Tính toán dầm bê tông cốt thép chịu uốn xiên sử dụng mô hình phi tuyến

KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 23 
TÍNH TOÁN DẦM BÊ TÔNG CỐT THÉP CHỊU UỐN XIÊN 
SỬ DỤNG MÔ HÌNH PHI TUYẾN 
TS. TRẦN NGỌC LONG, TS. PHAN VĂN PHÚC, TS. NGUYỄN TRỌNG HÀ 
Trường Đại học Vinh 
Tóm tắt: Dầm bê tông cốt thép (BTCT) là cấu kiện 
được sử dụng nhiều trong các công trình xây dựng 
dân dụng và công nghiệp. Nó làm việc thực tế thông 
thường ở trạng thái chịu uốn phẳng, tuy vậy, trong 
một số trường hợp đặc biệt nó vẫn chịu uốn không 
gian (uốn xiên). Hiện nay đã có nhiều nhà khoa học 
trên thế giới đưa ra phương pháp tính toán thiết kế 
cho dầm BTCT chịu uốn với nhiều phương pháp tính 
đơn giản, nhưng chúng chỉ có thể áp dụng cho các 
trường hợp dầm chịu uốn phẳng. Để giải quyết bài 
toán về trạng thái ứng suất biến dạng dầm BTCT chịu 
uốn xiên, người ta có thể dùng phương pháp của sức 
biền vật liệu đối với lý thuyết đàn hồi, còn ngược lại, 
đối với lý thuyết biến dạng dẻo của BTCT, hiện nay 
chủ yếu dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính 
toán. Với phương pháp phần tử hữu hạn thì có nhược 
điểm là tính toán phức tạp với nhiều phương trình và 
nhiều ẩn số, phụ thuộc nhiều vào các phần mềm tính 
toán. Bài viết này đưa ra một phương pháp tính toán 
đơn giản hơn, dựa trên cơ sở cân bằng lực, mô men 
của mặt cắt tiết diện, với phương pháp này, chúng ta 
có thể tìm thấy được vị trí xuất hiện viết nứt, vị trí phá 
hoại của bê tông vùng nén, BTCT, từ đó đưa ra 
phương án thiết kế, bố trí cốt thép cho dầm BTCT 
chịu uốn xiên. Chúng ta cũng có thể áp dụng phương 
pháp này với bất kỳ cấu kiện nào và với bất kỳ dạng 
tiết diện nào. Các tác giả đã kết hợp lý thuyết tính 
toán với lập trình trong phần mềm MathCad để mang 
lại cho người đọc một cách đơn giản và ngắn gọn 
nhất. 
Từ khóa: Mô hình biến dạng phi tuyến, dầm chịu 
uốn xiên, ứng suất, biến dạng, bê tông cốt thép. 
Abstract: Reinforced concrete beams are 
components that are widely used in civil and 
industrial construction. Normally, Reinforced 
concrete (RC) beams work practically in flat bending 
state; however, in some special cases it is subject to 
spatial bending (oblique bending). Currently, there 
are also many scientists in the world who have 
provided the design caculation methods to calculate 
for RC beams with many simple methods, but they 
only can use to cases of flat bending beams. To solve 
the problem of stress-strain state of RC beams under 
oblique bending, we can use the method of strength 
of materials. Otherwise, with plastic theory of RC, 
currently, we mainly can use finite element method 
for calculation. The finite element method has the 
disadvantage of complex calculations with many 
equations and many unknowns, depending on the 
analysis software. This article provides a simpler 
method of calculation, based on the balance of force 
and torque of the cross section, with this method, we 
can find the location of cracking, destructive location 
of the compression zone concrete, RC, from which 
offers design plans, reinforced arrangements for RC 
beams under oblique bending. This method can also 
be used to any structure and to any type of section. 
The authors have combined analysis theory with 
programming in Mathcad software to bring readers 
the simplest and most compact way. 
Key words: Model of non-linear deformation, 
beam under oblique bending, stress, deformation, 
reinforced concrete. 
1. Đặt vấn đề 
Như chúng ta đã biết, các dầm BTCT xuất hiện 
chủ yếu dưới dạng uốn phẳng, đối với những trường 
hợp này đã có rất nhiều nhà khoa học trên thế giới 
cũng như ở Việt Nam nghiên cứu phương pháp tính 
toán thiết kế về độ bền, độ võng, trạng thái nứt, phá 
hoại, từ biến, co ngót... [1, 2, 7, 8, 10, 11, 13]. Bên 
cạnh đó vẫn có nhiều công trình như nhà ở dân dụng, 
