Xây dựng - Chương 4: Trạng thái ứng suất

CHƯƠNG 4 - TRẠNG THÁI 
ỨNG SUẤT
Gvc- Ths. Lê Hoàng Tuấn
1. KHÁI NIỆM VỀ TTỨS TẠI 
MỘT ĐIỂM
1.1.Định nghĩa TTỨS:
TTƯS tại một điểm là
tập hợp tất cảû những 
ứng suất trên các mặt 
đi qua điểm ấy.


z x
P1 P2
P3
P4
C
y
p
1.2. Biểu diễn TTƯS tại một điểm y
z
x
sx
sz
tyz
tyx
tzx
tzy
sy
txy
txz
+Ba ứng suất pháp:
sx , sy , sz
+Sáu ứng suất tiếp: 
txy, tyx, txz, tzx, tyz, tzy. 
1. KHÁI NIỆM VỀ TTỨS TẠI 
MỘT ĐIỂM
1.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp
t
t
t
t
1. KHÁI NIỆM VỀ TTỨS TẠI 
MỘT ĐIỂM
1.4. Mặt chính, phương chính, 
ứng suất chính,phân loại TTƯS
1. KHÁI NIỆM VỀ TTỨS TẠI 
MỘT ĐIỂM
I
s1
s3
s2
III
II
s1Mặt chính- Mặt không có 
Phương chính- Pháp tuyến
của mặt chính , I, II, III.
Ứng suất chính- ứ/s trên
mặt chính : s1> s2 > s3
 Phân loại TTƯS
1. KHÁI NIỆM VỀ TTỨS TẠI 
MỘT ĐIỂM
I
s1
III
II
TTỨS ĐƠN
s1
TTỨS PHẲNG
I
s1
s2
III
II
s1
I
s1
s3
s2
III
II
TTỨS KHỐI
s1
 Cách biểu diển: 
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.1. Cách biểu diễn – Quy ước dấu
x
sx
sy
z
y
sx
sy
txy
tyx
x
sx
syy
sx
sy
tyx
txy
txy
tyx
 Quy ước dấu: 
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.1. Cách biểu diễn – Quy ước dấu
x
sx
syy
sx
sy
tyx
txy
txy
tyx
+ s 0 khi gây kéo 
+ t 0 khi làm cho phân tố
quay thuận kim đồng hồ
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.2.Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ:
x
sx
sy
z
y
sx
sy
txy
tyx
x
sx
syy
sx
sy
tyx
txy
txy
tyx
u
v
su 
tuv
Mặt cắt nghiêng pháp tuyến u, với (x,u)= 
 > 0 khi quay ngược kim đồng hồ kể từ truc x 
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.2.Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ:
Tính su ,tuv .
z
sx
x
dx
dy
dz
v
ds
sy
y u
tuv
su
tyx
txy
tyx
su
tuv
y
x
sx
sy
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
z
sx
x
dx
dy
dz
v
ds
sy
y u
tuv
su
tyx
txy
tyx
su
tuv
y
x
sx
sy
* U=0 sudzds- sxdzdy.cos +txydzdy.sin 
 -
-sydzdx.sin + tyxdzdx.cos =0* V=0 
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
  

 2cos2sin
2 xy
yx
uv 
* U=0 
* V=0 
  

 2sin2cos
22 xy
yxyx
u 
  

 2cos2sin
2 xy
yx
uv 
txy
tyx
su
tuv
y
x
sx
sy
Tính su ,tuv .
(1)
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
Ứng suất trên mặt cắt
pháp tuyến v: v
Xét mặt nghiêng có pháp
tuyến v, vuông góc mặt 
có pháp tuyến u. Thay thế 
bằng ( + 90) vào (1)
x
su
u
tuv
v
sv
tvu
sv
txy
tyx
su
y
sx
sy
 tuv
x
  

 2sin2cos
22 xy
yxyx
v 
yxvu  Và
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.3 Ứng suất chính - Phương chính -
Ứng suất pháp cực trị
xs1
I
III
s3
 0
s3
s1
 0 +900
 Mặt chính là mặt 
có ứng suất tiếp = 0 
02cos2sin
2
0 
  

 xy
yx
uv
yx
xy
o 

2
2tan
 Đây là p/t xác định phương chính, mặt chính.
(2)
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
xs1
I
III
s3
 0
s3
s1
 0 +900
 Ứùng suất chính 
 Có 2 mặt chính vuông góc 
 Ứùng suất chính cũng là ứng suất pháp cực trị 
vì 0 
dz
d u
yx
xy


