây cáp nối các nút ở mặt trên và mặt dưới
của cùng một đơn nguyên; (4) cáp chéo là các dây cáp nối các nút ở mặt dưới (hoặc mặt trên) của hai
đơn nguyên liền kề.
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
3 
đơn nguyên liền kề. 
2.2. Nút và cấu kiện 
 Để tiện cho việc thể hiện phương pháp mật độ lực tương thích với hệ kết cấu này, 
các kí hiệu sau đây được sử dụng thống nhất trong toàn bộ bài báo này: là số 
thanh chịu nén trong một đơn nguyên; là tổng số đơn nguyên. Tổng số nút trong 
hệ , tổng số thanh chịu nén , tổng số dây cáp ngang , tổng số dây cáp xiên , 
tổng số dây cáp đứn , tổng số dây cáp chéo và tổ g số cấu kiện trong hệ 
được xác định theo công thức (1). 
 (1) 
Hình 2. Kết cấu tháp Tensegrity ba tầng 
4sn =
3Ln =
n sm nm xm
dm cm m
2 24s Ln n n= =
12s s Lm n n= =
2 8n sm n= =
( )2 1 16x L sm n n= - =
12d s Lm n n= =
64s n x d cm m m m m m= + + + + =
(a) Mặt đứng
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
3 
đơn nguyên liền kề. 
2.2. Nút và cấu kiện 
 Để tiện cho việc thể hiện phương pháp mật độ lực tương thích với hệ kết cấu này, 
các kí hiệu sau đây được sử dụng thống nhất trong toàn bộ bài báo này: là số 
thanh chịu nén trong một đơn nguyên; là tổng số đơn nguyên. Tổng số nút trong 
hệ , tổng số thanh chịu nén , tổng số dây cáp ngang , tổng số dây cáp xiên , 
tổng số dây cáp đứng , tổng số dây cáp chéo và tổng số cấu kiện trong hệ 
được xác định theo công thức (1). 
 (1) 
Hình 2. Kết cấu tháp Tensegrity ba tầng 
4sn =
3Ln =
n sm nm xm
dm cm m
2 24s Ln n n= =
12s s Lm n n= =
2 8n sm n= =
( )2 1 16x L sm n n= - =
12d s Lm n n= =
64s n x d cm m m m m m= + + + + =
(b) Thanh nén
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
3 
đơn nguyên liền kề. 
2.2. Nút và cấu kiện 
 Để tiện cho việc thể hiện phương pháp mật độ lực tương thích với hệ kết cấu này, 
các kí hiệu sau đây được sử dụng thống nhất trong toàn bộ bài báo này: là số 
thanh chịu né tr ng một đơn nguyên; là tổng số đơn nguyên. Tổng số nút trong 
hệ , tổng số thanh chịu nén , tổng số dây cáp ngang , tổng số dây cáp xiên , 
tổng số dây cáp đứng , tổng số dây cáp chéo và tổng số cấu kiện trong hệ 
được xác định theo công thức (1). 
 (1) 
Hình 2. Kết cấu tháp Tensegrity ba tầng 
4sn =
3Ln =
n sm nm xm
dm cm m
2 24s Ln n n= =
12s s Lm n n= =
2 8n sm n= =
( )2 1x L sm n= -
12d s Lm n n= =
s n x dm m= +
(c) Cáp ngang
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
đơn nguyên liền kề. 
2.2. Nút và cấu kiện 
 Để tiện cho việc thể hiện phương pháp mật độ lực tương thích với hệ kết cấu này, 
các kí hiệu sau đây được sử dụng thống nhất trong toàn bộ bài báo này: là số 
thanh chịu nén trong một đơn nguyên; là tổ số đơn nguyên. Tổng số nút trong 
hệ , tổng số thanh chịu nén , tổ g số dây cáp ngang , tổng số dây cáp xiên , 
tổng số dây cáp đứng , tổng số dây cáp chéo và tổng số cấu kiện trong hệ 
được xác định theo công thức (1). 