đền chùa, các công trình công cộng khác có sử dụng 
kết cấu dầm (xà gồ) với dạng uốn xiên. Hiện nay, để 
giải quyết bài toán về tính toán thiết kế dầm bê tông 
cốt thép chịu uốn xiên người ta có thể sử dụng lý 
thuyết đàn hồi như trong bài nghiên cứu của Bruno 
Tasca de Linhares [9, 12]. Nếu xét theo mô hình đàn 
dẻo với các tiêu chuẩn xây dựng Mỹ và Việt Nam 
(2012) thì cũng chỉ có thể sử dụng phương pháp gần 
đúng kèm theo các quy ước từ thực nghiệm để tính 
toán [4–6], chúng mang tính ứng dụng nhưng độ 
chính xác chưa cao. Đối với những trường hợp dầm 
có tác dụng tải trọng cũng như hình dạng tiết diện bất 
kỳ thì chỉ duy nhất dùng phương pháp phần tử hữu 
hạn, với nhược điểm là phương pháp phân tích tồn 
tại nhiều ẩn số, nhiều phương trình, dẫn đến khối 
lượng bài toán lớn. Để đơn giản hóa thì người ta có 
thể dùng sự trợ giúp của các phần mềm sử dụng 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
24 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 
phương pháp phần tử hữu hạn (SAP, ETABS, 
ABAQUS, ANSYS), nhưng đối với phương án này 
thì người thiết kế khó kiểm soát được quá trình cũng 
như kết quả mà nó mang lại. 
Bài viết này trình bày phương pháp tính toán 
trạng thái ứng suất biến dạng với việc áp dụng tiêu 
chuẩn Nga SP 63.13330.2018 [16] và tiêu chuẩn Việt 
Nam (TCVN 5574:2018) [5] để tính toán một trường 
hợp đại diện cho các vấn đề còn tồn tại ở trên, như 
là dầm BTCT có tiết diện hình chữ nhật, chịu uốn 
xiên. Các tác giả đã kết hợp lý thuyết tính toán với 
lập trình trong phần mềm MathCad để mang lại cho 
người đọc một cách đơn giản và ngắn gọn nhất. Với 
cách tính toán này cũng có một số tác giả đã áp dụng 
hiệu quả để giải quyết bài toán về vật liệu bê tông sợi 
thép như trong [14]. 
Tính toán kết cấu với việc sử dụng mô hình biến 
dạng phi tuyến được trình bày thành một quá trình 
lặp và nhiệm vụ này là xây dựng cách xác định giá trị 
gần đúng biến dạng tương đối của bê tông và cốt 
thép lúc cấu kiện có độ cong lớn nhất. Ngoài ra, 
đường cong này được xác định trong mỗi lần thay 
đổi mô đun biến dạng của mỗi phần tử. Quá trình lặp 
sẽ được dừng lại khi độ cong của trục dọc tại tiết diện 
ngang đang xét của cấu kiện trong các mặt phẳng tác 
dụng của các mô men Mx và My nhỏ hơn 1%. Kết 
quả trạng thái ứng suất biến dạng mặt cắt tiết diện là 
kết quả của lần tính cuối cùng. 
2. Nội dung nghiên cứu 
Phương pháp tính toán được trình bày dưới 
dạng phân tích kết hợp với ví dụ cụ thể để làm sáng 
tỏ vấn đề. Việc đầu tiên là chúng ta cần xác định các 
dữ liệu đầu vào như tải trọng tác dụng, sơ đồ kết cấu 
dầm BTCT, nội lực tính toán. Để đơn giản hóa, các 
tác giả đã giả định là nội lực với mô men có trước 
(tức là có trước các giá trị chiều dài a lực tác dụng P0 
như trên hình 1), nhiệm vụ của bài viết là tính toán 
trạng thái ứng suất - biến dạng của mặt cắt tiết diện 
nguy hiểm nhất của dầm BTCT có tiết diện chữ nhật, 
chịu uốn xiên. Sơ đồ kết cấu và mặt cắt tiết diện đối 
tượng xét được mô tả như hình 1, chi tiết mặt cắt tiết 
diện dầm như hình 2, với hình 2a là sơ đồ bố trí cốt 
thép trên mặt cắt tiết diện, hình 2b sơ đồ khoảng cách 
các chi tiết như cốt thép, lớp bảo vệ, khoảng cách 
giữa các thanh cốt thép (các thông số được các tác 
giả giả định ban đầu).
Hình 1. Sơ đồ dầm BTCT chịu uốn xiên 
Hình 2. Chi tiết mặt cắt dầm: a) Bố trí cốt thép, b) Sơ đồ chi tiết các khoảng cách 
P0
P0
a 2a a
l=4a
P0
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 25 
Vật liệu bê tông được chọn B15, cốt thép với mác CB400-V, đặc trưng vật lý của chúng được lấy theo tiêu 
chuẩn Việt Nam (TCVN) 5574:2018 như sau: 
- Bê tông B15 có mô đun đàn hồi 24000E MPa, cường độ tính toán chịu nén và chịu kéo tương ứng 
8 5bR . MPa , 0 75btR . MPa , các giá trị biến dạng tương đối: 1 0 0015b ,red . ; 2 0 0035b . ; 
0 00008bt ,red . ; 2 0 00015bt . ; 5
8 5
5666 7
150 10
b
b,red
b,red
R .
E . MPa
 

