Tóm tắt Luận án Phân tích tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật fgm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt tám ẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƢỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG 
Nguyễn Văn Long 
PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG 
CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM SỬ DỤNG LÝ THUYẾT 
BIẾN DẠNG CẮT TÁM ẨN 
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
Mã số: 62520101 
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ 
Hà Nội - Năm 2018 
Công trình được hoàn thành tại T ƣờng Đ i học X y dựng 
Người hướng dẫn khoa học 1: PGS. TS T ần Minh Tú - Trường Đại học d ng 
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS T ần Hữu Quốc - Trường Đại học d ng 
Phản biện 1: .................................................................................................... 
 ..................................................................................................... 
Phản biện 2: .................................................................................................... 
 ..................................................................................................... 
Phản biện 3: .................................................................................................... 
 ..................................................................................................... 
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Nhà nước 
họp tại Trường Đại học d ng. 
 vào hồi ...... giờ ......', ngà ..... tháng ..... năm 2018 
Có thể tìm hiểu luận án tại: 
- Thư viện Quốc gia. 
- Thư viện Trường Đại học d ng. 
- Bộ môn Sức bền Vật liệu - Trường Đại học d ng. 
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GI 
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 
1. Trần Hữu Quốc, Trần Minh Tú, Nguyễn Văn Long, Dương Thành Hu n (2013). Tính 
toán tấm FGM chịu uốn theo mô hình Reissner-Mindlin bằng phương pháp Phần tử hữu 
hạn. Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, Đại học Tôn 
Đức Thắng, TP. Hồ Chí Minh (7-9/11/2013). 
2. Tran Huu Quoc, Tran Minh Tu, Nguyen Van Long (2014). Free vibration analysis of 
Reissner - Mindlin functionally graded plates by finite element method. The 3
rd
International Conference of Engineering Mechanics and Automation (ICEMA3), 
University of Engineering and Technology - Vietnam National University (15/08/2014). 
3. Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan, Nguyen Van Long (2014). 
Vibration analysis of functionally graded plates using various shear deformation plate 
theories. 3
rd
 International Conference of Engineering Mechanics and Automation 
(ICEMA3), University of Engineering and Technology - Vietnam National University 
(15/08/2014). 
4. Thinh, T. I., Tu, T. M., Quoc, T. H., & Long, N. V. (2016). Vibration and Buckling 
Analysis of Functionally Graded Plates Using New Eight-Unknown Higher Order Shear 
Deformation Theory. Latin American Journal of Solids and Structures, 13(3), 456-477, 
DOI:  
5. Van Long, N., Quoc, T. H., & Tu, T. M. (2016). Bending and free vibration analysis of 
functionally graded plates using new eight-unknown shear deformation theory by finite-
element method. International Journal of Advanced Structural Engineering, 8(4), 391-
399, DOI: doi 10.1007/s40091-016-0140-y. 
6. Ngu en Van Long, Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc (2016). Ph n tích dao động riêng tấm 
FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất có xét ảnh hưởng của nhiệt độ. Hội nghị 
Khoa học toàn quốc-Vật liệu và kết cấu composite: Cơ học, công nghệ và ứng dụng, 
Đại học Nha Trang, TP. Nha Trang (28-29/7/2016). 
7. Nguyen Van Long, Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc (2016). Vibration analysis of 
functionally graded plates using the eight-unknown higher order shear deformation 
theory in thermal environments. Hội nghị Khoa học toàn quốc-Vật liệu và kết cấu 
composite: Cơ học, công nghệ và ứng dụng, Đại học Nha Trang, TP. Nha Trang (28-
29/7/2016). 
8. Tran Minh Tu, Nguyen Van Long, Tran Huu Quoc (2016). Thermoelastic bending 