 (1) 
ình 2. ết cấu tháp ensegrity ba tầng 
4sn =
3L =
n sm nm xm
dm cm m
2 24s Ln n n= =
12s s Lm n n= =
2 8n sm n= =
( )2 1 16x L sm n n= - =
12d s Lm n n= =
64s n x d cm m m m m m= + + + + =
(d) Cáp đứng
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
3 
đơn nguyên liền kề. 
2.2. Nút và cấu kiện 
 Để tiện cho việc thể hiện phương pháp mật độ lực tương thích với hệ kết cấu này, 
các kí hiệu sau đây đượ sử dụng t ống nhất trong toàn bộ bài báo này: là số 
thanh chịu nén trong một đơn nguyên; là tổng số đơn nguyên. Tổng số nút trong 
hệ , tổ g số thanh chịu nén , tổng số dây cáp nga , tổ số dây cáp xiê , 
tổng số dây cáp đứng , tổ g số dây cáp chéo và tổng số cấu kiện trong hệ 
được xác định theo công thức (1). 
 (1) 
Hình 2. Kết cấu tháp Tensegrity ba tầng 
4sn =
3Ln =
n sm nm xm
dm cm m
2 24s Ln n n= =
12s s Lm n n= =
2 8n sm n= =
( )2 1 16x L sm n n= - =
12d s Lm n n= =
64s n x d cm = + + + + =
(e) Cáp xiên
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
3 
đơn nguyên liền kề. 
2.2. Nút và cấu kiện 
 Để tiện cho việc thể hiện phương pháp mật độ lực tương thích với hệ kết cấu này, 
các kí hiệu sau đây được sử dụng thống nhất rong toàn bộ bài báo này: là số 
thanh hịu nén trong một đơn nguyên; là tổng số đơn nguyên. Tổng số nút rong 
hệ , tổng số thanh chịu nén , tổ số dây cáp ngang , tổ g số dây cáp xiên , 
tổng số dây cáp đứng , tổng số dây cáp chéo và tổ số cấu kiện trong hệ 
được xác định theo công thức (1). 
 (1) 
Hình 2. Kết cấu tháp Tensegrity ba tầng 
4sn =
3Ln =
n sm nm xm
dm cm m
2 24s Ln n= =
12s s Lm n n= =
2 8n sm n= =
( )2 1 16x L sm n n= - =
12d s Lm n n= =
64s n x d cm m m m m= + + + + =
(f) Cáp chéo
Hình 2. Kết cấu tháp Tensegrity ba tầng
2.2. Nút và cấu kiện
Để tiện cho việc thể hiện phương pháp mật độ lực tương thích với hệ kết cấu này, các kí hiệu sau
đây được sử dụng thống nhất trong toàn bộ bài báo n ...  và có giá trị lần lượt là q1s , q
2
s , q
3
s ;
(2) tương tự mật độ lực của các dây cáp ngang trong cùng một đơn nguyên lần lượt là q1n, q
3
n; (3) mật
độ lực của các dây cáp xiên lần lượt là q2x, q
3
x; (4) mật độ lực trong các dây cáp đứng lần lượt là q
1
d, q
2
d,
q3d; và mật độ lực của các dây cáp chéo lần lượt là q
1
c , q
2a
c , q
2b
c , q
3
c . Lưu ý chỉ số dưới thể hiện loại cấu
123
Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
kiện bao gồm thanh chịu nén (s), cáp ngang (n), cáp xiên (x), cáp đứng (d) và cáp chéo (c). Trong khi
đó chỉ số trên thể hiện số đơn nguyên. Bảng 1 thể hiện điều kiện đối xứng về mật độ lực này trong các
cấu kiện được thể hiện bằng các nút liên kết.