; 
5
0 75
9375
8 10
bt
bt ,red
bt ,red
R .
E MPa
 

. 
trong đó: 
1b ,red - Biến dạng tương đối lớn nhất tương ứng với giai đoạn nén đàn hồi; 
2b - Biến dạng tương đối lớn nhất của bê tông chịu nén (lấy theo tiêu chuẩn 5574:2018); 
bt ,red - Biến dạng tương đối lớn nhất tương ứng với giai đoạn kéo đàn hồi; 
2bt - Biến dạng tương đối lớn nhất của bê tông chịu kéo (lấy theo tiêu chuẩn 5574:2018); 
b,redE - Mô đun biến dạng quy đổi của bê tông chịu nén; 
bt ,redE - Mô đun biến dạng quy đổi của bê tông chịu kéo. 
- Cốt thép dùng CB400-V theo tiêu chuẩn Việt Nam 5574:2018 và A400 tiêu chuẩn SP_63.13330.2018 có 
các thông số sau: 350sR MPa ; 
52 10E MPa  ; 3
0 5
350
1 75 10
2 10
s
s
s
R
.
E
 

;
3
2 25 10s
  . Mô đun biến 
dạng ban đầu: 52 10s,red sE E MPa  . 
- Mô hình biến dạng phi tuyến 2 đường thẳng của bê tông được thể hiện trên hình 3, của cốt thép được thể 
hiện trên hình 4. 
Ý nghĩ của mô hình biến dạng phi tuyến 2 đường thẳng của bê tông B15: 
Đối với vùng chịu nén: 
- 010150 5  bi : redbbibi E ,  MPa; 7.5666
10150 5
,
' 

b
redbbi
R
EE Mpa. 
- 
55 1015010350   bi : 5.8 bbi R MPa; 
bibi
b
bi
R
E

5.8' MPa. 
- 
510350  bi : 0 bi ; 0
' biE 
Đối với vùng chịu kéo: 
- 
51080  bti : redbtbtibti E ,  MPa; 9375,
' redbtbti EE MPa. 
- 
55 1015108   bti : 75.0 btbti R MPa; 
bti
btiE

75.0' MPa. 
- bi 
 51015 : 0 bti ; 0
' btiE 
Hình 3. Mô hình biến dạng phi tuyến dạng 2 đường thẳng của bê tông 
-8.5
-150-350
b.10
5
bt.10
5
8 15
 b (MPa)
 bt( MPa)
0.75
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
26 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 
Cốt thép sử dụng mác CB400-V, cường độ tính toán chịu kéo và chịu nén: 
Đối với vùng chịu kéo và nén: 
- 
3 31.75 10 1.75 10si
   :
3
1
350
1.75 10
si si
si s
s
R
 

 
  

 MPa; redssi EE ,
' MPa. 
- 
3 31.75 10 25 10si
   và 3 31.75 10 25 10si
   : 350si MPa; 
' 350s
s
si si
R
E
 
 MPa. 
- 
325 10si
  và 325 10si
  : 0 si , 0
' sE 
(Chỉ số i trong các biểu thức trên mang ý nghĩa thứ tự lần tính toán)
Mô hình biến dạng phi tuyến 2 đường thẳng của thép được thể hiện qua hình 4 dưới đây. 
Hình 4. Mô hình biến dạng phi tuyến dạng 
2 đường thẳng của cốt thép 
Hình 5. Sơ đồ mặt cắt phần tử 
Để áp dụng mô hình biến dạng phi tuyến ta chấp 
nhận các quan điểm tính toán sau: 
- Tại các phần tử nhỏ của mặt cắt tiết diện được 
coi là làm việc đồng nhất, tức là biến dạng và ứng 
suất trong mỗi phần tử của mặt cắt tiết diện là như 
sau; 
- Áp dụng quy luật mặt cắt tiết diện phẳng đối với 
dầm chịu uốn [3, 15, 16]; 
- Dưới tác dụng tải trọng, dầm bị uốn cong với một 
phương nào đó với một bán kính cong nào đó. 
Với những quan niệm về tính toán như vậy, ta 
chia mặt cắt tiết diện thành nhiều phần nhỏ như hình 
5. Chỉ số ji, là chỉ số phần tử thứ tự theo trục x và 
trục y (theo trục x chia làm i phần, theo trục y là j 
phần). 
trong đó: 
- byijbxij ZZ ; là khoảng cách từ tâm phần tử bê tông 
đến trục y và trục x; 
- syijsxij ZZ ; là khoảng cách từ tâm phần tử cốt thép 
đến trục y và trục x; 
- :, yx MM mô men của dầm đối với trục y và trục x. 
Phương pháp được xây dựng dựa trên cơ sở mối 
quan hệ của ứng suất và biến dạng của vật liệu bê 
tông và cốt thép, mối quan hệ này được sử dụng đến 
vòng lặp cuối cùng. Mô đun biến dạng được xác định 
bằng cách nhân mô đun đàn hồi với hệ số đàn hồi 
tương ứng. Để xác định mô đun biến dạng cho mỗi 
lần tính toán ta dùng các công thức sau: 
bij
bij
bbijbij EE


