Xác định tính chất đàn hồi có hiệu của composite gia cường cốt sợi hình trụ phân bố tuần hoàn theo một phương

Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 615-625 
615 
Transport and Communications Science Journal 
EFFECTIVE ELASTIC PROPERTIES OF FIBER REINFORCED 
COMPOSITE WITH UNIDIRECTIONAL CYLINDRICAL FIBERS 
PERIODICALLY DISTRIBUTED 
Hai Nguyen Dinh1,3,*, Tuan Tran Anh2,3 
1Section of Building Materials, University of Transport and Communications, No 3 Cau Giay 
Street, Hanoi, Vietnam. 
2Section of Bridge and Tunnel Engineering Departement, University of Transport and 
Communications, No 3 Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam. 
3Research and application center for technology in civil engineering (RACE) - University of 
Transport and Communications, No 3 Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam. 
ARTICLE INFO 
TYPE: Research Article 
Received: 26/2/2020 
Revised: 19/5/2020 
Accepted: 21/5/2020 
Published online: 28/6/2020 
https://doi.org/10.25073/tcsj.71.5.13 
* Corresponding author 
Email: nguyendinhhai.1986@utc.edu.vn 
Abstract. The purpose of this work is to determine the effective elastic properties of fiber 
reinforced composite with unidirectional cylindrical fibers periodically distributed 
accounting the perfection of the interfaces between fibers and matrix in case of squared fiber 
distribution. The local solution of the periodic elasticity problem is found in Fourier space by 
using the Green operators and closed form expressions of factor depending on the fiber 
volume fraction – method based on the fast Fourier transform (FFT) of the solution. The 
numerical results obtained by FFT method are finally compared with an analytical solution 
derived from the generalized self – consistent approximations and Voigt – Reuss bounds. 
Keywords: Fast Fourier transform, fiber reinforced composite, effective elastic properties, 
periodic distribution. 
© 2020 University of Transport and Communications 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 615-625 
616 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải 
XÁC ĐỊNH TÍNH CHẤT ĐÀN HỒI CÓ HIỆU CỦA COMPOSITE 
GIA CƯỜNG CỐT SỢI HÌNH TRỤ PHÂN BỐ TUẦN HOÀN THEO 
MỘT PHƯƠNG 
Nguyễn Đình Hải1,3,*, Trần Anh Tuấn2,3 
1Bộ môn Vật liệu xây dựng, Trường Đại học Giao thông vận tải, Số 3 Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam. 
2Bộ môn Cầu hầm, Trường Đại học Giao thông vận tải, Số 3 Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam. 
3Trung tâm nghiên cứu và ứng dụng công nghệ trong xây dựng (RACE), Trường Đại học Giao 
thông Vận tải, Số 3 Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam. 
THÔNG TIN BÀI BÁO 
CHUYÊN MỤC: Công trình khoa học 
Ngày nhận bài: 26/2/2020 
Ngày nhận bài sửa: 19/5/2020 
Ngày chấp nhận đăng: 21/5/2020 
Ngày xuất bản Online: 28/6/2020 
https://doi.org/10.25073/tcsj.71.5.13 
* Tác giả liên hệ 
Email: nguyendinhhai.1986@utc.edu.vn 
Tóm tắt. Nghiên cứu này được thực hiện nhằm xác định tính chất đàn hồi có hiệu của vật 
liệu tổng hợp có chứa cốt sợi được phân bố tuần hoàn vuông và chạy dọc theo một phương 
trong trường hợp liên kết giữa cốt sợi và pha nền là hoàn hảo. Nghiệm ứng suất, biến dạng 
cục bộ của bài toán đàn hồi tuần hoàn sẽ được xác định trong không gian Fourier thông qua 
việc sử dụng các toán tử Green và các biểu thức chính xác của yếu tố phụ thuộc vào tỷ lệ thể 
tích của cốt sợi – đây chính là phương pháp dựa trên biến đổi nhanh Fourier (FFT). Các kết 
quả số nhận được bằng phương pháp FFT sẽ được so sánh với các nghiệm giải tích tính theo 
phương pháp Tự tương hợp tổng quát và các biên Voigt – Reus. 
Từ khóa: Biến đổi nhanh Fourier, Composite gia cường cốt sợi, tính chất đàn hồi có hiệu, 
phân bố tuần hoàn. 