2
2tan 
 223,1
min
max 42
1
2 xyyx
yx 

 
 (3)
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.3 Ứng suất tiếp cực trị:
 Pháp tuyến mặt có tmax , tmin:
 Có 2 mặt có tmax , tmin hợp với 2 mặt chính 
1 góc 450.
02sin22cos)(  

xyyx
uv
d
d
tma
x
I
III
450
1350
s
tminxy
yx


2
2tan
So sánh với (2)
o 
2tan
12tan oo k45 
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.3 Ứng suất tiếp cực trị:
tma
x
I
III
450
1350
s
tmin
 22
min
max 42
1
xyyx  (4)
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.4 Các trường hợp đặc biệt:
1- TTỨS phẳng đặc biệt:
Các ứng suất chính : s
t
s
t
0 ;4
2
1
2 2
22
minmax,3,1 

 (5)
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.4 Các trường hợp đặc biệt:
2- TTỨS trượt thuần túy:
Các ứng suất chính :
Hai phương chính được xác định theo (2):
 o 2tan 24
 ko 
Những phương chính xiên góc 450 với trục x và y.
t
t
s1
s1 s3
s3
0 ; 2minmax,3,1  (6)
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.4 Các trường hợp đặc biệt:
3- Phân tố chính:
Ứng tiếp cực trị :
s3
s1s1
s3
2
31
minmax,


2
31
max13


 (7)
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.1 Cơ sở của phương pháp:
x
sx
syy
sx
sy
tyx
txy
txy
tyx
u
v
su 
tuv
2
2
2
2
22 xy
yx
uv
yx
u 



 
  

 2sin2cos
22 xy
yxyx
u 
  

 2cos2sin
2 xy
yx
uv 
Từ p/t tính su và tuv
Chuyển (sx+sy)/2 sang phải, bình phương 2 vế,
công lại 
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.1 Cơ sở của phương pháp:
x
sx
syy
sx
sy
tyx
txy
txy
tyx
u
v
su 
tuv
 222 Rc uvu 
 ;
2
c yx
s s
 Với:
2
xy
2
yx2
2
R t 
 s s
Đây là p/t đường tròn tâm C (c,0), bán kính R
trong hệ trục (s,t): Vòng tròn Mohr ứng suất
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.1 Cơ sở của phương pháp:
x
sx
syy
sx
sy
tyx
txy
txy
tyx
u
v
su 
tuv
O C
s
C
t
R
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.2 Cách vẽ vòng Mohr:
Vẽ hệ trục (s,t); 
Điểm E (0, sx), F (0, sy), 
O C
s.
t
R
sy
P
sx
txy E
F
.
.
Tâm C là trung điểm của E, F 
Vẽ Cực P (sy, txy ) 
Vòng tròn tâm C, qua P là vòng Mohr. 
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.3 Ứng suất trên
mặt nghiêng-
Tìm u ; uv :
Từ cực P vẽ Pu // u
điểm M
Hoành độ M: OG= su
Tung độ M: GM= tuv
tmax
tmin
smax
P
EF
ABO
t
u
s
tuv
su
smax = s1
smin
sx
sy
C
R
txy
tuv
su
G
2 1
2 
smin
tmin
tmax
M
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.4 Ứng suất 
max ; min:
OA= smax = s1
OB= smin = s2
3.5 Ứng suất 
max ;  min:
CI= tmax CJ= tmin
tmax
tmin
P
EF
ABO
t
u
s
tuv
su
smax = s1
smin
sx
sy
C
R
txy
tuv
su
G
2 1
2 
smin
tmin
tmax
M
J
I
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.5 Các trường hợp đặc biệt
1.TTƯS phẳng đặc biệt 
Có hai ứng suất chính 
s1 và s3
s s
t
t smax
P
EF
AB O
t
s
smax = s1
s3
C
t
smin
s
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.5 Các trường hợp đặc biệt
2.TTƯS trượt thuần túy 
Có hai ứng suất chính 
s1 =- s3 = t
t
t
s1
P
AB O
t
s
C
t
s3
s1=ts3 =-t
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.5 Các trường hợp đặc biệt
3.Phân tố chính 
Ứùng suất tiếp cực trị
s1
s3
s3
s1
P
AB O
t
s
C
tmin
s1s3
tmax
tmin
tmax
2
31
3,1
s s
 t
4 . SƠ LƯỢC VỀ TTỨS KHỐI
2
31
max13


 (7)
I
s1
s3
s2
III
II
s1
Tổng quát tại bất kỳ 
điểm có TTỨS khối
Ứng suất tiếp lớn nhất
Ứng suất pháp lớn nhất
s1 , s2 , s3 
4 . SƠ LƯỢC VỀ TTỨS KHỐI
Thực vậy
Các ứng suất trên các 
mặt nầy có thể khảo sát 
như trong bài tóan phẳng
Xét các mặt song song 
các phương chính I, II, III
s3
t
s1
s2
s
s
t
s2
s1
s3
s
t
s1
s3
s2
4 . SƠ LƯỢC VỀ TTỨS KHỐI
2
31
max13


