Xây dựng - Chương 6: Đặc trưng hình học

CHƯƠNG 6.
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC
GVC.Ths. Lê Hoàng Tuấn
NỘI DUNG
1. Khái niệm
2. Mô men tĩnh - Trọng tâm
3. Mômen quán tính
4. Mômen quán tính của các hình đơn giản
5. Công thức chuyển trục song song
6. Công thức xoay trục
1. KHÁI NIỆM
 Thanh để đứng (H.a) chịu 
lực tốt hơn thanh để nằm 
(H.b)
a)
x
y b)
P
P
x
y
z
z
 Có những đại lượng phụ 
thuộc vào hình dáng, vị trí 
mặt cắt ngang, ảnh hưởng 
đến sự làm việc của thanh
 Đó là những Đặc trưng Hình Học của mặt cắt ngang.
2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM
A
dAM
C
y
x
O
xC
y0
y
x
y0
x0x0yC
Xét một hình phẳng biểu diễn 
mặt cắt ngang A (mặt cắt A).
Lập hệ tọa độ vuông góc 
Oxy. 
M(x,y) là một điểm bất kỳ 
trên hình.
Lấy chung quanh M một diện 
tích vi phân dA.
2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM
A
dAM
C
y
x
O
xC
y0
y
x
y0
x0x0yC
Mômen tĩnh của A
đối với trục x (hay y) là:
 Mômen tĩnh :
F
y
F
x xdFSydFS ,
vì x, y có thể âm hoặc dương
Thöù nguyeân cuûa moâmen tónh laø
[(chieàu daøi)3].
Sx , Sy 0
nên
2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM
A
dAM
C
y
x
O
xC
y0
y
x
y0
x0x0yC
 Trọng tâm :
 Trục Trung tâm là trục 
mà mômen tĩnh của A đối 
với nó bằng 0
 Trọng tâm là giao điểm 
của 2 trục trung tâm.
 Mômen tĩnh đối với trục 
đi qua trọng tâm bằng 0.
2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM
A
dAM
C
y
x
O
xC
y0
y
x
y0
x0x0yC
 Cách xác định Trọng tâm C :
Xác định xC và yC
Dựng hệ trục x0Cy0 song 
song hệ trục xy
oCoC yyyxxx ;
A
xoCo
A
Co
A
Cx SAydAydAydA)yy(S
Vì Sxo = 0 nên: A.yS Cx 
Tương tự:
A.xS Cy A
Sy
A
S
x
x
C
y
C
2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM
Tính chất 1: (quan trọng)
 Mặt cắt có hai trục đối xứng,
trọng tâm là giao điểm hai trục đối xứng.
 Mặt cắt có trục đối xứng,
trọng tâm nằm trên trục đối xứng .
x x
y
C C C
y
2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM
Tính chất 2 :
Mômen tĩnh của hình
phức tạp bằng tổng mômen
tĩnh của các hình đơn giản.
;
AA
AxAx
A
S
x
21
2211y
C 
21
2211x
C AA
AyAy
A
Sy
Thí dụ 6-1. Định trọng tâm
mặt cắt chữ L gồm 2 chữ nhật.
Tọa độ trọng tâm
C của hình trên là:
A1
x
y
yC
x1
y2
O
x2
y1
C
xC
C1
C2
A2
Kết quả:
3. MÔMEN QUÁN TÍNH-
HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
1- Mômen quán tính (MMQT)
A
dAM
y
x
O
y
x
Mômen quán tính độc cực
(MMQT đối với điểm) của A 
dApI
A
2 đối với điểm O: 
Mômen quán tính của A đối với 
A
2
A
2 dAxyI;dAyxItrục y và x :
 Ip = Ix + Iy
 Ip , Ix , Iy > 0
 Thứ nguyên - [chiều dài]4
3. MÔMEN QUÁN TÍNH-
HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
A
dAM
y
x
O
y
x
Mômen quán tính ly tâm
(MMQT đối với hệ trục xy)
dA.y.xxyI
A
Thứ nguyên - [chiều dài]4
Ixy 0
Tính chất: MMQT của mộät hình phức tạp bằng
tổng mômen quán tính của các hình đơn giản. 
3. MÔMEN QUÁN TÍNH-
HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
2- Hệ trục chính trung tâm
A
dAM
y
x
O
y
x
A
2
A
2 dAxyI;dAyxI
 Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm
đối với hệ trục đó bằng không 
được gọi là hệ trục quán tính chính
 Hệ trục quán tính chính trung tâm
có gốc ở trọng tâm 
 MMQT đối với các trục quán tính chính trung tâm
gọi là MMQT chính trung tâm.
3. MÔMEN QUÁN TÍNH-
HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
2- Tính chất 3- quan trọng
Trục đối xứng của mặt cắt và trục 
vuông góc với nó đi qua trọng tâm 
hợp thành hệ trục chính trung tâm
dA2dA1
A1 A2
xO
y
Chứng minh:
A AA A
xy dAyxxyyxdAyxdAI
21 1
0)( 1
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA 
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
1- Hình chữ nhật:
Hệ có hai trục đối xứng x, y
cũng là hệ trục QTCTT. 
2
h
2
h
bdyydAyxI
2
A
2
12
bh
xI
3
12
hb
yI
3
y
x
b
Oh/2
dy
y
h/2
dA = b.dy
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA 
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
2- Hình tròn:
Hệ có hai trục đối xứng x, y
cũng là hệ trục QTCTT. 
2
D
0
d.2.dApI
2
A
2
x
dA = 2 .d 
O
D 
d 
y
R 
 Tính Ip :
32
D
pI
4 
2
I
yIxI
p Tính Ix , Iy : 64
D
yIxI
4 
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA 
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Hình vành khăn:
 Tính Ip :
32
d
32
Dd
pI
D
pIpI
44 
2
I
yIxI
p Tính Ix , Iy :
)1(
64
D
yIxI
4
4
 
