Thử tìm kiếm một thuật toán thiết kế các mặt cong

Tạp chí Khoa học – Công nghệ Thủy sản số 01/2007 Trường Đại học Nha Trang 
 52
VẤN ĐỀ TRAO ĐỔI 
THỬ TÌM KIẾM MỘT THUẬT TOÁN THIẾT KẾ CÁC MẶT CONG 
 PGS.TS Nguyễn Quang Minh 
Khoa Cơ khí - Trường ĐH Nha Trang 
Trong bài báo đặt vấn đề tìm kiếm một thuật toán dùng vào mục đích thiết kế các mặt cong có thể cần thiết 
trong ứng dụng công nghệ cao CNC. Các kết quả bước đầu nhận được trên cơ sở phát triển nghiên cứu ứng 
dụng về hàm hoá bề mặt lý thuyết vỏ tàu thuỷ của chính Tác giả. Các ý kiến thảo luận làm rõ triển vọng áp dụng 
của ý tưởng đặt ra. 
1. TỔNG QUAN 
Bài toán thiết kế, thay vì xấp xỉ trong nghĩa 
trực tiếp một mặt cong đặt ra ở đây có ý nghĩa 
thực tế và cần thiết, thậm chí trong nhiều 
trường hợp cần đến như phương tiện quan 
trọng, chẳng hạn trong các lĩnh vực công nghệ 
cao CNC. 
Một mặt cong, một cách chung nhất, có thể 
xem như tập hợp các đường cong phẳng - tiết 
diện của chính mặt cong đó với các mặt phẳng 
(P) được lựa chọn phù hợp. Nếu vậy, một cách 
tự nhiên có thể nghĩ rằng thuật toán thiết kế 
mặt cong tốt nhất nên đưa từ mô hình toán 
không gian về mô hình biểu diễn toán học 
chính xác các đường cong phẳng. Đơn giản là 
vì một khi bài toán thiết kế một đường cong cho 
trên mặt phẳng (P) bất kỳ đã được giải quyết, 
toàn bộ mặt cong cho trước đương nhiên có 
thể nhận được bằng cách tịnh tiến hoặc quay 
hợp lý các mặt phẳng (P) đó. 
Theo cách tiếp cận trực tiếp như vậy, bài 
toán đặt ra về thuật toán thiết kế một mặt cong 
có thể giải quyết không mấy khó khăn, ứng 
dụng mô hình toán xấp xỉ quen thuộc, đó là mô 
hình bài toán điều kiện biên, cách giải quyết 
được thể hiện qua các bước gồm: 
- Chọn dạng hàm cơ sở 
- Áp dụng mọi điều kiện biên và xác lập số 
lượng thích hợp các phương trình căn cứ 
theo các điều kiện đó 
- Giải hệ phương trình điều kiện biên và biện 
luận các kết quả 
Để có thể đạt các kết quả xấp xỉ mong 
muốn cần có số các điểm thuộc đường cong 
giữ vai trò các điều kiện biên đủ lớn. 
Hàm cơ sở thông thường được chọn dưới 
dạng đa thức luỹ thừa bậc n viết tổng quát như 
dưới đây: 
∑=
=
=
nk
k
k
k yax
0
 (1) 
và dạng chi tiết hoá: 
n
n
n
n YaYaYaYaYaYaaX +++++++= −− 1144332210 ... (2) 
Với X,Y- là các toạ độ của các điểm cho 
trong hệ toạ độ lựa chọn XOY, k = 0, 1, 2, 3, 
n-1, n. 
Dễ nhận xét rằng biểu thức (2) cùng lắm 
chỉ có thể dùng để tính toán gần đúng một hình 
cong mà ít hiệu quả trong các mục đích thiết kế 
đường cong đó. 