© 2020 Trường Đại học Giao thông vận tải 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Ngày nay vật liệu composite gia cường cốt sợi (Fiber reinforced composite - FRC) được 
nghiên cứu và áp dụng ngày càng phổ biến rộng rãi trong tất cả các lĩnh vực của đời sống nhờ 
các ưu điểm mà nó mang lại. Do vậy việc nghiên cứu tính chất vĩ mô (tính chất có hiệu) của 
composite được nhiều nhà khoa học quan tâm và đã cho ra đời nhiều mô hình xấp xỉ khác nhau 
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 615-625 
617 
[1 - 5] dựa trên nghiệm của bài toán Eshelby [6] hoặc phương pháp số [5] dựa trên phần tử hữu 
hạn để dự báo ứng xử tổng thể của vật liệu composite nhằm mục đích tối ưu hoá trong việc chế 
tạo vật liệu mới. Các mô hình xấp xỉ kể trên thu được chủ yếu thông qua các biến đổi giải tích 
toán học dựa trên các thông số đầu vào của vật liệu như hình dạng, phân bố, mật độ và liên kết 
giữa các pha trong vật liệu. Đối với các vật liệu FRC với cấu trúc phân bố tuần hoàn cấu thành 
từ các phần tử giống hệt nhau (các nhân tuần hoàn) chứa đầy đủ các thông tin cơ lý và hình học 
của các pha thành phần, thì thay vì phải nghiên cứu cả cấu trúc với khối lượng tính toán lớn thì 
ta chỉ cần nghiên cứu một nhân tuần toàn qua đó giảm được khối lượng tính toán. Trong trường 
hợp này mỗi nhân tuần hoàn được coi là một phần tử đại diện đặc trưng – REV. 
Để nghiên cứu ứng xử của vật liệu có cấu trúc tuần hoàn thì ngoài các phương pháp giải 
tích xấp xỉ kể trên và phương pháp phần tử hữu hạn với khối lượng tính toán lớn, phức tạp thì 
chúng ta có thể áp dụng phương pháp số dựa trên biến đổi nhanh Fourier (FFT) được đề xuất 
bởi [7] và sau đó đã được phát triển phổ biến [5, 8 - 10] với các ưu điểm như: giải quyết bài 
toán trên một nhân tuần hoàn thay vì trên toàn miền vật liệu, thực hiện các tính toán số ít phức 
tạp, độ chính xác cao. 
Trong nghiên cứu này, phương pháp FFT sẽ được áp dụng để xác định tính chất đàn hồi có 
hiệu của FRC hai pha với pha sợi được xếp song song và tuần hoàn theo phương vuông góc với 
sợi. Bài báo này được bố cục thành 5 phần: phần 2 sẽ giới thiệu các phương trình cơ bản của 
bài toán, phương pháp biến đổi nhanh Fourier được trình bày ở phần 3, trong phần 4 sẽ đưa ra 
các ví dụ số áp dụng phương pháp FFT đồng thời so sánh các kết quả thu được với mô hình 
Christensen and Lo [5, 11] và các biên Voigt-Reuss [11, 12], kết luận và kiến nghị của nghiên 
cứu sẽ được trình bày trong phần 5. 