Bảng 1. Điều kiện đối xứng về mật độ lực
Mật độ lực Cấu kiện (nút-nút)
q1s 1-5 2-6 3-7 4-8
q2s 9-13 10-14 11-15 12-16
q3s 17-21 18-22 19-23 20-24
q1n 1-2 2-3 3-4 4-1
q3n 21-22 22-23 23-24 24-21
q2x 5-9 9-6 6-10 10-7 7-11 11-8 8-12 12-5
q3x 13-17 17-14 14-18 18-15 15-19 19-16 16-20 20-13
q1d 5-4 6-1 7-2 8-3
q2d 13-12 14-9 15-10 16-11
q3d 21-20 22-17 23-18 24-19
q1c 1-9 2-10 3-11 4-12
q2ac 5-13 6-14 7-15 8-16
q2bc 9-17 10-18 11-19 12-20
q3c 13-21 14-22 15-23 16-24
Mật độ lực ban đầu (quy trình ở Hình 3) được chọn lần lượt là −1,0 cho các thanh chịu nén và
+1,0 cho các thanh chịu kéo. Sau 354 vòng lặp thì mật độ lực tối ưu cho ví dụ tính toán này được thể
hiện ở Bảng 2.
Bảng 2. Mật độ lực sau khi tối ưu
Thanh chịu nén Cáp ngang Cáp xiên Cáp đứng Cáp chéo
q1s = q
3
s q
2
s q
1
n = q
3
n q
2
x = q
3
x q
1
d = q
3
d q
2
d q
1
c = q
3
c q
2a
c = q
2b
c
−1,1691 −1,1168 1,2964 1,5050 0,6760 0,5982 0,6575 0,3458
Kết quả ở Bảng 2 cho thấy mật độ lực trong đơn nguyên 1 và 3 là hoàn toàn giống nhau. Với các
điều kiện ràng buộc về mặt hình học trong ví dụ tính toán này thì vai trò của đơn nguyên 1 và đơn
nguyên 3 là như nhau trong hệ tháp Tensegrity ba tầng này. Vì vậy, kết quả trong bài báo này hợp lý
hơn so với kết quả trong nghiên cứu của Zhang [5] mà trong đó mật độ lực của các thanh chịu nén
trong đơn nguyên 1 và 2 là giống nhau và khác so với đơn nguyên 3.
Hình 5 thể hiện kết quả hình dạng của tháp Tensegrity với mật độ lực tối ưu ở Bảng 2 trong các
trường hợp: (TH1) Tọa độ nút 1 là (0; 0), nút 3 là (0,1; 0,1); và (TH2) tọa độ nút 1 là (0; 0) và nút 3 là
(0,25; 0,25). Như đã thảo luận ở mục 2.5, chỉ cần xác định tọa độ của 2 nút, tọa độ các nút còn lại sẽ
được tự động xác định theo phương pháp mật độ lực tương thích đã được trình bày ở bài báo này. Kết
quả của TH2 ở Hình 5(c), 5(d) sẽ được lựa chọn để thực nghiệm kiểm định ở phần 3.
124
Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
10 
Hình 5. Kết quả phân tích hình dạng của tháp Tensegrity 
 Sử dụng hệ khung thép bên ngoài để tiến hành cố định toạ độ các thanh chịu nén 
theo đúng kết quả ở Hình 5(c, d). Dây dọi và mặt phẳng tọa độ được sử dụng để xác 
định tọa độ của các nút trong hệ tháp này như ở Hình 6. Tiếp theo các dây cáp có đường 
kính 1 mm có gắn tăng-đơ để liên kết các thanh chịu nén lại, chiều dài của các dây cáp 
này được quản lý theo đúng chiều dài đã tối ưu ở Hình 5(c, d). 
 Các dây cáp được căng bằng tăng-đơ và thước kẹp theo đúng tỷ lệ mật độ lực tối 
ưu ở Bảng 2 và theo công thức (12). 