Phương pháp spline do Alberg. J. đề nghị 
nửa thế kỷ trước đây, được nghiên cứu áp 
dụng rộng rãi trên toàn thế giới nhằm khắc 
phục một phần nhược điểm của đa thức luỹ 
thừa (2) . Tuân theo nguyên tắc cơ bản đó là 
Tạp chí Khoa học – Công nghệ Thủy sản số 01/2007 Trường Đại học Nha Trang 
 53
đường cong hàm hoá được chia làm nhiều 
đoạn ngắn, mỗi đoạn có thể xấp xỉ theo các 
hàm đơn giản, phổ biến nhất thường chọn 
parabol bậc 3 viết tổng quát như dưới đây: 
 (4) ∑=
=
−−=
3'
0'
'
1'',' )(
k
k
k
jjkjj yycx
 với j = (j'-1), j', (j'+1) 
 J' = 1, 2, 3,, k-1 
Nhờ những lợi thế cơ bản của nó trong lập 
trình, phương pháp spline đang được ứng dụng 
trong nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ và 
đem lại những thành tựu quan trọng. Mặc dù 
vậy, phương pháp spline xấp xỉ toán học các 
đường cong phẳng cũng không thể được đánh 
giá như một công cụ hiệu quả nhất trong các 
mục đích thiết kế nghiêm túc. 
Trong bài báo này chúng tôi giới thiệu một 
số kết quả phát triển từ nghiên cứu biểu diễn 
toán học bề mặt tàu thuỷ, vốn cũng là một vật 
thể có những đặc điểm riêng, hy vọng có thể 
áp dụng như giải thuật lập trình thiết kế và chế 
tạo chính xác một mặt cong theo từng mục 
đích cụ thể. 
2. MỘT SỐ KẾT QUẢ MỚI NGHIÊN CỨU XẤP 
XỈ CÁC ĐƯỜNG CONG PHẲNG 
Trên hình 1 minh hoạ mô hình toán lớp các 
đường cong phẳng 1a, 1b, 1c nằm trên mặt 
phẳng P trong quan hệ khác nhau đối với hệ 
toạ độ lựa chọn XOY. Tất cả các đường cong 
như vậy được cho bằng tập hợp các điểm rời 
rạc (Xi , Yi), i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, , n-1, n. 
O 
Hình 1 Sơ đồ các đường cong phẳng - đối tượng xấp xỉ toán học 
Về phương pháp, yêu cầu thiết kế các 
đường cong khác với chỉ đơn giản vẽ lại một 
đường cong cho trước là ở chỗ đòi hỏi, không 
chỉ áp dụng các điều kiện biên trong nghĩa 
thông thường, mà quan trọng hơn phải khai 
thác và áp dụng các điều kiện biên một cách 
hợp lý nhất, đảm bảo không chỉ tính phù hợp 
đối với từng trường hợp cụ thể, mà phải tiện lợi 
áp dụng đối với mọi đường cong thuộc lớp 
đang xét - đối tượng của bài toán xấp xỉ. Yêu 
cầu nói trên chỉ có thể là hiện thực nhờ việc sử 
dụng được các đặc điểm hình học quan trọng 
nhất được gọi là các yếu tố điều khiển. 
Tạp chí Khoa học – Công nghệ Thủy sản số 01/2007 Trường Đại học Nha Trang 
 54
Có thể chứng tỏ rằng tồn tại 4 yếu tố có 
chức năng điều khiển như vậy, được xem như 
tập hợp các điều kiện cần để thông qua đó thiết 
kế chính xác các đường cong, căn cứ vào các 
yêu cầu thiết kế khác nhau. Các yếu tố như vậy 
gồm có: 
• Toạ độ điểm đầu (X0, Y0) 
• Toạ độ điểm cuối (Xt, Yt) 
• Diện tích hình cong Dt được tạo bởi 
đường cong cho trước với trục 
Toạ độ X = 0, X = 0, và các đường thẳng 
Y = Yt, và X = Xt
• Momen tĩnh Mox của diện tích nói trên ứng 
với trục hoành 
Thật vậy, giả sử kết quả xấp xỉ toán học 
chính xác một đường cong cho tương ứng 
như trên hình 1 tìm được dưới dạng một hàm 
liên tục: 
)(YfX = 
Khi đó các biểu thức viết theo các điều kiện 
biên như mô tả ở trên có thể viết dễ dàng như 
dưới đây: 
 (5.1) 00 )( XYf =
 (5.2) tt YXf =)(
 (5.3) DtdyYfXdy
yt
y
yt
y
== ∫∫
00
)(
và : (5.4) ox
yt
y
yt
y
MYdyYfXYdy == ∫∫
00
)(
Hiển nhiên các điều kiện (5.1) và (5.2) phải 
được đảm bảo đầu tiên. 