2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN 
Vật liệu composite gia cường cốt sợi (FRC) được xem xét ở nghiên cứu này bao gồm một 
pha nền được gia cường bằng các sợi phân bố dọc theo một phương và sắp xếp một cách tuần 
hoàn (Hình 1.). Gọi  là một phần tử thể tích đại diện (Representative elementary volume - 
RVE) bao gồm một pha nền (2) trong đó pha sợi (1) được phân bố tuần hoàn. Các vật liệu 
cấu thành nên FRC đều được giả sử là đàn hồi tuyến tính và đồng nhất. Trong hệ tọa độ Descarte 
(x1, x2, x3) liên kết với một cơ sở trực giao (e1, e2, e3) với vec tơ đơn vị e3 là hướng của các sợi, 
ứng xử đàn hồi của pha nền và sợi tuân theo định luật Hook: 
𝛔(i)(𝐱) = 𝕃(i)(𝐱): 𝛆(i)(𝐱) (1) 
trong đó 𝛔(i)(𝐱), 𝛆(i)(𝐱) với i = 1, 2 lần lượt là ten xơ ứng suất và biến dạng trong vật liệu i tại 
toạ độ x và được xác định thông qua vec tơ chuyển vị 𝐮(i)(𝐱) theo công thức sau: 
𝛆(i)(𝐱) =
1
2
[∇𝐮(i)(𝐱) + ∇𝑇𝐮(i)(𝐱)] (2) 
Ten xơ đàn hồi cục bộ được biểu diễn dưới dạng 
𝕃(𝐱) = ∑𝜒(𝑖)(𝐱)𝕃(1)
𝑁
𝑖=1
+ [1 − ∑𝜒(𝑖)(𝐱)
𝑁
𝑖=1
] 𝕃(2) (3) 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 615-625 
618 
trong đó 𝕃(𝛼) với 𝛼 = 1, 2 là ten xơ đàn hồi bậc bốn của pha nền và pha cốt. Ten xơ này được 
viết theo qui ước Kelvin dưới dạng ma trận 6X6 như sau [11, 12] 
𝕃 =
[
 𝐿1111 𝐿1122 𝐿1133
𝐿2211 𝐿2222 𝐿2233
𝐿3311 𝐿3322 𝐿3333
√2𝐿3323 √2𝐿3313 √2𝐿3312
√2𝐿2223 √2𝐿2213 √2𝐿2212
√2𝐿3323 √2𝐿3313 √2𝐿3312
√2𝐿2311 √2𝐿2322 √2𝐿2333
√2𝐿1311 √2𝐿1311 √2𝐿1333
√2𝐿1211 √2𝐿1222 √2𝐿1233
2𝐿2323 2𝐿2313 2𝐿2312
2𝐿1323 2𝐿1313 2𝐿1312
2𝐿1223 2𝐿1213 2𝐿1212 ]
trong trường hợp đơn giản khi vật liệu là đàn hồi và đẳng hướng thì 
𝕃 =
[
(1 − 𝜐)𝐸
(1 − 2𝜐)(1 + 𝜐)
𝜐𝐸
(1 − 2𝜐)(1 + 𝜐)
𝜐𝐸
(1 − 2𝜐)(1 + 𝜐)
𝜐𝐸
(1 − 2𝜐)(1 + 𝜐)
(1 − 𝜐)𝐸
(1 − 2𝜐)(1 + 𝜐)
𝜐𝐸
(1 − 2𝜐)(1 + 𝜐)
𝜐𝐸
(1 − 2𝜐)(1 + 𝜐)
𝜐𝐸
(1 − 2𝜐)(1 + 𝜐)
(1 − 𝜐)𝐸
(1 − 2𝜐)(1 + 𝜐)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
𝐸
(1 + 𝜐)
0 0
0
𝐸
(1 + 𝜐)
0
0 0
𝐸
(1 + 𝜐)]
với E, 𝜐 lần lượt là mô đun đàn hồi và hệ số poisson của vật liệu. 𝜒(𝑖)(𝐱) là hàm đặc trưng của 
pha cốt sợi (1≤ 𝑖 ≤N cho trường hợp tổng quát ở đây i = 1) đặc trưng bởi miền (i) , hàm này 
có đặc điểm sau: 
 𝜒(𝑖)(𝐱) = {1 𝑛ế𝑢 𝐱 ∈ 
(𝑖) 
0 𝑛ế𝑢 𝑥 ∉ (𝑖)
 (4) 
Ten xơ ứng suất 𝛔(𝐱) phải thoả mãn phương trình cân bằng: 
∇ ∙ 𝛔(𝐱) = 0 (5) 
Ở cấp độ vĩ mô, vật liệu FRC được coi là đồng nhất. Ứng xử đàn hồi có hiệu của nó được viết 
như sau: 
𝚺 = 𝕃𝑒𝑓𝑓: 𝐄 (6) 
Ở đây 𝕃𝑒𝑓𝑓 là ten xơ đàn hồi có hiệu của FRC, 𝚺 và E lần lượt là ten xơ ứng suất và biến dạng 
vĩ mô của vật liệu tổng hợp được định nghĩa như sau 
𝚺 =
1
2|Ω|
∫ (𝛔𝐧)⨂𝑠𝐱𝑑𝐱,
𝜕Ω
 𝐄 =
1
2|Ω|
∫ 𝐮⨂𝑠𝐱𝑑𝐱 
𝜕Ω
 (7) 
Trong đó n là vec tơ pháp tuyến đơn vị của mặt biên 𝜕Ω, |Ω| là thể tích của vật liệu FRC và 
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 615-625 
619 
phép ⨂𝑠 là tích ten xơ đối xứng của hai vec tơ a và b như sau 𝐚⨂𝑠𝐛 =
𝟏
𝟐
(𝐚⨂𝐛 + 𝐛⨂𝐚). 