analysis of functionally graded sandwich plates using the eight-unknown higher order 
shear deformation theory. The 4
th
 International Conference on Engineering Mechanics 
and Automation (ICEMA 4), University of Engineering and Technology - Vietnam 
National University (25-26/08/2016). 
9. Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc and Nguyen Van Long (2017). Bending analysis of 
functionally graded plates using new eight-unknown higher order shear deformation 
theory. Structural Engineering and Mechanics, 62 (3), 311-324, DOI: 
https://doi.org/10.12989/sem.2017.62.3.311.
1 
MỞ ĐẦU 
1. Tính cấp thiết của đề tài 
Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) là loại vật liệu composite tiên 
tiến, không thuần nhất ở mức độ vi mô, cấu thành từ hai hoặc nhiều hơn hai pha vật liệu với tỷ lệ thể tích các 
vật liệu thành phần biến đổi liên tục. Các đặc trưng cơ học của vật liệu vì thế cũng biến đổi trơn và liên tục, 
nên tránh được s bong tách, s tập trung ứng suất tại các bề mặt tiếp xúc như thường xả ra đối với vật liệu 
composite tru ền thống. Để tối ưu hóa công tác tính toán và thiết kế các kết cấu tấm/vỏ bằng vật liệu FGM 
cần hiểu rõ qu luật ứng xử cơ học của vật liệu và kết cấu. Việc phát triển mô hình và phương pháp tính các 
kết cấu bằng vật liệu FGM vì thế luôn thu hút s quan t m của các nhà khoa học trong và ngoài nước. 
Trên cơ sở đó luận án l a chọn đề tài: “Ph n tích tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ 
nhật FGM sử dụng lý thuyết biến d ng cắt tám ẩn”. 
2. Mục đích nghiên cứu của luận án 
 Đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn số chuyển vị về lý thuyết biến dạng cắt bậc 
cao tám ẩn chuyển vị để phân tích ứng xử cơ học của tấm dày FGM. 
 Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị đề xuất, xây d ng các hệ thức quan hệ và 
phương trình chủ đạo để phân tích ứng xử tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật FGM bằng 
phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn. 
 Viết chương trình tính trên nền Matlab để khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình 
học, điều kiện biên đến độ võng, các thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của 
tấm FGM. 
3. Đối tƣợng và ph m vi nghiên cứu của luận án 
 Đối tượng nghiên cứu của luận án là tấm chữ nhật FGM chiều dà không đổi với các dạng điều kiện biên 
khác nhau. 
 Phạm vi nghiên cứu của luận án là các bài toán phân tích tuyến tính: xác định độ võng, các thành phần 
ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của tấm chữ nhật FGM với các dạng điều kiện biên 
khác nhau. 
4. Phƣơng pháp nghiên cứu 
 Phương pháp giải tích: Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn thiết lập các phương trình chủ 
đạo, thuật toán và chương trình tính nhằm phân tích ứng xử cơ học của tấm FGM bốn biên t a khớp. 
 Phương pháp phần tử hữu hạn: Xây d ng mô hình, thuật toán phần tử hữu hạn và chương trình tính 
nhằm phân tích ứng xử cơ học của tấm FGM với các dạng điều kiện biên khác nhau trên cơ sở lý thuyết 
biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị. 
5. Những đóng góp mới của Luận án 
 Đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba 12 ẩn chuyển vị thành lý thuyết bậc ba với tám ẩn số 
chuyển vị cho kết cấu tấm, thỏa mãn điều kiện biên của ứng suất cắt ngang tại mặt trên và dưới của tấm 
bằng 0; thể hiện được s biến đổi của biến dạng dài theo phương chiều dày, phù hợp với tấm dày. Thiết 
lập các hệ thức và các phương trình chủ đạo cho bài toán phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định và dao động 
riêng của tấm chữ nhật FGM trên cơ sở lý thuyết đề xuất. 
 Thiết lập lời giải giải tích cho tấm bốn biên t a khớp sử dụng dạng nghiệm Navier; xây d ng mô hình 
phần tử hữu hạn để phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm FGM với lý thuyết đề 
xuất. 
 Viết chương trình tính bằng Matlab để kiểm chứng độ tin cậy của thuật toán và mô hình tính đề xuất; 
khảo sát số đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình học đến độ võng, các thành 
phần ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên 
khác nhau. 
6. Bố cục của luận án 
Luận án gồm: Mở đầu, Bốn chương chính, Kết luận và kiến nghị, Tài liệu tham khảo và Phụ lục. 
CHƢƠNG 1 