Điều kiện (5.3) đảm bảo để các đường 
cong hàm hoá được, tương ứng với các điểm 
đầu và cuối đã cho, tạo thành với trục tọa độ 
các hình cong có cùng một diện tích Dt. 
Điều kiện cuối cùng (5.4) chứa một ưu thế 
thiết kế đặc biệt rất cần được khai thác đó là 
cho phép chọn ra từ tập hợp các đường cong, 
nhận được trên cơ sở 3 điều kiện biên đầu tiên, 
chính xác đường cong phải tìm như một 
nghiệm duy nhất của bài toán thiết kế. 
Trên cơ sở các biểu thức (3), (5.1) ÷ (5.4) 
có thể dễ dàng thiết lập hệ 4 phương trình mô 
tả 4 điều kiện biên giữ vai trò như các yếu tố 
điều khiển, nghiệm của hệ các phương trình đó 
cho các hệ số ai thuộc biểu thức luỹ thừa bậc 3: 
 (6) 33
2
210 YaYaYaXX +++=
được xác định theo các biểu thức sau đây: 
 )32(
7
1
1 DtXh
a t += (7) 
)158(
7
4
22 tXMxDth
a +−×−= (8) 
và )126(
7
20
33 tXMxDth
a +−= (9) 
trong đó : 
02
2
00 ;
2/
; yyh
h
hyMxMx
h
hyDDt t −=−=−= (10) 
Biểu thức (6) cùng với các biểu thức (7) ÷ 
(10) tỏ ra rất đơn giản, có thể áp dụng để thiết 
kế các đường cong với các điều kiện được cho 
theo (4). Tuy nhiên những gì nói ở trên mới chỉ 
bao gồm các điều kiện cần tối thiểu. Để cho bổ 
sung các điều kiện “đủ”, đòi hỏi phải xác định 
các đặc điểm của hình cong giới hạn bởi 
đường cong - đối tượng hàm hoá, cho phép 
phân biệt nó với mọi đương cong cùng lớp còn 
lại, chẳng hạn đó là tính liên tục, tính biến 
thiên, góc tạo bởi các tiếp tuyến với đường 
cong vẽ tại nhiều điểm khác nhau, đặc biệt tại 
hai điểm đầu và cuối. Sau cùng và có lẽ cũng 
là quan trọng nhất đó là đường cong có bao 
nhiêu điểm uốn trong miền xác định [y0,yt]. 
Chẳng hạn có thể nhận xét ngay rằng biểu 
thức (6) chỉ làm việc khi đường cong đối tượng 
hàm hoá cho trước chỉ có 1 điểm uốn, vì đạo 
Tạp chí Khoa học – Công nghệ Thủy sản số 01/2007 Trường Đại học Nha Trang 
 55
hàm bậc 2 chỉ nhận giá trị bằng 0 tại một điểm 
duy nhất tại 32 3/ aay −=∗
Trong một số nghiên cứu ứng dụng có thể 
rất có lợi chọn hàm cơ sở dưới dạng hàm (1) 
mở rộng, trong đó thay vì các giá trị nguyên các 
luỹ thừa có thể nhận các số thực dương bất kỳ, 
viết dưới dạng tổng quát: 
nkmyax
nk
k
mk
k ,...,4,3,2,1;0;
0
=>= ∑=
=
 (11) 
hoặc chi tiết: 
 (12) kk
k
k
mmmm YaYaYaYaYaYaXX +++++++= −− 1144332210 ...
Áp dụng chính các điều kiện biên đã xét ở 
trên theo (4), sau đó tiếp tục thực hiện các 
bước tính toán như đã trình bày, có thể dẫn 
đến đa thức luỹ thừa bậc 2m với m thực dương 
như dưới đây: 
mm YaYaXX 2210 ++= (13) 
Thừa số luỹ thừa m và các hệ số có mặt 
trong biểu thức được ai có thể xác định theo 
các biểu thức 
)(2
)4)((2)2(25,2)2(5,1 2
BA
XtBABABABA
m −
+−−−−±−−= (14) 
[ ]
m
t
mh
XXAmma −+++= 01 )12()1( (15) 
m
m
t
h
haXXa 2
10
2
−−= (16) 
trong đó, ngoài các ký hiệu đã được chú thích ở trên các ký hiệu mới được dùng gồm: 
h
hXA tt 0−= ω (17) 
và 
 2
2
0 2/
h
hXm
B oytt
−= ω (18) 
Biểu thức (13) cùng với các biểu thức 
(14)÷(18) có thể sử dụng tiện lợi và hiệu quả 
hơn rất nhiều so với biểu thức (6), đặc biệt 
khi cần thiết giải ngược phương trình, tính Y 
theo X. Trong các trường hợp như vậy chỉ 
cần qua một vài phép biến đổi dẫn về dạng 
phương trình bậc 2 sử dụng các nghiệm giải 
sẵn quen thuộc. 