  (1) 
sij
sij
ssijsij EE


  (2) 
trong đó: sijbij EE ; - lần lượt là mô đun biến dạng 
phần tử i, j của bê tông và cốt thép. 
 Công thức xác định các giá trị nội lực các định 
theo [16]: 
0131211
11
   D
r
D
r
DM
yx
x
 (3) 
0232221
11
   D
r
D
r
DM
yx
y
 (4) 
0333231
11
   D
r
D
r
DN
yx
 (5) 
Trong đó: 0 là biến dạng tương đối của gốc 
tọa độ được chọn, các hệ số 3,2,1,;, nmD nm 
trong các công thức (3, 4, 5) có thể được viết lại 
như sau:
x
y
z

sij
.A
sij
Mx
My

bij
.A
bij
Z
b
x
ij
Zbyij Z
s
x
ij
Zsyij
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 27 
   
i
sijsxij
j
sij
i
bijbxij
j
bij EZAEZAD
22
11 (6) 
   
i
sijsyij
j
sij
i
bijbyij
j
bij EZAEZAD
22
22 (7) 
   
i
sijsyijsxij
j
sij
i
bijbyijbxij
j
bij EZZAEZZAD12 (8) 
   
i
sijsxij
j
sij
i
bijbxij
j
bij EZAEZAD13 (9) 
   
i
sijsyij
j
sij
i
bijbyij
j
bij EZAEZAD23 (10) 
   
i
sij
j
sij
i
bij
j
bij EAEAD33 (11) 
Biến dạng tương đối của mỗi phần tử bê tông và 
cốt thép được xác định theo các công thức (12), (13) 
sau: 
0
11
   byij
y
bxij
x
bij Z
r
Z
r
 (12) 
0
11
   syij
y
sxij
x
sij Z
r
Z
r
 (13) 
Trong lần tính toán đầu tiên ta sử dụng các mô 
đun biến dạng sijbij EE ; trong các công thức 116  
như sau: 
- Đối với bê tông: redbbij EE , (Theo tiêu chuẩn 
Nga [16]); 
- Đối với cốt thép: sbij EE . 
Trong các lần tính toán tiếp theo, phương pháp 
tính toán được lặp lại nhưng giá trị mô đun biến dạng 
được lấy theo công thức (1) và (2). Kết quả cuối cùng 
của bài toán là khi mà không tồn tại độ lệch của độ 
cong tâm các phần tử trong mặt phẳng uốn, như vậy, 
bài toán sẽ có nhiều lần tính toán, trong phạm vi ứng 
dụng, kết quả của quá trình tính toán được chấp 
nhận khi độ cong nhỏ hơn 1%. Kết quả ứng suất - 
biến dạng của bước đó được chấp nhận là kết quả 
cuối cùng và bài toán tính toán trạng thái ứng suất 
biến dạng của mặt cắt kết cấu được kết thúc. 
Thực hành tính toán với dầm chịu uốn xiên như 
trên, quá trình chia nhỏ mặt cắt tiết diện như hình 6, 
hệ tọa độ chọn và tọa độ trọng tâm các phần tử thể 
hiện như trên hình 7, gốc tọa độ O được chọn ở góc 
bên trái phí trên tiết diện, trục X là trục đứng hướng 
xuống, trục Y là trục ngang. 
Hình 6. Chia nhỏ phần tử tiết diện Hình 7. Tọa độ các phần tử 
40
60
80
100
1
5
1
0
2
5
1
0
2
5
2
5
8
2010 30 10 30 1015
P0 P0
O
x
y
O
x
y
8
2
0
2
9
2
5
2
5
2
5
1
2
6
1
7
15
4
7
7
2
9
7
1
2
2
1
4
7
1
6
5
1
8
2
2
0
0
2
1
3
113
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
28 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 
Vì là tiết diện hình chữ nhật nên ta sẽ dễ dàng 
xác định được các thông số về kích thước, diện tích, 
toạ độ trọng tâm của các phần tử, trên trục x được 
chia làm 12 phần, trên trục y là 7 phần. Để đơn giản 
hóa các tác giả đã đề xuất sử dụng phép toán ma 
trận để xử lý yêu cầu và chúng được thành lập trong 
phần mềm Mathcad 15. 
Mô men lớn nhất giữa dầm được chọn giá trị 
mmNM .105 6 , các giá trị tương ứng 
mmNM x .10698.4
6 , mmNM y .1071.1
6 , 
(với giá giả thiết góc nghiêng của lực tác dụng P0 
bằng 200) lực dọc 0 N . Với các tham số 12 m , 
7 n ta có ma trận kích thước các phần tử bê tông 
theo trục X và trục Y như sau: 
Ma trận khoảng cách từ các tâm của các phần tử đến các trục tọa độ và ma trận diện tích bê tông: 
Xb
Xb
i j 
17 i 1if
Xb
i j 
6 i 2if
Xb
i j 
12 i 3if
Xb
i j 
10 i 9if
Xb
i j 
10 i 11if
Xb
i j 
15 i 12if
Xb
i j 
25 otherwise
j 1 n for
i 1 m for
Xb
 Yb
Yb
i j 
15 j 1 j 7if
Yb
i j 
10 j 2 j 6 j 4if
Yb
i j 
30 j 3 j 5if
j 1 n for
i 1 m for
Yb
 