 (12) 
trong đó, là sự điều chỉnh tăng-đơ của các dây cáp ngang được lấy làm chuẩn; 
là sự điều chỉnh tăng-đơ cho các dây cáp thứ i còn lại ứng với mật độ lực ; và là 
chiều dài của các dây cáp ngang và dây cáp thứ i theo kết quả ở Hình 5(c, d). 
 Trong thí nghiệm này, các dây cáp ngang được căng bằng cách điều chỉnh tăng-
đơ một đoạn là 2 mm tương ứng với biến dạng là 0.8%. Bảng 3 thể hiện sự điều chỉnh 
tăng-đơ cho các dây cáp còn lại trong hệ dựa trên mật độ lực tối ưu trong Bảng 2 và 
công thức (12). Lưu ý rằng, các dây cáp được thể hiện bằng nét đậm trên Hình 2. Trong 
đó, cáp xiên được chia thành hai loại là dây dài và dây ngắn như ở trên Hình 2(e). 
2
2
i i n
n n i
q l l
q l l
D
=
D
nlD ilD
iq nl il
(a) Mặt đứng, TH1
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
10 
Hình 5. Kết quả phân tích hình dạng của tháp Tensegrity 
 Sử dụng hệ khung thép bên ngoài để tiến hành cố định toạ độ các thanh chịu nén 
theo đúng kết quả ở Hình 5(c, d). Dây dọi và mặt phẳng tọa độ được sử dụng để xác 
định tọa độ của các nút trong hệ tháp này như ở Hình 6. Tiếp theo các dây cáp có đường 
kính 1 mm có gắn tăng-đơ để liên kết các thanh chịu nén lại, chiều dài của các dây cáp 
này được quản lý theo đúng chiều dài đã tối ưu ở Hình 5(c, d). 
 Các dây cáp được căng bằng tăng-đơ và thước kẹp theo đúng tỷ lệ mật độ lực tối 
ưu ở Bảng 2 và theo công thức (12). 
 (12) 
trong đó, là sự điều chỉnh tăng-đơ của các dây cáp ngang được lấy làm chuẩn; 
là sự điều chỉnh tăng-đơ cho các dây cáp thứ i còn lại ứng với mật độ lực ; và là 
chiều dài của các dây cáp ngang và dây cáp thứ i theo kết quả ở Hình 5(c, d). 
 Trong thí nghiệm ày, các dây cáp ngang được căng bằng cách điều chỉnh tăng-
đơ một đoạn là 2 mm tương ứng với biến dạng là 0.8%. Bảng 3 thể hiện sự điều chỉnh 
tăng-đơ cho các dây cáp còn lại trong hệ dựa trên mật độ lực tối ưu trong Bảng 2 và 
công thức (12). Lưu ý rằng, các dây cáp được thể hiện bằng nét đậm trên Hình 2. Trong 
đó, cáp xiên được chia thành hai loại là dây dài và dây ngắn như ở trên Hình 2(e). 
2
2
i i n
n n i
q l l
q l l
D
=
D
nlD ilD
iq nl il
(b) Hình không gian, TH1
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
10 
Hình 5. Kết quả phân tích hình dạng của tháp Tensegrity 
 Sử dụng hệ khung thép bên ngoài để tiến hành cố định toạ độ các thanh chịu nén 
theo đúng kết quả ở Hình 5(c, d). Dây dọi và mặt phẳng tọa độ được sử dụ ể xác 
định tọa độ của các nút trong hệ tháp này như ở Hình 6. Tiếp theo các dây cáp có đường 
kính 1 mm có gắn tăng-đơ để liên kết các thanh chịu nén lại, chiều dài của các dây cáp 
này được quản lý theo đúng chiều dài đã tối ưu ở Hình 5(c, d). 
 Các dây cáp được căng bằng tăng-đơ và thước kẹp theo đúng tỷ lệ mật độ lực tối 
ưu ở Bảng 2 và theo công thức (12). 