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 
Chương nà giới thiệu tóm tắt về vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) - các tính chất cơ học của vật 
liệu; kết cấu bằng vật liệu FGM và ứng dụng; tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về phân 
tích tĩnh và động các kết cấu tấm FGM. Trên cơ sở phân tích các mô hình tính có thể thấy rằng, lý thu ết tấm 
cổ điển trên cơ sở giả thiết Kirchhoff, bỏ qua biến dạng cắt ngang nên chỉ phù hợp với tấm mỏng. Lý thu ết 
2 
biến dạng cắt bậc nhất đã kể đến biến dạng cắt ngang nhưng không phản ánh qu luật ph n bố ứng suất cắt 
ngang dạng parabol th c tế của tấm chịu uốn. Hệ số hiệu chỉnh cắt vì thế được đưa vào, tu nhiên việc xác 
định chính xác hệ số nà là phức tạp. Các lý thu ết biến dạng cắt bậc cao đã khắc phục được nhược điểm của 
lý thu ết tấm bậc nhất do không cần hệ số hiệu chỉnh cắt. Tu nhiên các lý thu ết bậc cao không thỏa mãn 
điều kiện ứng suất tiếp theo phương chiều dà bằng không tại mặt trên và dưới khi tính toán. Kể đến điều 
này Redd đã cải tiến lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đơn giản 9 ẩn số chu ển vị về lý thu ết biến dạng cắt 
bậc ba 5 ẩn số chu ển vị thỏa mãn điều kiện biên của ứng suất cắt ngang tại bề mặt trên và dưới của tấm. 
Các lý thu ết tấm bậc cao nói chung và lý thu ết tấm bậc ba của Redd lại bỏ qua biến dạng pháp 
tu ến theo phương chiều dà , coi thành phần độ võng không phụ thuộc tọa độ chiều dà . Chính vì vậ khi sử 
dụng các lý thu ết bậc cao tính toán cho tấm dà thường cho sai lệch đáng kể so với nghiệm của lý thu ết 
đàn hồi, nhất là các thành phần ứng suất cắt ngang. 
Từ các ph n tích kể trên tác giả luận án nhận thấ rằng, việc phát triển thêm các mô hình và phương 
pháp tính vẫn là hướng nghiên cứu được quan t m, đ chính là động l c để đề xuất cải tiến một mô hình 
tính toán mới cho tấm dà trong luận án. 
CHƢƠNG 2 
LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO TÁM ẨN CHUYỂN VỊ - PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH 
VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM BẰNG PHƢƠNG PHÁP GI I TÍCH 
2.1. Mở đầu 
Trong chương nà , tác giả luận án đề xuất cải tiến trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc 
ba đầ đủ 12 ẩn số chu ển vị thành lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn. Lý thu ết nà khắc phục được 
nhược điểm của các lý thu ết biến dạng cắt bậc cao nói chung: thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang bằng 
không tại mặt trên và dưới của tấm, đồng thời có kể đến biến dạng pháp tu ến ( 0z ). Do kể đến biến dạng 
pháp tu ến nên lý thu ết nà mô tả được tính làm việc ba chiều của kết cấu tấm, vì vậ các kết quả tính toán 
cho tấm dà FGM phù hợp hơn khi so sánh với lý thu ết đàn hồi ba chiều. 
Trên cơ sở trường chu ển vị đề xuất, tác giả tiến hành x d ng các hệ thức cơ bản và phương trình 
chủ đạo cho tấm chữ nhật FGM theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị. Phương trình chu ển 
động cũng như các điều kiện biên được thiết lập cho bài toán tổng quát d a trên ngu ên lý năng lượng toàn 
phần c c tiểu, trong đó thành phần biến dạng phi tu ến von Kármán được kể đến. Trong các ph n tích tu ến 
tính các thành phần biến dạng phi tu ến sẽ được bỏ qua. 
2.2. Lý thuyết biến d ng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị 
2.2.1. Trường chuyển vị 
Hình 2.1. Hình dạng hình học của tấm có biên cong 
 ét tấm bằng vật liệu FGM với mặt trung bình trước biến dạng là A. Miền khảo sát đối với tấm là thể 
tích V. Biên của tấm bao gồm bề mặt trên (z = h/2), bề mặt dưới (z = - h/2) và mặt bên  . Trong trường hợp 
tổng quát,  là một mặt cong với pháp tu ến ngoài ˆ ˆ ˆ ;x x y yn n e n e với , x yn n là các cosin chỉ phương của 
véc tơ pháp tu ến đơn vị nˆ (xem Hình 2.1). 
Trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn chu ển vị [5]: 
2 * 3 *
0 0
2 * 3 *
0 0
2 * 3 *
0 0
( , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , );
( , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , );
( , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
x x
y y
z z
u x y z t u x y t z x y t z u x y t z x y t
v x y z t v x y t z x y t z v x y t z x y t
w x y z t w x y t z x y t z w x y t z x y t
 