Vì cố gắng tìm kiếm lời giải trên cơ sở các 
nghiệm của phương trình bậc 2, hiển nhiên 
rằng biểu thức xấp xỉ (13) chỉ làm việc khi m có 
nghiệm thực, điều đó có nghĩa biểu thức dưới 
dấu căn, viết ở vế phải của biểu thức (14) 
không âm, thực chất được hiểu như bộ phận 
đặc biệt trong số những gì được gọi là điều 
kiện đủ để xấp xỉ toán học các đường cong 
thuộc lớp đang xét, được viết như sau: 
Tạp chí Khoa học – Công nghệ Thủy sản số 01/2007 Trường Đại học Nha Trang 
 56
 (19) 0)4)((2)2(25,2 2 >=+−−−− tXBABABA
Biểu thức (19) cho phép nhận đựơc các điều kiện đủ để xấp xỉ toán các đường cong như minh 
hoạ trên hình 1 bằng biểu thức dưới dạng đa thức luỹ thừa bậc 2m bao gồm: 
 nếu: B > 2xt/ 3 (20) 
 hoặc nếu: 
5,0
64)2(
;
3
2 BxxBAXB ttt
−−−−<< (20') 
và: 
5,0
64)2(
;
3
2 BxxBAXB ttt
−+−−>< (20'') 
Giả sử bây giờ nâng bậc đa thức luỹ thừa (13) lên bậc 3m bằng cách áp dụng thêm một điều kiện 
biên, chẳng hạn đó là hệ số góc tạo bởi tiếp tuyến với đường cong hàm hoá tại điểm cuối Y = Yt , Khi 
đó biểu thức xấp xỉ đối tượng tìm kiếm sẽ viết được dưới dạng: 
 (21) mmm yayayaXX 33
2
210 +++=
Trong đó thừa số luỹ thừa m có thể xác định như nghiệm của phương trình bậc 3 đủ: 
0
)(
)338(
1667,0
)(
)4(
)(
)2(8333,1 0023 =−
−+−−+−
+−−+−
−+
BA
khxXBAm
BA
XXBAm
BA
BAm tt (22) 
Các hệ số ai có mặt trong biểu thức (21) được xác định như sau: 
[ ]
[ ]
m
tt
m
tt
hm
XXBmmmXX
m
khmm
hm
XXAmmmXX
m
khmm
a
32
00
32
00
3
2
)2()23)(22())(23(
2
)1()13)(12())(13(
−+++++−++
=
−+++++−++
=
 (23) 
[ ]
[ ]
m
m
t
m
m
m
t
m
m
t
hmm
hammXXAmmm
hmm
hamm
hmm
XXBmmm
h
haXX
m
kh
a
2
3
30
3
3
3
2
0
2
3
30
2
)13(
)12(2)1()13)(12(
)23(
)22(2
)23(
)2()23)(22(2
+
++−++++−=+
+
++
−++++−=
−−+
=
 (24) 
 và: m
mm
t
h
hahaXXa
3
3
2
20
1
−−−= (25) 
Hệ số góc tạo bởi tiếp tuyến tại điểm cuối 
(Xt,Yt) viết trong các biểu thức (22)÷(25) cũng 
mang ý nghĩa của các điều kiện “đủ” viết trong 
các biểu thức (20), (20') và (20'') áp dụng cho 
biểu thức (13). 