 (12) 
trong đó, là sự điều chỉnh tăng-đơ của các dây cáp ngang được lấy làm chuẩn; 
là sự điều chỉnh tăng-đơ cho các dây cáp thứ i còn lại ứng với mật độ lực ; và là 
chiều dài của các dây cáp ngang và dây cáp thứ i theo kết quả ở Hình 5(c, d). 
 Trong thí nghiệm này, các dây cáp ngang được căng bằng cách điều chỉnh tăng-
đơ một đoạn là 2 mm tương ứng với biến dạng là 0.8%. Bảng 3 thể hiện sự điều chỉnh 
tăng-đơ cho các dây cáp còn lại trong hệ dựa trên mật độ lực tối ưu trong Bảng 2 và 
công thức (12). Lưu ý rằng, các dây cáp được thể hiện bằng nét đậm trên Hình 2. Trong 
đó, cáp xiên được chia thành hai loại là dây dài và dây ngắn như ở trên Hình 2(e). 
2
2
i i n
n n i
q l l
q l l
D
=
D
nlD ilD
iq nl il
(c) Mặt đứng, TH2
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
10 
Hình 5. Kết quả phân tích hình dạng của tháp Tensegrity 
 Sử dụng hệ khung thép bên ngoài để tiến hành cố định toạ độ các thanh chịu nén 
theo đúng kết quả ở Hình 5(c, d). Dây dọi và mặt phẳng tọa độ được sử dụng để xác 
định tọa độ của các nút trong hệ tháp này như ở Hình 6. Tiếp theo các dây cáp có đường 
kính 1 mm có gắn tăng-đơ để liên kết các thanh chịu nén lại, chiều dài của các dây cáp 
này được quản lý theo đúng chiều dài đã tối ưu ở Hình 5(c, d). 
 Các dây cáp được căng bằng tăng-đơ và thước kẹp theo đúng tỷ lệ mật độ lực tối 
ưu ở Bảng 2 và theo công thức (12). 
 (12) 
trong đó, là sự điều chỉnh tăng-đơ của các dây cáp ngang được lấy làm chuẩn; 
là sự điều chỉnh tăng-đơ cho cá dây áp thứ i còn lại ứng với mật độ lực ; và là 
chiều dài của các dây cáp ngang và dây cáp thứ i theo kết quả ở Hình 5(c, d). 
 Trong thí nghiệm này, các dây cáp nga g được căng bằng cách điều chỉnh tăng-
đơ một đoạn là 2 mm tương ứng với biến dạng là 0.8%. Bảng 3 thể hiện sự điều chỉnh 
tăng-đơ cho các dây cáp còn lại trong hệ dựa trên mật độ lực tối ưu trong Bả g và 
công thứ (12). Lưu ý rằng, các dây cáp được thể hiện bằng ét đậm trên Hình 2. Trong 
đó, cáp xiên được chia thành hai loại là dây dài và dây ngắn như ở trên Hình 2(e). 
2
2
i i n
n n i
q l l
q l l
D
=
D
nlD ilD
iq nl il
(d) Hình không gian, TH2
Hình 5. Kết quả phân tích hình dạng của tháp Tensegrity
3. Quy trình thực nghiệm cho tháp Tensegrity ba ầng
Trong thí nghiệm này, các thanh chịu nén sử dụng gỗ xoan đào có đường kính là 20 mm. Đây là
loại gỗ thuộc nhóm IV và tính chất cơ lý của gỗ này được lấy gần đúng theo [14]. Dây cáp thép sử
dụng loại cáp nhiều sợi, và đường kính danh nghĩa của dây cáp là 1 mm. Hệ số đàn hồi của dây cáp
được lấy gần đúng là E = 105 N/mm2 [15, 16]. Sử dụng hệ khung thép bên ngoài để tiến hành cố định
toạ độ các thanh chịu nén theo đúng kết quả ở Hình 5(c) và 5(d). Dây dọi và mặt phẳng tọa độ được sử
dụng để xác địn tọa độ của các nút trong hệ tháp này như ở Hình 6. Tiếp theo các dây cáp có đường
kí 1 mm ó gắn tăng-đơ để l ên kết các thanh chịu nén lại, chiều dài của các dây cáp này được quản
lý theo đúng chiều dài đã tối ưu ở Hình 5(c) và 5(d).