Hình 1. Vật liệu FRC và một nhân tuần hoàn. 
3. XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÀN HỒI CÓ HIỆU BẰNG PHƯƠNG PHÁP FFT 
Áp một chuyển vị đồng nhất lên mặt giới hạn 𝜕 của vật liệu : 
𝐮(𝐱) = 𝐄𝟎𝐱, 𝐱 ∈ 𝛛 (8) 
Trong đó 𝐄𝟎 là ten xơ biến dạng không đổi đặt tại biên. Quan sát điều kiện biên phương trình 
(8) và phương trình biến dạng vĩ mô (7) có thể thấy rằng ten xơ biến dạng vĩ mô E = E0. Do 
vật liệu FRC nghiên cứu ở đây có tính tuần hoàn trong mặt cắt vuông góc với các sợi nên ta 
chỉ cần nghiên cứu một nhân tuần hoàn 𝒰 thay vì nghiên cứu toàn bộ vật liệu , nhân tuần 
hoàn 𝒰 được định nghĩa như sau: 
𝒰 = {𝐱 ∈ |−𝜆𝛼 ≤ 𝑥𝛼 ≤𝜆𝛼, −
ℎ
2
≤ 𝑥3 ≤
ℎ
2
} (9) 
với 𝛼 = 1,2; 2𝜆1và 2𝜆2 là kích thước của nhân tuần hoàn trong mặt phẳng vuông góc với 
phương dọc trục sợi và h là chiều dài sợi, chiều này này phải đủ lớn so với 𝜆𝛼. Khi vật liệu có 
phân bố vuông ta chọn 2𝜆1 = 2𝜆2 = 1, bán kính sợi sẽ thay đổi từ 0 đến giá trị 𝜆1 ứng với tỷ 
lệ phần trăm thể tích sợi khác nhau. 
Ở đây ta đưa ra khái nhiệm “môi trường đối chứng” với ten xơ đàn hồi 𝕃(0), đồng thời đặt 
∆𝕃 = 𝕃 − 𝕃(0), phương trình (5) viết lại như sau: 
∇ ∙ [(∆𝕃 + 𝕃(0)): 𝛆] = 0 (10) 
Ten xơ biến dạng 𝛆(𝐱) có thể được tách thành hai phần như sau 
𝛆(𝐱) = 𝐄𝟎 + 𝛆∗(𝐱) (11) 
trong đó 𝛆∗(𝐱) là trường ten xơ biến dạng nhiễu tuần hoàn, vec tơ chuyển vị liên hệ với trường 
ten xơ biến dạng nhiễu tuần hoàn được ký hiệu là 𝐮∗(𝐱) theo phương trình (2). Thay phương 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 615-625 
620 
trình (11) vào (10) ta được: 
∇ ∙ [𝕃(0): (𝐄𝟎 + 𝛆∗(𝐱))] + ∇ ∙ 𝝉 = ∇ ∙ [𝕃(0): (∇𝐮∗(𝐱))] + ∇ ∙ 𝝉 (12) 
với 
𝝉(𝐱) = ∆𝕃: [𝐄𝟎 + 𝛆∗(𝐱)] = [𝕃 − 𝕃(0)]: 𝛆(𝐱) 
 = [𝕃(2) − 𝕃(0)]: 𝛆(𝐱) + ∑[𝕃(i) − 𝕃(2)]𝜒(𝑖): 𝛆(𝐱) (13)
𝑁
𝑖=1
là trường ten xơ phân cực. Áp dụng biến đổi nhanh Fourier (FFT), các trường chuyển vị 𝐮, 
biến dạng 𝛆 và ten xơ phân cực 𝝉 được viết lại dưới dạng như sau 
𝐮∗(𝐱) = ∑�̂�∗(𝝃)𝑒𝑖𝝃∙𝐱
𝑁𝑘
𝝃
, 𝝉(𝐱) = ∑�̂�(𝝃)𝑒𝑖𝝃∙𝐱
𝑁𝑘
𝝃
, 𝛆(𝐱) = ∑�̂�(𝝃)𝑒𝑖𝝃∙𝐱
𝑁𝑘
𝝃
 (14) 