 (7)
3

O
2,3

3
2
1
1,3
1,2
2
1
Các ứng suất tiếp lớn 
nhất trên các mặt nầy biểu 
diển bằng các bán kính 
của các vòng Mohr
Dễ thấy ứng suất tiếp 
lớn nhất trong phân tố
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
4.1 Định luật Hooke tổng quát
1- Liên hệ ứng suất pháp 
và biến dạng dài
TTƯS đơn:
E

 
E
"' s   
s,s
''
'

5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
I
s1
s3
s2
III
II
s1
4.1 Định luật Hooke tổng quát
1- Liên hệ ứng suất pháp 
và biến dạng dài
TTƯS khối:
)()()( 3121111  
 )(1 3211  E
EEE
221
1





 
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
I
s1
s3
s2
III
II
s1
4.1 Định luật Hooke tổng quát
1- Liên hệ ứng suất pháp 
và biến dạng dài
TTƯS khối:
 )(1 3211  E
 )(1 1322  E
 )(1 2133  E
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
4.1 Định luật Hooke tổng quát
1- Liên hệ ứng suất pháp 
và biến dạng dài
TTỨS tổng quát:
 )(1 zyxx E  
 )(1 xzyy E  
 )(1 yxzz E  
y
z
x
sx
sz
tyz
tyx
tzx
tzy
sy
txy
txz
2-Lieân heä giöõa öùng suaát tieáp vaø bieán daïng goùc
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
4.1 Định luật Hooke tổng quát
2- Liên hệ ứng suất tiếp 
và biến dạng góc:
TTỨS trượt thuần túy:
t
t 
G

 
 -Biến dạng góc (góc trượt) .
G - là môđun đàn hồi trượt, 
Thöù nguyeân cuûa G laø [löïc/(chieàu daøi)2] 
vaø ñôn vò thöôøng duøng laø N/m2 hay MN/m2. 
)1(2  
EGvà
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
I
s1
s3
s2
III
II
s1
4.1 Định luật Hooke khối
V0 = da1. da2. da3
V1 =(da1+ da1).(da2+ da2). (da3+ da3).
321
1  
o
o
V
VV
Biến dạng thể tích tương đối
 321
21


 
E
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
I
s1
s3
s2
III
II
s1
4.1 Định luật Hooke khối
Biến dạng thể tích tương đối 
 321
21


 
E
Tổng ứng suất pháp 
 1 + 2 +3 

E


21
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
I
s1
s3
s2
III
II
s1
4.1 Định luật Hooke khối
Nhận xét 1:

E


21
 Nếu vật liệu có hệ số Poisson
 = 0,5 ( cao su), thì  luôn bằng
không tức là thể tích không đổi 
dưới tác dụng của ngoại lực.
33
321 

 tb
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
I
s1
s3
s2
III
II
s1
4.1 Định luật Hooke khối
Nhận xét 2:

E


21
 Thay các ứng suất chính
bằng ứng suất trung bình stb
  s s s 
E
21
E
21
tbtbtb1
33
321 

 tb
 không đổiThì
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
I
s1
s3
s2
III
II
Đổi thể tích 
Đổi hình dáng
I
st
b
st
b
st
b
III
II
st
b
Đổi thể tích 
Không đổi hình dáng
I
s1-stb
s3-stb
s2-stb
III
II
Không đổi thể tích 
Đổi hình dáng
Ý nghĩa của nhận xét 2:
6. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
sTNBDĐH riêng :
 Thanh kéo hay nén ( chương 3): 
TTƯS đơn, chỉ có s
2 u s
 TTỨS khối, s1,2,3
TNBDĐH riêng:
222
332211  u I
s1
s3
s2
III
II
s1
6. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
thay 1,2,3 từ đ/l HooKe
I
s1
s3
s2
III
II
s1  133221232221 22
1
 
E
u
Phân tích TNBDĐH u thành :
Thế năng biến đổi thể tích utt
Thế năng biến đổi hình dáng uhd
u = utt + uhd
6. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
I
s1
s3
s2
III
II
Đổi thể tích 
Đổi hình dáng
I
st
b
st
b
st
b
III
II
st
b
Đổi thể tích 
Không đổi hình dáng
I
s1-stb
s3-stb
s2-stb
III
II
Không đổi thể tích 
Đổi hình dáng
utt uhdu
6. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
Thế năng biến đổi hình dáng
 313221232221hd E3
1u ss ss ss s s s 
Thế năng biến đổi hình dáng của 
TTỨS đơn:
2
E3
1
hdu s