Các dây cáp được căng bằng tăng-đơ và thước kẹp theo đúng tỷ lệ mật độ lực tối ưu ở Bảng 2 và
theo công thức (12).
qi
qn
=
∆li
∆ln
ln2
li2
(12)
trong đó ∆ln là sự điều chỉnh tăng-đơ của các dây cáp ngang được lấy làm chuẩn; ∆li là sự điều chỉnh
tăng-đơ cho các dây cáp thứ i còn lại ứng với mật độ lực qi; lnvà li là chiều dài của các dây cáp ngang
và dây cáp thứ i t eo kết quả ở Hình 5( ) và 5(d).
Trong thí nghiệm này, các dây cáp ngang được căng bằng cách điều chỉnh tăng-đơ một đoạn là
2 mm tương ứng với biến dạng là 0,8%. Bảng 3 thể hiện sự điều chỉnh tăng-đơ cho các dây cáp còn
125
Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
11 
Hình 6. Thực nghiệm xác định hình dạng tháp Tensegrity 
Bảng 3. Sự điều chỉnh tăng-đơ để tạo lực căng cáp trong thí nghiệm 
Cáp ngang 
(mm) 
Cáp xiên 
(mm) 
Cáp đứng 
(mm) 
Cáp chéo 
(mm) 
Dây dài Dây ngắn ĐN 1&3 ĐN 2 ĐN 1&3 ĐN 2 
2,0 4,4 1,3 3,4 2,9 2,8 1,7 
 Sau khi căng cáp, tiến hành tháo khung thép ngoài và hình dạng của tháp 
Tensegrity thu được ở Hình 7. 
Hình 7. Kết quả thực nghiệm hình dạng tháp Tensegrity
Hình 6. Thực nghiệm xác định hình dạng tháp Tensegrity
lại trong hệ dựa trên mật độ lực tối ưu trong Bảng 2 và công thức (12). Lưu ý rằng, các dây cáp được
thể hiện bằng nét đậm trên Hình 2. Trong đó, cáp xiên được chia thành hai loại là dây dài và dây ngắn
như ở trên Hình 2(e).
Bảng 3. Sự điều chỉnh tăng-đơ để tạo lực căng cáp trong thí nghiệm
Cáp ngang (mm)
Cáp xiên (mm) Cáp đứng (mm) Cáp chéo (mm)
Dây dài Dây ngắn ĐN 1&3 ĐN 2 ĐN 1&3 ĐN 2
2,0 4,4 1,3 3,4 2,9 2,8 1,7
Sau khi căng cáp, tiến hành tháo khung thép ngoài và hình dạng của tháp Tensegrity thu được ở
Hình 7.
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020 
11 
Hình 6. Thực nghiệm xác định hình dạng tháp Tensegrity 
Bảng 3. Sự điều chỉnh tăng-đơ để tạo lực căng cáp trong thí nghiệm 
Cáp ngang 
(mm) 
Cáp xiên 
(mm) 
Cáp đứng 
(mm) 
Cáp chéo 
(mm) 
Dây dài Dây ngắn ĐN 1&3 ĐN 2 ĐN 1&3 ĐN 2 
2,0 4,4 1,3 3,4 2,9 2,8 1,7 
 Sau khi căng cáp, tiến hành tháo khung thép ngoài và hình dạng của tháp 
Tensegrity thu được ở Hình 7. 
