Xây dựng - Chương 3. Thanh chịu kéo (hay nén) đúng tâm

CHƯƠNG 3.
THANH CHỊU KÉO
(HAY NÉN) ĐÚNG TÂM
GVC.Ths. Lê Hoàng Tuấn
THANH CHỊU KÉO
(HAY NÉN) ĐÚNG TÂM
THANH CHỊU KÉO
(HAY NÉN) ĐÚNG TÂM
NỘI DUNG
1. Định nghĩa - Thực tế
2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
3. Biến dạng - Hệ số Poisson
4. Thí nghiệm tìm hiểu khả năng chịu lực 
của vật liệu
5. Thế năng biến dạng đàn hồi
6. Điều kiện bền
7. Bài tóan siêu tĩnh
1. ĐỊNH NGHĨA - THỰC TẾ
 Nội lực trên mặt cắt ngang:
Lực dọc Nz
 Nz > 0 khi kéo (hướng ra ngoài
 Nz < 0 khi nén (hướng vào trong)
z
Nz
x
y
O
PPP P
 Thực tế: + Dây treo vật nặng
+ Trọng lượng bản thân cột
+ Các thanh trong hệ dàn
Dây treo chịu 
kéo do trọng lực
Ròng rọc
P
Các thanh dàn
Cột chịu nén bởi 
trọng lượng bản thân
1. ĐỊNH NGHĨA - THỰC TẾ
1. ĐỊNH NGHĨA - THỰC TẾ
Đốt Mắt Biên trênThanh xiên
Thanh đứng
Nhịp Biên dưới
2. ỨNG SUẤT TRÊN 
MẶT CẮT NGANG
Xét thanh chịu kéo đúng tâm. Các mặt cắt ngang
CC và DD trước khi chịu lực cách nhau đoạn dz . 
Các thớ dọc trong đoạn CD (như GH) bằng nhau .
C
C D
DP P
z
Nz
x
y
O
z
dA
A
dz
C
C
D D'
D'
D
G H H'
dz
P NzD
D
2. ỨNG SUẤT TRÊN 
MẶT CẮT NGANG
Nội lực trên mặt cắt ngang DD hay bất kỳ mặt cắt 
ngang khác là Nz = P , thanh dãn ra, mặt cắt DD di 
chuyển dọc trục thanh z so với mặt cắt CC một đoạn 
bé dz
Quan sát các thớ dọc trong đoạn CD (như GH), biến 
dạng đều bằng HH’ và không đổi, mặt cắt ngang 
trong suốt quá trình biến dạng vẫn phẳng và vuông 
góc với trục thanh, điều này cho thấy các điểm trên 
mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp z không đổi
2. ỨNG SUẤT TRÊN 
MẶT CẮT NGANG
z
Nz
x
y
O
z
dA
A
Quan hệ giữa ứng suất và nội lực : 
 
A
zz NdA
Vì z = const, nên z .A =Nz
A
N z
z 
Với A là diện tích mặt cắt ngang 
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
E
z
z

 
1- Biến dạng dọc: Độ dãn (co) dọc trục
Theo định luật Hooke, ta có:
Biến dạng dọc trục z của 
đoạn dài dz chính là dz . 
 Biến dạng dài tương đối
của đoạn dz là: dz
C
C
D D'
D'
D
G H H'
dz
là hằng số của vật liệu
E- Môđun đàn hồi khi kéo (nén)
dz
dz
z

  dz.dz z 
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Vaät lieäu E (kN/cm2) 
Theùp (0,15 
0,20)%C
Theùp loø xo
Theùp niken
Gang xaùm
Ñoàng 
Ñoàng thau
Nhoâm
Goã doïc thôù
Cao su
2 x 104
2,2 x 104
1,9 x 104
1,15 x 104
1,2 x 104
(1,0 1,2)104
(0,7  0,8)104
(0,08 
0,12)104
0,8
0,25  0,33
0,25  0,33
0,25  0,33
0,23  0,27
0,31  0,34
0,31  0,34
0,32  0,36
0,47
Bảng 3.1 Trị số E của một số vật liệu.
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Biến dạng dài của đoạn
thanh chiều dài L: 
dz
EA
Ndz
E
dzdz zzz 