trong phương trình (14) 𝑖 = √−1 là số ảo, và các vec tơ �̂�∗(𝝃), ten xơ �̂�(𝝃), �̂�(𝝃) lần lượt là các 
biến đổi Fourier rời rạc của 𝐮∗(𝐱), 𝝉(𝐱), 𝛆(𝐱); 𝝃=(𝜉1, 𝜉2, 0) = (
𝑛1𝜋
𝜆1
,
𝑛2𝜋
𝜆2
 ,0) với n1 và n2 = -Nk+1, 
- Nk+2, ,0,1, , Nk là một vec tơ sóng rời rạc 2D, tổng của nó chính là tất cả các vec tơ sóng 
rời rạc và bằng 2NkX2Nk. Đưa biểu thức (14) vào phương trình (12) ta có 
−∑𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(0) 𝜉𝑙
𝜉
𝜉𝑞�̂�𝑘
∗(𝝃)𝑒𝑖𝝃∙𝐱 + ∑�̂�𝑝𝑞
𝜉
(𝝃)𝜉𝑞𝑒
𝑖𝝃∙𝐱 = 0 (15) 
Tương tự, trường ứng suất phân cực được viết trong không gian Fourier như sau: 
𝜏𝑝𝑞 = ∑(𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(2)
− 𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(0)
)
𝜉
ε̂𝒌𝒍(𝝃)𝑒
𝑖𝝃∙𝐱 + ∑∑(𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(𝑖) − 𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(2) )
𝜉
𝑁
𝑖=1
𝜒(𝑖)𝑒𝑖𝝃
′∙𝐱ε̂𝑘𝑙(𝝃
′) (16) 
Ở đây, vec tơ sóng rời rạc 𝝃′ được định nghĩa bởi 𝝃′=(𝜉1
′ , 𝜉2
′ , 0) = (
𝑛1
′ 𝜋
𝜆1
,
𝑛2
′ 𝜋
𝜆2
 ,0) với 𝑛1
′ và 𝑛2
′ 
= -Nk+1, - Nk+2, ,0,1, , Nk và biến đổi Fourier của hàm đặc trưng 𝜒(𝑖)𝑒𝑖𝝃
′∙𝐱 được biểu diễn 
như sau: 
𝜒(𝑖)𝑒𝑖𝝃
′∙𝐱 = ∑Ϝ[𝜒(𝑖)𝑒𝑖𝝃
′∙𝐱]
𝜉
𝑒𝑖𝝃∙𝐱 = ∑�̂�(𝑖)(𝝃 − 𝝃′)𝑒𝑖𝝃∙𝐱
𝜉
 (17) 
với 
Ϝ[𝜒(𝑖)𝑒𝑖𝝃
′∙𝐱] = 
1
|𝒰|
∫ 𝑒−𝑖(𝝃−𝝃
′)∙𝐱𝑑𝐱 = �̂�(𝑖)(𝝃 − 𝝃′)
𝑈(𝑖)
 (18) 
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 615-625 
621 
thay phương trình (17) vào (16) ta nhận được biểu thức của trường ứng suất phân cực 
 �̂�𝒑𝒒(𝝃) = (𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(2)
− 𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(0)
)ε̂𝒌𝒍(𝝃) + ∑(𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(𝑖) − 𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(2) )[�̂�(𝑖) ∗ ε̂𝒌𝒍(𝝃)] (19)
𝑵
𝒊=𝟏
với ký hiệu * là tích “convolution” [7, 10] trong không gian Fourier. Biến đổi Fourier 
�̂�(𝑖)(𝝃 − 𝝃′) của 𝜒(𝑖)(𝐱) được gọi là hệ số hình dạng và kích thước của pha hạt được tính như 
sau 
�̂�(𝑖)(𝝃 − 𝝃′) =
𝑒−𝑖(𝝃−𝝃
′)∙𝐱(𝑖)
|𝑈|
∫ 𝑒−𝑖(𝝃−𝝃
′)∙�̃�
Ω(𝑖)
𝑑�̃� (20) 
cũng lưu ý rằng hệ số này phụ thuộc cả vào kích thước và hình dạng của pha cốt [7]. 