Hình 7. Kết quả thực nghiệm hình dạng tháp TensegrityHình 7. Kết quả thực nghiệm hình dạng tháp Tensegrity
126
Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
4. Kết luận
Bài báo đã trình bày phương pháp mật độ lực tương thích trong việc xác định hình dạng của kết
cấu tháp Tensegrity ba tầng. Các điều kiện ràng buộc về mật độ lực và hình học được kết hợp trong
quá trình xác định mật độ lực tối ưu cho các cấu kiện trong hệ. Kết quả phân tích cho thấy mật độ lực
tối ưu của các cấu kiện trong đơn nguyên một và ba là đối xứng nhau. Hình dạng của tháp Tensegrity
ba tầng được xác định một cách tự động dựa trên kết quả mật độ lực tối ưu có được từ phân tích. Một
trong các hình dạng này được chọn để thực hiện thí nghiệm. Quy trình thực nghiệm tháp Tensegrity
ba tầng với các thanh gỗ có đường kính hai mươi milimét và dây cáp có đường kính một milimét cũng
đã được đề xuất. Kết quả thực nghiệm đã kiểm chứng được kết quả phân tích cho trường hợp tháp
Tensegrity ba tầng. Tuy nhiên, bài báo chưa kiểm chứng được lực nén trong các thanh gỗ trong quá
trình thí nghiệm. Vì vậy, việc sử dụng vật liệu khác kết hợp với các thiết bị đo điện tử để xác định mật
độ lực trong các thanh chịu nén được khuyến khích thực hiện trong các nghiên cứu tiếp theo.
Tài liệu tham khảo
[1] Fuller, R. B. (1962). Tensile-integrity structures. United States Patent 3,063,521, 1962. Filed 31 August
1959, Granted 13 November 1962.
[2] Pugh, A. (1976). An introduction to tensegrity. University of California Press, Berkeley, CA, USA.
[3] Hanaor, A. (1994). Geometrically rigid double-layer tensegrity grids. International Journal of Space
Structures, 9(1):227–238.
[4] Motro, R. (2003). Tensegrity: Structural Systems for the Future. Kogan Page, London-Sterling.
[5] Zhang, J. Y. (2015). Tensegrity Structures: Form, Stability, and Symmetry. Mathematics for Industry 6,
Springer, Tokyo.
[6] Zhang, J. Y., Ohsaki, M. (2006). Form-finding of tensegrity structures subjected to geometrical con-
straints. International Journal of Space Structures, 21(4):183–195.
[7] Zhang, J. Y., Ohsaki, M. (2006). Adaptive force density method for form-finding problem of tensegrity
structures. International Journal of Solids and Structures, 43(18-19):5658–5673.
[8] Zhang, J. Y., Ohsaki, M. (2016). Form-finding of complex tengrity structures by dynamic relaxation
method. Journal of Structural and Construction Engineering, 81(1):71–77.
[9] Pagitz, M., Tur, J. M. (2009). Finite element based form-finding algorithm for tensegrity structures.
International Journal of Solids and Structures, 46(17):3235–3240.
[10] Gan, B. S., Zhang, J., Nguyen, D.-K., Nouchi, E. (2015). Node-based genetic form-finding of irregular
tensegrity structures. Computers & Structures, 159:61–73.
[11] Snelson, K., Heartney, E. (2013). Art and ideas. Kenneth Snelson In Association With Marlborough
Gallery, NY.
[12] Gilewski, W., Kłosowska, J., Obara, P. (2015). Applications of tensegrity structures in civil engineering.
Procedia Engineering, 111:242–248.
[13] Schek, H.-J. (1974). The force density method for form finding and computation of general networks.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3(1):115–134.
[14] TCVN 1072:1971. Gỗ-phân nhóm theo tính chất cơ lý. Bộ Nông nghiệp và Phát triển nông thôn, Việt
Nam.
[15] Borosˇka, J., Pauliková, A., Ivancˇo, V. (2014). Determination of Elastic Modulus of Steel Wire Ropes for
Computer Simulation. Applied Mechanics and Materials, 683:22–27.
[16] Phong, N. H. (2010). Phương pháp tăng khả năng chịu cắt của dầm BTCT gia cường bằng cáp sợi liên
tục. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 4(2).
127