Zbx
Zbx
i j 
8 i 1if
Zbx
i j 
20 i 2if
Zbx
i j 
29 i 3if
Zbx
i j 
47 i 4if
Zbx
i j 
72 i 5if
Zbx
i j 
97 i 6if
Zbx
i j 
122 i 7if
Zbx
i j 
147 i 8if
Zbx
i j 
165 i 9if
Zbx
i j 
182 i 10if
Zbx
i j 
200 i 11if
Zbx
i j 
213 i 12if
j 1 n for
i 1 m for
Zbx
 Zby
Zby
i j 
8 j 1if
Zby
i j 
20 j 2if
Zby
i j 
40 j 3if
Zby
i j 
60 j 4if
Zby
i j 
80 j 5if
Zby
i j 
100 j 6if
Zby
i j 
113 j 7if
j 1 n for
i 1 m for
Zby
 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 29 
Ma trận mô đun đàn hồi và diện tích cốt thép, các vị trí không có cốt thép thì bằng 0. 
Ma trận biến dạng của các phần bê tông và cốt thép thu được như sau: 
Ma trận biến dạng của các phần tử thép: 
Ma trận ứng suất tương ứng trong các phần tử tiết diện bê tông và cốt thép: 
Es
Es
i j 
Es92 i 9 j 2( ) i 11 j 2( ) i 11 j 4( ) i 11 j 6if
Es
i j 
Es22 i 2 j 6( ) i j 2if
Es
i j 
0 otherwise
j 1 n for
i 1 m for
Es
 
As
As
i j 
As92 i 9 j 2( ) i 11 j 2( ) i 11 j 4( ) i 11 j 6if
As
i j 
As22 i 2 j 6( ) i j 2if
As
i j 
0 otherwise
j 1 n for
i 1 m for
As
 
b
1
rx
Z'by
1
ry
Z'bx 0  
s
s
i j 
1
rx
Z'sy
i j 

1
ry
Z'sx
i j 
 0  i 9 j 2( ) i 11 j 2( ) i 11 j 4( ) i 11 j 6if
s
i j 
1
rx
Z'sy
i j 

1
ry
Z'sx
i j 
 0  i 2 j 6( ) i j 2if
s
i j 
0 otherwise
j 1 n for
i 1 m for
s
 
b
b
i j 
0 b
i j 
3.5 10
3 
 b
i j 
15 10
5 
 if
b
i j 
Rb  3.5 10
3 
 b
i j 
 1.5 10
3 
 if
b
i j 
b
i j 
Ebred 1.5 10
3 
 b
i j 
 0 if
b
i j 
b
i j 
Ebtred 0 b
i j 
 8 10
5 
 if
b
i j 
Rbt 8 10
5 
 b
i j 
 15 10
5 
 if
j 1 n for
i 1 m for
b
 
Ab
Ab
i j 
Xb
i j 
Yb
i j 

Ab
i j 
Ab
i j 
As
i j 
 
j 1 n for
i 1 m for
Ab
 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
30 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 
Sau khi tính được ma trận ứng suất và biến dạng các phần tử, ta tiếp tục tiến hành thực hiện cho lần tiếp 
theo, lúc này mô đun biến dạng của chúng sẽ thay đổi, và kết quả thu được như sau (bảng 5, 6): 
Eb
Eb
i j 
b
i j 
b
i j 

j 1 n for
i 1 m for
Eb
 
Es
Es
i j 
s
i j 
s
i j 
 i 9 j 2( ) i 11 j 2( ) i 11 j 4if
Es
i j 
s
i j 
s
i j 
 i 11 j 6( ) i 2 j 6( ) i j 2if
Es
i j 
0 otherwise
j 1 n for
i 1 m for
Es
 