Từ phương trình (15) và (19) ta có thể xác định phần nhiễu của vec tơ chuyển vị trong không 
gian Fourier như sau: 
�̂�𝑘
∗ = [𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(0) 𝜉𝑞𝜉𝑙]
−1
 �̂�𝒑𝒒𝒊𝜉𝑝 (21) 
Áp dụng biến đổi nhanh Fourier và kết hợp với phương trình (2) cho vec tơ chuyển vị nhiễu 
ta có 
𝜀�̂�𝑡
∗ =
1
2
[�̂�𝑘
∗ 𝑖𝜉𝑡 + �̂�𝑡
∗𝑖𝜉𝑘] (22) 
Thay (21) vào (22) ta được 
𝜀�̂�𝑡
∗ = −
1
2
([𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(0) 𝜉𝑞𝜉𝑙]
−1
𝜉𝑞𝜉𝑡 + [𝐿𝑡𝑞𝑙𝑝
(0) 𝜉𝑞𝜉𝑙]
−1
𝜉𝑞𝜉𝑘) �̂�𝒑𝒒 (23) 
Kết hợp phương trình (19) và (23) đồng thời xét đến tính chất �̂�(𝝃) = �̂�𝟎(𝝃) + �̂�∗(𝝃) với 
�̂�𝟎(𝝃) = {
𝐄𝟎 nếu 𝝃 = 𝟎
𝟎 nếu 𝝃 ≠ 𝟎
 dẫn tới 
Ê𝑘𝑡
0 = 𝜀�̂�𝑡 + Γ̂𝑘𝑡𝑝𝑞 {(𝐿𝑝𝑞𝑣𝑙
(2)
− 𝐿𝑝𝑞𝑣𝑙
(0)
)𝜀�̂�𝑙 + ∑(𝐿𝑝𝑞𝑣𝑙
(𝑖)
− 𝐿𝑝𝑞𝑣𝑙
(2)
)�̂�(𝑖) ∗ ε̂𝒗𝒍
𝑁
𝑖=1
} (24) 
phương trình (24) viết lại dưới dạng ten xơ 
�̂�𝟎 = �̂� + �̂� {(𝕃(2) − 𝕃(0)): �̂� + [𝕃(1) − 𝕃(0)]∑�̂�(𝑖) ∗ �̂�
𝑁
𝑖=1
} (25) 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 615-625 
622 
Trong đó Γ̂𝑘𝑡𝑝𝑞(𝝃) ten xơ toán tử Green trong không gian Fourier được biểu diễn như sau: 
Γ̂𝑘𝑡𝑝𝑞 =
1
4
{[𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙
(0) 𝜉𝑞𝜉𝑙]
−1
𝜉𝑞𝜉𝑡 + [𝐿𝑡𝑞𝑙𝑝
(0) 𝜉𝑞𝜉𝑙]
−1
𝜉𝑞𝜉𝑘 + [𝐿𝑝𝑘𝑞𝑙
(0) 𝜉𝑝𝜉𝑙]
−1
𝜉𝑝𝜉𝑡 
+ [𝐿𝑡𝑝𝑙𝑞
(0) 𝜉𝑝𝜉𝑙]
−1
𝜉𝑝𝜉𝑘} (26) 
hay dưới dạng ten xơ như sau: �̂� =
𝝃⨂𝝃
𝝃.𝕃(0).𝝃
Trong không gian Fourier ten xơ ứng suất được tính thông qua ten xơ biến dạng như sau 
�̂�(𝝃) = 𝕃(2)�̂�(𝝃) + (𝕃(1) − 𝕃(2))∑[�̂�(𝑖) ∗ �̂�](𝝃) 
𝑁
𝑖=1
 (27) 
 Để xác định trường nghiệm vec tơ chuyển vị u, ta sẽ giải phương trình (25) trong không 
gian Fourier theo thuật toán số sau: 
• Vòng lặp thứ 1: 
𝛆1(𝑦1, 𝑦2) = 𝐄, (28) 
𝛔1(𝑦1, 𝑦2) = 𝕃(𝑦1, 𝑦2)𝛆
1(𝑦1, 𝑦2), (29) 
• Vòng lặp i > 1: 
Giả sử rằng các giá trị 𝛆𝑖(𝑦1, 𝑦2), 𝛔
𝑖(𝑦1, 𝑦2) là đã biết, 
�̂�𝒊(𝜉1, 𝜉2) = 𝐹(𝛔
𝑖(𝑦1, 𝑦2) ), (30) 
Kiểm tra độ hội tụ 
- Vòng lặp sẽ dừng lại khi 
‖�̂�𝒊(𝜉1, 𝜉2) − �̂�
𝒊−𝟏(𝜉1, 𝜉2)‖
‖�̂�𝒊(𝜉1, 𝜉2)‖
< 𝛿 (31) 
- Với 
�̂�𝒊+𝟏(𝜉1, 𝜉2) = �̂�
𝒊(𝜉1, 𝜉2) − �̂�
𝟎(𝜉1, 𝜉2)�̂�
𝒊+𝟏(𝜉1, 𝜉2), (32) 
�̂�𝒊+𝟏(𝑦1, 𝑦2) = 𝑭
−𝟏 (�̂�𝒊+𝟏(𝜉1, 𝜉2)), (33) 
𝛔𝑖+1(𝑦1, 𝑦2) = 𝕃(𝑦1, 𝑦2)𝛆
𝑖+1(𝑦1, 𝑦2). (34) 
4. VÍ DỤ SỐ 
Để biểu diễn các kết quả số nhận được từ phương pháp biến đổi nhanh Fourier, ở đây ta 
