Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 03: Tối ưu hàm nhiều biến số không có ràng buộc

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 
Khoa Công nghệ Cơ khí 
CHƯƠNG 03: 
TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 
 KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC 
Thời lượng: 3 tiết 
2 
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc 
 1 2, , , , nf x x x x x
Tìm các điểm cực trị (Extreme points) và các điểm “Yên ngựa” 
(Saddle points) của hàm. 
Giải hệ phương trình 
Gradient = 0: 
1 2
T
n
f f f
f
x x x
   
 
   
x 0
Giả sử có m nghiệm 
1 1 1 1
1 2
1 2
T
n
T
m m m m
n
x x x
x x x
x
x
3 
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc 
Tính ma trận Hessian tại 
một điểm bất kz  
2 2 2
2
1 1 2 1
2 2 2
2
2 1 2 2
2 2 2
2
1 2
n
n
n n n
f f f
x x x x x
f f f
x x x x x
f f f
x x x x x
   
     
   
      
   
      
H
Tính ma trận Hessian tại m 
điểm nghiệm ở bước 1. 
      1 2; ; ; m
x x x
H H H
Dựa vào dấu của các ma trận Hessian tại các điểm để xác 
định cực trị hay điểm yên 
4 
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc 
Giả sử ma trận Hessian tại 
điểm nghiệm i có dạng   
11 12 1
21 22 2
1 2
; 1..i
n
n
n n nn
a a a
a a a
i m
a a a
x
H
Tính định thức của n ma trận thành phần: 
11 12
1 11 2
21 22
a a
A a A
a a
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
1. Nếu tất cả A1, A2, , An > 0 thì ma trận [H] > 0 x
(i) – cực tiểu 
2. Nếu dấu của Aj là (–1)
j (j=1..n) thì [H] < 0 x(i) – cực đại 
3. Nếu một vài Aj > 0 và 1 vài cái Aj < 0 hoặc = 0 x
(i) – Điểm 
yên 
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
5 
Điểm yên (Saddle Point) 
6 
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc 
Cho 2 vật rắn không ma sát A, B liên 
kết bởi 3 lò xo đàn hồi với độ cứng 
lần lượt là k1, k2, k3. Các lò xo ở vị trí 
tự nhiên (không co – giãn) khi P=0. 
Với P≠0 hãy tìm các chuyển vị x1, x2 
theo nguyên l{ cực tiểu thế năng. 
Thế năng của hệ = Năng lượng biến dạng 
của lò xo 
– 
U 
công của 
ngoại lực 
22 2
1 2 2 1 3 2 1
1 1 1
2 2 2
k x k x k x x 2P x 
7 
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc 
Dưới tác dụng của lực P, 2 vật sẽ có chuyển vị x1, x2 để đến vị 
trí cân bằng. Tại vị trí cân bằng thì thế năng của hệ là cực tiểu. 
Do đó, để tìm x1, x2 ta có thể tìm cực trị hàm U. 
22 2
1 2 1 2 2 1 3 2 1 2
1 1 1
,
2 2 2
U U x x k x k x k x x P x x
3
1
1 2 2 3 3 11 2 1 3 2 1
1 2 3 2 1 2 3
2
2 1 2 2 3 3 1
0
kU
x P
k k k k k kx k x k x x
U
k x k x x PU k k
x P
x k k k k k k
 
   
   
x
Có một nghiệm duy nhất, có nghĩa là chỉ có 1 vị trí cân 
bằng và ổn định 
8 
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc 
Tính ma trận Hessian 
 
2 2
2
1 1 2 2 3 3
2 2
3 2 3
2
2 1 2
U U
x x x k k k
k k kU U
x x x
  
     
   
H
Tính định thức của 2 ma trận thành phần: 
  2 31 0k k H
  2 3 3 1 2 2 3 3 12
3 2 3
0
k k k
k k k k k k
k k k
H
  0 *H x Là điểm cực tiểu 
Với: 
3
1 2 2 3 3 1
2 3
1 2 2 3 3 1
k
P
k k k k k k
k k
P
k k k k k k
*
x
9 
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc 
Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau: 
 3 3 2 21 2 1 2 1 2, 2 4 6f f x x x x x x x
1 1
1 2
2 22
1 1 21 1
2 3 3
2 2 1 2
4 42
1 2
0; 0
0; 8 33 4
0
3 8 4 3; 0
4 3; 8 3
x xf
x x xx x
f
f x x x x
x
x x
  
  
  
 
  
x
Tính ma trận Hessian một điểm bất kz 
 
2 2
2
1 1 2 1
2 2
2
2
2 1 2
6 4 0
0 6 8
f f
x x x x
xf f
x x x
  
     
   