3. Kết quả tính toán 
Giá trị ứng suất, biến dạng, mô đun biến dạng 
của bê tông và cốt thép được thể hiện trong các 
bảng, kết quả tính được lấy từ phần mềm MathCad 
15, các bảng kết quả được hiểu như một ma trận có 
12 hàng và 7 cột, và giá trị trong mỗi ô của bảng 
tương ứng với giá trị tại tâm các phần tử tiết diện như 
hình 6 và 7.
Kết quả tính toán cho lần thứ nhất nhận được như sau: 5
1
2 239 10
x
.
r
  , 5
1
1 533 10
y
.
r
  , 
4
0 1 996 10.
  . Tọa độ trọng tâm tiết diện: 0 128X mm ; 0 56 8Y . mm . 
Bảng 1. Biến dạng tại tâm các phần tử bê tông lần thứ nhất 
 1 2 3 4 5 6 7 
1 -3.63E-4 -4.17E-4 -5.06E-4 -5.95E-4 -6.84E-4 -7.74E-4 -8.32E-4 
2 -2.85E-4 -3.38E-4 -4.28E-4 -5.17E-4 -6.06E-4 -6.96E-4 -7.54E-4 
3 -2.26E-4 -2.8E-4 -3.69E-4 -4.58E-4 -5.48E-4 -6.37E-4 -6.95E-4 
4 -1.09E-4 -1.62E-4 -2.52E-4 -3.41E-4 -4.3E-4 -5.19E-4 -5.77E-4 
5 5.44E-5 8.51E-7 -8.85E-5 -1.78E-4 -2.67E-4 -3.56E-4 -4.14E-4 
6 2.17E-4 1.64E-4 7.46E-5 -1.47E-5 -1.04E-4 -1.93E-4 -2.51E-4 
7 3.81E-4 3.27E-4 2.38E-4 1.48E-4 5.9E-5 -3.03E-5 -8.83E-5 
8 5.44E-4 4.9E-4 4.01E-4 3.11E-4 2.22E-4 1.33E-4 7.47E-5 
9 6.61E-4 6.07E-4 5.18E-4 4.29E-4 3.39E-4 2.5E-4 1.92E-4 
10 7.72E-4 7.18E-4 6.29E-4 5.4E-4 4.5E-4 3.61E-4 3.03E-4 
11 8.89E-4 8.36E-4 7.46E-4 6.57E-4 5.68E-4 4.78E-4 4.2E-4 
12 9.74E-4 9.2E-4 8.31E-4 7.42E-4 6.52E-4 5.63E-4 5.05E-4 
s
s
i j 
0 s
i j 
25 10
3 
 s
i j 
25 10
3 
 if
s
i j 
Rs  25 10
3 
 s
i j 
 1.75 10
3 
 if
s
i j 
s
i j 
Es
i j 
 1.75 10
3 
 s
i j 
 1.75 10
3 
 if
s
i j 
Rs 1.75 10
3 
 s
i j 
 25 10
3 
 if
j 1 n for
i 1 m for
s
 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 31 
Bảng 2. Biến dạng tại tâm các phần tử cốt thép lần thứ nhất 
 1 2 3 4 5 6 7 
1 0 0 0 0 0 0 0 
2 0 -3.38e-4 0 0 0 -6.06e-4 0 
3 0 0 0 0 0 0 0 
4 0 0 0 0 0 0 0 
5 0 0 0 0 0 0 0 
6 0 0 0 0 0 0 0 
7 0 0 0 0 0 0 0 
8 0 0 0 0 0 0 0 
9 0 6.07e-4 0 0 0 0 0 
10 0 0 0 0 0 0 0 
11 0 8.36e-4 0 6.57e-4 0 4.78e-4 0 
12 0 0 0 0 0 0 0 
Bảng 3. Ứng suất tại tâm các phần tử bê tông lần thứ nhất 
 1 2 3 4 5 6 7 
1 -2.057 -2.360 -2.866 -3.373 -3.879 -4.385 -4.714 
2 -1.613 -1.917 -2.423 -2.929 -3.435 -3.941 -4.270 
3 -1.281 -1.584 -2.090 -2.596 -3.103 -3.609 -3.938 
4 -0.615 -0.919 -1.425 -1.931 -2.437 -2.943 -3.272 
5 0.510 0.008 -0.501 -1.007 -1.513 -2.020 -2.348 
6 0.000 0.000 0.699 -0.083 -0.590 -1.096 -1.425 
7 0.000 0.000 0.000 0.750 0.553 -0.172 -0.501 
8 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.750 0.700 
9 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 
10 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 
11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 
12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 
Bảng 4. Ứng suất tại tâm các phần tử cốt thép lần thứ nhất 
 1 2 3 4 5 6 7 
1 0 0 0 0 0 0 0 
2 0 -67.7 0 0 0 -121 0 
3 0 0 0 0 0 0 0 
4 0 0 0 0 0 0 0 
5 0 0 0 0 0 0 0 
6 0 0 0 0 0 0 0 
7 0 0 0 0 0 0 0 
8 0 0 0 0 0 0 0 
9 0 121 0 0 0 0 0 
10 0 0 0 0 0 0 0 
11 0 167 0 131 0 95.7 0 
12 0 0 0 0 0 0 0 
Bảng 5. Mô đun biến dạng của các phần tử bê tông sau lần tính thứ nhất 
 1 2 3 4 5 6 7 
1 5667 5667 5667 5667 5667 5667 5667 
2 5667 5667 5667 5667 5667 5667 5667 
3 5667 5667 5667 5667 5667 5667 5667 
4 5667 5667 5667 5667 5667 5667 5667 
5 9375 9375 5667 5667 5667 5667 5667 
6 0 0 9375 5667 5667 5667 5667 
7 0 0 0 5057 9375 5667 5667 
8 0 0 0 0 0 5650 9375 
9 0 0 0 0 0 0 0 
10 0 0 0 0 0 0 0 
11 0 0 0 0 0 0 0 
12 0 0 0 0 0 0 0 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
32 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 
Bảng 6. Mô đun biến dạng của các phần tử cốt thép sau lần tính thứ nhất 
 1 2 3 4 5 6 7 
1 0 0 0 0 0 0 0 
2 0 2.00E+05 0 0 0 2.00E+05 0 
3 0 0 0 0 0 0 0 
4 0 0 0 0 0 0 0 
5 0 0 0 0 0 0 0 
6 0 0 0 0 0 0 0 
7 0 0 0 0 0 0 0 
8 0 0 0 0 0 0 0 
9 0 2.00E+05 0 0 0 0 0 
10 0 0 0 0 0 0 0 
11 0 2.00E+05 0 2.00E+05 0 2.00E+05 0 
12 0 0 0 0 0 0 0 
Tiến hành tương tự các bước như trên, với sự thay đổi của mô đun biến dạng ta thu được kết quả như 
sau: 
 Kết quả tính toán cho lần thứ hai nhận được như sau: 5
1
1 8 10
x
.
r
  , 5
1
1 17 10
y
.
r
  , 
4
0 1 145 10.
  . 
Tọa độ tâm trung hòa tiết diện: 0 111X mm ; 0 58 9Y . mm . 
Độ lệch của nghịch đảo bán kính cong: 
5 5
1 5
1 8 10 2 239 10
19 6
2 239 10
x
. .
. %
.