chọn vật liệu FRC được cấu thành từ pha nền và pha cốt đều là đàn hồi, đẳng hướng với mô 
đun đàn hồi lần lượt là EM = 3.45Gpa, EF = 73.1Gpa. Hệ số Poisson của hai pha này lần lượt 
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 615-625 
623 
nhận giá trị M = 0.35 và F = 0.22. Tỷ lệ thể tích của cốt sợi so với pha nền biến đổi từ 0 đến 
70%, khi cạnh của nhân tuần hoàn là 1 thì tương ứng với nó bán kính sợi thay đổi từ 0 cho đến 
0.4721. Độ hội tụ của tính toán sẽ đạt được khi 𝛿 = 0.0001. Số bước sóng trong mặt phẳng 
vuông góc với x3 theo mỗi phương là 2Nk với Nk = 32 trong tính toán này. 
Các kết quả thu được bằng phương pháp biến đổi nhanh Fourier sẽ được so với với các 
biên Voigt – Reuss và phương pháp giải tích được phát triển bởi Christensen and Lo [5, 11] ở 
các biểu đồ từ hình 2 đến hình 5. 
Hình 2. Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích pha sợi và thành phần 𝐿1111
𝑒𝑓𝑓
 của ten xơ đàn hồi có hiệu của FRC. 
Hình 3. Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích pha sợi và thành phần 𝐿1212
𝑒𝑓𝑓
 của ten xơ đàn hồi có hiệu của FRC. 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 615-625 
624 
Hình 4. Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích pha sợi và thành phần 𝐿2323
𝑒𝑓𝑓
 của ten xơ đàn hồi có hiệu của FRC. 
Hình 5. Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích pha sợi và thành phần 𝐿3333
𝑒𝑓𝑓
 của ten xơ đàn hồi có hiệu của FRC. 
Quan sát kết quả số các thành phần của ten xơ hệ số đàn hồi có hiệu của vật liệu FRC 
nhận được bằng các phương pháp khác nhau ta thấy các kết quả đưa ra bởi phương pháp FFT 
và phương pháp Christensen and Lo rất gần nhau đối với các thành phần 
𝐿1111
𝑒𝑓𝑓 , 𝐿2222
𝑒𝑓𝑓 , 𝐿1212
𝑒𝑓𝑓 , 𝐿2323
𝑒𝑓𝑓 𝑣à 𝐿1313
𝑒𝑓𝑓
 ở mọi giá trị tỷ lệ thể tích của cốt sợi, với thành phần 𝐿3333
𝑒𝑓𝑓
kết quả thu được bằng phương pháp số FFT và Christensen and Lo tiến gần nhau khi tỷ lệ thể 
tích pha sợi nhỏ. Tuy nhiên kết quả thu được bằng phương pháp số FFT và phương pháp 
Christensen and Lo đều nằm trong phạm vi của giới hạn Voigt – Reuss chứng tỏ tính đúng của 
cả hai phương pháp tính. 