Tạp chí Khoa học – Công nghệ Thủy sản số 01/2007 Trường Đại học Nha Trang 
 57
3. THAY LỜI KẾT LUẬN 
- Các kết quả đạt được qua phân tích lý 
thuyết, đặc biệt qua chạy thử đoạn chương 
trình viết trên ngôn ngữ V.B cho phép 
khẳng định rằng khi các điều kiện biên 
được đảm bảo chính xác, các biểu thức 
xấp xỉ (13) và (21) cùng cho một kết quả. 
- Điều nhận xét trên đây khẳng định rằng 
hàm cơ sở mở rộng viết dưới dạng đa 
thức luỹ thừa bậc số thực bất kỳ (13) cùng 
với ý tưởng khai thác hợp lý các điều kiện 
biên, phân biệt gồm các điều kiện cần và 
các điều kiện “đủ” là có cơ sở lý thuyết 
đúng, có thể áp dụng rộng rãi và cho hiệu 
quả cao. 
- Các điều kiện được gọi là đủ (20), (20') và 
(20'') một mặt khẳng định tính không thể 
xấp xỉ toán học theo biểu thức (13) nếu 
đường cong được cho không thoả mãn 
chúng, mặt khác chính các điều kiện như 
vậy lại có thể đựơc lợi dụng, như cộng cụ 
chính, để đưa đường cong từ chỗ không 
đến có thể xấp xỉ được nhờ một vài phép 
biến đổi cần thiết. Chính vì vậy biểu thức 
(13) cuối cùng tỏ ra tiện lợi, vạn năng, đồng 
thời hiệu quả hơn trong xấp xỉ các đường 
cong so với biểu thức (21). Các đường 
cong cho trên hình 1 là sản phẩm trực tiếp 
của một đoạn chương trình máy tính viết 
trên cơ sở thuật toán đang trình bày có thể 
coi là một minh chứng sinh động. 
- Trong nhiều trường hợp các điều kiện (5) 
có thể và nên được coi như chìa khóa thiết kế, 
hoặc gọi cách khác như các yếu tố điều khiển 
đề cập ở trên, cho phép thiết kế trên cơ sở biểu 
thức (6) khi đường cong thiết kế có trong miền 
xác định một điểm uốn duy nhất, hoặc trên cơ 
sở các biểu thức (13), (21)-khi đường cong 
thiết kế có từ hai điểm uốn trở lên. 
Rất đáng chú ý rằng những kết quả thông 
báo trên đây đều nhận được từ các phép biến 
đổi toán học chính xác và trong điều kiện ứng 
dụng tin học sâu rộng, hiệu quả như hiện nay 
đảm bảo chính xác các tham số điều khiển đối 
với đường cong cho trước là hiện thực. Những 
nhận xét như vậy khiến ý nghĩa của phép xấp 
xỉ các đường cong, trên thực tế, có thể được 
thay thế bằng ý nghĩa của phép hàm hoá - mô 
tả toán học chính xác các đường cong đó. 
Tất cả những gì đã trình bày có thể đánh 
giá như cơ sở lý thuyết và thực tiễn vững chắc 
khẳng định triển vọng cuả một thuật toán lập 
trình thiết kế chính xác lớp các mặt cong kỹ 
thuật được đề cập trong bài viết. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Phan Văn Hạp – Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính và các thuật toán, Nhà xuất bản Giáo dục. 
2. Nguyễn Quang Minh, Kết quả nghiên cứu hàm hoá bề mặt lý thuyết vỏ tàu thuỷ, Tuyển tập các 
công trình khoa học công nghệ, Trường Đại học Nha Trang, 1999 
3. E.W. Cheney, Introduction to appoximation theory, University of Texas, 1966 
4. Robert Sedgewick, Algorithms, Princeton University (USA), 2nd Edition. Addison-Wesley Publishing 
Co. Người dịch: Trần Đan Thư, Vũ Mạnh Tưởng, Dương Vũ Diệu Trà, Nguyễn Tiến Huy, NXB 
Khoa học và Kỹ thuật, 1994. 
5. Zeldôvich Ya. B., Yaglom I.M., " Higher Math for beginner" Mir Publisher Moscow, 1987. 
ABSTRACT 
In the paper will be introduced the problem of researching an algorythm for designing the curve 
surfaces, that may be needed somewhere in the field of CNC application. The beginning results that 
will be represented are based on the reseaches of the ship theorical surfaces approximation, acheaved 
by the Author. The discussions clarify the aplyed abilities of the rised idea.