 
 
 (2.1) 
Từ trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc ba 12 ẩn, kết hợp với điều kiện các ứng suất cắt 
ngang: 0
2 2
xz zz
h h
z z 
, ta nhận được trường chu ển vị mới với 8 ẩn chu ển vị: 
3 
**2 3
0 0
0 1 2
**2 3
0 0
0 1 2
2 * 3 *
0 0
;
2 3
;
2 3
x x
y y
z z
w wz zz zu u z c c
x x x x
w wz zz zv v z c c
y y y y
w w z z w z
 
 
 
 
 
    
    
   
    
(2.2) 
trong đó: 
2
1 2 2
4
, .
4
h
c c
h
2.2.2. Trường biến dạng 
Các thành phần biến dạng có kể đến biến dạng phi tu ến hình học von Kármán: 
   +L NL   (2.3.1) 
Các thành phần biến dạng tu ến tính: 
 
0 1 2
0 1 2
(0) (1) (2)
2
0 1 2
(0) (1) (2)
0 (1) (2)
L L L L
x x x x
L L L L
y y y y
z z z z
L L L L L
xy xy xy xy
xz xz xz xz
yz yz yz yz
z z
   
   
   

   
   
   
    
    
    
3
3
3
3
(3)
(3)
0
L
x
L
y
L
xy
xz
yz
z





 
 
 
 (2.3.2) 
Các thành phần biến dạng phi tu ến: 
 
6
1
6
1
6
1
0
0
0
0
0
0
i iNL
x
iNL
x
i iNLNL
yy
i
NL NL
xy
i iNL
xy
i
z
z
z






 
 
  
 
 



 (2.3.3) 
2.2.3. Trường ứng suất 
  
11 12 13
21 22 23
31 32 33
44
66
55
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
x x
y y
z z
xy xy
xz xz
yz yz
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
Q
Q
Q
Q
 
 
 
 
 
 
 
  
   
   
 (2.4) 
2.2.4. Các thành phần nội lực 
Với lý thu ết tấm biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị, ta định nghĩa các thành phần nội l c của 
tấm như sau: 
* *
* *
* * /2
2 3
* *
/2
* *
* *
1 ;
x x xx x
y y yy y
h
z z zz z
xy xy xyxy xy h
xz xz xzxz xz
yz yz yzyz yz
N M N M
N M N M
N M N M
z z z dz
N M N M
Q S Q S
Q S Q S






 
  
  
* * **
/2
* * ** 4 5 6
* * ** /2
x x x xh
y y y y
h
xy xy xy xy
N M N
N M N z z z dz
N M N


 
 
  
  
 (2.5.1) 
và: 
4 
* * * *
2 2 1 1
* * *2 2 2
, ; , ;
, ,
3 3 3
xz xz xz yz yz yz xz xz xz yz yz yz
x x x xy xy xy y y y
R Q c Q R Q c Q T c S S T c S S
c c c
P M M P M M P M M
 (2.5.2) 
2.2.5. Các phương trình chuyển động 
a. Nguyên lý năng lượng toàn phần cực tiểu 
Nguyên lý năng lượng toàn phần c c tiểu được sử dụng để thiết lập các phương trình chu ển động 
của tấm FGM [10], với dạng toán học như sau: 
* 0U W W   (2.6) 
trong đó: *, ,U W W   lần lượt là biến ph n của thế năng biến dạng đàn hồi, công ngoại l c và 
công của l c quán tính. 
Khai triển các biểu thức năng lượng, nhóm các thành phần biến ph n của chu ển vị 
* *
0 0 0 0, , , , , , ,x y z zu v w w        , ta nhận được hệ phương trình Euler-Lagrange: 
**
3 0 02
0 0 1 1 2 ;
2 3
xyx z z
x
NN I w wI
I u J c c
x y x x x x
 

    
      
 (2.7.1) 
**
3 0 02
0 0 1 1 2 ;
2 3
xy y z z
y
N N I w wI
I v J c c
x y y y y y
 

    
      
 (2.7. ... hi b/a tăng, độ võng không thứ ngu ên w cũng như các thành phần ứng suất tha đổi đáng kể do 
tính chất làm việc hai chiều dần chu ển thành một chiều. 
 Điều kiện biên ảnh hưởng không những đến trị số của các đại lượng khảo sát mà còn làm tha đổi 
qu luật biến thiên của chúng. 
4.3. Ph n tích ổn định 
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM với các vật liệu thành phần Al/Al2O3-1. Tấm chịu tác dụng 
của tải trọng nén đều trên các cạnh theo hai phương: 0 0 01 2, , 0x mn y mn xyN N N N N  (Hình 2.4). 
Để thuận tiện, giá trị của tải trọng tới hạn được thể hiện dưới dạng không thứ ngu ên dưới đ [15]: 
 2
3
2
12 1
10
c
th th
c
N N
aE