)1(
32
D
pI
4
4
 
xO
D 
y
d
=
d
D 
5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC 
SONG SONG
1- Lập công thức: A
dAM
O
Y
X
O'
a
y
Y
X
y
x
x
b
dA)yb(dAYXI
A
2
A
2 
Tính IX , IY , IXY :
AbbS2IXI
2
xx 
 .dAbdA.yb2dAy XI 
A A A
22 
AaaS2IYI
2
yy abAbSaSIXYI yxxy 
5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC 
SONG SONG
2- Trường hợp thường dùng: A
dAM
O
Y
X
O'
a
y
Y
X
y
x
x
b
Khi trục cũ (xy) là 
hệ trục chính trung tâm :
AbIXI
2
x 
Cách nhớ: MMQT đối với trục
mới bằng MMQT đối với trục
cũ cộâng diện tích nhân khoảng
cách hai trục bình phương
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA 
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Thí dụ 3: y
x
b
Oh/2
h/2
B B'
2
x'BB 2
h.AII 
3
bhbh
2
h
12
bhI
323
'BB 
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA 
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Thí dụ 
4: Định MMQT
chính trung tâm
4
x
48 8
4
12
y
C
x
y
X
X
6
10
32
1
cm6
)12.4(2)4.24(
)10.12.4(22.4.24
A
S
Cy
x 
Giải:
- Trọng tâm:
- MMQT: 3XI
2
XI
1
XIXI 
2
3
4).4.24(
12
4.241
XI 
2
3
4).12.4(
12
12.43
XI
2
XI IX=4352cm4
6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC 
1- Lập công thức: A
dAM
V
U
O
y
x
y
x
u
v
Tính Iu , Iv , Iuv :
Ta có: u = y.sin +x.cos 
v = y.cos -x.sin 
Iu = A v2 .dA; Iv = A u2 .dA
Iuv = A uv.dA
 2sinI2cos
2
II
2
II
I xy
yxyx
u
 2cosI2sin
2
II
I xy
yx
uv
6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC 
2- Hệ trục chính (HTC): A
dAM
V
U
O
y
x
y
x
u
v
 Hệ trục quán tính chính 
là hệ trục có MMQT ly tâm
bằng không.
 Tìm HTC, cho Iuv=0
yx
xy
0 II
I2
2tg
 có 2 góc 0 sai biệt nhau 90 0
nghĩa là luôn có 2 trục chính vuông góc nhau. 
6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC 
A
dAM
V
U
O
y
x
y
x
u
v
 MMQT cực trị 
yx
xy
0 II
I2
2tg
MMQT cực trị cũng là
MMQT đối với trục chính.
Cho dIuv
d =0
Cũng được
2
xy
2
yx
yx
minmax, I4)II(2
1
2
II
I