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 615-625 
625 
5. KẾT LUẬN 
Nghiên cứu này đã trình bày phương pháp biến đổi nhanh Fourier để xác định tính chất có 
hiệu của vật liệu FRC có cấu trúc tuần hoàn. Phương pháp này cho phép giảm khối lượng tính 
toán khi chỉ cần thực hiện các tính toán trên một nhân tuần hoàn thay vì toàn thể cấu trúc vật 
liệu, các kết quả của phương pháp FFT đã được so sánh với các biên Voigt – Reuss và phương 
pháp giải tích đưa ra bởi Christensen and Lo cho thấy tính đúng của phương pháp. Các tính 
toán trong nghiên cứu này này cũng có thể được áp dụng đối các tính chất khác của vật liệu như 
tính dẫn điện, dẫn nhiệt, áp điện khi vật liệu đó có cấu trúc tuần hoàn. 
Dựa trên nền tảng là phương pháp biến đổi nhanh Fourier đã được trình bày trong báo cáo, 
nghiên cứu này hoàn toàn có thể được tiếp tục phát triển để giải quyết bài toán vật liệu với cấu 
trúc có phân bố ngẫu nhiên với việc giải quyết thêm hai bài toán phụ trợ là thuật toán gieo ngẫu 
nhiên và thiết lập thêm một biến định vị trong không gian Fourier, và đây cũng là định hướng 
trong các nghiên cứu tiếp theo của nhóm tác giả. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Z. Hashin and S. Shtrikman. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of 
multiphase materials. J. Mech. Phys. Solids, 11, (1963) 127-140. 
[2]. T. Mori, K. Tanaka. Averages tress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting 
inclusions. ActaMetall. 21, (1973) 571-574. 
[3]. S. Nemat-Nasser, M. Hori. Micromechanics: overall properties of heterogeneous materials, 
Elsevier, New York, 1998. 
[4]. D.C. Pham. Essential solid mechanics. Institute of Mechanics, Hanoi, 2013. 
[5]. D.H. Nguyen, H.T. Le, H. LeQuang, Q.C. He. Determination of the effective conductive properties 
of composites with curved oscillating interfaces by a two-scale homogenization procedure. 
Computational Materials Science. 94, (2014) 150 - 162. 
[6]. J. Eshelby, The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems, 
Proceedings of the royal society a. 241(1957) 376–386. https://doi.org/10.1098/rspa.1957.0133. 
[7]. J.C. Michel, H. Moulinec, P. Suquet. Effective properties of composite materials with periodic 
microstructure: a computational approach. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 
172, (1999) 109–143. 
[8]. V.L. Nguyen, T. K. Nguyen. FFT-simulations and multi-coated inclusion model for macroscopic 
conductivity of 2D suspensions of compound inclusions. Vietnam Journal of Mechanics, 37 (2015) 169-
176. 
[9]. D.C. Pham, L.D Vu, V.L Nguyen. Bounds on the ranges of the conductive and elastic properties of 
randomly inhomogeneous materials. Philosophical Magazine, 93 . (2013), 2229- 2249. 
[10]. G. Bonnet. Effective properties of elastic periodic composite media with fibers. Journal of the 
Mechanics and Physicsof Solids 55, (2007) 881-899. 
[11]. A. Zaoui, Matériaux hétérogènes et composites, Palaiseau : Presses de L’Ecole polytechnique, 
Paris, 2000. 
[12]. BV. Trần, TK. Nguyễn, AT. Trần, ĐH. Nguyễn, Đồng nhất vật liệu nhiều thành phần - Ứng xử 
tuyến tính, Xuất bản lần 1, Nhà xuất bản Xây dựng, Hà Nội, 2019.