 (4.2) 
4.3.1. Khảo sát ảnh hưởng c a chỉ số tỷ lệ thể tích p 
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với a = 1m, b/a = 2, h/a = 0.1. Tấm chịu 
tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh trong hai trường hợp: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo hai 
phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1). 
Hình 4.6a. Dạng mất ổn định của tấm chữ nhật FGM với các giá trị p khác nhau 
Hình 4.6b. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên thN của chữ nhật FGM theo chỉ số tỷ lệ thể tích p 
Hình 4.6a thể hiện một số mode vồng cho 4 trường hợp của chỉ số tỷ lệ thể tích (p = 0, 1, 2, 5). Biến 
thiên của tải trọng tới hạn thN theo chỉ số tỷ lệ thể tích được biểu diễn qua đồ thị trên Hình 4.6b. 
Quan sát các dạng mất ổn định trên Hình 4.6a và các đồ thị biến thiên trên Hình 4.6b ta thấy, khi p 
tăng đồng nghĩa với tăng hàm lượng kim loại trong vật liệu: 
1 20, 1, 1p   1 20, 0, 1p   
1 25, 1, 1p   1 25, 0, 1p   
thN thN
 1 20, 1  1 21, 1  
19 
 Với cả hai trường hợp tải trọng nén, biến thiên của chỉ số tỷ lệ thể tích p không làm tha đổi 
mode vồng của tấm; 
 Tải trọng tới hạn 
thN giảm trong cả hai trường hợp đặt tải, giảm nhanh trong khoảng p = 0 ÷ 2, 
sau đó tốc độ giảm chậm dần và gần như không tha đổi khi p đủ lớn (xấp xỉ giá trị p = 10). 
4.3.2. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước tấm h/a 
Xét tấm vuông bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với p = 3, a = b = 1m. Tấm chịu tác dụng 
của tải trọng nén đều trên các cạnh trong hai trường hợp: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo 2 phương x, y 
(γ1 = 1, γ2 = 1). 
Hình 4.7a. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên 
thN của tấm vuông FGM theo tỷ số h/a 
Biến thiên của tải trọng tới hạn không thứ nguyên 
thN theo tỷ số h/a được biểu diễn qua đồ thị trên 
Hình 4.7a, một số mode vồng được minh họa trên Hình 4.7b. 
Quan sát các đồ thị trên Hình 4.7a và dạng mất ổn định trên Hình 4.7b ta thấy, khi h/a tăng: 
 Mode vồng cho cả hai trường hợp đặt tải trọng nén không đổi, điều này chứng tỏ dạng mất ổn 
định không phụ thuộc vào tấm dày hay mỏng; 
 Với cả hai trường hợp tải trọng nén, tải trọng tới hạn thN tăng, h/a càng lớn, tấm càng dà thì tải 
trọng tới hạn thN tăng càng nhanh. 
Hình 4.7b. Dạng mất ổn định của tấm vuông FGM với các tỷ số h/a khác nhau 
4.3.3. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước cạnh b/a 
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với p = 3, a = 1m, h/a = 0.1. Tấm chịu 
tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh của tấm theo 1 phương và hai phương: theo phương y (γ1 = 0, γ2 
= 1); theo hai phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1). 
thN
 1 21, 1  1 20, 1  
thN
1 2/ 0.05, 1, 1h a   1 2/ 0.05, 0, 1h a   
1 2/ 0.2, 1, 1h a   1 2/ 0.2, 0, 1h a   
20 
Hình 4.8a. Dạng mất ổn định của tấm chữ nhật FGM với các tỷ số b/a khác nhau 
Hình 4.8a biểu diễn một số mode vồng mất ổn định cho 4 trường hợp của tỷ số kích thước cạnh (b/a 
= 0.5, 1, 2, 3); biến thiên của tải trọng tới hạn thN theo tỷ số b/a được thể hiện trên Hình 4.8b. 
Quan sát các dạng mất ổn định trên Hình 4.8a và các đồ thị trên Hình 4.8b ta thấy, khi b/a tăng: 
 Mode vồng cho trường hợp tải trọng nén đều theo hai phương không đổi, trong khi trường hợp 
tải trọng nén đều theo 1 phương (phương y) có s tha đổi; điều này chứng tỏ kích thước cạnh 
của tấm phát triển theo phương tải trọng nén có ảnh hưởng lớn đến dạng mất ổn định trong 
trường hợp tấm chịu nén theo 1 phương; 
 Với trường hợp tấm chịu tác dụng của tải trọng nén đều theo phương y: tải trọng tới hạn thN 
biến đổi phức tạp, biến thiên phi tu ến trong từng khoảng giá trị của tỷ số b/a; 
 Với trường hợp tấm chịu tác dụng của tải trọng nén đều theo 2 phương x, y: tải trọng tới hạn thN 
liên tục giảm, giảm nhanh trong khoảng b/a = 0.5 ÷ 1.5, sau đó tốc độ giảm chậm dần. 
Hình 4.8b. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên thN của tấm chữ nhật FGM theo tỷ số b/a 
4.3.4. Khảo sát ảnh hưởng c a điều kiện biên 
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM cho 4 trường hợp điều kiện biên: SCSC, SSSC, SSSS, SFSC. 
Các tham số hình học và vật liệu được giữ ngu ên như các bài toán đã trình bà ở phần 4.3.1-4.3.3. Tấm 
chịu tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh trong hai trường hợp: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo 