H
Có 4 điểm 
dừng (m=4) 
10 Tính ma trận Hessian tại 4 điểm nghiệm ở bước 1. 
1) Điểm số 1:  1 11 2 0 0
T T
x x 
1
x
  
1
1
1
1
2
4 04 0
0 8 32 0
A
A
x
x
x
H
Tất cả các định thức thành 
phần đều >0 Cực tiểu 
2) Điểm số 2:  2 21 2 0 8 3
T T
x x 
2
x
  
2
2
2
1
2
4 04 0
0 8 32 0
A
A
x
x
x
H
Trình tự âm – dương của 
các định thức thành phần 
không tuân theo quy tắc 
cực đại Điểm yên 
3) Điểm số 3:  3 31 2 4 3 0
T T
x x 
3
x
  
2
2
2
1
2
4 04 0
0 8 32 0
A
A
x
x
x
H
Toàn bộ các định thức 
thành phần đều âm 
Điểm yên 
4) Điểm số 4: 
  4 41 2 4 3 8 3
T T
x x 
4
x
  
4
4
4
1
2
4 04 0
0 8 32 0
A
A
x
x
x
H
Các định thức thành phần 
tuân theo quy luật cực đại 
 Cực đại 
 6f 1x
 418
27
f 
2
x
 194
27
f 
3
x
 50
3
f 
4
x
11 
Xanh lam Cực tiểu 
Đỏ Cực đại 
2 điểm xanh lá cây còn lại Điểm yên 
12 
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc 
Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau: 
 4 2 21 2 1 1 2 1 2 1, 0.7 8 6 cos 8f f x x x x x x x x x
3
1 1 1 2 1 2
2 1 1 2
2
102.8 16 sin 8
2012 sin
f
x x x x x x
f
f x x x x
x
 
  
   
  
x
Giải hệ phương trình này 
1) Trường hợp 1: Nếu x1=0 thì PT (1) vô nghiệm Suy ra x1≠0 
2) Trường hợp 2: Nếu x2=0 thì PT (2) thỏa mãn, ta cần giải PT (1) lúc 
này 
3
1 12.8 16 8 0x x 
13 Vẽ đồ thị hàm: 31 1 12.8 16 8f x x x online: 
https://rechneronline.de/function-graphs/ 
14 Dựa vào đồ thị ta thấy có 3 nghiệm nằm trong 3 khoảng sau 
đây: 
- Khoảng 1 là [-2.1; -1.8] trong đó nghiệm rất gần với -2.1 
- Khoảng 2 là [-0.6; -0.3] trong đó nghiệm rất gần với -0.5 
- Khoảng 3 là [2.4; 2.7] trong đó nghiệm rất gần với 2.55 
 Sử dụng phương pháp số như bisection ra sẽ ra được 3 
nghiệm này lần lượt là: 
1
1
2
1
3
1
2.084068332
0.5253777475
2.609446079
x
x
x
Khảo sát tính chất cực đại, cực tiểu và điểm yên của điểm dừng 
15 
 
20.48406282 0
0
0 7.656659188
1H
a) Xét điểm dừng số 1: 
1
1 22.084068332; 0x x
Tất cả các định thức thành 
phần đều >0 Cực tiểu 
b) Xét điểm dừng số 2: 
2
1 20.5253777475; 0x x
 2
13.68141707 0
0 11.72397822
H
Toàn bộ các định thức 
thành phần đều âm 
Điểm yên 
c) Xét điểm dừng số 3: 
3
1 22.609446079; 0x x
 3
41.19735425 0
0 5.190791161
H
Tất cả các định thức thành 
phần đều >0 Cực tiểu 
 1 3.86895325f x
 2 3.048179374f x
 3 41.89351183f x
16 3) Trường hợp 3: x1≠0, x2≠0: 
3 4 2
1 1 2 1 2 1 1 1
2
2 1 1 2
4 2 4 2
1 1 1 1 1 1
1 1
2.8 16 sin 8 0 7 40 20
3012 sin 0
7 40 20 7 40 20
12 sin 0
30 30
x x x x x x x x
x
x x x x
x x x x x x
x x
  
Ta vẽ đồ thị 
để xem 
điểm đồ thị 
cắt trục 
hoành ở 
đâu: 
17 Như vậy là không có nghiệm nào x1≠0, x2≠0 của véc 
tơ Gradient. Chúng ta chỉ có 2 điểm cực trị (màu 
xanh dương) và một điểm yên (màu xanh lá cây)