  
L
P P
L+ Ldz
EA
NdzL
L
z  
L
z dz
EA
NL EA
LNL z Nếu Nz ,E, A là hằng, thì: 
Nếu thanh có nhiều đoạn Li :  iLL
EA : Độ cứng thanh
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
2. Biến dạng ngang 
z : Biến dạng dài tương đối theo phương dọc
x , y : Biến dạng dài tương đối theo phương x và y
zyx  
 = (0  0,5) là hằng số tùy vật liệu - hệ số Poisson.
Dấu (–) chỉ rằng biến dạng dọc và ngang ngược nhau.
ta có:
doïcngang  hay:
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thí dụ 1: 
1) Vẽ biểu đồ dọc Nz ; 
2) Tính ứng suất và biến dạng
dài toàn phần của thanh.
Cho biết: E = 2.104 kN/cm2; 
A1 = 10 cm2; A2 = 20 cm2.
Bài giải
30 A2
B
C
D
G
H
30
50
50cm
20kN
40kN
30kN
A
1
Nz
30kN
10kN
10kN
2
BC
BC
z
BC kN/cm310
30
A
N
 
2
CD
CD
z
CD kN/cm110
10
A
N
 
Ứng suất:
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
30 A2
B
C
D
G
H
30
50
50cm
20kN
40kN
30kN
A
1
Nz
30kN
10kN
10kN
2
DG
DG
z
DG kN/cm5,020
10
A
N
 
2
GH
GH
z
GH kN/cm5,020
10
A
N
 
20102
3010
20102
3010
10102
5010
10102
5030L 4444 
GHDGCDBC LLLLL 
Biến dạng:
cm005,0L 
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC 
TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
1. Khái niệm 
 Ta cần phải so sánh độ bền, độ cứng của vật liệu
khi chịu lực với ứng suất, biến dạng của vật liệu cùng 
loại đã biết. 
 Ta caàn thí nghieäm keùo, neùn ñeà tìm hieåu 
tính chaát chòu löïc vaø quaù trình bieán daïng 
töø luùc baét ñaàu chòu löïc ñeán luùc phaù 
hoûng cuûa caùc loaïi vaät lieäu khaùc nhau.
 Phân loại vật liệu:
 V/l dẻo: Phá hỏng khi biến dạng lớn-Thép, đồng...
 V/l dòn: Phá hỏng khi biến dạng bé- gang, bêtông...
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC 
TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
2. Các thí nghiệm cơ bản: 
2.1 TN kéo V/l dẻo (thép):
Mẫu TN
L0
d0 ,A0
P P
L1
d1, A1
Mẫu sau khi kéo
Pch
Ptl 
P
 L
O
A
Đồ thị P- L
C
B
D
PB
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC 
TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
2.1 TN kéo V/l dẻo (thép):
Kết quả:
 OA: giai đoạn đàn hồi, P - L bậc nhất
o
tl
tl A
P
 Lực tỉ lệ Ptl, Giới hạn tỉ lệ:
AB: giai đoạn chảy, P không tăng, L tăng
o
ch
ch A
P
 Lực chảy Pch, Giới hạn chảy:
 BCD: giai đoạn củng cố (tái bền)
Lực lớn nhất PB, Giới hạn bền:
o
b
b A
P
 
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC 
TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
2.1 TN kéo V/l dẻo (thép):
Độ dãn dài tương đối:
%100
L
LL%
o
10 
Độ thắt tỉ đối:
%100
A
AA%
o
10 
L0
d0 , A0
Mẫu TN
P P
Kết quả:
L1
d1, A1
Mẫu sau khi kéo
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC 
TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
2.2 TN nén V/l dẻo (thép):
Mẫu TN
d h
P
P
Mẫu sau nén
 OA: giai đoạn đàn hồi 
Giới hạn tỉ lệ:
o
tl
tl A
P
 