hai phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1). 
Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên thN với 4 dạng điều kiện biên khác nhau: SCSC, 
SSSC, SSSS, SFSC sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn được tính toán và thể hiện qua các đồ thị trên 
hình (4.9a-c). Quan sát các đồ thị này ta thấy: 
1 2/ 0.5, 0, 1b a   1 2/ 0.5, 1, 1b a   
1 2/ 3, 0, 1b a   1 2/ 3, 1, 1b a   
thN
 1 20, 1  1 21, 1  
thN
21 
1) Tải trọng tới hạn 
thN giảm phi tu ến theo chỉ số tỷ lệ thể tích p và tăng phi tu ến theo tỉ số a/h với 
các điều kiện biên và các dạng tải trọng nén khác nhau; điều kiện biên SCSC có tải trọng tới hạn 
thN 
lớn nhất, sau 
đó đến điều kiện biên SSSC, tiếp đến là điều kiện biên SSSS, cuối cùng điều kiện biên SFSC; 
2) Đối với tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM, khi b/a tăng: điều kiện biên SCSC có tải trọng tới hạn 
thN 
lớn nhất, sau đó đến điều kiện biên SSSC, tiếp đến là điều kiện biên SSSS, cuối cùng điều kiện biên SFSC; 
ngoài ra có s khác nhau giữa hai dạng tải trọng nén: 
 Với trường hợp tấm chịu tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh theo phương y: tải trọng 
tới hạn 
thN của tấm tha đổi phức tạp với cả 4 dạng điều kiện biên, xuất hiện các mode vồng khác 
nhau; 
 Với trường hợp tấm chịu tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh theo 2 phương x, y: tải 
trọng tới hạn 
thN của tấm biến đổi phức tạp với trường hợp điều kiện biên SCSC, xuất hiện nhiều 
dạng mode vồng khác nhau; tải trọng tới hạn 
thN giảm với 3 trường hợp điều kiện biên SSSC, SSSS 
và SFSC; 
Hình 4.9a. Biến thiên l c nén tới hạn không thứ nguyên 
thN của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên 
và chỉ số tỷ lệ thể tích p khác nhau 
Hình 4.9b. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên thN của tấm vuông FGM với các điều kiện biên và 
tỷ số h/a khác nhau 
Hình 4.9c. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên thN của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên 
và tỷ số b/a khác nhau 
4.3.5. Nhận xét chung 
 Khi p tăng (tăng hàm lượng kim loại), mode vồng của tấm không đổi, tải trọng tới hạn không thứ 
nguyên thN giảm với cả 2 trường hợp tải trọng nén và tất cả các dạng điều kiện biên; 
thN
 1 20, 1  
 1 21, 1  
thN
 1 20, 1  1 21, 1  
thN thN
 1 20, 1  1 21, 1  
thN thN
22 
 Khi h/a tăng (tấm dày lên), mode vồng của tấm không đổi, tải trọng tới hạn không thứ nguyên 
thN
tăng với cả 2 trường hợp tải trọng nén và tất cả các dạng điều kiện biên; 
 Khi b/a tăng (tăng kích thước theo phương y của tấm chữ nhật), dạng mất ổn định có s tha đổi, 
tải trọng tới hạn không thứ nguyên 
thN biến thiên với quy luật phức tạp với cả 2 trường hợp tải 
trọng nén và phụ thuộc tr c tiếp vào điều kiện biên; 
 Điều kiện biên có ảnh hưởng tr c tiếp đến dạng mất ổn định; về giá trị của tải trọng 
thN , điều 
kiện biên SCSC có kết quả tải trọng 
thN
lớn nhất, tiếp theo đến các điều kiện biên SSSC, SSSS và 
SFSC. 
4.4. Ph n tích dao động iêng 
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM với các vật liệu thành phần Al/Al2O3-1. Các dạng điều kiện 
biên được tính toán khảo sát bao gồm: điều kiện biên SSSS sử dụng lời giải giải tích và 4 dạng điều kiện biên 
khác nhau: SCSC, SSSC, SSSS, SFSC sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn. 
Để thuận tiện, các kết quả khảo sát tần số dao động riêng cơ bản được thể hiện dưới dạng không thứ 
ngu ên dưới đ [15]: 
.ccb
c
a
E
  (4.3) 
4.4.1. Khảo sát ảnh hưởng chỉ số tỷ lệ thể tích p cho một số điều kiện biên 
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM với a = 1m, h/a = 0.1, b/a = 2. 
Hình 4.10a. Biến thiên tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  của tấm chữ nhật FGM 
với các điều kiện biên và chỉ số tỷ lệ thể tích p khác nhau 
Hình 4.10b. Một số mode dao động đầu tiên của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên khác nhau 
Biến thiên tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  theo chỉ số tỷ lệ thể tích p biểu diễn 
qua đồ thị trên Hình 4.10a. Quan sát đồ thị này ta thấy, khi p tăng: 
 Tần số  của tấm giảm với cả 4 dạng điều kiện biên, giảm nhanh trong khoảng p = 0 ÷ 2, sau đó 
tốc độ giảm chậm dần và tha đổi rất ít khi p đủ lớn (gần giá trị p = 10), 
 Điều kiện biên SFSC có tần số  gần như không đổi khi p ≥ 3; 