  
 
; 
6 6
1 6
1 533 10 1 17 10
23 67
1 533 10
y
. .
. %
.

 

, với kết quả này cần tiến 
hành tính toán cho lần tiếp theo. 
Kết quả tính toán cho lần thứ ba nhận được như sau: 5
1
1 81 10
x
.
r
  , 5
1
1 15 10
y
.
r
  , 
4
0 1 04 10.
  . 
Tọa độ trọng tâm tiết diện: 0 111X mm ; 0 58 5Y . mm . Ma trận biến dạng của các phần bê tông và cốt thép 
thu được như sau. 
Độ lệch của nghịch đảo bán kính: 
5 5
1 5
1 8 10 1 81 10
0 56
1 8 10
x
. .
. %
.

  
 
; 
6 6
1 6
1 17 10 1 15 10
1 7
1 17 10
y
. .
. %
.

 

, với kết quả này cần tiến hành 
tính toán cho lần tiếp theo. 
Kết quả tính toán cho lần thứ tư nhận được như sau: 5
1
1 81 10
x
.
r
  , 5
1
1 15 10
y
.
r
  , 
4
0 1 04 10.
  . 
Tọa độ trọng tâm tiết diện: 0 111X mm ; 0 58 5Y . mm . Ma trận biến dạng của các phần bê tông và cốt thép 
thu được như sau. 
Độ lệch của nghịch đảo bán kính: 
5 5
1 5
1 81 10 1 81 10
0
1 8 10
x
. .
%
.

  
 
; 
6 6
1 6
1 15 10 1 15 10
0
1 15 10
y
. .
%
.

 

, với kết quả này bài toán hội tụ, 
kết quả được chấp nhận. 
Kết quả trạng thái ứng suất, biến dạng của các 
phần tử bê tông, cốt thép trên mặt cắt tiết diện nguy 
hiểm nhất của dầm chịu uốn xiên được thể hiện trong 
các bảng kết quả sau: 
Bảng 7 thể hiện biến dạng tương đối tại tâm các 
phần tử bê tông. 
Bảng 8 thể hiện biến dạng tương đối của cốt thép. 
Bảng 9 thể hiện ứng suất tại tâm các phần tử bê 
tông. 
Bảng 10 thể hiện ứng suất tại các phần tử cốt 
thép. 
Đến đây, quá trình tính toán trạng thái ứng suất 
biến dạng của dầm bị uốn xiên được coi là kết thúc.
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 33 
Bảng 7. Biến dạng tương đối của các phần tử bê tông sau lần tính thứ 4 
 1 2 3 4 5 6 7 
1 -2.91 -3.29 -3.92 -4.54 -5.17 -5.79 -6.2 
2 -2.32 -2.7 -3.32 -3.95 -4.58 -5.2 -5.61 
3 -1.88 -2.25 -2.88 -3.51 -4.13 -4.76 -5.17 
4 -9.88e-1 -1.36 -1.99 -2.62 -3.24 -3.87 -4.28 
5 4.07e-1 -1.3e-1 -7.56e-1 -1.38 -2.01 -2.63 -3.04 
6 0 0 7.5e-1 -1.48e-1 -7.74e-1 -1.4 -1.81 
7 0 0 0 0 7.5e-1 -1.66e-1 -5.73e-1 
8 0 0 0 0 0 0 7.5e-1 
9 0 0 0 0 0 0 0 
10 0 0 0 0 0 0 0 
11 0 0 0 0 0 0 0 
12 0 0 0 0 0 0 0 
Bảng 8. Biến dạng tương đối của các phần tử cốt thép sau lần tính thứ 4 
 1 2 3 4 5 6 7 
1 0 0 0 0 0 0 0 
2 0 -95.2 0 0 0 -162 0 
3 0 0 0 0 0 0 0 
4 0 0 0 0 0 0 0 
5 0 0 0 0 0 0 0 
6 0 0 0 0 0 0 0 
7 0 0 0 0 0 0 0 
8 0 0 0 0 0 0 0 
9 0 157 0 0 0 0 0 
10 0 0 0 0 0 0 0 
11 0 218 0 174 0 130 0 
12 0 0 0 0 0 0 0 
4. Thảo luận kết quả và thảo luận 
Quan sát vào bảng kết quả ứng suất tại các phần 
tử bê tông cốt thép, các giá trị tương ứng với các vị 
trí phần tử được chia nhỏ, ta thấy các vết nứt xuất 
hiện ở phần phía dưới dầm, các vết nứt bên trái dài 
hơn các vết nứt nằm bên phải tiết diện. Ứng suất 
trong phần nén bê tông và trong cốt thép (cả kéo và 
nén) chưa đạt đến cường độ tính toán. Vì vậy dầm 
thỏa mãn điều kiện độ bền (Trạng thái giới hạn 1). 
Đường trung hòa đối với tiết diện dầm uốn xiên 
không giống với dầm uốn phẳng, nó bị nghiêng so 
với phương ngang một góc nào đó. 
Với kết quả thu được, ta có thể rút ra những kết 
luận sau: 
- Phương pháp tính toán của bài viết này trình bày 
cách tính toán trạng thái ứng suất biết dạng của dầm 
BTCT chịu uốn xiên, cùng với vị trí xuất hiện viết nứt; 
- Phương pháp này có thể áp dụng cho các trường 
hợp đặc biệt khác; 
- Kết quả cuối cùng thể hiện được cách chọn vật 
liệu, bố trí cốt thép hợp lý hay chưa, từ đó chỉnh sửa 
lại kết quả thiết kế sơ bộ ban đầu; 
- So sánh với TCVN 5574:2012 thì sơ bộ đánh giá 
là kết quả có sự phù hợp về phương diện vị trí kéo, 
nén, cũng như dạng đường trung hòa của tiết diện 
thẳng góc; 
- Với cách giải quyết bài toán là chia nhỏ phần tử 
tiết diện thì kích thước càng nhỏ, ta càng thu được 
kết quả càng chính xác, nhưng nếu như vậy thì khối 
lượng bài toán lớn hơn, trong phạm vi kỹ thuật xây 
dựng có thể không cần chú ý đến việc chia phần tử 
quá nhỏ mà kết quả vẫn được chấp nhận. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Minh P.Q., Phong N.T. (2019), Kết cấu bê tông cốt 
thép: thiết kế theo tiêu chuẩn Châu Âu, Nhà Xuất bản 
Xây dựng, 165 trang. 
2. Minh P.Q., Phong N.T., Cống N.Đ. (2006), Kết cấu bê 
tông cốt thép phần cấu kiện cơ bản, Nhà Xuất bản Xây 
dựng, 394 trang. 
3. TCVN – 5574 (2018), Thiết kế kết cấu bê tông và bê 
tông cốt thép, 195 trang. 
4. ACI 318-11 (2011), Building code requirements for 
structural concrete, American Concrete Institute. 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
34 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 
5. Hu B., Wu Y.F. (2017), Quantification of shear cracking 
in reinforced concrete beams, Engineering Structures, 
vol 147, pp 666–678. 
6. Li L.Z. và c.s. (2018), Numerical simulation of the shear 
capacity of bolted side-plated RC beams, Engineering 
Structures, vol 171, pp 373–384. 
7. Linhares B.T. (2014), de Numerical analysis of 
reinforced concrete asymmetric cross-section beams 
under oblique bending, Dictionary Geotechnical 
Engineering, Wörterbuch GeoTechnik, № 1, vol 84, p 
1177–1177. 
8. Opbul E.K., Dmitriev D.A., Phuc P. Van (2018), 
Practical calculation of flexible members with the use 
of non-linear deformation model as exemplified by 
typical girder RGD 4.56-90, Architecture and 
Engineering. 2018, № 3 vol 3, pp. 29–41. 
9. Gandomi, A. H., Yun, G. J., & Alavi, A. H. (2013), An 
evolutionary approach for modeling of shear strength 
of RC deep beams, Materials and Structures, №46, vol 
12, pp 2109-2119. 
10. Байков В.Н., Сигалов Э.Е.(1991), Железобетонные 
конструкции (Общий курс), М.: Стройиздат, 767p. 
11. Здоренко В.С.(1979), Расчет железобетонных 
конструкций с учетом образования трещин МКЭ, 
Сопротивление материалов и теория 
сооружений, № 32, pp. 102–106. 
12. Морозов В.И., Опбул Э.К. (2016), Расчет 
изгибаемых сталефиброжелезобетонных 
элементов по нелинейной деформационной 
модели с использованием опытных диаграмм 
деформирования сталефибробетона, Вестник 
Гражданских Инженеров, vol 5, pp. 51–55. 
13. Морозов В.И., Опбул Э.К., Фук Ф.В.(2018), К расчету 
толстых конических плит на действие равномерно 
распределенной, Вестник Гражданских 
Инженеров, № 2 (15), c 66–73. 
14. СП 63.13330.2018 Бетонные и железобетонные 
конструкции. Основные положения. СНиП 52-01-2003. 
Ngày nhận bài: 21/5/2020. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 17/6/2020.
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2020 35 
Calculation of reinforced concrete beam under oblique bending used by non-linear deformation model