AB: giai đoạn chảy 
Giới hạn chảy:
o
ch
ch A
P
 
Pch
P
 L
O
Ptl 
Đồ thị P- L
A
B 
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC 
TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
2.3 TN kéo V/l dòn (gang):
Mẫu TN
L0
d0 ,A0
P P
Đường cong thực
P
 L
Đồ thị P- L
PB
Đường qui ước
O
Ptl
Mẫu sau khi kéo
o
Bk
b A
P
 Giới hạn bền:
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC 
TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
2.4 TN nén V/l dòn (gang):
Đường cong thực
P
 L
Đồ thị P- L
PB
Đường qui ước
O
Ptl
o
Bn
b A
P
 Giới hạn bền:
Mẫu TN
d h
P
P
Mẫu sau nén
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG
ĐÀN HỒI
1. Khái niệm
 Xét thanh chịu kéo
làm việc trong giai
đoạn đàn hồi . 
Lực tăng từ 0 đến P, 
thanh dãn ra từ từ đến 
giá trị L. 
 Sau khi đạt đến giá trị P,
bỏ lực đi, thanh sẽ đàn hồi 
hoàn toàn.
 L
L
P
 L
P
P + dP
O
P
C
 
A
 L
P
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG
ĐÀN HỒI
1. Khái niệm
 Người ta nói công của
W của ngoại lực phát 
sinh trong quá trình di 
chuyển đã chuyển hóa 
thành thể năng biến
dạng đàn hồi U tích 
lũy trong thanh
 Chính thế năng này làm cho thanh 
đàn hồi sau khi không tác dụng lực.
 L
L
P
 L
P
P + dP
O
P
C
 
A
 L
P
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG
ĐÀN HỒI
2. Tính TNBDĐH:
 L
L
P
Công ngoại lực= 
Diện tích tam giác
OAC:
2
L.PW 
 L
P
P + dP
O
P
C
 
A
 L
P
TNBDĐH: U = W
EA
PLL Với 
EA2
LPU
2
Hệ có nhiều đoạn: U =  Ui
Hay: 
EA2
L.NU
2
z 
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG
ĐÀN HỒI
3. TNBDĐH riêng u :
TNBDĐH trong một đơn vị thể tích
V
Uu 
Với : V=AL và
A
P
z 
2E2
u zz
2
z  

TNBDĐH thường được dùng để tính chuyển vị của hệ
 L
L
P
A
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG
ĐÀN HỒI
Thí dụ 2:
Giải:
P
NBC
B
NBD
Tính chuyển vị đứng của 
điểm đặt lực. 
Cho: E = 20000 kN/cm2; 
L = 200 cm; P =300 (KN);
 = 30o ; A = 10 cm2
Nội lực : Tách mắt B. 
Y = 0: 2Ncos = P
X = 0: NBC = NBD = N
cos2
PN
P
 BC
L/2
B
C
A A
D
K I
 BD
B'
L/2
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG
ĐÀN HỒI
 Chuyển vị BB':
BB’cos = BK
hay: BB’= BK / cos 
Mà BK= BC
cosEA
LN'BB
BC
BCBCNên:
cm4,0
cosEA2
PL'BB 2 
 PP hình học:
P
NBC
B
NBD
P
 BC
L/2
B
C
A A
D
K I
 BD
B'
L/2
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG
ĐÀN HỒI
 Chuyển vị BB':
P
NBC
B
NBD
 + Công ngoại lực:
cm4,0
cosEA2
PL'BB 2 
 PP năng lượng:
W=P.BB'/2
+ TNBDĐH:
BD
BD
2
BD
BC
BC
2
BC
)EA(2
LN
)EA(2
LNU 
+ W=U
P
 BC
L/2
B
C
A A
D
K I
 BD
B'
L/2
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
 Ứng suất nguy hiểm 0
= ch- vật liệu dẻo
= B- vật liệu dòn
 Ứng suất cho phép  
n
0 
 n > 1 : Hệ số an toàn
  
A
Nz
z Điều kiện bền:
6.1 Điều kiện bền:
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
6.2 Ba bài toán cơ bản:
  %5
A
Nz
z   Kiểm tra bền:
 Định kích thước mặt cắt ngang:   %5
N
A z 

 Định tải trọng cho phép:   %5.ANz  
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thí dụ 3 :
P =20 kN
1- Kiểm tra bền thanh BG.
2- Định số hiệu thép V 
dùng cho thanh BC.
Biết: sin = 5/13;
[]=14kN/cm2
D =2,2 cm
G
 x
C B P
NBG
NBC
y
Nội lực : Tách mắt B. 
Giải:
Y = 0 NBG sin P = 0 NBG = 52 kN (kéo)
X = 0 NBC NBG cos = 0 NBC = 48 kN (nén)
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thí dụ 3 :
P =20 kN
1- Kiểm tra bền thanh BG. D =2,2 cm
G
 x
C B P
NBG
NBC
y
2
BG
BGBG
z )1,1.(
52
A
N
 
   2BGz cm
kN8,13
Thanh BG đảm bảo đ/k bền
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thí dụ 3 :
P =20 kN
2- Định số hiệu thép V 
dùng cho thanh BC. 
D =2,2 cm
G
 x
C B P
NBG
NBC
y
Ta phải có:
 
2BC
BC cm43,314
48NA 

Tra bảng thép định hình, 
chọn 2V 25x25x4 có A=2x 1,86= 3,72cm2
Hay 2V 32x32x3 có A=2x 1,86= 3,72cm2
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Định tải trọng cho phép [P] 
theo điều kiện bền của các 
thanh 1, 2, 3.
Cho biết: [ ] = 16 kN/cm2, 
A1=2cm2, A2=1cm2, A3=2cm2.
Thí dụ 4:
N3
P
450B
1 2
3
a a a
P N1 N2
Giải: Nội lực : Thực hiện các mặt cắt qua 3 thanh. 
B
* X=0 N2cos450 + N3 =0
* Y=0 -P+N2sin450 + N1 =0
* M/B=0 -P2a+N1a =0
N1=2P
N2=-P2
N3=P
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU 
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
*Theo điều kiện bền của thanh 1,2,3.
Định tải trọng cho phép [P].
*Kết luận: [P] = 11,3 kN
  
2
P2
A
N
1
1
1
  
1
P2
A
N
2
2
2
kN32P 
kN16P 
kN3,11P 
  
2
P2
A
N
3
3
3
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
1. Định nghĩa :
Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà chỉ với các phương 
trình cân bằng tĩnh học sẽ không đủ để giải được tất 
cả các phản lực hay nội lực trong hệ.
2. Cách giải:
Cần tìm thêm các phương trình diễn tả điều kiện biến
dạng ( p/t biến dạng, p/t hình học) của hệ sao cho cộng 
số phương trình này với các phương trình cân bằng tĩnh 
học vừa đủ bằng số ẩn số phản lực, nội lực cần tìm.
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
Thí dụ 5 : P
VD
VB
D
B
C
b
a
P
VB
D
B
C
b
a
P
Xét thanh chịu lực như hình.
Có hai phản lực VA và VB.
Phương trình điều kiện biến dạng.
 Phương trình cân bằng: 
VD + VB – P = 0
Tưởng tượng bỏ ngàm B và
thay bằng phản lực VB .
Điều kiện biến dạng của hệ là:
 L = BD = BC + CD = 0
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
VD
VB
D
B
C
b
a
P
VB
D
B
C
b
a
P
0
EA
LN
EA
LNL CDCDBCBC 
0
EA
a)PV(
EA
bV BB 
ba
PaVB 
Sau khi tính được VB , bài toán trở 
thành tĩnh định bình thường.
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
Thí dụ 6 :
Phương trình biến dạng:
 Phương trình cân bằng: 
P
L/2
B
C
1 3
D
B'
L/2
2
G
 1
 2
P
N1
B
N3
N2
Tính nội lực trong 1, 2, 3
N1cos + N2+ N3cos - P=0
- N1sin + N3sin =0
 1= 2.cos 
EA
cosLN
EA
LN 2211 
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
P
L/2
B
C
1 3
D
B'
L/2
2
G
 1
 2
P
N1
B
N3
N2
 221 cosNN
 32 cos21
PN
 3
2
31 cos21
cosPNN