SCSC,Mode 3SCSC,Mode 1 SCSC,Mode 2
SFSC,Mode 2 SFSC,Mode 3SFSC,Mode 1
23 
 Điều kiện biên SCSC có tần số  lớn nhất, sau đó lần lượt đến các điều kiện biên SSSC, SSSS và 
SFSC. 
Hình 4.10b minh họa hình ảnh của ba mode dao động đầu tiên tương ứng với các dạng điều kiện 
biên khác nhau: SCSC, SSSC, SSSS, SFSC khi p = 2. Quan sát các kết quả trên Hình 4.10b ta thấy: Với cả 4 
dạng điều kiện biên được khảo sát, mode dao động cơ bản (mode 1) đều ứng với trường hợp m = 1, n = 1. 
Tần số dao động tương ứng với mode dao động cơ bản có giá trị nhỏ nhất và là đặc trưng dao động quan 
trọng trong các ph n tích động. Vì vậ , trong các ph n tích dao động riêng, luận án sẽ tập trung xác định đặc 
trưng nà ; các mode dao động tiếp theo (mode 2, mode 3) có hình dạng phụ thuộc rất nhiều bởi điều kiện 
biên. 
4.4.2. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước tấm h/a cho một số điều kiện biên 
Xét tấm vuông bằng vật liệu P-FGM với p = 3, a = b = 1m. 
Tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  của tấm với các giá trị khác nhau của tỷ số kích 
thước tấm h/a được tính toán và thể hiện trên Bảng 4.8. 
Hình 4.11. Biến thiên tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  của tấm vuông FGM với các điều 
kiện biên và tỷ số h/a khác nhau 
Biến thiên tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  theo tỷ số h/a thể hiện qua đồ thị trên 
Hình 4.11. Quan sát đồ thị này ta thấy, khi h/a tăng: Tần số  của tấm tăng với cả 4 dạng điều kiện biên; 3 
dạng điều kiện biên SCSC, SSSC và SSSS tăng khá đồng đều và nhanh, điều kiện biên SFSC tỏ ra tăng chậm 
hơn; điều kiện biên SCSC có tần số  lớn nhất, sau đó đến điều kiện biên SSSC, tiếp đến là điều kiện biên 
SSSS, cuối cùng là điều kiện biên SFSC. 
4.4.3. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước cạnh b/a cho một số điều kiện biên 
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM với p = 3, a = 1m, h/a = 0.1. 
Biến thiên tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  theo tỷ số b/a = 0.5 ÷ 3 được biểu diễn 
qua đồ thị trên Hình 4.11. Quan sát đồ thị này ta thấy, khi b/a tăng: Tần số  của tấm giảm với cả 4 dạng điều 
kiện biên, giảm nhanh trong khoảng b/a = 0.5 ÷ 1.5, sau đó tốc độ giảm chậm dần; điều kiện biên SCSC có tần 
số  lớn nhất, sau đó lần lượt đến các điều kiện biên SSSC, SSSS và SFSC. 
Hình 4.12. Biến thiên tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  của tấm chữ nhật FGM 
với các điều kiện biên và tỷ số b/a khác nhau 
4.4.4. Nhận xét chung 
 Khi p hoặc b/a tăng, tần số dao động riêng cơ bản không thứ ngu ên  giảm; 
 Khi h/a tăng, tần số dao động riêng cơ bản không thứ ngu ên  tăng; 
 Qu luật biến thiên của tần số  theo các điều kiện biên không có s tha đổi, trật t của chúng luôn 
là: điều kiện biên SCSC có kết quả tần số  lớn nhất, tiếp theo đến các điều kiện biên SSSC, SSSS 
và SFSC. 


24 
4.5. Kết luận chƣơng 4 
Trên cơ sở chương trình tính trên nền Matlab t viết, d a trên lý thu ết HSDT-8, các ví dụ số đã được 
th c hiện nhằm: 
 Khảo sát s biến thiên của độ võng và các thành phần ứng suất theo phương chiều dà tấm. 
 Đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, hình học và điều kiện biên đến độ võng, các thành 
phần ứng suất cho tấm chữ nhật FGM chịu tải trọng uốn ph n bố đều; 
 Đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, hình học và điều kiện biên đến tải trọng tới hạn cho 
tấm chữ nhật FGM chịu nén đều trên chu tu ến của mặt trung bình trong 2 trường hợp: theo 1 
phương và theo 2 phương; 
 Đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, hình học và điều kiện biên đến tần số dao động riêng 
cơ bản của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM. 
Các khảo sát số cho thấ nghiệm giải tích và PTHH theo lý thu ết HSDT-8 mà luận án x d ng cho 
tấm dà FGM liên kết khớp trên chu vi hầu như trùng khớp nhau (sai số nhỏ không đáng kể). Các kết quả 
nà có thể dùng làm tài liệu tham khảo hữu ích trong tính toán thiết kế kết cấu tấm FGM. 
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
Những đóng góp mới của luận án 
1) Đề xuất lý thu ết biến dạng cắt bậc cao mới với tám ẩn số chu ển vị cho tấm dà FGM, thỏa mãn 
điều kiện ứng suất cắt ngang tại mặt trên và dưới của tấm bằng không, đồng thời có kể đến biến dạng pháp 
tu ến theo phương chiều dà tấm. Thiết lập các hệ thức và các phương trình chủ đạo của tấm FGM theo lý 
thu ết biến dạng cắt bậc cao đề xuất, làm cơ sở để giải các bài toán ph n tích tu ến tính tĩnh, ổn định và dao 
động riêng. 
2) Thiết lập lời giải giải tích với dạng nghiệm Navier d a trên lý thu ết biến dạng cắt bậc cao đề 
xuất cho tấm chữ nhật FGM điều kiện biên khớp trên chu vi để ph n tích tu ến tính các bài toán: tĩnh, ổn 
định và dao động riêng. 
3) d ng mô hình và thuật toán phần tử hữu hạn theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao đề xuất để 
phân tích tu ến tính các bài toán: tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm FGM. 
4) Khảo sát ảnh hưởng của các tham số như vật liệu, kích thước hình học, điều kiện biên đến: độ 
võng, các thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng cơ bản của tấm chữ nhật bằng vật 
liệu FGM. Từ đó rút ra một số kết luận có ý nghĩa khoa học giúp ích cho người thiết kế l a chọn các thông 
số kết cấu phù hợp với th c tế. 
Các kết quả chính của luận án là những kết quả mới và đã công bố được 3 bài báo trên tạp chí quốc 
tế trong đó có 02 bài thuộc danh mục ISI, 01 bài thuộc danh mục Scopus; 06 bài báo còn lại công bố trên các 
tạp chí, kỷ ếu Hội nghị khoa học chu ên ngành u tín trong nước. 
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 
1) Nghiên cứu phi tu ến các bài toán ph n tích tĩnh, ổn định và dao động cho tấm FGM d a trên lý 
thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị. 
2) Nghiên cứu tấm FGM có g n gia cường chịu tải cơ, tải nhiệt hoặc cơ - nhiệt kết hợp d a trên lý 
thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị. 
3) Ph n tích các bài toán tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm FGM hình dạng hình học phức tạp 
với các điều kiện biên khác nhau, làm việc trong môi trường có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ.